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Il est curieux de voir la substance des tables les plus volumineuses ainsi réduite à une seule page, qu'on peut ensuite étendre et développer au besoin par les plus simples opérations de l'arithmétique. L'idée sur laquelle se fonde tout ce procédé est si simple et si naturelle qu'on a lieu de s'étonner également ou que personne ne l'ait eue avant M. Leonelli, ou, si elle n’est pas nouvelle, que tous les éditeurs de tables logarithmiques n'aient pas consacré deux pages à l'exposition d'une méthode qui paroît un supplément indispensable surtout aux tables qui n'ont que cinq ou six décimales. Pour nous, nous n'en avions aucune idée, et nous la regardions comme absolument nouvelle, quand le Citoyen Lagrange s’est souvenu de l'avoir vue dans une préface de Vlacq, qui devoit l'avoir tirée de Briggs.

En effet, Briggs, qui en est le premier auteur, l'a exposée au chapitre 14 de son Arithmétique Logarithmique. On sait que ce géomètre a calculé à 14 décimales les logarithmes de tous les nombres depuis 1 jusqu'à 20000 et depuis 90000 jusqu'à 100000. Pour remplir la lacune, il indique deux méthodes : l'une qu'il explique fort au long et à laquelle il paroît mettre plus d'importance, est celle de l’interpolation au moyen des différences de plusieurs ordres; l'autre est précisément la méthode que propose aujourd'hui M. Leonelli, avec deux changemens très-légers. 1° Sa table est à 20 décimales, celle de Briggs n’en a que 14. Du reste, on voit, par l'exemple qui accompagne cette dernière, que l'usage en est absolument le même. 2° La table de M. Leonelli n'en suppose aucune autre, au lieu que Briggs suppose, qu'on ait déjà une table de 10000 logarithmes. Mais cette dernière supposition n'évoit nullement nécessaire. Briggs l’a faite dans

la préface du livre où il donne en effet les 10000 logarithmes qu'il suppose, et dans ce cas la division qu'il prescrit est un peu plus courte, parce qu'on a déjà quelque avance en ce que le premier diviseur est un nombre plus considérable; mais la règle qu'il donne n’en a pas moins toute la généralité possible.

Le livre où elle se trouve est singulièrement rare. Nous n'en avons vu jusqu'ici qu'un seul exemplaire, celui qui est en la possession de l’un de nous {le Cit. Lalande). Encore la préface latine manque-t-elle; elle s'y trouve remplacée par une explication succincte de l'usage des tables en anglois, et il n'y est nullement question de la méthode dont nous parlons.

Viacq, qui a rempli, mais à 10 décimales seulement, la ‘lacune laissée par Briggs, a aussi copié, à deux articles près, le discours préliminaire de cet auteur, et entre autres le chapitre 14, qui chez lui est devenu le douzième par la suppression dont nous venons de parler. Mais cette préface ne se trouve pas dans nos exemplaires, où l'on a réuni les sinus logarithmiques pour les secondes de 10 en 10, avec les 100000 logarithmes de nombres. M. Vega, en réimprimant ces tables, a changé le discours préliminaire; il est donc peu surprenant que cette méthode nous fût inconnue. Hutton, qui en parle dans la préface de ses Tables, ne l'explique en aucune manière; il se borne à indiquer le chapitre où elle se trouve. M. Maseres, en réimprimant la préface de Hutton, dans la .collection intitulée : Scriptores logarithmici, n'en parle pas plus clairement; mais dans une note au bas de la page Lxxv, il nous apprend qu’en 1771, M. Flower publia un ouvrage in-4°, intitulé : The Radix, or new way of making logarithms, qui est le développement de la méthode de Briggs, c’est-à-dire de cette

même méthode que M. Leonclili vient de trouver aussi de son côté, et probablement sans avoir, non plus que M. Flower, aucune connoissance de l'ouvrage original. |

Malgré toutes ces indications, nous ne connoîtrions encore cette méthode que sur rapport et d’une manière fort vague, si l’un de nous ne venoit de la trouver dans un exemplaire qu'il a nouvellement acquis des tables de Vlacq pour les sinus de minute en minute et pour les 100000 nombres. Ces tables, dont le titre est en latin, sont précédées d’une préface françoise par Vlacq lui-même, qui la donne comme une traduction de l'ouvrage de Briggs. La table subsidiaire des logarithmes des facteurs, qui se trouve au chapitre 12, est réduite à 11 décimales, parce qu'il suffisoit à Vlacq d'en avoir toujours 10 qui fussent exactes. Nous pouvons donc assurer que le procédé proposé par M. Leonelli est aussi ancien que.les logarithmes dont on se sert aujourd'hui. Mais, s'il n'en est pas le premier inventeur, nous lui avons l'obligation d'avoir tiré de l'oubli une méthode ingénieuse et qui méritoit d'être plus connue. Il faut avouer pourtant que cette méthode, dont nous n'avons montré que le côté séduisant, présente bien aussi quelques inconvéniens. Tous ces facteurs, où tant de zéros séparent les deux seules figures significatives, introduisent bientôt dans l'opération un nombre de décimales aussi inutile qu'incommode; on peut, à la vérité, omettre celles qui sont superfiues; mais cela même exigeroit des attentions qui diminueroient la simplicité du précepte. Ajoutons, enfin, que cette méthode, bonne pour un logarithme isolé, ne présenteroit que peu d'avantage dans la construction d’une table.

La seconde partie du Mémoire de M. Leonelli, a

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pour objet la solution d'un problème qui se rencontre à chaque instant dans l'usage des logarithmes : Étant donnés les logarithmes de deux nombres encore inconnus, trouver ceux de la somme et de la différence directement et sans connoître les deux nombres. La solution naturelle de ce problème exigeroit la recherche de deux nombres et d'un logarithme. Par un artifice de calcul assez simple, on la réduit à la recherche d'un nombre et d'un logarithme (*). M. Leonelli, par une table dont il explique la construction, réduiroit l'opération à la’ recherche d'un seul logarithme. Cette table auroit pour argument la différence des deux logarithmes connus; par la disposition qu'il a su donner à cette table, les mêmes logarithmes subsidiaires servent, suivant les cas, à trouver le logarithme de la somme ou celui de la différence. Par cette adresse, il a diminué de moitié l’étendue de sa table, et cependant elle seroit encore plus volumineuse que ne mérite l'objet auquel elle est destinée. L'auteur a cru devoir la réduire à 5000 termes, mais on est obligé partout d'avoir égard aux secondes différences. Ce n'est pas tout : si le rapport des deux nombres est moindre que celui de 2 : 1, ce n'est plus que par artifice et par des détours plus ou moins longs que l'on peut arriver au but. Ce défaut limite considérablement l'usage de la table. Celle des sinus à 14 décimales, que Briggs a calculée pour chaque centième de degré, seroit en ce cas plus commode et de la même exactitude. En regardant la différence des logarithmes connus comme le logarithme du cosinus d'un arc À, il suffiroit de chercher le logarithme de sin {A

; b (*) Log.(a + b) — log.a + log. (1 +2) .

pour avoir le logarithme de la différence, ou le logarithme de cos À A pour la somme (*). Cette même table des sinus serviroit également pour tous les autres cas, quel que fût le rapport des deux nombres. Elle seroit donc d’un usage plus général que celle de M. Leonelli; d'ailleurs, elle est toute construite et elle serviroit encore aux usages trigonométriques; mais elle est de 9000 termes, c’est-à-dire d'une étendue double de la table de M. Leonelli; elle exige partout la recherche de deux logarithmes, au lieu que celle de M. Leonelli n'en emploie qu'un seul; reste à savoir si cet avantage vaut la peine de calculer et de publier tout exprès une table qui exigera quelque temps et quelques frais. C'est à l'auteur lui-même à peser ces réflexions, que nous avons cru lui devoir par l'intérêt que nous inspirent ses recherches et l'idée ingénieuse qui l'a conduit à retrouver la méthode presque totalement inconnue de Briggs.

Fait au Palais des Sciences et des Arts, le 1°" Floréal an 10.

Signé : LALANDE, DELAMBRE.

La Classe approuve le Rapport et en adopte les conclusions. Certifié conforme à l'original.

A Paris, le 4 Floréal de l'an 10.

S. F. LACROIX, Secretaire.

l b (*) Log.(a +6) = log.a + log. (: + =) — log.a+log.(1+cosA) — log.a + log.2 + log.cos

Log.(a — b) = log. a + log.2+ 21log. sin — À ;

Paris, le 25; Floréal an 10.

LEONELLI, à Monsieur DELAMBRE,

CAstronome, Membre de l'Institut National.

Puisque vous avez eu la bonté de me permettre de vous faire les observations, que j'aurois crues bonnes, sur le rapport fait par vous, Monsieur, à l'Institut National le 1° du mois présent, j'ose, en me prévalant de cette permission, vous soumettre les suivantes.