U — CALCUL UES PIÈCES

a et à la distance d^ l'une d'elles peut èli^ prise arbitrairement pourvu que l'autre satisfasse à Téquation (4) ; comme la hau- X teur A, d*aprës la formule (5), est indépendante de l'angle a, on profite de l'indétermination du problème pour attribuer à tous les couchis une largeur a uniforme. De cette façon, les pièces de bois employées pour la couverture des cintres ont toutes le même équarrissage et la même longueur A (ou un multiple de A si chaque couchis s'étend sur plusieurs fermes) et la fourniture, la taille et l'emploi de ces pièces se trouvent extrêmement simplifiés. L'écarlement d des couchis varie seul avec l'angle oc, ce qui ne complique nullement le travail des charpentiers.

Il faut veiller toutefois à ce que le vide rf — a, entre deux couchis consécutifs, ne soit nulle part assez grand pour que le platelage soit exposé à fléchir sensiblement dans l'intervalle, ce qui pourrait nuire à la pose des voussoirs et entraîner des irrégularités du parement de la douelle.

La formule(4) montre que l'espacement (/ — a atteint son minimum vers la clef, puisque c'est le point où, l'angle a étant égal à 0, J9C05 a a la valeur la plus élevée; on admet qu'on peut, suivant les cas, faire varier cet espacement de O'^ylO à 0"',20. En lui attribuant une valeur arbitraire comprise entre ces limites, on calcule à l'aide de la formule (4) appliquée au couchis de clef (a =o) Tépaisseur unifonne qu'on donnera à tous les couchis, sauf & faire une nouvelle hypothèse sur d^ si la valeur donnée pour h par ce premier calcul est exagérée.

Après avoir déterminé l'épaisseur, la même formule (4) donnera Tespacementeif pour un point quelconque du périmètre du cintre, suivant les différentes valeurs de l'angle a.

On voit donc qu'après avoir fixé arbitrairement l'espacement des couchis à la clef, toutes les autres parties du problème sont résolues en ce qui touche les dimensions de ces pièces.

Quant aux quantités numériques R et E entrant dans les équations ci-dessus, les expériences d'après lesquelles on a cherché à les déterminer n'ont peut-être jamais comporté des renseignements absolument certains, mais on ne s'écartera pas beaucoup de la réalité en admettant, pour le sapin d'excellente qualité par exemple^ que la valeur de R peut être fixée à

800.000 (80^ par centimètre carré) et que le coefficient d'élasticité E, pour le sapin ou pour tout autre bois, s*ëcarte peu de la valeur moyenne 10\

En substituant ces valeurs numériques de R et de E dans les équations (4) et (6)» celles-ci deviennent :

Enfin, h étant remplacé dans la relation (6) par sa valeur déduite de l'équation (7), on obtient :

a ppcosa

C'est au moyen de ces formules (7) et (8) que l'on pourra calculer tous les éléments des couchis.

U restera à déterminer encore la limite au-dessous de laquelle on entendra maintenir la flèche d'abaissement^; mais c'est là une question d'espèce dépendant du soin qu'on se propose d'apporter dans la construction de la voûte et du degré de perfection, en quelque sorte, qu'on désire obtenir pour le parement d'intrados. Pour ses grands ponts, M. Séjourné dont l'expérience et l'autorité, en pareille matière, méritent d'être prises en grande considération^ a admis une flèche de 0,0027 ou environ.

En adoptant cette dernière valeur et la substituant à /'dans les équations (7) et (8), celles-ci deviennent :

a p cos «

L'écartement A étant supposé fixé à l'avance en raison du nombre de fermes que l'on se propose d'employer, la formule (9) donne la valeur de h ; on arrête a priori la valeur de (/ à la clef, pour a = 0, entre les limites 0",10 + a et 0",20H-<i, et l'on déduit de la formule (10) la largeur uniforme que l'on appliquera à tous les couchis ; puis cette même formule^ en y

I m — CALCUL DES PIÈCES

faisant varier a, donne la valeur de récartement (/pour les dif. férents points du pourtour du cintre.

Au pont de Lavaur, le vide laissé entre deux couchis voisins a varié de O"",!! à la clef à (r,35 pour a = 60*. Si les espacements calculés comme on vient de le dire semblaient trop grands vers les naissances, rien n'empêcherait de les réduire arbitrairement, sauf à dépenser ainsi un peu plus de bois qu'il ne serait rigoureusement nécessaire.

La hauteur h des bois ordinairement employés pour couchis varie de O'^ylO à 0*^,22. Pour les grandes voûtes des ponts de Lavaur et du Gastelet, du pont Antoinette, où Tespacement des fermes était de i^^^SO aux deux premiers et de i^^M au troisième, les couchis avaient 0™,14 d'épaisseur sur O'^IO de largeur.

La largeur a est d'habitude inférieure à A ; le contraire ne pourrait arriver que si Ton attribuait au vidée/ — a une valeur excessive ; il est bon, d'ailleurs, qu'elle ne tombe pas audessous de O'^fOS.

Il est très important de ne pas admettre pour les couchis des bois trop grêles, qu'un défaut quelconque pourrait aiïai-. blir outre mesure, susceptibles de flamber et qu'il serait malaisé de relier solidement, au moyen de clous, aux fermes et au platelage.

La hauteur, d'autre part, n'en doit pas être exagérée ; il faut éviter que cette partie du cintre ne comporte l'emploi d'un cube trop important de bois et ne donne lieu à une trop forte dépense. C'est là un de ces cas où les résultats du calcul ne doivent pas être acceptés aveuglément, et dans lequel il ne faut pas perdre de vue qu'au moyen des valeurs R, f, A dont on dispose à volonté, jusqu'à un certain point, on a la faculté de ramoner a et A à des proportions normales.

L^espacement A des fermes, par exemple, est entièrement arbitraire ; nous venons de voir qu'il était de 1",40 et 1",50 pour les grandes voûtes construites par M. Séjourné ; on le porte parfois jusqu'à 3" pour des voûtes de moindre importance et c'est entre ces limites, du simple au double, qu'on pourra se mouvoir, dans chaque cas particulier, pour composer des cintres ayant des couchis de dimensions satisfaisantes ;

572 CHAPITHL: IV - CINTRES

en général, le mieux est de réduire le nombre des fermes au minimum compatible avec de bonnes dimensions des couchis. Le cintre y gagne, sous le double rapport de la stabilité et de réconomie.

Les couchis régnant généralement sans interruption sur toutes les fermes du cintre, on pourrait les considérer comme des poutres à travées solidaires et réduire en conséquence leurs dimensions ; mais il vaut mieux se placer dans Thypothèse la moins favorable et considérer ces. pièces comme coupées au droit de chaque ferme. De cette façon, le travail maximum effectif reste inférieur à la limite supposée de R et la flèche réelle, applicable au cas de Tappui simple et non h celui de reucastrement, n'atteint pas la valeur calculée. On est sûr ainsi que Terreur commise est en faveur de la stabilité.

On supprime parfois le platelage supérieur du cintre, qui est alors recouvert de couchis jointifs. Cette disposition présente un double inconvénient : d'abord la surface sur laquelle on pose les voussoirs est moins bien dressée et moins régulière, ce dont se ressent toujours le parement de la voûte ; puis .les équations (4) et (5) ci-dessus montrent qu'il faut, pour a = d : ^'* attribuer à h une valeur très faible, ce qui conduit à employer des madriers très peu épais, posés à plat et sujets à fléchir ; 2"* ou bien réduire beaucoup la valeur donnée à R, ce qui revient à soumetti*e le bois à un travail bien inférieur à celui qu'il pourrait développer. Le cube des couchis dépasse ainsi de beaucoup ce qu'il devrait être et la dépense se trouve augmentée sans aucune utilité. En d'autres termes, on ne saurait recourir aux couchis jointifs qu'aux dépens de la rigidité et de l'économie. Ces inconvénients seraient atténués pour des voiites construites soit en pierre de taille, soit en forts moellons smillés ou piqués, appareillés avec soin, parce qu'on pourrait alors laisser un certain intervalle entre les couchis; mais cet espacement restreint devant être le même sur tout le pourtour, au lieu de varier avec l'angle a, on n'éviterait pas complètement l'emploi d'un cube de bois dépassant le nécessaire.

Les vaux, nous l'avons dit, sont les pièces qui couronnent

i m — CALCl'L DKS PIKCKS

la ferme et en complètonl le contour profilé parallèlement à la courbe d'intrados. Chaque vau transmet la charge qu'il porte & des pièces de l'ossature assemblées à ses extrémités, telles que contrefiches, arbalétriers, poteaux, et se comporte en conséquence comme une poutre droite reposant sur des appuis. Soient pour un vau ÂBCD :

/ sa longueur mesurée suivant la corde de Tare de Tintrados qui lui correspond ;

e son épaisseur dans le sens normal au plan de la ferme ;

h la hauteur aux extrémités AD etBC; m la flèche de Tare DC ; p le rayon do courbure moyen de ce dernier arc ; .

a l'angle que ce rayon fait avec la verticale ; R le travail maximum à la flexion pour la section médiane du vau ; f la flèche due à ce travail ; E le coefticient d'élasticité du bois,

La flèche m de l'arc DC étant égale à —, l'épaisseur du vau

en son milieu, m+h, est représenté par A+ r-, et l'on a en* tre les quantités ci-dessus les relations suivantes :

On en déduit :

3 pl^

4 R (m 4-/02 nn*

Il importe de réduire le plus possible la flexion des vaux et

de limiter la flèche fk un maximum de 0,05 par exemple. En admettant cette valeur et la substituant dans les formulés cidessus, en même temps que les valeurs numériques précédem« ment données de R et de E, on obtient les nouvelles équations suivantes :

La portée des vaux, /, dépend de la disposition générale d'un cintre ; les formules s'appliquent surtout à de grandes voûtes qu'on suppose devoir être construites par parties, comme nous le dirons plus loin ; dans ces conditions la longueur l peut varier entre 3 et 4 mètres à la clef et atteindre 5 mètres vers les naissances. On dispose les tronçons de la voûte de façon que les joints laissés- vides correspondent aux extrémités AD et et BC des vaux ; de cette façon la flexion de ces derniers ne peut donner lieu à aucune fissure, puisqu'on ne remplit en mortier ces joints qu'après effet complètement produit par la charge.

Pour des voûtes à construire tout d'une pièce, les formules ci^dessus ne seraient peut-être plus très satisfaisantes, en ce sens qu'il faut dans ce cas une rigidité bien plus grande et par suite une flèche /"beaucoup moindre pour éviter la rupture de certains joints.

Il sera bon de ne voir dans les résultats donnés par les formules qu'un moyen de vérifier, a posteriori, pour les vaux comme pour les couchis, que les dispositions qu'on se propose d'adopter pour un cintre correspondent à un travail maximum R et à une flèche fqui soient admissibles.

S'il en était autrement, il faudrait modifier lès dispositions projetées, de façon adonner aux vaux une moindre longueur.

Lorsque le rayon de la courbe d'intrados est très grand, on peut être conduit à former deux ou plusieurs vaux successifs d'une même pièce de bois, au lieu de s'astreindre à couper celle-ci au droit de chaque contrefiche ; on évite ainsi des assemblages, qui sont toujours des points faibles du cintre, sans

§ m - CALCUL DES PIÈCES 675

augmenter sensiblement la dépense de bois. Les vaux ainsi réunis devraient alors être considérés, pour les calculs, comme des poutres à plusieurs travées solidaires; mais il est plus simple, et suffisant, de les considérer comme agissant à la façon de travées indépendantes.

2o Contrefiches ou bras. — La limite pratique du travail à la compression, à admettre pour une pièce comprimée dans le sens de ses fibres, dépend de sa longueur. Telle charge, en e£Fet, qu'une contrefiche très courte porterait dans d'excellentes conditions, pourrait suffire pour faire flamber une pièce plus longue de même équarrissage et déterminer la dislocation d'une charpente.

En appelant L la longueur d'une pièce de bois à section rec* tangulaire, b le plus petit côté de cette section^ R la limite pratique du travail à la compression pour une pièce très courte et R' la même limite pour la pièce dont la longueur est L, M. Séjourné a proposé, et on peut admettre aveclui, la formule suivante pour déterminer R * en fonction de R :

En attribuant à R sa valeur habituelle de 800.000 kil., on obtient la formule numérique qui suit ;

Le grand côté de la section de la pièce de longueur L étant désigné par a et la charge totale portée par cette pièce par B, on déduit de la formule précédente :

«' i + rii-V

d'où:

.jhMl

Pour une pièce de âeclion carrée on aurait :

'"['^iàù']

Pour première valeur approchée de a, on peut prendre ; en la substituant sous le radical de Téquatioa (S), il

vient :

La diminution de longueur de la pièce, par l'effet de la compression, se calculera par la relation :

Nous avons vu que les contrefiches sont souvent arc-boutées ; c*esi ce qui se présente lorsque deux contrefiches B et G (fig. ci-dessous) aboutissent en un môme point A, où elles soutiennent les extrémités de deux vaux successifs AA' et AA"^,

Il peut arriver, en outre, qu'une pièce tendue ou poinçon vienne s'assembler en A (figure de la page 577) au même point que les contrefiches, et transmettre à celles-ci une charge additionnelle provenant d'autres contrefiches telles que ED, FD, prenant leur point d'appui sur ce poinçon; il faudrait dans ce cas calculer la composante verticale de Teffort reporté sur le

in -^ CALCUL DES PIÈCES

poinçon et I^ajouter à la charge transmise directement aux contreficbes arcboutées, par les vaux qui aboutissent au point A.

Soit D la demi somme des distances horizontales^ du point  aux extrémités A' et A"^ (page S76) des deux vaux portant en ce point sur les deux conlrefiches arcboutées, QÏp la charge,par unité de longueur horizontale, transmise aux vaux ; fe poids porté par les deux contrefiches sera représenté par ;)D, en supposant les vaux appuyés en A' et A"" sur d'autres contrefiches.

Supposons d'abord que la verticale menée par le point A tombe entre les deux contrefiches dont elle divise Tangle en deux parties inégales, ^ et y, et désignons par B Teffort total de compression subi par la contrefiche AB, et par G Teffort semblable pour la contrefiche AC.

Nous aurons :

pD BJn y

et,

8in (p + y)

^ pD sin p

sin (p + y)

Connaissant B et C et la longueur des contrefiches, on calculera, à l'aide des formules (5) ou (6) ci-dessus, le côté de la section carrée à attribuer à chacune do ces pièces. On pourra ensuite sans difficulté transformer cette section carrée en section rectangulaire, en se donnant arbitrairement l'un des c6tés (le plus petit) et déduisant Tautre de la formule (4).

Si les deux contrefiches se trouvaient placées du même côté de la verticale passant par Â, le plus petit des deux angles ^

et y, c'est-à-dire Tangle y dans le cas représenté sur la figure ci-dessus, prendra le signe — et Ton aurait :

sin (P — y)

pD sin ô C = -^^ —

sin (13 -7)

La pièce AB, la plus écartée de la verticale, est tendue et joue le rôle de tirant ; par suite la contrefiche AC se trouve soumise à un effort de compression supérieur au poids pU transmis par la voûte. Cette disposition est défectueuse et Ton doit s'attacher, pour un cintre bien conçu, à n'avoir que des contrefiches arc-boutées situées de part et d'autre de la verticale pas* sant par leur point de jonction.

Il convient d'examiner divers cas particuliers, susceptibles de se présenter dans la pratique.

Si les angles ^ et y sont égaux, les deux contrefiches également inclinées de chaque côté de la verticale subissent chacune le même effort et Ton a :

2cos|3

Si p = 90«, la pièce AB est horizontale et les équations deviennent :

B=:pDUng7 (48)

pD