CHAPITRE PREMIER

SOimAIRE :

i . Principes de la résistance de» matériaux. — 2. But du calcul des ponts métalliques. — 3. Recherche de l'effet produit par les forces extérieures sur les pièces prismatiques. — 4. Problème à résoudre pour le calcul d'un pont métallique. — 5. Calcul des dimensions à donner aux pièces prismatiques et des déformations qu'elles subissent sous l'action des forces extérieures.

6. Effort normal. Pièces tendues. — 7.Pièces comprimées de faible longueur. — 8. Pièces comprimées de grande longueur. Formule théorique. — 9. Formules de Hodgkinson, Love, Rankine et Gordon.

10. Moment d'inertie. — 41. Moment fléchissant. Pièces fléchies. Calcul du travail. — 12. Détermination de la secti«in. — 13. Déformation des pièces fléchies.

11. Effort tranchant. — l*i. Pièces fléchies. Travail du métal dauj ime direction quelconque. — 16. Rupture des pièces fléchies. — 17. Rupture des pièces fléchies au point d'application des charges concentrées.

18. Couple de torsion. — '19. Composition dos effets dus à différentes causes.

21. Tableau des constantes spécifiques relatives aux divers matériaux.

fl • Pplncipeoi de la i*^9lsta.iioe clefii nmt^plaux.. —

Les corps solides qui sont les éléments constitutifs des ponts métalliques, doivent être considérés comme engendrés par un profil plan fermé, de forme variable ou invariable, qui se déplace normalement à une ligne continue, droite ou courbe, que le centre de gravité de son aire est assujetti à décrire. Le profil plan s'appelle la section transversale et le lieu des centres de gravité des sections successives est l'axe longitudinal de la pièce.

Pour que les formules de la résistance des matériaux soient applicables à une semblable pièce, il faut :

!• Que la variation de la section transversale soit continue' et peu rapide, de telle façon que deux sections très voisines soient presque identiques ;

2* Que Taxe de la pièce ne présente ni points angulaires ni points multiples, et que son rayon de courbure soit toujours très grand comparativement à la dimension de la section transversale prise suivant ce rayon.

Dans ces conditions, si Ton considère deux sections infiniment voisines, on peut admettre sans erreur appréciable que la portion de pièce comprise entre elles est un prisme à bases égales et parallèles, et c'est Fhypothèse dans laquelle on se place pour la détermination des formules de résistance à lui appliquer. On appelle élément de fibre ou fibre élémentaire un prisme engendré par un élément infiniment petit de Tune» des sections, se déplaçant parallèlement à Taxe du prisme» élémentaire : celui-ci se compose donc d'une infinité de fibres toutes parallèles entre elles. Une file d'éléments de fibres successifs constituent une fibre de la pièce elle-même : cette

4 POXTS MÉTALLIQUES.

fibre ne serait, on le voit, rigoureusement parallèle à Taxe longitudinal que si la pièce était exactement prismatique. Enfin on appelle fibre moyenne celle qui suit d'un bout à Tautre Taxe de la pièce.

Appliquons une série de forces extérieures au corps solide que nous venons de définir et que nous appellerons jotècejorwmatique^ bien qu'au point de vue géométrique ce ne soit pas en réalité un prisme : il se déformera et prendra un nouvel état d'équilibre, dans lequel les actions moléculaires ou forces élastiques développées dans la matière qui le constitue, par Feffet même de sa déformation, feront équilibre aux forces extérieures.

Tant que la déformation du corps est très petite relativement à sa longueur, elle croît proportionnellement à l'intensité des forces extérieures ; supprime-t-on celles-ci, le corps revient exactement à son état primitif. On dit alors que le travail du métal, qui est la mesure par unité de surface des actions moléculaires ou forces élastiques qui avaient été développées par les forces extérieures, n'a pas dépassé la limite d'élasticité de la matière qui constitue le corps.

Dès que l'on remarque que la déformation subie croît plus rapidement que Tintensité des forces extérieures, on constate également que la suppression de ces forces ne ramène plus la pièce à son état primitif. Elle a subi une déformation permanente, et sa forme à l'état libre ayant changé, on en conclut que. son état moléculaire a été modifié par l'action des forces extérieures. On dit alors que le travail du métal a dépassé la limite d'élasticité de la matière.

Enfin il peut arriver qu'en faisant croître les forces extérieures on produise une rupture, une dislocation ou une désagrégation du corps : alors les efforts moléculaires ont dépassé la cohésion de la matière, et l'on dit que le travail développé a atteint la limite de rupture.

9» But du ealcul clés pontsi m^tulllciues. — Lorsque

l'on calcule les pièces constitutives d'un pont métallique, on se propose de leur donner des dimensions telles que sous l'action des forces extérieures auxquelles elles seront soumises, le travail du métal, en chaque point, n'atteigne pas la limite d'élasticité, f) fortiori la limite de rupture, et reste infé-

CHAP. l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. S

rieur ou égal à un maximum que Ton se donne à Tavance. On est assuré dans ces conditions que le pont présentera une stabilité satisfaisante, puisque les charges qu'il aura à supporter, non seulement ne pourront en rompre aucune pièce, mais encore ne pourront lui faire subir une déformation qui ne disparaisse pas entièrement après Tenlèvement de la chargie.

D'après une règle empirique qui a toujours été admise par tous les constructeurs, et que paraît justifier une expérience déjà fort longue, on doit prendre pour limite pratique de la charge le sixième de celle qui produirait la rupture (charge que Ton apu déterminer, par expérience, pour tous les corps), s'il s'agit de pièces métalliques, et le dixième seulement s'il s'agit d'une autre matière : bois, pierre, etc..

Pour calculer un pont, le problème à résoudre est donc le suivant : étant donné un ouvrage de forme déterminée, soumis à un certain nombre de forces connues, et assujetti, le cas échéant, à certaines conditions particulières également connues (fixité de certains points, invariabilité de l'orientation de certaines sections, etc., etc.), déterminer les dimensions des différentes pièces qui le composent, de façon que le travail du métal qui mesure l'intensité des forces élastiques développées dans les différentes pièces, ne dépasse en aucun point un maximum que Ton a fixé à priori au-dessous de la limite d'élasticité du métal. Il peut arriver aussi que les conditions auxquelles la pièce est assujettie ne lui permettent pas de se dilater ou de se contracter librement sous l'action des changements de température, et donnent lieu, de ce chef, à des efforts moléculaires, qu'il convient également de déterminer et d'ajouter à ceux dus aux charges extérieures.

Enfin en général, on se propose en outre de rechercher les déformations passagères que peut subir le pont sous l'influence de ces diverses causes.

3. Reclfterolie de l*elIot proclult i»ap les foreem ^aLt^piens^es sup une pl^ee pptoniAtiQue* — Considérons un corps remplissant les conditions précédemment posées, et supposons qu'on lui applique un système quelconque de forces.

Les formules de la résistance des matériaux supposent encore :

l"" Que les sections transversales de la pièce restent planes après la déformation ;

2"" Que la figure d'une section quelconque ne subit aucun changement.

La pièce, dite prismatique, ne peut donc se déformer que par des changements de position des sections les unes relativement aux autres.

Il doit être bien entendu que si on se trouvait dans de telles circonstances, que Tune des hypothèses précédemment adoptées ne fût évidemment pas réalisée, les formules que nous allons donner plus loin ne seraient plus applicables au cas considéré.

Dans le cas, par exemple, d'un rouleau ou cylindre de métal placé entre deux plans parallèles qui tendent à se rapprocher, l'effort exercé tend à écraser ce rouleau en déformant sa section transversale, qui s'aplatit nécessairement dans une certaine mesure. Les formules de la résistance des matériaux ne sont pas applicables à ce cas qui, on le sait, se présente souvent dans la pratique (36).

Cela posé, considérons la pièce ABA'B', qui a pour axe

longitudinal la droite YY' [fig, i) située dans le plan de projection de la figure. Soient CD et C'D' deux sections infiniment voisines de ladite pièce, qui est supposée en équilibre.

Il en résulte que toutes les forces extérieures appliquées sur la partie ABDC de la pièce, située à gauche de la section CD sont équilibrées par les actions moléculaires développées entre les deux sections CD et CD'.

Or l'ensemble de ces forces extérieures situées à gauche de CD peut être remplacé par une résultante passant au centre (le gravité 0 de la section et par un couple.

La résultante peut elle-même être décomposée en deux forces :

1" Une force perpendiculaire au plan CD. Cette force F, que

CHAP. l*^'. CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES.

Fig,2.

nous appellerons effort normal^ fait iravailler le métal à la compression ou à Yextension, suivant qu^elle tend à rapprocher la section CD de la section CD' ou à Ten écarter, sans modifier d'ailleurs Torientation du plan CD qui \îent en Ç»D, ou en CD, {/iff. 2).

2** Une force V située dans le plan CD. Cette force, dite effort tranchant j tend à imprimer à la section CD un mouvement de translation dans son plan. Elle fait travailler le métal au cisaillement, et tend à amener CD en C3D,.

Le couple lui-même est décomposable en deux autres : 3* Un couple X {/iff. 3) situé dans un plan passant par

l'axe longitudinal YY' et ayant par suite son axe situé dans le plan CD, et passant par le centre de gravité de la section. Ce couple dit moment de flexion ou moment fléchissant tend à faire tourner la section autour d'une droite située dans son plan et projetée en 0 sur la figure. L'axe YY' de la pièce suit nécessairement ce mouvement, et subit un déplacement angulaire égal à celui du plan CD, qui Tamène en Y4 Y'4 tandis que CD vient en C4D4. fiC couple fait travailler la pièce à la flexion, 4* Un couple TT [fig. 4) situé dans le plan de la section CD

et ayant par suite son axe dirigé suivant l'axe de la pièce YY', normal en 0 au pian CD. Ce couple dit couple de torsion tend à faire tourner la section dans son plan autour du point 0. Il fait travailler le métal à la torsion. CD vient en C5D4.

^« PiH>l»lôiito là r^i»oud]?e poap lo ealcul cl*iin pont m^talllciue* -— Les

considérations qui précèdent nous conduisent à diviser en deux parties distinctes le problème général du calcul des ponts métalliques, que nous avons précédemment défini :

1* Étant donné un pont de forme déterminée, soumis à un ensemble de forces connues ou que Ton peut calculer d'a-

>rr

Fig.4.

vance, chercher pour chaque pièce de ce pont, et pour chaque section de cette pièce, l'effort normal, Teffort tranchant, le moment fléchissant et le couple de torsion.

2** Connaissant ainsi pour une pièce quelconque (dont, vu général, la longueur seule est déterminée par la forme du pont) et pour chacune de ses sections Teffort normal, TefiForl tranchant, le moment fléchissant et le couple de torsion, arrêter les dimensions de la section de telle façon que los actions moléculaires développées ne dépassent, en aucun point, par unité de surface, la limite admise, c'est-à-dire, qu<' le travail maximum du métal y ait, autant que possible, une valeur constante, que Ton fixe à priori en raison de la naturo du métal.

3»* Calcul €les ctlmenslonfl» jk doniiep mi^ pl<^ooM pplfiunatlcifiefiiy et des cléfoi*mntlon6i ciii'elles sublMfiteiit fi^oufii l'aetlon defli fopee» extôpleiipes. — Nous

allons indiquer immédiatement la solution complète du second problème, qui est indépendante de la forme de l'ouvrage que l'on a à étudier. Cela fait, nous donnerons la solution du premier dans un grand nombre de cas, embrassant tous les systèmes de ponts qui sont en usage. Nous aurons ainsi rempli complètement le but que nous nous sommes proposé.

Nous indiquerons d'abord sans démonstration les formules permettant de calculer la section des pièces soumises à un seul genre de déformation, et nous adopterons dans cet exposé Tordre suivant :

Effort normal : Extension et compression. — Moment fléchissant. — Efl'ort tranchant. — Couple de torsion.

Nous donnerons en même temps les formules permettant de calculer la déformation de ces pièces.

Dans ce qui suit, nous prendrons pour unité de force lo kilogramme, Tunité de longueur et de surface étant le mètre.

O» E:ftoirt normal* Plôeeni tentliief». — S(>it F retTort

d'extension appliqué au centre de gravité de la section, ûTaîre de cette section.

L'effort se répartit uniformément sur toute la section.

CHAP. l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. 9

La tension du métal, c'est-à-dire la force élastique par unité de surface est donc égale à :

rallongement par unité de longueur, au droit de la section considérée est :

Eu "~ E

E étant un coefficient numérique ou constante spécifique dépendant de la nature du métal, et appelé coefficient (ïélasticité longitudinale à ^extension,

Si le rapport ^ reste constant sur une longueur L de la

pièce, rallongement de cette fraction de la pièce aura pour valeur :