IV. Formule de Gordon

Elle s'applique de même à une pièce de section quelconque à bases plates. Soit h le plus petit côté du rectangle plein ayant même aire et même moment d'inertie minimum que la section considérée.

ac

Ona: N=:

Ces formules sont en somme identiques ; on a en effet /i* = 12r^. Donc les coefficients k et k' sont liés entre eux par la relation A' = 12 k, La première formule est d'ailleurs d'une application plus rapide (sauf le cas de pièces à section rectangulaire) puisqu^on doit chercher d'abord r pour calculera.

Les coefficients C et K de la formule de Rankine sont tiennes par le tableau suivant :

Bois. Fonte. Fer. Acier.

Ces dernières formules, qui s'appliquent indifféremment à toutes les formes de pièces et donnent de bons résultats, même pour de petites valeurs de L, nous semblent beaucoup

14 POXTS MÉTALUQUES

plus rationnelles que les précédentes, et nous croyons que leur emploi doit être recommandé.

Toutes les formules précédentes supposent que les colonnes reposent sur des bases plates : dans le cas où Tune des extrémités est arrondie ou articulée, il convient de multipliei

par = la valeur donnée pour N par les formules I et II, et

dans le cas où les deux extrémités sont dans le même cas

par=- Pour les formules III et IV il faut multiplier le coof-

ficient K par j dans le premier cas et ^ dans le second.

Ces formules supposent aussi une qualité moyenne dans les matériaux employés. Lorsque Ton aura affaire à des matériaux de valeur médiocre ou d'excellente qualité, il conviendra d'abaisser ou de relever en conséquence les limites pratiques de résistance, en raison des résultats fournis par les expériences de rupture auxquelles ces matériaux auront été soumis. (Voir le n** 21 du présent chapitre.)

Pour déduire la limite pratique de la charge de la valeur N de la charge de rupture trouvée, on suit la règle indiquée au commencement du paragraphe.

V. Nous tenminerons en donnant les fonnules employées par la Compagnie du chemin de fer de New-York au lac Erié el de rOuest, en Amérique, extraites de la Revue générale des Chemins de fer (1879, 2" semestre).

Ces foimules, qui donnent ici, non plus la charge de rupture, mais la limite pratique de travail par millimètre carré de section, sont déduites simplement de la formule de Rankino, donnée plus haut. Elles ne s'appliquent qu'aux pièces on fer de bonne qualité.

Le travail par millimètre carré d*une pièce comprimée en fer ne doit pas dépasser la limite suivante :

1** Si les deux extrémités sont plates :

Il »■»

CHAP. l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES.

2* Si une extrémité est plate, et Tautre arrondie ou articulée :

3" Si les deux extrémités sont arrondies ou articulées :

iOOOO r*

On pourrait, partant de la formule générale de Rankinc, établir des formules pratiques analogues pour la fonte, Tacier et le bois.

lo. ]!isoiiicnt d*tnei*tto. — Nous croyons utile, avant d(* parler du calcul des pièces fléchies, de rappeler ici ce qu'on entend par moment d'inertie, rayon de gyration, ellipse d'inertie d'une surface plane.

Soit un profil plan fermé quelconque, 0 son centre dc^

gravité, il son aire, AB une droite quelconque passant par le point 0 {fiff. S).

Prenons pour axe des x Ja droite AB et pour axe des y une perpendiculaire à AB menée par le point 0.

Soit w un élément infiniment petit de»

la surface du profil. On appelle momenf cf inertie I du profil par rapport à la direction AB Tinlégi^ale /w?/^ étendue à tout le profil.

On a donc :

Fig. 5.

On a d'ailleurs

Posons

r est ce qu'on appelle le rayon de gyration du profil par rapport à la droite AB.

On peut pour effectuer Tintégration donner aux valeurs di» I et de û les formes suivantes :

l=ffx*dxdy il:=ffdxdy.

Connaissant la figure du profil, c'est-à-dire la relation qui existe entre x et y, on peut toujours calculer I et r, soît par une intégration exacte, soit par des formules de quadrature.

Supposons que nou^ ayons calculé les rayons de gyration de la surface par rapport à toutes les droites qui passent par le point 0 : il existe toujours, quelle que soit la figure du profil considéré, une ellipse telle que si Pon abaisse de Vextrémité b du diamètre a o b ûfe cette ellipse conjugué du diamètre A.O^,une perpendicidaire sur AOB, cette perpendiculaire bp a une longueur égale à celle du rayon de gyration du profil par rapport à la direction AOB.

Cette ellipse est appelée V ellipse centrale d^inertie de la figure.

On voit que, si Ton connaît les rayons de gyration de la figure par rapport à deux directions, cette ellipse est déterminée et peut être tracée ; elle permet ensuite de mesurer ou de calculer la longueur du rayon de gyration par rapport à une direction quelconque passant par 0.

Si la direction considérée est celle de Tun des axes de l'ellipse, le rayon de gyration correspondant est égal à la moitié de Taulre axe. On voit que le rayon de gyration minimum, qui est égal au demi petit axe, correspond à la direction donnée par le grand axe de Tellipse, et réciproquement. Ces deux directions rectangulaires sont dites les axes principaux d'inertie du profil : lorsque celui-ci a un axe de symétrie, il coïncide nécessairement avec un axe principal.

Soit CD une parallèle à la droite AB menée dans le plan de la figure, d la distance de ces deux droites : on pourrait calculer le moment d'inertie V de la figure par rapport à CD, comme on a calculé le moment I par rapport à AB. Mais il suffit de recourir à la relation suivante qui lie entre eux ces deux moments d'inertie :

par suite on a entre les rayons de gyration r et r' la relation :

CHAP. f'. CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES.

r est l'hypothénuse d'un triangle rectangle qui aurait pour côtés r et d.

Si Von considère un point M du plan, il existe une ellipse d'inertie ayant son centre en M qui jouit, par rapport aux rayons de gyration relatifs à toutes les directions passant par M, des mêmes propriétés que Tellipse centrale d'inertie par rapport aux directions passant par le centre de gravité 0 de la figure.

Connaissant Tellipse centrale d'inertie, on peut donc tracer

une infinité d'ellipses d'inertie relatives à tous les points du

plan de la figure : ces ellipses sont toutes semblables entre

elles et leurs axes principaux sont parallèles.

Nous croyons utile de donner ici la valeur des moments

d'inertie principaux de quelques surfaces, que l'on rencontre fréquemment dans les applications. Rectangle plein ABCD [fig. 6).

Soient a et h les côtés, OX et OY les deux axes de symétrie passant par le centre de gravité 0. Nous affectons de l'indice x le moment d'inertie relatif à la droite Ox.

jt

Fig. 6.

T = -pr a'b

Rectangle évidé ABCDEFGH. Soient c et d les côtés du rectangle intérieur.

L = rô(«*'-^rf')

rf— *

''*~~12 \ab—cd} < , ./ .^^ < (a'b-c*d\

Rg. 7.

Pièce en forme de I (fig. 7).

cd")

, lab" — dc'\ ''~ \ab — cd]

ab — cd

PONTS MÉTAIXIQUES

! gyration est un cercle

qui

a pour rayon

irculaire \

ne.

Soient « e

tes deux demi-

axes

IJig. 8).

Couronne elliptique.

présente un vide intérieur formé par une ellipse et semblable à elle, les rayons do gyration m appelant m ]c rapport de similitude des

Losange {fig. 9),

Polygone régulier quelconque.

Soient a le côté et h l'apothème, R le rayon du cercle circonscrit et n le nombre des

scr\'ir indifféremment de ces deux formules.

L'ellipse centrale est d'ailleurs un cercle ainsi qu'il arrive toujours lorsque le profil a plus de deux axes de symétrie.

A l'aide des formules qui précèdent, on peut calculer le moment d'inertie et le rayon de g^ration d'un profil quelconque par rapport à une direction donnée : après avoir déterminé son centre de gravité, on k décompose en rectangles ou on figures régulières dont on connaît le moment d'inertie par rapport à la parallèle à la direction donnée qui passe par leur propre centre de gravité, et on calcule alors par la formule indiquée plus haut, le moment d'inertie par rapport à la droite donnée elle-même.

Nous donnons comme exemple le profil représenté par la

r- — i 1 figure 10. Ce profil qui se rencontre fréquem-

LJ. ..i..,.jIJ'^ ment dans la pratique peut, ainsi qu'on le voit, se subdiviser en rectangles dont on peut aisément calculer le moment d'inertie par rapport à une droite passant par le point G, situé dans leur plan, qui est le centre de gravité du profit total. Pour les profils évidés, on retranche le mo- Fig. 10. ment d'inertie du vide, par rapport à la droite passant par le centre de gravité do la surface, du moment d'inertie, par rapport à la même droite, de la surface supposée pleine. Par exemple, dans la figure 11, le moment d'inertie de la surface est égal au moment d'inertie du cercle extérieur 0 par rapport à la droite passant par le point «j, centre de gravité de la surface évidée, l^ff- •*■ diminué du moment du cercle intérieur

0' par rapport à cette même droite.

Comme en général on ne se sert dans les ponts métalliques que de pièces ayant leur profil déterminé par des droites parallèles à deux directions rectangulaires, le problème de la détermination des moments d'ineitie ne présente aucune difficulté. Sil'on rencontre un profil irrégulier, il y a lieu de le décomposer en petits rectangles, suivant la méthode qui sert à déterminer l'aire et le centre de gravité.

En général on voit àpiiori que la section a un axe de symétrie, et on en conclut la direction des axes principaux de l'ellipse d'inertie.

POXTS MÉTALUQITES

c dans les grandes poutres ayant une section en forme de double té, on peut négliger sans grande erreur dans le calcul du moment d'inertie la surface de la tùle centrale dite éme du double té, ainsi que le moment d'inertie propre de chacune des autres tôles dites semelles, tables, platebandes, ou ailes île la poutre, par rapport à leur centre de gravité {fifj. 12).

. d'inertie de la poutre a alors sensiblement

par a la somme des aires des deux sections les deux semelles et par k la hautem' de la poutre.

tte formule soit suffisamment exacte, il faut que Sgliger sans grande erreur l'épaisseur e des it la hauteur de la poutre, sans quoi il convienir à la formule :

'réquemment dans le calcul des ponts métalliindiquant les sections des fer.s du commerce les usines métallurgiques et donnant avec le poids par mètre courant, l'aire et le moment tst dispensé ainsi de la reclierchc toujours labo- (monts d'inertie, et il suffit de prendre dans dont la section a le moment d'inertie voulu. ïnt flAcblMHnnt. PtécOM fl^ifhlo»*. Calcul du ifnvnii. — Revenons maintenant au calcul des pièces flécbics. /^ j\ Soient AB la section considérée.

/ J ), X !e moment du couple do flexion,

r 7/ ou moment fléchissant, MN la trace \l yi^ sur le plan de la section du plan qui " contient le couple X {fig. 13).

CHAP. l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. 21

Soit PQlc diamètre de Tcllipsc centrale d'inertie, conjugué (lu diamètre MN précédemment défini. La section AB, sollicitée par le couple de flexion, va tourner dans le sens indiqué par le couple autour de la droite PQ. Chaque élément de la surface AB décrira donc un arc de cercle situé dans un plan perpendiculaire à la droite PQ, et ayant son centre sur cette droite.

Si la droite MN est un axe principal de Tellipse d'inertie, il en est de même de sa conjuguée PQ, qui lui est par conséquent perpendiculaire. Ce cas se présente en particulier toutes les fois que MN est un axe de symétrie de la section, ou est perpendiculaire à un axe de symétrie.

Il en est presque toujours ainsi dans la' pratique, et nous supposerons toujours dans les applications que cette condition est remplie, et que par conséquent Taxe de rotation de la section, que Ton appelle son axe neutre ^ est perpendiculaire au plan du couple de flexion que Ton appelle le plan de flexion.

Lorsque ce plan de flexion reste invariable d'une extrémité à l'autre de la pièce, ce qui est le cas le plus fréquent, on convient de le prendre pour plan de projection de la pièce, et les axes neutres de toutes les sections étant perpendiculaires au plan de la figure, se projettent suivant les différents points de l'axe longitudinal de la pièce, ainsi que l'indique la figure 14.

La section AB, primitivement parallèle à la section infiniment voisine CD, est venue en A' B',

•\ ^ en subissant un déplacement angu-

/■ V laire e. Les plans des deux sections / it \ infiniment voisines AB et CD ne sont T'^'ô'f^T plus parallèles, et se coupent suivant \ \^ y une droite projetée en S [fig. 14).

^ '' » La fibre CA, devenue CA', s'est

^^' **• raccourcie : il en est de même de

toutes les fibres qui composent le prisme élémentaire qui a pour base PAQ. Au contraire la fibre DB, devenue DB' s'est allongée, ainsi que toutes les fibres du prisme qui a pour base PBQ. Donc la partie supérieure PAQ de la section est soumise à un effort de compression, et la partie inférieure PBQ à un effort d'extension.

PONTS MÉTAIXIQCES

, ftbrc moyenne, et aux fibres que coupe l'axe lies n'ont subi ni allong;cmcnt ni coatraction, et técs à l'état naturel.

n point quelconque de la partie supérieure PAQ I, 2 sa distance à l'axe neutre PQ : le travail du oint, c'est-à-dire la compression par unité de sur-

né par la formule : R = r^- Pour un point U'

, zone inférieure de la section PQB, le travail, a tension par unité de surface, serait de

le sens du couple de flexion, sans modifier sa e, on aura un résultat inverse :

m en H', tension en H. Il importo donc de tou-

le sens du couple X, do telle façon que l'on s immédiatement quelle est la zone do lascction |ui travaille à l'extension, sans qu'il y ait aucune cet égard.

îcndrons de désigner par zone supérieure de la versalc celle dont le centre de gravité est plus contre de gravité de la section totale, par rapport irizontal inférieur à la section, et partie supélièce le volume engendré par la zone supérieure

Nous attribuerons le signe + au moment flé- |u'il donnera lieu à un travail négatif, c'esl-ùmpi-ession dans la partie supérieure de la pièce. lorsqu'il donnera lieu h un travail positif, c'estension.

général, dans les cas que Ton rencontre dans la irrive que toutes les forces extérieures, et par ilo de flexion, sont comprises dans un plan verûclioé sur la verticale, l'axe neutre PQ est horim près, et il est aisé de distinguer immédiatesupérieure de la seelion transversale, récédente est inapplicable lorsque le plan de la r'ersale est horizontal (supports métalliques voric les forces extérieures sont comprises dans un al (contreventements des ponts).

CHAP. l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES.

Dans ces cas tout à fait exceptionnels, il importe de convenir avec précision de l'interprétation à donner au signe du moment fléchissant.

Ceci posé, on voit que le travail dû au moment fléchissant X, appliqué à une section transversale quelconque, a pour

ILz

expression p pour la partie supérieure de la pièce, z dési-

gnant la distance à Taxe neutre du point considéré, et + -y —

pour la partie inférieure. Suivant que X est positif ou négatif,

le travail est négatif ou positif à la partie supérieure, et correspond par conséquent à une pression ou à une tension. Le travail a même valeur pour toutes les fibres équidistantes de Taxe neutre. Soit AOB ime perpendiculaire à cet axe neutre, menée dans le plan de la section [fig. 15). Le travail est maximum en A et B, et il est nul en 0, où il change de signe. Si Ton représente par Aa et B6 le travail en A et en B, la droite aob sera la courbe figurative du travail du métal pour tous les points de la droite AB, le travail en G étant représenté par Gy et en G' par G'y'.

Si dans la section considérée le moment X est variable et susceptible d'atteindre deux maxima, l'un positif X' , l'autre négatif X'', et si l'on désigne par u et u' les distances à Taxe neutre des points A et B de la zone supérieure et de la zone inférieure qui, étant les plus éloignés de cet axe, travaillent le plus sous l'action du moment fléchissant, on voit que le travail maximum à la compression sera

dans la zone supérieure r—

Rg. 15.

et dans la zone inférieure

et le travail maximum à la tension, dans la zone supérieure

et dans la zone inférieure

Soient R' et R^' les limites pratiques du travail à la com-

m et à l'extension ; il faut, pour que les pièces soient s en de bonnes conditions, que les inégalités suivantes satisfaites :

i la hauteur h de la section mesurée perpendiculaire- L l'axe neutre est divisée en deux parties égaies par col

um dû au moment fléchissant a même valeur absolue i zone supérieure et la zone inférieure. 11 suffit donc isidérer la plus grande valeur absolue de X, sans se uper de son signe : le maximum de la compression et ;imum de ia tension sont donnés par l'expression :

ondition à remplir pour que la pièce soit stable est alors ante :

1 admet la même valeur R pour les limites pratiques à sioD et à la compression, ce qui est le cas ordinaire, L avoir simplement :