ST

r que la pièce soit stable, il faut que cette inégalité soit itc dans toutes les sections do la pièce, et l'on doit rs s'en assurer, si la section de la pièce est donnée

I>étermlnatlon de la scetlon. — Si l'on COnoatl , et qu'il s'agisse de calculer les dimensions de la secmsversale, on voit que l'inégalité précédente ne donne

: limite supérieure du rapport y ou un minimum de-r-

igurc de la section est indéterminée, et en général on

CHAP. l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. 25

la choisit de telle sorte que l'aire Q, et par suite le poids de la pièce par unité de longueur, soit aussi faible que possible : c'est ce qui conduit à adopter la forme dite en double té.

A titre d'application, examinons le cas où l'on veut donner à la pièce une section rectangulaire, et soient a et h les dimensions de la section.

1 est égal à : T^ -7- = ITT ah*, h ^ \z h 12

On peut donc se donner à joWon une des dimensions a et A, en calculant l'autre de façon à satisfaire à la condition de stabilité précitée.

Dans le cas d'une pièce métallique ayant une section en double té, si Ton suppose que Ton puisse négliger le moment d'inertie de Tâme (10), on sait que le moment d'inertie est

-y- ; 12 est la section totale des tables, c'est-à-dire le produit

2eb^ si l'on appelle b la largeur et e l'épaisseur d'une table. On a donc

I QA ebh h~ 4 "" 2 '

On peut se donner deux des dimensions eb ai h, avec la condition de calculer la troisième de façon à satisfaire à la condition de stabilité. On voit que Ton a toujours une grande latitude dans le choix de la section, et que l'on peut satisfaire aux conditions particulières qui résultent souvent de circonstances spéciales étrangères aux questions de stabilité. Souvent l'on se propose de réduire le plus possible le poids de la poutre, ou de ramener la déformation au minimum, ce qui en général conduit à attribuer à h une valeur très grande relativement ke cib.

Quand la section d'une pièce varie d'une extrémité à l'autre, il faut s'assurer que la limite pratique du travail n'est dépassée nulle part. Si l'on fait varier la section suivant une loi telle que le travail maximum du métal atteigne exactement la même valeur dans toutes les sections, on désigne la pièce ainsi définie sous le nom de solide d'égale résistance.

26 FOXTS MÉTALLIQUES.

Si la section est conslantc d'un bout faire la vériflcalion pour la section la p dire pour celle où le moment Ûéchissaott valeur pour toute la pièce.

Pour le fer, l'acier cl le bois, on altri tique dans le calcul des pièces fléchies, limites de résistance à la compression et saurait en faire autant pour la fonte, vi qui existe entre les charges do rupture compression (voirie tableau dun''21).

qu'on calcule une pièce en fonte qui flexion (ce que l'on évite en général aujt cassante de ce métal), veiller à ce que h la tension n'atteigne pas la moitié ou mè maximum à la compression.

11 suflit, pour obtenir ce résultat, d dis8)Tnétrique par rapport i l'indique la figure 16. Suj supérieure travaille à la • dans le cas présont que !< vail maximum à la compression est vail à l'extension. Ce procédé n'est év que lorsque le moment fléchissant ne pc et taire travailler la table supérieure à l't

Bien que l'on n'e-Kécule plus guère er tinécs à l'extension, cette remarque pou son application lorsque nous parlerons ponts où la fonte est encore admise d' bien que le métal y travaille on certains

X 3. Défornmtlon «iciit places Di de la déformation d'une pièce fléchie est, en général, un pro- | blême d'une grande compUcation, lorsque la pièce nestnas I rigoureusement prismatique. L'on doit en effet tenir de la courbure initiale de l'axe longitudinal, qui n'e.s goable qu'entre deux sections infinîment voisines, ( variation de figure de la section transversale. Soit p, 1 de courbure de l'axe longitudinal en un point détermi que devient ce rayon après la déformation. On a, on vaut les notations précédentes, l'équation :

CHAP. l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. 27

P P. tl ^ '

E est ici le coefficient d'élasticité longitudinale, que Ton doit supposer avoir même valeur pour T extension et la compression, sans quoi Téquation serait inapplicable, car tout ce que nous venons de dire au sujet du travail à la flexion des pièces prismatiques se trouverait faux : c'est encore un motif de plus pour exclure la fonte des pièces qui travaillent à la flexion, car pour ce métal, on ne peut guère admettre, dans la plupart des cas, Tégalité des deux coefficients d'élasticité longitudinale, qui est la base fondamentale de la théorie de la flexion, et par conséquent les résultats des calculs sont entachés d*incertitude.

Quoi qu'il en soit, Féqualion que nous venons de donner est une équation différentielle du deuxième ordre dont Tintégralion est une opération en général laborieuse, et doit être faite dans chaque cas pailiculier, connaissant la relation qui existe entre X, I et p^.

Si Ton appelle ô et ô' les angles formés par une section transversale de la pièce courbe avant et après la déformation avec un plan de comparaison arbitrairement choisi, et ô, et ô' les mêmes angles relatifs à une section de la pièce prise pour origine, réquation(i) peut être intégrée une première fois et, en désignant par ds un élément infiniment petit de Taxe longitudinal, prend la forme :

e'-6=jr*^jd, + 9.'-ô„ (2).

On ne peut effectuer cette seconde intégration que connaissant la relation qui lie entre elles les variables X, I et s.

Lorsque l'axe longitudinal primitif de la pièce est une droite, l'équation se simplifie et devient

Si l'on prend pour origine des coordonnées un point de l'axe longitudinal, son extrémité de gauche par exemple (fig. 17), pour axe des x cet [axe lui-même, et pour axe des y une perpendiculaire à ox, l'équation précédente, relative à

PONTS MÉTALLIQCES.

déformation des pièces prismatiques à axe rectilignc, ut, eu égard à la petitesse de cette déformation, être mise sous la forme ci-après :

3* dV/

dx'~ El Cette équation différentielle peut ^e- !'■ s'intégrer connaissant l'expression

I X et de I en fonction de la distance x à l'origine du centre ! gravité de la section considérée.

Nous donnerons le résultat de cette intégration dans tous î cas que nous éludiorons ultérieurement.

Nous examinerons seulement ici le cas où le rapport -j- est

instant d'une extrémité à l'autre de la pièce. Alors la valeur I f est aussi constante et l'ûxc de la pièce déformée affecte

forme d'un arc de cercle dont le rayon a pour valeur y'

Si la hauteur h de la pièce est également constante, on voit

X/i l'il en est de même de -= — La pièce est par suite un solide

égale résistance. D'où l'on conclut que lorsqu'un solide Égale résistance, à axe rectiligne et de hauteur constante, déforme, son axe prend la forme d'un arc de cercle.

«-». i':Ropt tranchnnt.. — L'effort tranchant, qui est une force située dans le plan de la section transversale, est la dérivée du moment fléchissant, ce qui signifie que, si l'on passe de la section ÂB à la section infiniment voisine CD {^g. 18), le moment Fig, 18. fléchissant X s'augmente du produit de

(ffort tranchant V par la distance <lx des deux sections.

d\ = ydx, d'où V=4^.

dx

Connaissant V en fonction de x, on peut toujours en délire par une intégration la fonction qui représente X. On voit que l'effort tranchant n'existe que dans les pièces

CHAP. l"'. CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. 29

fléchies, et que toute section d'une pièce fléchie, à Texception du cas où le moment fléchissant ne varierait pas d'une section à la suivante, est soumise à Faction d'un effort tranchant.

Pour définir le sens dans lequel s'exerce l'action de l'effort ji tranchant, nous supposerons tou-

jours que, en prenant pour origine des longueurs une extrémité de la pièce (par exemple celle de gauche Fig- *9. pour fixer les idées), l'effort tran-

chant est positif lorsque c'est la partie de la pièce située au delà de la section considérée, par rapport à l'origine (c'est-àdire la partie ABX située à droite de la section {fig, 19), qui tend à glisser de haut en bas : dans ces conditions, si l'on considère la variation de X en parcourant la pièce de gauche à droite, c'est-à-dire dans le sens des x positifs, X croît lorsque l'effort tranchant V est positif, et décroît lorsque V est négatif.

Cet effort ne se répartit pas ainsi qu*on serait tenté de le croire à priori^ uniformément sur toute la section, comme l'effort normal. A l'inverse de ce qui se passe pour le moment fléchissant, le travail dû à l'effort tranchant est nul sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre de la section, et il n'est jamais nul sur les fibres qui rencontrent cet axe : en général même, il est maximum sur l'axe neutre. L'effort tranchant a du reste, ainsi que le travail à la

flexion, même valeur pour toutes les fibres que coupe une parallèlle à l'axe neutre PQ {ficj, 20).

Cherchons le travail par unité de surface S

développé sur la parallèle NN' située à une

distance z, de la droite PQ et dont la Ion-

Fig. 20. gueur comprise àl'intérieur de la sectioneste/,

On a, en désignant par V l'effort tranchant total, par w et 5

les variables qui prennent pour NN' les valeurs u^ etz,,

et par n la valeur maximum Ao que peut atteindre z :

1, Voir CollJgDon : Traité de résistance des matériaux, no 107.

xpression donne bien S est nul sur les fibres le:

.oir le travail maximum il trandc valeor que pniss

iz quand on Eait \'aricr la li

i) ce maximmn coirespon iximnni a lieu sur l'axe ne

I ^«.jo

la seclicn présenle un i

M (fi(/, 21), comme en «

très grand, c'est là que

chanl maximum et noE

Nous verrons plus loin

rencontre de semblable

con%'ient de vérifier si ei

c pas la limite admise.

ur de S peut s'intégrer se

rmules de quadrature, loi

e M et :;. Nous donnerons

ins quelques cas parliculi»

à section rectangulaire. -

cctangle,

à section en double té [fig. \ formules différentes.

^ Depuis 3=0

On a

et de

On a

Le maximum a toujours lieu pour z = o et il a pour valeur

c vr, ai' , ,,6'n 3 V r, «y {b - b') n

^ = Zll+-S--^'''-''^-Wr^7rbV-ab'-ab'' + a'b'^}

Supposons que dans le calcul du moment d'inertie on puisse négliger l'âme verticale, et substituons à la valeur

exacte de I qui est j-^-î Ja valeur approximative

— — K la parenthèse de Téquation qui précède devient

éfinile à ;r et la valeur de S se réduit à -77-, : ainsi le travail ° 3 ci'o

maximum a lieu sur la fibre moyenne, et il a la même valeur que si on supposait l'effort tranchant unifonnément réparti sur l'âme verticale du double T, à l'exclusion des semelles. Ccsl ce qui explique pourquoi les constructeurs ont l'habitude dans le calcul des pièces fléchies de ne tenir compte que des semelles lorsqu'ils déterminent la surface destinée à résister au moment fléchissant, et au contraire de calculer Tâme verticale comme si elle devait résister seule à l'effort tranchant uniformément réparti sur sa surface.

On peut d^ailleurs toujours vérifier sans difficulté, par les formules que nous venons de donner, l'exactitude du résultat donné par la méthode approximative. Dans certains cas, on pourrait être amené à donner à l'âme plus de force que ne rîndique la méthode usuelle.

Poutre à section circulaire. — Soit R le rayon. '

3 7rH*^ R*

pour z = 0, on a

3 7cR*

POSTS MÉTALUQI

S 5 (lu travail qui résulterait de rcffort tranchant uni-

lenl réparti sur la surface,

dmct tanlûl (|u<^ la limite pratique à l'cITort tranclianl

rc évaluée aux s <le la limileà l'extension, tantôt quVllc

igalo. C'est ce que nous supposerons pour plus de simcn l'absence de tout résultat d'expérience suffisani-

la pratique, le travail il l'effort tranchant est presque s bien inférieur à ces deux limites, l'àme verticale des

recevant généralement, pour des raisons de construo le épaisseur bien plus grande que ne l'exige l'effort nt.

ïrt trancliaot ne joue aucun rôle dans la déformation ;es fléchies : ce résultat ne parait pas paradoxal lorséfléchit au mode de répartition, qui est tel que les xtrèmes, n'étant soumises à aucun travail, ne peuvent formées de ce chef. C'est pourquoi l'effort tranchant ■c pas dans les formules relatives i\ la déformation.

Pièce» n^dklcH. Xravatl du métal dans une Ion qucicanquc. — ÎSous venons dc donner des s permettant dc calculer dans une pièce fléchie : l°le à la compression ou à l'extension qui se manifcslc le direction normale à la section transvoi'salc dc la J" le travail au cisaillement qui se manifeste dans une n parallèle au plan dc la section transversale. Dans la i en effet, on ne tient compte, pour le calcul des Ions dc la pièce, que dc ces deux éléments, ïfois il n'est pas pas inutile de remarquer que le couple on qui tend à faire tourner la section transversale l'une droite dc son plan, et l'effort tranchant qui esl ;e située dans le plan de la section, font travailler le la compression ou à l'extension, aussi bien qu'au nent, dans toutes les directions menées dans le plan >n que nous supposons ici, comme c'est le cas général atique, contenir l'effort tranchant.

il un point du plan de flexion (fy. 23), AB la trace sur de la section transversale qui passe par M, CD une

CHAP. l*"^. CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES.

Nç*|.

yW I • ^^—' ~ '

Fig. 23 .

droite du plan passant par M et définie par Tangle qu'elle fait

avec la droite AB, cet angle 9 étant mesuré de gauche à droite à partir de Fextrémité A de la droite AB, la plus voisine du point M.

Proposons-nous connaissant le travail à la flexion R, qui se manifeste en M perpendiculairement à la direction AB, et le travail au cisaillement S qui se manifeste parallèlement à AB, de déterminer le travail à la flexion R' perpendiculaire à CD, et le travail au cisaillement S' parallèle à CD.

Nous obtiendrons le travail à la flexion (extension ou compression) perpendiculaire à CD par la formule :

(4) R' = iR(1 -t-cos2<p) + Ssin29

et le travail au cisaillement par Téquation :

(2) S' = — ~Rsin^<p-t-Scos2<p.

On trouvera la démonstration de ces formules dans le Traité de Résistance des matériaux de M. Collignon (n. 113).

Nous croyons utile de les discuter sommairement.

La figure 24 montre comment varient R' (trait plein) et S' ( ) lorsque Tangle <p croît de 0 à ir.

Fig. 24.

Les angles <p,, (p., cp,, cp^ sont définis par les conditions :

Tg.2<p.^

Tg.2?. = -^> Tg.2cp,= ^^

I CHAP. l""'. CATXUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. 35

I En résumé le travail à la flexion R' passe par deux maxima :

lun ^ (R +K 4S' + R') de même signe que R, et l'autre

- (R — l/^ 4 S* + R*) de signe contraire.

Le travail au cisaillement S' présente également deux ! maxima de signes contraires , mais de valeurs égales

± J K R* + 4 S*. D'autre part S' est égal à ±'s pour <p = rj

et y = ^, ce qui veut dire que le travail au cisaillement dans

le sens parallèle à Faxe longitudinal de la pièce, que Ton appelle aussi la tendance au glissement longitudinal ^ a même valeur que le travail à l'effort tranchant.

D'autre part le maximum de R' est égal à R lorsque Ton a S rr= o, c'est-à-dire sur les fibres extrêmes de la pièce, pour lesquelles la valeur de R atteint son maximum : il en résulte que la méthode usitée en pratique, qui consiste à calculer le travail à la flexion dans le sens perpendiculaire à la section transversale, donne bien la pression ou la tension maximum pour les fibres extrêmes de la pièce, qui sont en général les plus fatiguées. t

De même le maximum de S' est égala SlorsqueR=o, c'est-à-dire sur les fibres neutres de la pièce, pour lesquelles la valeur de S atteint son maximum, ce qui justifie encore la méthode habituelle qui consiste à calculer le cisaillement dans la direction perpendiculaire à l'axe longitudinal de la pièce.

En somme la méthode usuelle fournit toujours des résultats suffisamment exacts, car les valeurs qu'elle donne pour le travail à la flexion et au cisaillement sont en général très peu inférieures aux maxima absolus que l'on calculerait au moyen des formules précédentes. En cas de doute, rien n'est plus simple que d'en faire la vérification dans chaque cas : d'ailleurs il est facile de reconnaître que les maxima absolus diî S' et R' s'observent toujours dans les points où la section subit un élargissement brusque, comme aux points d'attache des ailes des fers à double T sur leurs âmes.

Si une vérification est utile en certains cas, c'est donc

"Vf*.

NTS MÉTALLIQUES,

ils particuliers qu'elle doit porter.

Nous terminerons cette élude en donnant pour une poutre à section rectangulaire {fi(j. 25) dans Icplan df flexion les courbes de travail maximum à la compression ( )

à l'extension ( ) et au

cisaillement ( — . — . — .), qui fournissent en chaque' point les directions dans lesquelles ces différents travaux atteignent leurs maxima.

On voit que les courbes de pression

( ) symétriques des courbes de

tension ( — . — . — •} coupent: à angle droit les courbes de tension et les libres extrêmes comprimées, à 45* les fibres neutres et les courbes de travail au cisaillement, et enfin sont tangentes aux fibres extrêmes tendues ; les courbes du travail au cisaillement coupent à 43° les fibres extrêmes et sont tangentes aux fibres neutres.

Enfin, à litre d'exemple, nous donnons {fig. 26) pour une pièce à section rectangulaire, et trois poutres à double ï [fig. 27, 28, 29) les épures indiquant pour les diffén transversale le travail à la compres-

sion perpendiculaire à la

^^ section transversale ( — R) et le travail à la compression maximum { — R') dans les différents points de chaqui' pièce, et donnant les mêmes renseignements pour le travail à l'extension {-j- R et -f =*, R')etletravailauci8aillcmcnt °^ (S et S'). On voit, ainsi que

PÔ

CHAP, l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES.

nous l'avons dit, que les points où la section s' élargit brusquement sont les points critiques où R' et S' atteignent leurs maxima absolus, et où il peut être utile de vérifier que la méthode usuelle n'a pas conduit à donner à la pièce des dimensions insuffisantes.

Fig. 27. '

HHHHBHP

\^.- là/1

.Jt'

Fig. 28.

Ce serait le cas pour le travail à la flexion du 2* fer à double T {fig. 28) : le travail au point de passage de Tâme à la semelle

dépasse de t le travail sur les fibres extrêmes ; il en est généralement de même quand le maximum de S est à peu près égal au maximum de R.

Ce pas ne se rencontre presque jamais à moins que R ne soit très inférieur à la limite pratique du travail, comme dans le voisinage des points d'appui des poutres.

Jl'5

Pour le 3^ fer à double T [fig. 29) où le maximum de S est très inférieur au maximum de R, on voit qu'au contraire

'■•* lit

' -il

PO>TS MÉTAIXIQUES.

travail au cisaillement qui au point d'attaché de la

sur l'âme dépasse de p la valeur maximum de S, mais

ce travail reste toujours inférieur à R, on n'a rien â ! à ce point de vue.

ësumé l'étude précédente noua a paru présenter un .liéoriquc, mais dans la pratique il convient de s'pd X règles que nous avons énoncées pour le calcul des léchîes, en se bornant à déterminer le travail à la nonnale à la section transversale et le travail au cisai)parallëic à ladite section, lequel est égal à la tCDu glissement longitudinal au point considéré. ituptni-o de« pi6ce« fléciiies. — Le travail à la ssion ou à l'extension présentant son maximum sur ■s extrêmes, ce sont celles-ci, lorsqu'il atteint la limili' are, qui se brisent tout d'abord, puis la section de la ant diminuée d'autant, les libres suivantes se brisent ent, etc., etc. La rupture se propage donc depuis les xtrèmos jusqu'aux fibres neutres, et elle se fait parla 1 d'une section relativcmeot ù la section voisine, id c'est le travail au cisaillement qui atteint la limite iurc, il n'y a jamais glissement d'une section suv on voisine, comme on serait tenté de le croire. Ed faudrait pour cela que toutes les fibres se rompissent g, ce qui est inadmissible puisque l'effort tranchant est les fibres extrêmes et à peine seasible sur celles qui les avoisinent. C'est ce qui explique pourquoi on peut pratiquer impunément dans l'Ame d'un ter à double T une ouverture R S, dirigée normalement à l'axe neutre, sans que la pièce se brise. L'effort tranchant se réparlil dans les parties de la section AR ol p. 3j ' SB restées pleines, et la pièce reste in-

tacte {fig. 30).

iosons que dans la section AB d'une pièce prismatique, en M un point faible où le travail dû à l'effort trauclianl e la Hmite de rupture {/ig. 31). En vertu de i'hypothèsilU' la constitution des pièces prismatiques, le rélré-

Fig. 31,

cissemcnt M se poursuit dans les sections voisines, et la pièce présente une zone MN, parallèle à Taxe neutre, où

le travail dû à TefiFort tranchant atteint la limite de rupture : or on sait que la tendance au glissement longitudinal, c'est-à-dire le travail au cisaillement parallèle à Taxe longitudinal et par suite à MN, est égal au travail à TefiFort tranchant : on conçoit donc que, puisque Teffort, qui tend à séparer la partie supérieure de la pièce AMNC de la partif» inférieure NMBD, dépasse sur toute la surface de jonction MN la cohésion du métal, la rupture se produit nécessairement, et la pièce prismatique se divise en deux pièces primastiques superposées.

On voit que la rupture des pièces prismatiques se fait en ce cas par glissement longitudinal des fibres, et jamais par cisaillement normal à Taxe longitudinal.

Il faut donc veiller à ce que les pièces fléchies ne présentent pas dans leur àme un affaiblissement régnant sans discontinuité parallèlement à Taxe longitudinal. C'est ainsi que dans les rails il se produit fréquemment des ruptures longitudinales suivant les soudures des divers paquets de métal qui ont servi à leur confection.

Dans les poutres à double T composées, les points faibles sont les attaches des cornières sur les tables et sur Tâme, lorsque celle-ci se compose de deux tôles superposées dans le sens de la longueur, la solution de continuité, qui se prêterait au glissement longitudinal, doit être compensée par des couvre-joints ce', tôles verticales auxiliaires assemblées avec chacune des parties de Tâme . On voit qu'il faut calculer en

raison de l'intensité de l'effort tranchant les dimensions de ces couvrejoints, ainsi que le nombre de leurs rivets d'attache, de façon que le glissement ne puisse pas se produire suivant la direction SS' [fig, 32) : les formules à employer sont données au chapitre suivant (n** 38).

Fig. 32 A titre d'exemple, considérons nue

POîîTS MÉTALLIQUES.

osée formée de deux pièces de bois A et B reliées

ar de simples barreaux perpendiculaires aux se-

l, comme dans une échelle {fig. 33). Si celte pièce

travaille à la flexion, elle pourra se

.• rompre par glissement longitudinal:

-=j?*r-* chacun des barreauxest en effet sollicité