RA

= 40 r^TTT

en supposant R = 6X^0* etE = 2X40

Les formules qui précèdent permettent de calculer les poutres droites dans tous les cas que l'on rencontre dans les applications. Lorsqu'une poutre est soumise à plusieurs charges isolées, l'abaissement du milieu du pont est la somme des abaissements partiels que produirait une seule charge.

Nous n'avons pas examiné le cas d'une charge uniformément répartie sur une partie seulement de l'ouverture : le cas échéant, on devra se reporter au chapitre suivant, où cette question, qui se présente seulement pour les poutres principales des ponts, est complètement traitée. Ce mode de répartition est celui qui donne en chaque point l'effort tranchant maximum.

Nous supposons que pour les petites poutres l'âme est calculée d'une extrémité à l'autre, de façon à résister à l'effort maximum.

11 faut encore vérifier pour ces poutres, aux appuis des culées et aux points d'application des forces isolées, que l'âme est susceptible de résister comme un solide soumis à un effort de compression ou d'extension, suivant la position du point d'application de la force extérieure, agissant dans le

Nous croyons d'ailleurs inutile de définir ici toutes ces pièces qui sont bien connues.

341. Boulons. — Lorsqu'un boulon relie deux pièces qui tendent à glisser Tune sur Tautre, il faut que Teffort d'extension auquel il est soumis développe entre les deux pièces^ serrées Tune contre l'autre par le boulon, un frottement capable de faire équilibre à la force qui tend à opérer le glissement.

En d'autres termes, soit P l'effort, perpendiculaire à l'axe du boulon, qui tend à faire glisser les deux pièces l'une sur l'autre, <p le coefficient du frottement mutuel des deux surfaces en contact, l'effort d'extension F que doit supporter le boulon est donné par la formule

Dans les ponts métalliques, on a en général (p^0,20 pour les surfaces non polies ni lubrifiées, mais rabotées, qui sont mises en contact (voussoirs des ponts en fonte); pour les surfaces brutes, tôles juxtaposées, <p peut atteindre 0,60.

Dans les ponts européens, les boulons ne sont donc calculés qu'en vue de résister à un effort d'extension, que l'on cherche à limiter au maximum de 4 kilogrammes par millimètre carré de section du boulon, de façon à ce que le serrage de Técrou ne présente aucune difficulté. Le coefficient du frottement de l'écrou sur la vis ne dépasse pas 0,12, eu égard au poli des surfaces en contact, qui doivent être graissées lorsque l'on veut serrer l'écrou à s'a limite. Il en résulte que la pression sur les surfaces en contact peut atteindre sans difficulté 6 kilogrammes par millimètre carré.

Ayant calculé comme nous venons de le montrer l'effort F qu'aura à supporter un boulon, on détermine ses dimensions principales par les formules usuelles suivantes :

Diamètre du boulon : rf= 0,0008 (/ f7 P»g- 50. Cette formule donne au boulon une section

telle que le noyau de la partie filetée travaille à raison de

Il faut remarquer que la cheville travaille aussi par flexion, puisque les efforts égaux et de sens contraire exercés par les barres B et B' sont appliqués à des sections différentes du boulon^ séparées par une distance égale à la demi-somme des épaisseurs de ces barres. Il est de bonne construction que les barres, dont les efforts se font équilibre par Fintermédiaire de la cheville, aient leurs surfaces en contact, de façon à réduire au minimum cet effort de flexion. Il est certain que si ces deux barres ijig. 51) étaient à une

distance notable Tune de l'autre, la cheville serait soumise à un moment fléchissant important, et on serait conduit à lui attribuer un diamètre excessif.

Soit L la largeur et e l'épaisseur de Tune des barres B (l'autre étant supposée identique), mesurées en avant de Fig. 51 la tête dans la partie où la barre est

encore prismatique. Le diamètre à attribuer à la cheville d'assemblage est donné par la formule :

d:=1.9l/'Lê\

Cette formule empirique, mais d'une forme théorique rationnelle, s'accorde bien avec les résultats de l'expérience (voir ComoUi. Ponts américains, page 176). Elle est également satisfaisante au point de vue théorique dans les limites où varient en pratique les dimensions L et e : c'est-à-dire avec

la condition que le rapport £, en général plus petit que lunité,

ne soit jamais notablement supérieur à 1.

Il faut également que la pression sur la surface du contact de la cheville et de la barre ne dépasse pas la limite pratique, sans quoi il pourrait y avoir désagrégation de cette surface et la cheville pénétrerait dans la barre dont elle couperait la tête en en creusant peu à peu la surface.

On doit avoir en conséquence ed^he. Les chevilles du viaduc de Crumlin, en Angleterre, se sont trouvées en peu de temps hors de service, parce qu'on n'avait point observé cette règle essentielle.

Fig. 54.

Nous avons dît que la cheville et Toeil ont même diamètre : il faut nécessairement un certain jeu, qui en général est limité par les cahiers des charges à un demi-millimëtre.

3B. s^uppoptsi oyiinapique». — Les extrémités des poutres métalliques reposent en général sur les piles en maçonnerie par l'intermédiaire de rouleaux de friction, cylindres métalliques à axe horizontal placés entre les faces horizontales de deux plaques métalliques.

Soit 0 la section d'un pareil rouleau : il est soumis à l'action de deux forces égales et diamétralement opposées F : l'une est le poids de la poutre, l'autre est la réaction de la pile qui lui est égale (fig. 54).

Connaissant le diamètre d du rouleau, ainsi que la nature du métal qui le compose, quelle est la limite qu'on peut pratiquement admettre pour la force de compression F ? Bien que ce soit là à coup sûr une question des plus importantes, qui se rencontre à chaque instant dans le calcul des ponts, nous ne croyons pas qu'on ait jamais proposé une formule théorique ou une formule empirique pouvant servir à la résoudre. Nous avons cherché à combler cette lacune tant bien que mal, en cherchant une formule théorique applicable au calcul des rouleaux de friction.

Soit M le point de contact de la section circulaire du rouleau avec le plan horizontal B. Soit F la compression exercée sur une partie du cylindre ayant l'unité pour longueur mesurée suivant l'axe {fig. 55).

Par l'effet de la compression F, le cercle 0 va s'aplatir et, au lieu de ne toucher la droite B qu'en un point M, il la touchera suivant un arc déformé CMD.

Nous supposerons que la déformation, qui a amené le cercle et la droite à être en contact, sur la longueur CMD, est également partagée entre l'arc et la droite. Soit MN la distance initiale du point M à la corde CD. Nous supposerons donc que le point M s'est rapproché du centre 0 du cercle de la moitié

Rg. 53.

Pour que l'appareil soit suffisamment stable, il, faut nécessairement que le travail do compression maximum c exercé en M' par le rouleau sur le plan, ne dépasse pas la limite d'élasticité du métal, sans quoi il y aurait déformation permanente du rouleau.

La formule précédeote permet, on le voit, de calculer im-

F médialcment la valeur maximum à attribuer à -j, c'est-à-dire

la pression par unité de surface sur la section diamétrale d du rouleau, sans détériorer le rouleau ou la plaque de roulement. D'après l'usage, il convient dans l'application de ne pas dépasser la moitié de cette valeur limite, et c'est ainsi que nous déterminerons la charge maximum à admettre pour le rouleau. Ou voit que la pression par unité de surface sur la section diamétrale est indépcndaute du rayon du rouleau.

n par unitâ de »\ir- ■- Bur la section 'aie du rouleau d.

delà

^ily

Fer

Acier

Ko X «'

Fonte

iâ X "■

Chêne

ixfo"

<i xto-

EVaUquo à adopter dauB les applications

CHAP. II. RENSElGKE3fEXTS PRATIQUES. FORMULES USUELLES. 95

Srf

Cas de deux cercles tangents intérieurement {fig. 59). Soient 0 et 0' les centres des deux cercles, de rayons d et D. Il conviendra de calculer la force F par la formule :

F' = S'iX^/jô^

F" avec la condition -r <1 S.

Rg. 59.

Cette formule est, on le voit, analogue à la précédente, dont elle ne diffère que par le changement de signe attribué au diamètre d du petit cercle.

En y faisant D = oo on retombe sur le cas du rouleau porté par un plan : F=Srf.

Pour D ^

. j. dj on a pour Tacier : F = rf x 20 S = 7*" par

millimètre carré, ce qui veut dire que, lorsque les diamètres des cercles intérieur et extérieur ne diffèrent que d'un quatre centième, la limite pratique de la charge sur la section diamétrale du rouleau atteint la même valeur que si la surface de contact des deux pièces était plane.

Par conséquent, les essieux, les chevilles, les axes de rotation qui sont placés dans des crapaudines présentant à peu près exactement leur diamètre peuvent être chargés jusqu'à la limite pratique, indiquée pour les différents métaux dans le tableau du n'^ 21. Cela était évident à jortm.

II est bien entendu que cette limite S ne doit pas être dépassée, et que la formule (4), qui donnerait pour F une valeur infinie lorsque D = rf, ne doit être employée que pour

-^ :^ S. Lorsque la formule (4) donne pour F'' une valeur

plus forte, il faudra s'en tenir à la limite absolue Sa?.

ST* isiippopts flipii^]*ic|ue«« — Il pourrait arriver que Ton voulût faire supporter un poids F par des boulets ou sphères métalliques placés entre deux plans (fig. 60). Le problème peut être résolu suivant la même méthode que le précédent et Ton obtient les équations :

faut calculer la force F, comme si elle était répartie sur la section diamétrale de la sphère complète {fig, 61).

Pour deux sphères extérieures en contact on emploierait la formule :

D + rf

Pour une sphère convexe placée dans une sphère. concave, la formule à appliquer serait :

F' = S d ^ , , avec la condition -7 <C R.

R étant la limite pratique à la compression donnée au tableau

de la page 49.

On voit que cette limite est atteinte pour la fonte lorsque

D et d diffèrent de ^^r^ seulement. L'articulation sphérique,

dite genou, peut donc supporter sur sa section diamétrale une charge égale à celle qui résulte de l'application de la limite R.

3S« irtvetsi et couvre-Joints. — Les règles de construction relatives à la pose des rivets sont les suivantes : afin de permettre le poinçonnage des tôles dans de bonnes conditions, il faut prendre le diamètre du rivet au moins égal au double de Tépaisseur de la tôle la plus forte que ce rivet doit traverser : rf^ 2 ^.

La distance entre Taxe du rivet et le bord de la tôle doit être égale à deux fois et demie le diamètre : 2,3 d,

L'écartement d'axe en axe de deux rivets consécutifs doit être au plus égal à cinq fois le diamètre. Il ne doit en aucun cas dépasser 0"iO, sans quoi Ton s'exposerait à voir les tôles bâiller.

Nous empruntons à Touvrage de M. Morandière sur la construction des ponts les renseignements qui suivent :

« La pratique a montré entre quelles limites le diamètre et l'espacement des rivets devaient varier suivant les épaisseurs à river. Les données du tableau ci-dessous peuvent être prises comme exemple des proportions convenables à observer :

I, 10 à 12, I2kik, Uà16, 16 à 20, Distance d'axe eu a ) à 70, 70 à SO, eo à 90, 90 à 100, 100 à 120, 100 à 120, 100 à ISO, 100 i lie.

Il existe également une relation entre les dimensions de la tète et celles du corps du rivet. Si d est le diamfetrc du rivet, on prend généralement {/ig. 62) :

= 0,86rf.

ibloau ci-aprÈs indique les dimensions des rivels de de O^OaO, de 0'°022, de 0'°023 qui sont très employés * ponts en tôle.

(([) des rîvot». Eu miUJ'ii. 18 20 22 ii

— lit. iarrr'3, 234 aii 380 «»

(E) des W'tes. EnmJllim. 10.8 12 13. î V-.U

EpaisspHr â river.

Long, totale du corps rivet (avant In pose).

Poids de 100 rive ta.

,oag. totale du corps du

rivet (avant la pose), — Tii es 83 llô

' vefs. Eu kilogr. l'i 23 32 "•

— i 5.5 8 II.T

a observé qu'au moment du refroidissement, los ■s rivets se tlétaclient souvent, lorsque la longueur •ts atteint ©"lo, et il est nécessaire alors de refroidir avant la pose, le corps du rivet en le rtiouillant. Mais, construction dos ponts, on doit éviter d'employer dei^ une aussi grande longueur.

conditions générales qui viennent d'être établies pour e se modifient suivant les exigences de la conslrucnsi, par exemple, dans les longues poutres, il arrivi' , surtout dans les semelles, que les épaisseurs des iuperposécs varient, et néanmoins, pour la faciiilé

de la construction^ on adopte généralement un diamètre de rivet uniforme, et ce diamètre est basé sur la plus forte épaisseur.

« De même, lorsque les feuilles de tôle superposées sont très larges, et que le mode général d'assemblage ne conduit pas à mettre des rivets près des bords, on est conduit à ajouter une ou plusieurs séries de rangées de rivets en bordure, simplement pour empêcher les tôles de bâiller. Dans ce cas, l'espacement d'axe en axe des rivets est augmenté, et varie de 15 à 30 centimètres*. »

L'adhérence réalisée par le rivet est en général de 12 à 16 Idl. par millimètre carré de section du rivet. On admet qu'on peut dans la pratique baser les calculs sur 3 kil. effectifs, c'est-à-dire le quart ou le cinquième de l'adhérence réelle. Nous admettrons donc dans les calculs que la tendance au glissement de deux tôles réunies par des rivets ne doit pas dépasser le triple de la somme des sections des rivets qui les réunissent, exprimée en millimètres carrés.

Dans la construction des ponts ■ IH j .!■ ■ métalliques, on a fréquemment

lll L 1 à résoudre les problèmes sui-

vants :

1° Détermination du nombre

des rivets nécessaires pour réu-

i nir les plates-bandes d'une pou-

JL

-*» tro aux cornières (fig. 63).

^'g- ^3. Considérons la section trans-

versale AB de la poutre : soit V l'eJCFort tranchant dans cette section, a et e la largeur et l'épaisseur de la plate-bande à réunir aux cornières, et x la somme des sections que présentent les rivets dans l'unité de longueur de plate-bande. Soit enfin h la hauteur de la poutre.

Pour que les rivets empêchent dans des conditions convenables la platc-baude de glisser longitudinalement sur les cornières (voir n* 16), il faut que l'inégalité suivante soit satisfaite :

* Afin de faciliter le travail de la poinçonneuse, l'écartemcnt des rivets do serrage est généralement le double de lécartement adopté pour les autres rivets.

PONTS MÉTALLU

I étant le momeat d'inertie de la

Soit die diamètre d'un rivet, m I successifs, on a, en remarquant que files parallèles de rivets, ia reliant

et l'inégalité précédente devient :

irrf' Vfl e

On voit que l'on peut se donner nimum de m, ou vice versa.

On s'attache à donner à rf et tn d galité qui précède soit satisfaite et ( règles pratiques de construction ii On voit que le nombre des rivets plate-bande aux cornières varie e tranchant; dans les parties où Tel milieu, par exemple, d'une poutre et chargée uniformément sur tout de mettre le nombre de rivets sli empêcher les tôles de bâiller.

En général, on ne procède pas (

écartemcnt et le même diamètre ai

gueur de la plate-bande, de faço:

fabrication à l'usine : celte soIuti(

peu plus de main-d'œuvre, est au

nomique, car elle

,. -. 2-jj^ Y^j[ (l'ajustage.

llin 1 force du rivetagi

ii ij- fort tranchant est

■ : ; sections, ily a ex

" * '■ ne ucutévidemm

vénient.

2" Pour réunir les cornières à l'âme de la poutre, on a ud problème analogue à résoudre. On voit ici qu'il n'y a à poser

qu'une seule file de rivets; mais comme chaque rivet présente deux sections de cisaillement a et ô, elle produit le même effet que les deux files qui lient la plate-bande aux cornières et qui, elles, ne travaillent que sur une seule section {fig. 64). Soit <j Taire de la section transversale d'une cornière, et

^ la distance de son centre de gravité à Taxe de la poutre.

On doit avoir, en désignant par x' la somme des aires des sections transversales des rivets pour Tunité de longueur.

irrf*

aeh ah'^

On voit que la valeur de x' est plus grande que celle de x trouvée précédemment. Logiquement, on devrait employer des rivets un peu plus gros, ou un peu moins écartés que ceux de la plate-bande. Mais la différence en général est sans

importance, -^ étant très petit comparativement à -^— ,

et Ton prend x = x.

3" L'âme verticale peut être composée de deux tôles de

même épaisseur c placées verticalement Tune au-dessous de Tautre, de telle façon qu'il existe dans Tâme une solution de continuité horizontale. Il est nécessaire de rétablir la continuité de Tâme au moyen de deux couvre-joints jumeaux qui sont rivés avec les deux parties de Tâme. La section totale à donner aux rivets qui unissent les couvre-joints à Tune des deux

tôles de l'âme est donnée par l'inégalité suivante :

nr

Fig. 6S.

ir

Vaeh , ffA' , . [h bVl

On voit que Ton a encore x"^ x' ef que le maximum de x'^ a lieu pour ô = ô' c'est-à-dire lorsque la solution de continuité de l'âme existe au droit de l'axe longitudinal de la poutre.

Donc au fur et à mesure que la file de rivets à calculer se rapproche du centre delà section transversale, on devrait aug-

j. C'est en génér alcul se fait unû :hant cstmaximi ît divisée en dcu pièce. De la sort )ns où l'efforl tra où l'effort tranch ts qui ne servent mpIiHe de la sorl ouvrier charpeni i excès de résistt

1} peut pour b =

mple et sufBsam

m de gyration d neutre, et m l'éc s poutres à dou

est sensiblemen

atc dans le calcu devient alors :

té, d'une très gr t en l'appliquant supérieure à ce

peut do:

....^- crainte.

'^"— j la sectio

1^ ' de longi

4° Cal.

bandes (, Lapla

d'une séi nt : AA', BB'. 1

au moyen d'un couvre-joint de même épaisseur cc\ réuni par des rivets à Tune et à l'autre tôles.

La section totale y des rivets qui relient le couvre-joint à l'une des tôles se calcule par la formule suivante, où R désigne le travail par unité de surface que subit la plate-bande, sous l'influence du moment fléchissant ou de l'effort normal, dans la section que l'on considère :

Rae

On a d'ailleurs :

NTrd*

N étant le nombre de rivets à employer pour relier le couvrejoint à une des tôles.

Supposons que rf = 2 c et que R = 6.000.000, limite admise en général pour les tôles de fer.

On a alors

v =L- N:re' et N= ^ =0.637 -.

^ Tze e

Si l'on s'est donné Técartement m des rivets, à supposer qu'on les mette sur deux files parallèles, la longueur c du couvre-joint est facile à calculer :

Quand la plate-bande est constituée par une série de tôles superposées dont les extrémités forment une espèce d'escalier, on emploie un couvre-joint unique, ayant l'épaisseur de la

tôle la plus forte. Il faut que ce cou-

I T . ^ vre-joint soit relié à chacune des

■ ^ tôles par un nombre de rivets égal à

N, et il est nécessaire qu'entre deux abouts consécutifs de tôle, le nombre de rivets employés soit précisément N {fig. 67).

Pour réunir deux cornières opposées bout à bout, on emploie des cornières couvre-joints et l'on donne également aux rivets qui réunissent le couvre-joint à une cornière une seclion totale double de la section de la cornière.

PONTS ȃTALUi

5° Enfin, sente une i licale {/îj. 6 successives joints qui chacune d'c section tolî de l'ime e vaille à )a n calcule cette sectio

l>lla»cment dos» lâlc« poi* la i>ivure> —

ici que chaque rivet présente doux soclioDs de considérons un rivet de diamètre d, réunissan paquet de tûlcs superposées, d'une épaîsseai e de la section transversale des tôles, passant pa t, est réduite do rf x E. Mais d'autre part li frottement développée par le rivet établit uni ensation. En effet, supposons les tôles coupée: suivant la section ab passant par l'axe di rivet {fy. 69) ; pour séparer la partie si ^B tuée à droite de cette section ab de la par T^ tie située à gauche, il faudra vaincre l'ad ^^ hérence des deux têtes de rivets sur l'ui

des paquets de tôle, les saillies de ce

deux têtes constituent une sorte de ma choire qui saisit le paquet. On peut, ains qu'on le voit, compter sur une adhéreno de 3 kilogrammes par millimètre carré d ?et, ce qui, sur l'ensemble de la section, doMi'

e totale égale à — r — > équivalente h un suppl^

on du paquet de tôle égal ù — ô— ■ la tôle état

ailler à raison de 6 kilogrammes par milUmètr

ement des tôles au droit du trou de rivet es itivc égal à:

Il est nul pour rf= -^ E, ce qui ne se présente jamais.

7 // F 11 a pour limite supérieure — ^ —

On devrait donc, dans les calculs, retrancher de là section transversale des tôles la section longitudinale c? E de chaque trou de rivet. C'est ainsi que Ton procède souvent à l'étranger, notammment en Hollande et en Allemagne. En France, on a habitude de ne point se préoccuper de cet affaiblissement des tôles: mais en revanche on adopte pour le travail du métal une valeur sensiblement inférieure à celle admise en Allemagne. Cela permet d'effectuer tous les calculs des. ouvrages, avant d'avoir déterminé toutes les dispositions de la rivure, et cela simplifie le travail de l'ingénieur.

On admet en France que le fer peut travailler à 6 kilogrammes par mmq, et en Allemagne on porte cette limite à 7 kilogrammes. Les deux méthodes doivent donner le même résultat quand l'affaiblissement dû à la rivure est de 1/6* de la section totale. C'est une moyenne dont on s'écarte peu, et au surplus il est toujours facile, après avoir préparé en détail le projet d'un ouvrage, de vérifier que l'affaiblissement ne dépasse pas cette proportion, et de renforcer les parties où il en serait autrement. Ce que nous venons de dire s'appUque particulièrement aux pièces tendues. Pour les pièces comprimées on pourrait admettre que, le rivet remplissant exactement son trou, la compression se transmet dans le corps même du rivet ; mais bien que la compression tendant à aplatir le trou du rivet rende le contact de ce dernier avec les tôles plus intime, peut-être est-il plus prudent de- ne point compter sur une circonstance favorable, dont on ne peut guère être absolument certain. Il est vrai aussi que la tension des tôles tend à allonger le trou du rivet en l'ovalisant et que le rivet, en s'opposant à cette déformation, soulage les tôles dans une certaine mesure, mais il est difficile de se rendre un compte exact de ce bénéfice, malaisé à évaluer, parce qu'il dépend du soin que l'on a mis dans la pose du rivet.