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tvosi
'ésultanl normaux ■ NQ soni
cpssaireni irs abaoli ou le si^ 1 de la COI
r.HAP. III. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES 117
4S. l<*opiiaiulefli ppatlques ep^n^palesi poup le ca1« eut des poutx^e» am^picaiiiefli* — Les formules précédentes, qui sont absolument générales, seraient en pratique d'une application laborieuse, et il convient de les modifier de taçon à en rendre Tusage commode et rapide.
Nous y arriverons au moyen de la remarque suivante :
Toutes les poutres simples qui entrent dans la construction des ponts américains, soit comme ouvrages isolés, soit comme éléments de poutres composées, présentent le caractère commun suivant :
Tous les triangles qui les composent sont égaux {fig. 76) à l'exception des quatre triangles extrêmes adjacents aux ex-
Fig. 76.
trémités des cordes supérieure et inférieure. Ces quatre triangles sont en dehors de toute règle et peuvent être pris arbitrairement.
Désignons par n l'équidistance de deux nœuds consécutifs sur la même corde, par s et par / les distances du second et de Tavant-dernier nœud à Torigine 0 et à l'extrémité L de cette corde. Soit enfin X la distance horizontale d'un nœud de la corde inférieure au nœud de la corde supérieure qui le suit immédiatement : nous supposerons pour fixer les idées que les points d'appui 0 et L sont sur la corde inférieure. La charge permanente que supporte la poutre peut être décomposée en une série de poids p appliqués à tous les nœuds de la corde inférieure : ces poids sont donc tous équidistants, et les poids extrêmes sont aux distances ^ et / des points d'appui. Il en est de même de la surcharge, qui est divisée en poids n égaux et équidistants : mais nous admettons que cette surcharge peut ne couvrir qu'une partie de l'ouvrage à partir d'une des extrémités, le surplus jusqu'à l'autre extrémité de la poutre n'étant pas surchargé.
Il peut arriver que les nœuds de la corde supérieure soient
IIR PONTS BIÉTALUQU
aussi chargés : mais alors pour que 1
tants il faut que l'on ait X= -> et qut
soient isocèles, ou bien quc> = Q ou sont rectangles. Ce cas est moins g^ dont il constitue une simplidcatton.
Nous allons donc chercher les formu de poutre simple que nous venons de répétons, comprend tous les types ( usage. Il est bien évident que ce qu( corde inférieure pourrait s'appliquer k vice versa, sans rien changer au raisoi Considérons un
'N p|jji..fl' par sa distance x à
Y I /\ "on chargé qui le \ î / \ rioure est Q dont \r/ \ le nœud chargé suivant est T, qui a pour |
Kû) S^NT abscisse x-^-n {fig. 11).
P .j^ Nous allons chercher successi
l'effort normal supporté par la b sous l'action : 1° de la surcharge couvrant entiëren partie de poutre située à droite de M (à l'exception di M); 2* de la surcharge couvrant entièrement la porl poutre située à gauche de M (y compris le poids M), ( l'hypothèse faite sur la figure de la poutre, le probli réduit à trouver la somme d'une progression arithm On a, en effet, en appliquant les formules [générales di et en désignant par e une longueur quelconque plus que n :
Surcharge à droite :
/cosO
= Sk'-'-»)+('-'-2")+('-'-
= rr-^(' — =' — » + ')('— *—')•
ïincosO ' '
Surcharge à gauche :
IcosB
= 07 T ix + s)(x + n — s).
2/ncos6^ I /v i /
Surcharge complète ;
On voit que / et <p représentent les efforts normaux maxima, à Textension et à la compression, que peut subir la barre MQ : en effet, tous les poids situés d'un même côté de M donnent lieu à des efforts dirigés dans le même sens, et dans le sens contraire de Teffort qui serait dû à un poids placé de l'autre côté de M. On a donc bien l'effort maximum dans un sens déterminé en prenant tous les poids placés du même côté du nœud, à l'exclusion des autres.
D'où la règle suivante : une barre quelconque cPune poutre américaine est soumise à son maximum de travail à l'extension ou à la compression lorsque la surcharge couvre entièremtnt et exclusivement toute la partie du pont comprise entre cette barre et Pune ou l'autre des extrémités de l'ouvrage.
Cherchons maintenant l'effort normal supporté par la barre QT, qui a pour nœud antérieur le nœud non chargé Q (a: + X). Nous retrouverons exactement les mêmes valeurs que pour la barre QM, sous réserve du changement subi par le coefficient cos 0 qui devient cos 0\
Par conséquent, dans les formules qui précèdent, x désigne toujours la distance à l'origine 0 d'un nœud chargé, et ces formules sont applicables à la barre issue du nœud Xy ainsi qu'à la barre issue du nœud {x -f X) non chargé qui le suit.
Il arrive dans certains cas qu'au milieu de la longueur de la poutre il y a un changement dans le mode de triangulation, de telle sorte qu'une barre est assemblée à Tune de ses extrémités avec la barre précédente AB et la barre suivante BD {fig. 78). En pareil cas on doit considérer que la barre
PONTS 3IÉTA]
:st double et que la triangulatî : AB — BC — CB — BD. B
sauf que cette !
normal double les formules gi ne peuvent se la pièce, à pa P " ,g verra, l'inclina
ainsi que celle >us obtiendrons de même la orté par la portion de corde Pi ), c'est-à-dire comprise entre L prises à partir du point 0.
rcharge de H à L :
'charge de 0 & M :
■charge complète :
lUS avons encore à calculer l'i on de corde AIT, qui est op !l n'est pas chargé, c'est-à-d >s X et ^ -f R prises à partir d
! trouve de même :
■charge de M à L ;
charge de 0 à H :
~ilnk
çcosô. ~ = -^[l — x — \)[x + s){x + n
charge complète
+ l[l(i-Si-«) + ((n-0-. («-.)]].
Dans le calcul de Cj y et C, c', y et C nous ne nous sommes pas préoccupés des signes. On sait que c et y sont positifs lorsqu'il s*agit de la corde inférieure et vice versa. Par conséquent, les quantités c et y étant de même signe, leur somme C est plus grande qu'elles, et représente TefFort maximum que doit supporter la corde.
D'où la règle suivante : pour calculer Veffort maximum subi par Pvne des cordes de la poutre, il faut toujours se placer dans Phypothèse de la surcharge complète, quelle que soit la portion de corde considérée.
Dans le cas où tous les nœuds sont chargés, tant sur la corde supérieure que sur la corde inférieure, les formules (4), (5) et (6) sont seules applicables : n désigne alors la distance horizontale de deux poids consécutifs placés l'un sur la corde inférieure, l'autre sur la corde supérieure.
^B. Caleul des l»ai*i*es et clés eontPC^lMàPpes* —
Noos venons d'examiner toutes les formules à appliquer dans le calcul d'une poutre simple. En distinguant par les indices /? et ic les efforts normaux dus à la charge, nécessairement répartie sur toute la longueur de la poutre, et à la surcharge, nous voyons que le calcul de la poutre doit se faire d'après la règle suivante :
L'effort normal subi par une barre sous l'action de la charge est représenté par F (formule (3)); suivant que F^^; est positif ou négatif, la barre, qui travaille à l'extension ou à la compression, est un tirant ou un bras. D'autre part F^^j s'annule, puis change de signe lorsqu'on passe d'une moitié de poutre à l'autre. Donc pour que F cos 6 garde le même signe dun bout à l'autre de la poutre, il faut que cos 6 change de signe au milieu de la portée : cela veut dire que l'angle 6 est aigu pour les bras situés dans la première moitié de la poutre, et obtus pour les bras situés dans la seconde moitié.
C'est l'inverse pour les tirants, dont l'inclinaison sur la verticale est aussi renversée au delà du milieu de la portée.
Les efforts maxima dus à la surcharge sont, dans des sens opposés, /ic et fit (formules (1) et (2)). L'une des quantités /^ et (^ aie même signe que Fp ; en l'ajoutant à F^, on a le maximum de l'effort que le bras ou le tirant pourra avoir à sup-
CHÂP. m. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES 123
Supposons que, par suite d'une répartition déterminée de la surcharge, les bras soient exposés à travailler à Textension, et les tirants BG à la compression : il s'agit de remédier à cet inconvénient.
Il suffît pour cela d'établir des contre-tirants AD, CE, qui coDstituent avec les bras AB, CD, EF une nouvelle triangulation établie de telle sorte que le nœud antérieur primitif d'un bras, le nœud C du bras CD par exemple, en devient le nœud postérieur eivice versa. Par conséquent l'angle 6^, qui était aigu, est remplacé par l'angle O'/^ui est obtus. Donc cos 6^ change de signe, et l'effort de traction que subissait le bras est transformé en un effort de compression, sans (Tailleurs changer de valeur absolue.
De même l'angle obtus d, du tirant est remplacé par l'angle aigu b\ du contre-tirant ; cos 6^ change de signe et l'effort de compression que supportait le tirant BC est remplacé par un effort d'extension, appliqué au contre-tirant AD ; on l'obtient en multipliant l'effort normal primitivement calculé
cos 6'
par r^« On aurait pu arriver au même résultat en conser-
^ cos 6, ^
vantles tirants BC, DE, etc., et remplaçant les bras par des contre-bras tels que BE et DG. Le raisonnement serait absolument le même, et Ton verrait que les contre-bras travaillent à la compression alors que les bras auraient travaillé à l'extension, et qu'ils transforment en effort d'extension l'effort de compression qu'auraient primitivement subi les tirants.
On voit que dans une poutre américaine on a besoin, en certains cas, et dans le voisinage du milieu de la poutre, d'établir soit des contre-bras, soit des contre-tirants pour éviter le renversement des efforts dans les barres, mais que d'ailleurs on n'a jamais à établir à la fois des contre-bras et des contretirants. Ces contre-bras ou contre- tirants doivent être admis dans la partie de la poutre comprise entre les points où F(,)-f çw et Fp +/« changent de signe. On a approximativement les limites de cette zone à l'aide de la formule qui donne, pour les poutres à âme pleine (n^ 69), les distances à rorigine des points où l'effort tranchant peut changer de signe :
Tan
e,p nen natl Lbir idia s k
la s es c
rici:
n es
idiq ■squ itcl
rap]
CVH
i*6j c' = 5^(j! -|-X)(/ — X — u + s)(/ — X — si \de cord.
iinn ioppoeêetti
tHAP. III, POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES iH
J Portion de cord' I opposée au nœui
U n + Xeta; + i.
''^j C=^[:r(/-ar) + s{«-s}] )
' -t compri ecnlrcle
(18) G'=::j^[j(/ — J-j + âtn — ») + 5^l^ — 2^ — n)] I""*"**^
Ainsi les formules 1,2, 3, 6 et 9 suffisent pour calcule f, <f, F, C et C dans les cas les plus compliqués de la pratique
Les formules 10, 11, 12, 15 et 18 sont applicables toute les fois que les poutres étudiées sont symétriques par rap port à la verticale passant au milieu de la longueur.
Enfin lorsque la poutre simple étudiée est à elle scul< l'omTage complet, c'est-à-dire n'est pas un élément de pou
Irc composée, on a nécessairement ï = s=:h ou l = s= ^■ Dans le premier cas les formules deviennent :
'*"' T=inêo8«*'' + °^'' J ^NœuJ anlSrieup M ou (
T. ,, w , ., . f Nœud opposé (j:). (*») V = î^4('— )('+")W u.,u. :,, + , à,-;
portés par les cordes de la poutre composée. Ces calculs n'offrent rien de particulier ni d'intéressant, et nous nous bornerons à énoncer les formules auxquelles ils conduisent dans chaque cas.
-^lO. OlftoiaL fll'uiie nnit^ cle lonstieui* e»p^etale. —
Afin de simplifier encore l'emploi de ces fonnules, nous conviendrons de prendre pour unité de longueur l'équidistance (les poids égaux en lesquels on a divisé la charge et la surcharge, c'est-à-dire la distance constante de deux nœuds chargés consécutifs de la poutre composée.
Dans ces conditions, en désignant par zéro l'extrémité de gauche de la poutre, et numérotant les nœuds chargés de la poutre à partir de cette extrémité, on arrivera à ce résultat que le numéro d'ordre d'un nœud chargé représentera aussi sa distance à l'origine en fonction de l'unité de longueur choisie (à condition que la distance du premier nœud chargé à l'extrémité de gauche de la poutre soit égale à l'unité, ce qui est le cas général de la pratique). Le numéro de l'extrémité droite de la poutre représentera la longueur totale de l'ouvrage.
Cette convention oblige à mesurer la hauteur h de la poutre m fonction de Vunité de longuetir adoptée. Cela fait, on remarque que la formule obtenue permet de calculer immédiatement, non-seulement, la poutre que l^on considère, mais toutes les poutres semblables, c'est-à-dire toutes les poutres que l'on obtiendrait en multipliant toutes ses dimensions par un même coefficient quelconque, à la seule condition d'attribuer aux poids/? et ^ en lesquels la charge et la surcharge sont subdivisées la valeur qui leur convient en chaque cas.
Après avoir établi le tableau des efforts normaux subis par les différentes portions, de corde supérieure et inférieure, et par toutes les barres d'une poutre, on obtiendrait les efforts relatifs à une poutre semblable en multipliant tous les nombres du tableau par le rapport ^ des charges par unité de
longueur des deux poutres, ou le rapport-* des surcharges par
lur (cette ua Is chargés), n fonction i
■ur est -ï-* I
'Dtcrons tou r des figures
bras) seront, indiquées par un double trait, \es
; (cordes inférieures et liraots) par un trail
tre-bras par un double trait pointillé, et les
ïar un trait simple pointillé.
jurées par les traits — ... — ... — ou =...=-..=
res accessoires, tendues ou comprimées, m'
faisant pas partie de l'ossature de l'ouvrtge
et destinées simplement à reporter une partie
de la cbarge en un point déterminé de la
poutre. Si par exemple dans la figure 80, on
admet que le tablier du pont est AC, et qut
l'on veuille le faire porter par les nœuds
Eaut placer en B une tige verticale BD, qui
ablier au milieu de la distance AC.
lUC nous indiquerons sur les figures lorsqu-'
is utile pour donner plus de clarté aux dessins.
»ais dans^les calculs, puisqu'elles ne font pis
Lie de la poutre et ne contnbuent en rien à sa
sltlon iu6tltofll<iuo de» ealouls. — Aval
xamen des divers types de poutre en usagi lerons l'utilité qu'il y a à effectuer méthod ilculs de toutes les parties de la poutre, blit un diagramme ou dessin géométrique n outre, où toutes les pièces sont indiquées pi 1 calcule successivement, à l'aide des formait type et en raison de la charge cl de la sa t normal maximum supporté par chaque pife( j la charge et de la surcharge, et on l'insa ï côté de la ligne qui représente cette pièci ' a plus qu'à multiplier chaque effort normi
CHAP. m. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES 129
trouvé par le coefficient p-, où R représente le travail à Tex-
tension ou à la compression qu'il convient de lui faire supporter en raison de sa longueur et du métal qui la constitue (chapitre I, n** 21), pour avoir Taire de sa section transversale, qu'on inscrit sur le diagramme à côté de l'effort normal. C'est ainsi qu'il faut toujours procéder pour les cordes. Pour les barres, il est en général plus commode de calculer non pas /« -f- Fp mais (/« + F,) cos 6, qui dépend uniquement de la variable x, et non plus de Finclinaison d qui peut changer d'une barre à la suivante. Cela fait, pour avoir l'aire de la section transversale d'une barre quelconque, il faut multiplier
le résultat du calcul précédent par t^ au lieu de -s-tce qui
ne présente aucune difficulté. Ce procédé de calcul simplifie sensiblement les opérations dans les poutres où 0 est susceptible de présenter plusieurs valeurs différentes pour les tirants, bras, contre-tirants et contre-bras.
Nous allons maintenant passer en revue les différentes poutres américaines, dans Tordre suivant : poutres simples, poutres composées, poutres complexes.
