JO

Fig 151

u — Les formules précédentes supposent connus a, ô, «' et b\ Il arrive souvent que le problème se présente autrement. On connaît à priori les sommes ou les différences de «, a', 6 et S'; la traction horizontale Q que le c&ble aura à équilibrer ; la section du câble, ou, ce qui revient au même, le maximum F de l'effort d'extension qu'il pourra supporter. En combinant entre elles les formules précédentes, il est toujours aisé, lorsque le problème est déterminé, de trouver les dimensions essentielles du pont. Nous croyons utile de donner ici les principales formules que l'on pourrait avoir occasion d'employer en pareil cas pour calculer a Qib en fonction des différentes données du problème.

On a:

b') + {p + ^){a + ay^ /

bz=

Quand les extrémités A et A' du câble sont du même côté du sommet de la parabole, il faut attribuer à a' le signe moins.

03« I^oneru^up clés cÀbles pplnetpAus.. — Ayant

déterminé la section du câble, on calcule sa longueur au moyen de la formule approximative suivante :

Lorsque les extrémités du câble sont du même côté de la parabole, nous répétons encore que a' doit être pris avec le signe moins {fiff. 152).

Cette formule, qui pour le pont de New-York (2a = 487" et ô = 36"88) ne donne pas une erreur supérieure à un centimètre, est toujours d'une exactitude plus que satisfaisante en pratique.

Pour a = a' , cas de la parabole symétrique par rapport à son axe, elle devient :

On pourrait se proposer, connaissant S, a et a', de déterminer les ordonnées b eib' des points d'appui par rapport au sommet de la parabole ; on aurait :

j ^* I /'5 (g' + (il — K25(^+ a''i* — 90 (S — a — q^) (a' +7^

Fig 152.

Pour a = a', cas de la parabole symétrique, on a :

CHAP. IV. PONTS SUSPENDUS

Pour a' = 0, cas de la demi-parabole :

S'A* I>^foraiation clés cÀbles pplnclpaux, ol&ai*s^e

et fliiipeiftarse complète. -^ Après avoir calculé la section da câble en raison de Teffort qu'il aura à supporter dans les conditions les plus défavorables, c'est-à-dire avec la surcharge complète, et avoir déterminé sa longueur, il importe de re* chercher quelle pourra être sa déformation dans les différentes circonstances qui peuvent se présenter.

Considérons la charge p par mètre courant. Cherchons l'allongement que va subir le câble par l'effet de la tension qu'il subit. Soit Ip S cet allongement. L'effort normal en un point quelconque M {x^y) est :

L'allongement produit sur un élément infiniment petit du câble ds est, en désignant par 12 l'aire de la section du c&ble et par E le coefficient d'élasticité du métal :

s,rfs=^=e±:*?;s±i'xdx

ibùE ih'x' + a'

ib'x

d'où

En général Ton retranche cet allongement Sp S de la longneur S trouvée précédemment (93), de façon que le c&ble ne prenne sa forme parabolique définitive, correspondant à la longueurs, que lorsqu'il porte la charge permanente. Pour

calculer rallongement dû à la surcharge complète, il suffit de substituer ir kp dans la formule précédente.

Connaissant l'allongement ^ S dû à la surcharge complète, il peut paraître intéressant de rechercher le déplacement subi par le sommet de la parabole, sous Taction de la surcharge, c'est-à-dire les variations Ba et Sô de ses coordonnées.

On a, en différenciant Téquation qui donne S en fonction de a et ô, et en tenant compte de ce que 5ô = 56',

ôa = — Sa, et -i = -7t»

5a^-aa' = ^(l-i,)«6

86 représente ici l'abaissement vertical du tablier au droit

du sommet de la parabole.

Ces deux équations permettent de calculer deux des quantités 3 S, Ba, ^0, connaissant la troisième. Nous indiquerons

plus tard certains cas où elles trouvent leur application.

Pour a = a', cas de la parabole symétrique, les formules se

simplifient :

ÛE^ 6' 40a' — 486*

a^ b est l'abaissement vertical du tablier du pont au milieu de la travée.

Pour la demi parabole {a = 0), on a :

Sa' = — S<i = SSX

Kig. IS3.

S a' est négaiif, et l'on voit que le sommet de la parabole qui coïncidait primitivement avec une extrémité Â du c&ble s'est déplacé de la longueur — $a' pour venir en B sans subir

CHAP. IV. PONTS SUSPENDUS

Je déplacement vertical appréciable^ vu la proximité du point ilappui A.

I>^foi*iiiAtlon des cÀbleni principaux.* S^ui*-

charse ineompi^te. — Pour calculer la section d'un càblo principal, on suppose toujours la surcharge complète, et c'est ainsi que Ton obtient Tefifort d'extension maximum. Mais dans l'étude de la déformation il convient, lorsque l'on cherche les déplacements fnaxima que peut subir le câble, do supposer que la surcharge ne couvre qu'une partie de Fouvrage, depuis une extrémité A jusqu'au point M du c&ble dont on cherche l'abaissement vertical maximum. (Ft^.lSi.)

Les coordonnées primitives du point M, lorsque la parabole était simplement chargée , étant connues, il suffit pour déterminer la déformation subie par le câble, de cliercher la nouvelle valeur prise par l'ordonnée u du point M, mesurée au-dessous ' de l'horizontale passant par l'extrémité A du câble y que nous supposerons plus élevée de A que l'extrémité A',etque nous prendrons pour origine des coordonnées. Désignons par /l'ouverture totale de l'ouvrage . Le câble surchargé de A en M et chargé simplement de M en A', décrit deux arcs de parabole différents, qui ont même tangente au point de passage M'Appelons m et n, ;w' et n les coordonnées inconnues des sommets 0 et 0' de ces deux paraboles par rapport au point A. Désignons |par h la distance verticale des deux extrémités A et A' du câble. En exprimant que les deux paraboles pas- ^^i au point M (i«, r), qu'elles s'y raccordent, que les traclions horizontales exercées par le câble sur les deux points <' appui A et A' sont égales, et enfin que la somme des longueurs des deux arcs de parabole A M et A' M est égale à la longueur totale S du câble connue à priori, nous avons cinq ♦•quêtions de condition dont nous pourrons tirer les cinq in- ^•onnues wi. /i, m', n' et ?/.

Fig. 1o4.

PONTS MÊTALUQDES.

in-V)-

iir».' (m-»)' (..l'-^r K-»)'-]

Il est aisé de tirer des quatre premières équations les valeurs de n, m, n', m' en fonction de u, de les substituer dans la cinquième qui est du 2° degré en u*, et qu'on peut par conséquent résoudre par rapport àw.

Nous indiquerons le développement des calculs dans le cas très fréquent oti les extrémités du câble sont au même niveau : 4 = 0.

On a alors :

£ i I 'uM "'-'"-'"'' I ('-"'f + K-T 1

"-'+3" ([«•(„V)-l' + [((-„')--((,'vn-i 2 ( „■-(»- Y)- (;-«')• -Kn'-Y)- 1

5 i [„■(„ vjT"^ [((-»')•-("■- V/]M

Les quatre premières formules permettent de calculer m, m', n et n'. Gela fait, la dernière qui est du 2" degré en f^ fournit u sans difficulté.

Dans le cas particulier où la surcharge couvre une moitié

de la travée, c'est-à-dire où « = ç- on peut faire les substitutions des valeurs de m, m', n et n' dans la dernière équation.

INTS SUSPENDUS.

V = s = « que l'on obtient tournent du c&blc au milieu de la effectuer ce calcul, a&n de voir T le milieu du pont lorsque la la moitié.

inéral oii la long:ueur du tablier est divisée en zones qui portent des surcharges inégales ifig. 155). Dans la figure on voit que le c&ble est divisé en 6 arcs paraboliques qui se raccordent aux points B, C, D,ËetF. Ce problème n'est pas plus dinicile à résoudre que le précèdent, mais il présente plus de complications à cause du nombre des in- ^rminer. Soit N le nombre des bc à la suivante, tels que le point nnées par rapport au point A des îles, au nombre de 2N + 2, el e passage ; on a en tout 3 N -|- 2

oordonnées par rapport au point le parabole consécutifs {/ig. 156), ges respectives, u, v, u,,i\, w,, ti.

les coordonnées des points de passage M, N, P. La condition

que les arcs de parabole passent par les 7^**^ points F, E, D etc. donnent N -f- 1 équation de la forme :

Fig. 1!^.

(n -- V)' (n — Wy

La condition que les arcs de parabole se raccordent au point de passage donne N équations telles que :

La condition que les composantes horizontales des tractions soient égales donne N équations telles que :

Enfin en égalant à la longueur connue du câble S la somme des longueurs des arcs paraboliques, on obtient une dernière équation :

"^Zj3Ln — V, n — V J ZàbUn — Y,)' (« — V)"J

On a 3 N + 2 équations pour 3 N + 2 inconnues. Le problème est donc déterminé et les calculs ne présentent pas de difficulté sérieuse, bien que la résolution simultanée d'uu aussi grand nombre d'équations puisse être un peu compliquée.

La valeur exacte de S peut toujours se calculer sans erreur appréciable, en admettant que le poids total de la surcharge est réparti uniformément sur le pont.

On peut ainsi trouver la forme que prendra le c&ble pour une position quelconque de la surcharge, car après avoir fait les calculs précédemment indiqués, rien n'est plus simple que de tracer les paraboles successives, connaissant pour chacune le sommet et un point.

00« I>^foiiiiatloit des cÂbles pplnciiMbux:. filnr-

— Dans certains cas, un poids isolé,

CHAP. IV. PONTS SUSPENDUS

porté par un pont suspendu, comme un chariot lourdement chargé, une locomotive etc., peut donner lieu à une déformation bien plus considérable que celle qui résulterait de la surcharge complète ou de la surcharge couvrant un portion seulement du tablier. Il peut être intéressant de chercher la déformation subie par le c&ble sous l'influence 'de ce poids

isolé. Conservons les notations du paragraphe précédent. Le câble décrit deux arcs de parabole A M et A' M, qui viennent se couper au point M d'application du poids isolé P {fig.

157). Ces deux paraboles, correspondant à la même charge p par unité de longueur, ont même paramètre. En désignant par met n, m' et n' les coordonnées de leurs sommets 0 et 0' par rapport au point A, on a les équations ^' de condition :

^n'—yy~{i—ny

Q/i 2rm' (m — u)', {m' — h)' (m' — «H ■^3L^~ n — V ■•" l — n' n'— V J

2 Tm* (m — m)' (m'— h)* (to' — «)'"! 5[n' (n — V)'"^ l — n' (»' — V)'J

n est facile de tirer m, n, m', n' et u de ces cinq équations. Dans le cas particulier où les deux extrémités Â et Â' sont de niveau, on a :

A = 0, et on trouve :

, / PV

b-^i-^M I [^. (^ yj.]. i- [(^ ^/). (n' — V)T

2,.^ n'-(n-V)' (/-nT-(n--V)' ^

La déformation est maximum lorsque Ton a V == ^» c'est-àdire lorsque le poids est placé au milieu de Touverture; on a en ce cas, en posant / = 2 a :

S = 2a + ^ w* jj=j-^ PV FT

Rien n'est plus aisé que d'en tirer u.

Le problème ne serait pas plus difficile à résoudre si, au lieu d'un poids isolé, on en avait une série, correspondant chacun à un point d'intersection de deux arcs de paraboles. Soit N le nombre de ces poids : on aurait 3 N -}- 2 inconnues, savoir les ordonnées u des N points d'application, et les coordonnées m et n des sommets des N -f 1 paraboles.

On aurait alors N -f 1 équations de la forme {/îg. 158) :

(n-V)'-(n-V,r' N équations de la forme : P, = (n — n^)p]

N équations de la forme :

et enfin

„ . 2 vr(*H-«.)' jm-n)'-] 2 y,r(m-«,)' (m-tt)n

''~'^3Z{n—y, n— V J lZ{{n—y,y {n—yyj

en tout 3 N -|- 2 équations pour 3 N 4- 2 inconnues.

CHAP. IV. PONTS SUSPENDUS. 233

Le problème est donc déterminé, et la recherche des valeurs de Uj u^, etc., est une opération longue et compliquée, mais qui ne présente aucune difficulté.

En résumé, nous voyons que, quelque soit le mode de répartition de la surcharge sur un pont suspendu, par zones nniformément surchargées, ou par poids isolés, Ton peut toujours sans difficulté déterminer la courbe décrite par le câble, et par conséquent les déplacements subis par ses différents points depuis la position initiale qu'il occupait avant de porter la surcharge.

BT. I>^ffojraiatlo]i des c&l>les pplnclpanx^* Elflets

de la tempé^patiipe. — Soit t Técart de température, par rapport à la température moyenne qui a été admise dans le calcul de la longueur initiale du câble ; t est positif ou négatif suivant qu'il s'agit d'une élévation ou d'un abaissement de température.

Désignons par oc le coefficient de dilatation linéaire du métal

L'accroissement de longueur du câble est : 5, S = S a /.

On peut d'ailleurs calculer le déplacement du sommet ^ a et 8, 6 par les formules du n** 94.

98* "Vturlatlonsi cle Feftort de tpactlon dans les

eàbies principAux:. — La déformation du câble entraîne nécessairement un changement dans l'eflFort de traction exercé sur les points d'appui. En général, les variations de « et de ô étant très faibles, les changements subis par l'effort de traction sont insignifiants et Ton ne s'en préoccupe pas. Mais il peut en être autrement et, connaissant la déformation du câble donnée par les quantités S S, ôôet 5 a, on peut avoir besoin de calculer le changement 5 Q subi par l'effort horizontal de traction.

Nous ne considérons ici que le cas de la surcharge uniformément répartie sur toute la longueur de la travée (94).

On se sert en ce cas de la formule :

SQ = (^+j.)j|$a-^.a6J

Dans le cas de la parabole symétrique Ba ^ o : d'où

Dans le cas de la demi-parabole, on a S& s=: o.

Dans le cas d*une surcharge irrégulièrement répartie, les équations (4) des numéros 95 et 96 permettent en toute circonstance de calculer la valeur de la traction horizontale Q. On pourrait, après avoir ainsi déterminé le changement subi par Q, calculer à nouveau les déformations du càble en se servant de la valeur rectifiée de Q. Cette méthode de fausse position est d'une application simple et rapide. D'ailleurs, avec les proportions en usage dans les ponts suspendus, Finfluence de ^Q sur la déformation des câbles est toujours négligeable et la vérification dont il vient d'être question est inutile.

00« I>^f ormatlon des csÀbles prlnoipAnit imip suite du d^plueement Itorlzontal d'un point d'uppul* —

Nous avons supposé jusqu'ici que les extrémités des câbles étaient des points fixes. En général il en est autrement. Si le câble glisse sur un point d'appui, la longueur S correspondant à la travée augmente ou diminue : Or on sait, en pareil cas, calculer la variation de b et de a (94).

Mais si les extrémités de A et A' sont fixées à des colonnes oscillantes, il peut arriver que A vienne en A,, et A' en A', sans que la longueur du câble change : c'est l'ouverture du pont qui a diminué de AA, -f A'A'„ soit Bl{fig. 159) :

On a:

Fig. iS9.