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l'effort normal au poids tî, pour une section et un poids déterminés :

Le travail maximum du métal aura pour expression, pour la semelle supérieure :

F XA F jt X TcA il 21 ""or ' tt -K^^V

et pour la semelle inférieure :

F XA F :? , X ttA Û"^ 21 "it ' û"^ 7:^21"

Il suffit donc de prendre tous les nombres inscrits au tableau précédent, et de multiplier les efforts normaux par le

coefficient — qui dépend uniquement de la surcharge et de la

section transversale de Tare, et les moments fléchissants par

le coefficient-^' qui est dans le même cas, puis de prendre

les différences des nombres obtenus, pour avoir le travail à la semelle supérieure, et leurs sommes, pour avoir le travail à la semelle inférieure, sous l'action du poids considéré.

On effectuera ces opérations pour toutes les sections et tous les poids, et on inscrira les résultats dans un tableau à double entrée semblable au tableau précédent : il pourra paraître plus commode d'employer deux tableaux distincts, l'un pour la semelle supérieure et l'autre pour la semelle inférieure.

Pour obtenir le travail de l'âme sous l'influence de l'effort normal et de l'effort tranchant agissant simultanément, il

suffira d'effectuer la somme tt- •\ » w étant la section de

l'âme. Mais comme en général, ce travail est toujours bie^

îi .

PONTS MÉTALUQUES

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inférieur à la limite admise, on peut se contenter d'en faire la vérification pour un ou deux points, sans s'astreindre à faire ce calcul pour toutes les sections de Tare.

4® Calcul du travail développé par la surcharge complète ou répartie de la manière la plus défavorable. — Si dans le tableau précédemment dressé et relatif, par exemple, à la semelle supérieure, nous effectuons la somme de tous les nombres placés sur la ligne horizontale qui correspond à une des sections de Tare, nous aurons la valeur du travail total développé par l'ensemble des poids agissant simultanément, c'est-à-dire par la surcharge complète. Faisant la même opération pour toutes les sections et pour les deux tableaux, nous aurons en toutes les sections l'effet produit à la semelle supérieure et à la semeUe inférieure par la surcharge complète.

Les tableaux peuvent servir aussi à calculer le travail dû à une surcharge partielle : il suffit de faire le total des nombres de chaque ligne horizontale correspondant à la partie de l'ouverture sur laquelle s'étend la surcharge, en laissant de côté les colonnes qui correspondent à des poids supprimés, c'est-à-dire, à des points de l'arc que la surcharge ne couvre pas. On pourra donc étudier la stabilité de l'arc dans l'hypothèse d'une surcharge incomplète quelconque.

Mais ces tableaux permettent aussi de se procurer un renseignement de la plus haute importance, savoir : le travail maximum développé dans chaque semelle de chaque section par la surcharge répartie de la manière la plus défavorable pour le point considéré lui-même.

En effet, le travail maximum du à un poids quelconque se rapporte à un effort de compression, si le nombre qu'il représente est négatif, et à un effort d'extension dans le cas contraire. Une même ligne horizontale, correspondant à Tune des semelles d'une section de l'arc, comporte une suite de nombres dont les uns sont négatifs et les autres positife. Effectuons séparément la somme de tous les nombres négatifs, en laissant de côté les autres : cela reviendra à calculer le travail dû à une surcharge répartie de telle sorte, qu'elle comprenne tous les poids susceptibles de produire un effort de compression, à l'exclusion de tous les poids susceptibles

de produire un effort d'extension. Cette surcharge est évidemment celle qui donne le maximum du travail à la compression. De même en effectuant la somme des nombres positifs, à l'exclusion des nombres négatifs, on aura le travail dû à la surcharge répartie de la manière la plus défavorable au point de vue du travail à l'extension. Ces deux surcharges sont complémentaires, et leur réunion constitue la surcharge complète. De même la somme des efforts maxima calculés, c'est-à-dire la différence de leurs valeurs absolues, puisqu'ils sont de signes contraires, donne le travail dû à la surcharge complète, qui, on le voit, est toujours plus petit que l'un des deux nombres précédents, savoir le nombre négatif. Les deux tableaux relatifs au travail subi par l'une et l'autre semelle de l'arc se divisent ainsi naturellement en deux zones contenant l'une tous les nombres négatifs, l'autre tous les nombres positifs : il faut effectuer séparément sur chaque ligne les sommes des nombres compris dans chaque zone pour avoir les efforts maxima à la compression et à l'extension que le métal aura à supporter, puis additionner ces deux derniers nombres pour avoir l'effort dû à la surcharge complète. La méthode de calcul que nous venons d'exposer remplit, on le voit, entièrement le but que l'on doit se proposer dans le calcul d'un ouvrage métallique. Il ne serait d'ailleurs pas possible d'arriver à ce résultat d'une manière différente au moins pour toutes les sections de l'arc, car il résulte nettement des applications que nous avons faites de ce mode de calcul à différents ponts, que la surcharge la plus défavorable pour une section diffère de celle qui correspond à la section voisine, et que dans une même section, la surcharge la plus défavorable pour la semelle supérieure n'a aucun rapport avec celle qui est relative à la semelle inférieure : on ne peut donc imaginer une surcharge particulière, couvrant la moitié ou les 2/3 ou les 3/4 de l'ouverture, qui produise l'effet maximum à la fois on tous les points de l'arc, et cette surcharge doit être déterminée séparément pour chaque section considérée à part, ainsi que nous l'avons fait.

Les figures ci-jointes indiquent, dans un cas particulier étudié par nous, et dont il sera question dans l'article suivant,

les modes de répartition de la surcharge, qui donnent dans les dilTércntes sections, les efforts maxima, tant dans la semelle supérieure (fig. 2i6), que dans la semelle inférieure [fig. 217). Les verticales correspondent aux poids, les horizontales aux sections et les parties couvertes de hachures indiquent le travail à l'extension.

Cela veut dire que pour la section M [fig. 216), située à la distance MA des naissances ot h. la distance MS de la clef, la surcharge qui donnera l'effort maximum à la compression sur