I + I + I II

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I + I f I II II

■♦vr •

tV.

PONTS MÉTALUQUES.

L'examen de ce tableau montre que le calcul est en plein désaccord avec l'expérience. Nous avons pris pour chaque section de Tare la moyenne des résultats trouvés dans toutes les expériences, afin d'éliminer le plus possible les irrégularités et les erreurs provenant de Timperfection des appareils, ou des circonstances accidentelles. Ces moyennes correspondent à une disposition particulière de la surcharge qui serait

complète sur t de l'ouverture, réduite à j sur le quart suivant,

à ^ sur le troisième, et enfin à t sur la demi ère portion.

Or, l'on voit immédiatement : V que le moment fléchissant qui, pour un arc articulé, atteindrait son maximum au droit des reins, est, dans l'ouvrage tel qu'il a été exécuté, à peu près nul en ce point de l'arc ; 2* que le moment fléchissant, qui devrait être nul aux naissances, y est au contraire maximum; 3° enfin que l'effet produit à la clef par le moment fléchissant est plus considérable, mais de très peu, que ne l'indique le calcul.

Le seul énoncé de ces trois résultats d'expériences démontre d'une façon irrécusable que l'ouvrage se comporte comme un arc encastré à ses deux extrémités (172-180). M. Diipuy ne s'y est d'ailleurs pas trompé, car après avoir rapporté les résultats des expériences faites sur le Poni-aux-Moines^ il ajoutait que l'arc se comportait sensiblement comme une poutre droite supportée par deux conlrefiches, ce qui revient exactement à ce que nous avons dit, et c'était intentionnellement, en vue de retrouver les mêmes résultats pour le pont de l'Erdre, qu'il avait placé des cales aux retombées de ce dernier ouvrage.

Le tableau qui précède montre d'une manière évidente que pour un pont ainsi construit, les valeurs du travail données par les formules relatives aux arcs articulés n'ont aucun rapport avec le travail réel.

M. l'ingénieur en chef Dupuy^ après avoir constaté cette anomalie, fait observer qu'il n'en peut résulter d'inconvénient sérieux, puisqu'on aucun point, le travail constaté ne dépasse la limite supérieure indiquée par le calcul, et qu'au contraire on reste partout sensiblement au-dessous. Nous ne partageons

pas complètement cet avis. Les appareils employés dans les expériences que nous venons de rapporter avaient certainement le Tléfeiut â^ètre paresseux^ c'esl-à-dîre qu'ils ne se mettaient en mouvement que lorsque le métal avait déjà subi une certaine dilatation ou une certaine contraction, de sorte que les nombres obtenus devaient très probablement être inférieurs à la réalité : Terreur paraît être variable d'un appareil à l'autre, et même elle doit avoir subi des changements d'une expérience à la suivante, car M. Duptty avait constaté l'extrême sensibilité de son instrument aux variations de îa température extérieure, et il reconnaît que la moindre cause suffit pour Pendre ses indications absolument erronées.

Du reste le tableau le prouve surabondamment, car pour la compression due à l'effort normal, qui s'obtient en prenant la demi-somme des valeurs du travail accusées pour les deux semelles, l'expérience ne donne que des résultats manifestement inexacts qui pèchent par insuffisance. Il semble que la constante à ajouter aux indications de l'appareil, lorsque celui-ci s'est mis en mouvement, est en moyenne d'environ 0'',3 par millimètre carré, ce qui conduit à reconnaître que certains points de l'ouvrage, notamment la semelle inférieure au droit des naissances , supportent en réalité im effort plus que double de celui indiqué par le calcul. Pour le pont de l'Erdre, où la charge permanente est beaucoup plus importante que la surcharge, et où l'arc a été établi dans des conditiens de stabilité très larges, cela peut être sans inconvénient sérieux : encore n'a-t-on pas fait entrer en ligne de compte rinfluence de la température, qui donnerait des résultats analogues à la surcharge (169-171), et conduirait peut-être à des valeurs de travail peu acceptables. Pour des ouvrages établis dans d'autres conditions, il pourrait en être tout autrement, et les indications fournies par le calcul ne permettraient d'exécuter un ouvrage parfaitement stable qu'à la condition de l'articuler réellement à ses extrémités. Le calage aux appuis, en développant dans le voisinage des naissances un travail de flexion extrêmement important, pourrait conduire à une rupture des semelles, et à la ruine du pont.

En conséquence, nous formulerons les conclusions suîvan-

tes : 1* lorsque Ton a calculé un arc avec extrémités articulées, il faut de toute nécessité laisser un jeu libre à ses articulations extrêmes, comme M. Eiffel Ta fait pour le pont de Porto sur le Douro, sans quoi les calculs faits deviennent inapplicables et Ton ne sait où Ton va ; 2° ceci ne veut pas dire que lo calage des plaques d'appui, tel qu'il est en usage aujourd'hui, constitue d'une manière générale une pratique défectueuse. Nous verrons plus loin' qu'au contraire il présente des avantages sérieux, et pour notre part nous sommes tenté de lo trouver préférable au système des articulations libres. Mais si on choisit cette solution, il faut étudier l'arc en conséquence, et après avoir calculé le travail qu'il aura à supporter sous TmAuence de la charge permanente à la température moyenne, déterminer les efforts de la surcharge et de la dilatation en tenant compte de l'invariabilité d'orientation des naissances. On sera conduit en général à renforcer un peu la clef, beaucoup les naissances, sauf à réduire sensiblement la section au droit des reins. En d'autres termes on aura à calculer un arc encastré aux naissances. Nous traiterons en détail ce nouveau problème dans la troisième partie du présent chapitre, où nous aurons à revenir sur cette question du calage des arcs après décintrement.

ms9« x'ympAiis. — Le tablier d'un pont en arc est porté par un longeron horizontal, établi en général au niveau ou un peu au-dessus de la clef de l'arc. Le poids du longeron et de la surcharge est transmis directement à l'arc au droit de ia clef; partout ailleurs cette transmission s'opère par les pièces du tympan qui occupent l'espace compris entre l'arc et lo longeron. Comme les efforts à transmettre sont verticaux, il est naturel de composer les tympans de supports ou montants également verticaux, qui correspondent aux tiges de suspension des ponts suspendus. Le tablier et les tympans constituent ainsi une sorte de viaduc à plusieurs travées de faible ouverture, dont les piles reposent sur l'extrados de l'arc.

Nous savons que l'arc subit, sous Tinflucnce des surcharges roulantes et des variations de température, des déforaiations qui se traduisent en chaque point par un abaissement ou un

s EM ARC.

je la section transversi tatioa (le celle-ci.

ont aoumia qu'à des p trait , dus à l'inQuent traduisent seulement p

g;itudinaux.

e entre les mouvemet

géométrique du tymp t constituent, obligées céments du longeron onnent lieu à un travai

lèmc dans les ponts c endre, ingénieur en ch ir ]e pont en maçonnei iverture et 15'°,70 do f •c en maçonnerie se rel c la température, et s' ms les tympans et ài ■a qui s'ouvrent en hive ;t ici très apparent parc ible de résister à un L est de même, dans un st vraisemblablement è ibreuses ruptures que reventcment et les pièi onte, et qui ont conc ments des ouvrages de travailler h la tensio n a pu conserver les tyr solidité excessive, puis en fonte sont conslitu iréscntcnt guère plus d ■âges, comme dans les vu ICI, ic piiciiuiucui.-, puui II i^Lit; pas apparent, n'en cxis moins, mais au lieu de se traduire par des ruptures, •Eonne lieu qu'à des tensions ou des pressions supplément ilont il convient de se préoccuper lorsqu'il s'agit de por grande portée.

426 PONTS HÉTALUQUES.

Tout ce que nous avons dît précédemment suppose, bien entendu, que les montants des tympans sont reliés invariablement au longeron et à Tare au moyen d'assemblages rigides. Considérons un montant MN encastré à ses deux extrémités sur Tare AA' et sur le longeron LL' [fig 258).

Supposons que, par l'effet d'une surcharge et d'un changement de température, le point M de l'arc subisse un déplacement vertical Sy, et qu'en même temps la section transversale de l'arc en M subisse un déplacement angulaire égal à S6. Enfin admettons que le point N du longeron se soit déplacé horizontalement par rapport au point M de la quantité ^x.

Nous savons calculer 80 et ly au moyen des formules de la déformation des arcs dont nous avons indiqué précédemment l'usage (130-151). Ix^ déplacement du point N, est tout simplement l'allongement ou la contraction subie par la portion de longeron comprise entre N et la clef, sous T influence de la température, dont il y a lieu de déduire, le cas échéant, le déplacement horizontal subi dans le même sens par le point M de l'arc, que l'on sait également calculer par la formule 5 du n* 151. Il s'agit d'évaluer le travail développé dans le montant MN par suite des mouvements subis par ses extrémités. Nous avons étudié celte question dans une note insérée dans les Annalns des Ponts et Chaussées (1882, 1" semestre). Nous nous bornerons à énoncer les résultats auxquels nous sommes arrivés, la méthode employée n'offrant rien de particulier ni d'intéressant. , Soit h la hauteur du montant et f» sa ^ largeur horizontale dans le plan du tympan. Remarquons d'abord que le déplacement vertical §y de la base Mdumon- . tant, effectué dans la direction même do l'axe de cette pièce, ne donne lieu à aucun travail de flexion. Il en est autrement du déplacement horizontal Ix et du dé- ^" "* • placement angulaire 86 : le travail i la flexion développé dans le montant présente deux maxima^ l'un en M, au point d'attache sur l'arc, Taulre en N, au pont d'attache sur le longeron.

Ces de ux maxima ont les valeurs suivantes :

Travail maximum en N : R = -rr (35.2? — A50).

Ee Travail maximum en M : R' = -tj (2 A50 — 35x).

E est le coefficient d'élasticité du métal.

Ces formules sont d'une application facile, si Ton a au préalable calculé 50 et $x. Les valeurs de R et de R' atteignent évidemment leurs limites supérieures pour le montant où èXj 56 et A présentent ensemble leurs valeurs maxima, c'est-à-dire pour le montant le plus éloigné de la clef et le plus voisin des naissances. On pourra donc se borner à vérifier pour cet unique montant que R et R' ne dépassent pas les limites admises pour le travail du métal.

En appliquant ces formules à un ouvrage de 60 mètres de portée et de 6 mètres de flèche, avec des montants de 0",32 de largeur seulement, nous avons constaté que dans les conditions les plus défavorables de surcharge et de température le travail supplémentaire développé dans le montant le plus voisin des naissances pouvait atteindre à la partie supérieure 5^,78 et à la partie inférieure 5^,60 par millimètre carré. Ces chiffres étaient véritablement excessifs et il convenait de les réduire en modifiant la disposition de l'ouvrage.

On peut remédier à l'inconvénient signalé par les procédés suivants :

1* On peut relier le montant h Tare et au longeron au moyen d'articulations placées en M et en N. Il est évident que toute flexion disparaît. L'inconvénient de cette méthode est de diminuer la solidarité qui doit exister entre l'arc et le tablier. Toutefois il y a toujours liaison intime à la clef, et d'ailleurs le tablier est maintenu à ses extrémités par les culées.

2^* On peut articuler le montant avec le longeron en M, en maintenant l'encastrement sur l'arc.

On a alors en N :

et en M :

Dans le cas particulier étudié par nous, l'avantage réalisé

428 PONTS MÉTALUQUES,

par cette disposition était nul : le maximum de R' correspondait à un état différent de l'ouvrage, mais il atteignait à peu près la même valeur.

S'' On peut articuler le montant avec Tare en N, en maintenant Tencastrement avec le longeron.

On a alors en N :

z If et en M :

La valeur de R est indépendante de 8ô, ce qui était évident « j»;7b;7. L'amélioration est sensible. Dans ce cas jparticulier nous avons trouvé que la limite supérieure de R ne dépassait plus 3^ par millimètre carré, chiffre acceptable. Nous avons on conséquence admis la disposition dont il s'agit.

4* Le procédé le plus simple et le plus pratique consiste à réduire la largeur en élévation e du montant. En donnant aux montants de notre pont 0™,16 de largeur au lieu de 0,32, nous aurions obtenu une diminution dans le travail à la flexion plus sensible que celle donnée par l'articulation, ot nous n'aurions pas eu besoin de renoncer à Tencastrement avec l'arc.

L'on pourrait se préoccuper des résultats fâcheux que peut amener la réduction de largeur pour une pièce comme le montant, qui est destiné à subir un effort de compression puisqu'il porte le tablier. Mais remarquons que nous disposons absolument de la dimension du montant perpendiculaire au plan du tympan, et que, par conséquent, nous pouvons augmenter à volonté l'aire de sa section transversale de façon à ramener le travail maximum à la compression, à la limite compatible avec sa largeur en élévation.

Dans le cas particulier que nous avons cité, on avait h m 5° et le travail à la compression avait pour maximum 1*',7 : par conséquent une largeur de 0™,16 seulement aurait été acceptable, mè«ie sans augmentation dans Taire de la section transversale.

Dans un grand nombre de ponts en fonte ou en fer, les tympans sont constitués par des pièces présentant une grande largeur en élévation et une très petite épaisseur pcrpendi-

culairemenl au plan du tympan : cette disposition, on le i-st fîn contradiction absolue avec les principes que venons d'énoncer. Au lieu de faire reposer le tablier sui par riolermédiairc de fermes longitudinales trës mince: blies chacune sur tout le développement d'un arc, il cor (le l'appuyer sur une série de piles très étroites en élév; placée transversalement aux arcs et présentant dans le perpendiculaire au lympiin une longueur égale à la la (lu tablier lui-mfime. C'est la disposition adoptée pi Américains pour le pont de Saint-Louis sur le Missîssi nous croyons qu'il convient de ne pas s'en écarter. Dî j:oni sur le Douro, M. Eiffel a réduit le tympan à ur montant ot^ plutOt à une pile placée au quart de l'ouvei et non aux naissances, ce qui réduisait de moitié la v maximum de se ; il l'a reliée au longeron par l'interméi d'une articulation {fig. 2il).

(3.oo+i.:ioi

Le rapport -y est assez faible : % ==0,1

Dans ces conditions on peut prévoir que le travail loppé dans la pile par les déformations du tablier cL du pau est peu important. M. Eiffel ne fournit d'ailleurs égard aucune justification.

Il arrive parfois que le tablier e.st établi au niveau corde de l'arc, auquel il est relié par dos tiges de suspen pn pareil cas, les liges sont nécessairement articulées lare. Ce système est économique. Il a l'inconvénier ilonncr une trop grande mobilité au tablier qui n'est iclenu par sa liaison avec la clef de l'arc. Ce type se aussi très mal au conlreventement qui est restreint auî !■! n'embrasse pas les tympans, comme dans la dispoi dont nous avons d'abord parlé.

De plus, il nécessite la suppression du contrevinile dans le voisinage des naissances, où il est nécessaire de les arcs entre eux par des portails, comme on le fait poi poutres droites. On peut améliorer un peu le système suspension du tablier en le composant de tiges inclin 15' dans le plan de l'arc, qui forment une sorte do ti reliant cliaque point du tablier à deux points de l'arc

430 PONTS MÉTALUQUES.

éloignés Tun de Tautre : ce mode de suspension a été imaginé par MM. Cadiat et Oudry pour les ponts suspendus. Nous ne savons s'il a été appliqué.

Enfin on peut placer le tablier à mi-hauteur de la cief (fig. 207) : c'est la disposition la plus économique puisque la surface comprise entre le tablier et Tare est réduite au minimum. Le tablier est maintenu par sa liaison avec l'arc aux points où il le rencontre, c'est-à-dire aux reins : il est susr pendu entre les reins et la clef. Dans ce type d'ouvrage le contreventement des arcs est très défectueux pour la partie située entre les reins et la clef, puisqu'il doit être entièrement supprimé au moins jusqu'à une certaine distance des reins, afin de laisser le passage libre entre les arcs aux véhicules qui circulent sur le pont. Ce genre d'ouvrage, d'ailleurs peu usité, ne conviendrait donc guère pour les grands ponts de chemins de fer.

1.S9. X'ympnns ris^ideoi. — Nous n'avons jusqu'ici considéré les tympans que comme un élément accessoire, servant d'intermédiaire obligé pour transmettre à l'arc le poids du tablier et de la surcharge. A ce point de vue la ^ disposition la plus rationnelle consiste à employer une série de montants ou supports verticaux soutenant le tablier de distance en distance. On dispose souvent tout autrement cette portion du pont, que Ton établit sur le modèle de l'âme d'un pont à poutre droite. Les tympans sont alors constitués soit par une triangulation simple ou double des systèmes Pralt, Ilowe ou Warren, soit par une âme pleine ou percée d'ouvertures circulaires qui ne diminuent pas sensiblement sa résistance, soit par des montants séparés par des croix de Saint- André, soit par des treillis à petites mailles.

On transforme de cette manière l'ouvrage en une sorte de ferme ou poutre de forme compliquée, dont la semelle inférieure curviligne est constituée par l'ai'c, la semelle supérieure rcctiligne par le longeron du tablier, et l'âme, qui disparait à la clef, par les tympans.

Cette disposition n'est acceptable qu'à la condition d'en tenir compte dans le calcul du pont, et d'appliquer les formules à la ferme telle qu'elle doit être exécutée. Il serait

CHAP. V. PONTS ES ARC, 43i

inadcoissiblo qu'après avoir étudié un arc, on lui adjoignit (tes Irmpans rigides, en supposant sans véri&cation qu'ils ne peuvent que lui tlooncr tin surcroît do résistance, et augmenter par conséquent la sécurité. Supposons en effet qu'après avoir calculé rigoureusement un arc, de Façon que le travail maximum dû à la charge, la surcharge et les écarts dp température, atteigne en toutes les sections la limite de 6* par millimètre carré, on lui ajoute des tympans rigides : on diminuera sensiblement le travail au droit des reins, qui lombcra, si l'on veut, à 4" par millimètre carré. Mais comme l'adjonclion des tympans rigides a pour conséquence de diminuer la poussée due à la charge et à la surcharge, et d'augmenter celle due à la température, il est facile de rcconnatlre qu'il en résultera un accroissement du moment fléchissant maximum à la clef. Comme la section transversale n'est pas renforcée h la clef par les tympans, le travail du mêlai y sera donc accru et porté de 6' à T. La nouvelle disposition sera ainsi plus défectueuse que celle qui eût consisté à employer des tympans sans rigidité, puisque l'on aura détruit l'uniformité qui existait entre les différentes parties de l'ouvrage au point de vue de la valeur du travail maximum, et que l'on aura en dé&nitive augmenté, au delà de la limite précédemment admise, l'effort développé à la clef. Pour que l'emploi du tympan fût justifié, il eût fallu que, d'après les calculs relatifs à l'arc seul, le travail du métal fût de 3" à la clef et de 8^ aux reins : dans ce cas l'emploi de tympan.*; ligides, ramenant ces deux efforts à la valeur uniforme de 6', serait parfaitement justifié. Cela revient à ce que nous •lisions précédemment : il faut, dans le calcul des arcs à tympans rigides, tenir compte de leur conformation et calculer non pas l'arc seul, mais la ferme composée de l'arc, des longerons et des tympans. Si l'on a un arc établi de façon ù supporter ù lui seul la surcharge dans de bonnes conditions, c'est-à-dire avec une valeur du travail maximum à peu près Uniterme d'une extrémité à l'autre, c'est l'affaiblir que le relier au tablier au moyen de tympans rigides.

Le calcul de la ferme se fait d'ailleurs sans difficulté, soit par la méthode relative aux arcs circulaires de forme variable, soit par ta méthode applicable aux arcs quelconques. D'habi-

Fig. 259.

tude on prend la section transversale de Fouvrage dans une direction verticale, au lieu de la prendre normale à Taxe longitudinal de la ferme. L'erreur commise est peu importante

si Tare est très surbaissé. Le calcul du moment d*inertic ne présente nuUo difficulté : d'habitude la section est dissymétrique, l'arc étant plus pesant que le longeron, et le centre de gravité est placé beaucoup plus près du centre de gravité de l'arc que de celui du longeron (fig. 259).

(^e type d'ouvrage est-il bien conçu et convient-il d'en recommander l'emploi? C'est ce que nous allons examiner.

1** Considérons tout d'abord les arcs à demi encastrés

{fig. 157), c'est-à-dire ceux dans . lesquels l'articulation n'est réalisée que pour la charge, tandis qu'il "y a encastremcnl pour la dilatation et la surcharge : nous avons vu que c'est ainsi que sont établis tous les arcs de petite et moyenne ouverture, et la presque totalité des grands ponts (/îy.260).

La section d'encastrement, où se manifeste le moment fléchissant maximum, est réduite à la section transversale do Tare AB. Il est vrai qu'a une faible distance il semble que la section s'augmente brusquement par l'adjonction du longeron, et devienne CDE. Mais, ainsi que. nous Pavons dit dans le premier chapitre du présent ouvrage (1), les formules de h résistance des matériaux supposent toujours que la section tramversale de la pièce étudiée varie d'une manière lente et progressive ; dans tous les cas où cette condition n'est pas réalisée, les formules ne sont plus exactes. Cette restriction est évidemment applicable à l'ouvrage que nous étudions eu ce moment : PefTort de flexion, concentré en A dans la section d'encastrement de lare AB, ne se répartit pas inunédiatement en C entre l'arc CD et le longeron E. L'effort transmis

Fig. 260.

434 PONTS MÉTALUQUBS.

connaissons que deux exemples. Ici le renforcement de l'arc, au moyen des tympans et du longeron, est parfaitement jus lifié aux reins, puisque c'est en ce point que se manifeste le maximum du travail à la flexion. Mais au droit des naissances, c'est-à-dire dans la partie où le tympan a le plus d'importance, il est sans efficacité et sans utilité. D'autre part la section de l'arc est rendue dissymétrique, car, en donnant au longeron une section égale à celle de Parc, on aurait un ouvrage mal conçu et mal disposé, où l'axe longitudinal, qui doit passer par l'articulation, décrirait une courbe bizarre et défectueuse. Cette forme dissymétrique de la section est mal combinée pour donner même valeur au travail maximum à l'extrados et à l'intrados.

En définitive, en remplaçant les tympans rigides par des tympans ordinaires et reportant sur les reins de l'arc ie poids du métal ainsi économisé sur les tympans et les longerons, on arrivera toujours à obtenir, sans augmentation de dépense, un ouvrage se comportant tout aussi bien, sinon mieux, sous l'influence de la dilatation et de la surcharge. Nous croyons pouvoir même affirmer que l'emploi des tympans rigides donnera toujours, à égalité de travail maximum, un ouvrage sensiblement plus pesant. C'est ce dont on peut s'assurer en examinant le tableau placé à la fin du présent chapitre.

En résumé nous estimons que le système des tympans rigides est à rejeter comme absolument inutile et inefficace, toutes les fois qu'il s'agit d'un arc encastré aux naisf^ances: et que dans les cas très rares où les articulations sont effectives et complètes, ce système, sans être précisément condamnable, n'offre, au point de vue de la stabilité ou de Téconomie. aucun avantage marqué, qui soit de nature à en faire recommander l'emploi.

Les remarques et les conclusions qui précèdent ne s'appliquents qu'aux ponts de grande ouverture. Pour les petites portées, inférieures à 30 mètres, le système des tympans rigides ne saurait être plus coûteux : il n'oblige pas à renforcer les longerons, et d'autre part les tympans ne représentent qu'une fraction peu importante du poids total.

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40J PONTS MÉTALUQU^S.

c'est celui du pont de Saint-Louis, de 158", SO d'ouverture et 14"',24 de flèche, récemment construit en Amérique. A en juger par les renseignements fournis à ce sujet par M. Tlngénieur en chef Lavoinne [Annales des Ponts et Chaussées, 1877, 2° semestre, page 63), on n'aurait pas suivi dans la marche des calculs une méthode commode, bien que le problème fût simplifié par cette circonstance qu'il s'agissait d'un arc circulaire de hauteur constante.

En effet, pour déterminer les réactions des arcs sur les deux culées, représentées par les composantes verticales et horizontales des résultantes et les moments fléchissants, on n'aurait pas eu moins de 27 équations différentielles du 1" degré à 27 inconnues à résoudre simultanément pour chaque cas de surcharge considérée.

Une pareille perspective effrayerait les plus courageux, surtout s'il s'agissait, comme dans le cas du pont de Saint-Louis, de répéter la même opération pour dix hypothèses différentes sur le mode de répartition de la surcharge. Mais le défaut de cette méthode consistait dans la multiplicité des inconnues que l'on calculait simultanément, tandis qu'il suffit en réalité d'en déterminer deux dans le cas d'une surcharge symétrique, pour être à même de calculer immédiatement par les procédés habituels le travail maximum développé dans une section quelconque de l'arc.

Nous allons d'abord exposer la méthode générale à suiwe dans le cas d'un arc quelconque, supposé symétriaue par rapport à la verticale qui passe par le milieu de l'ouverture, et montrer que le calcul d'un pareil ouvrage n'est pas sensiblement plus long et plus pénible que celui d'un arc articulé aux naissances, auquel on appliquerait la méthode des n** 447 et 148. Nous ferons ensuite l'application de ces formules générales au cas particulier des arcs circulaires.

Comme nous l'avons fait précédemmcnt,nous diviserons le moment fléchissant X développé dans une section transversale de Tare, définie par les coordonnées a:et y de soncentrede gravité, en deux parties : 1** le moment fléchissant X' dû aux forces verticales appliquées à Tare; 2° le moment fléchissant dû à la poussée, lequel est donné pour une section quelconque M {x.y) de Tare par l'expression Q (^ + y), ^ + y étant la distance verticale du point M au point d'application de la poussée sur la section extrême A de l'arc.

On a donc : X = X' — Q (^ + y).

Rappelons encore que, ainsi que nous Tavons fait voir

Cx Fdx précédemment, l'intégrale définie 1 * ^rj: pout être rempla-

JXq hà 41

céc sans erreur appréciable par l'intégrale équivalente rx^ Qds

Remarquons à présent que, par suite de l'encastrement de l'arc en A et en A', les valeurs de dx^ dy et rfO sont toujours nulles pour ces deux points. D'autre part, en vertu de la symétrie de l'arc par rapport à la droite Oy, la section transversale de la clef S reste verticale toutes les fois que l'arc se déforme sous l'action de la température, ou d'une surcharge également symétrique par rapport à la verticale Oy.

Ce sont les cas que nous allons d'abord étudier.

10S« dsk» d'une dilatation ou d*uno surdinrise

s^nmétpiaue. — Si l'arc est soumis à la fois à l'influence d'une élévation de température t, et à l'action d'une surcharge disposée symétriquement par rapport à la verticale OS, l'orientation de la section transversale S ne changera pas, et son centre de gravité restera sur la verticale Oy {fiy. 262).

Appliquons à ce cas les formules générales (1) et (3) du n** 145, en prenant pour limites des intégrales définies les coordonnées des points S et A.

Nous avons évidemment :

pour le point S : x=o, y^=b, dx=o, d^=o; et pour le point A : Xi=a, yi=o, dx^=rOy dyi^o^ d^{=o.

Les formules à appliquer deviennent donc, en appelant L la demi-longueur SA de l'axe longitudinal de l'arc :

440 PONTS MÉTALUQCES.

On peut en déduire la valeur du moment fléchissant — Qz développé dans la section d'encastrement A :

Admettons que Ton ait calculé les valeurs numériques des intégrales définies J, H, M et N relatives à Tare étudié, et proposons-nous de déterminer les effets produits par la température, la charge et la surcharge considérées isolément.

1** Poussée due à la dilatation.

Si nous faisons abstraction de la charge et de la surcharge, nous trouvons simplement :

rw- H.Eaotf

^ M. Eaat

z est négatif : le point B est situé au-dessus de la corde AA' de Tare. La courbe des pressions se réduit à une droite horîzon-

taie qui a pour ordonnée jj- (/îy.263).

Les points C et C, où elle

rencontre Taxe longitudinal de

Tare, séparent la partie cen-

■^ traie de l'arc, où le momeol

i/" I \J^, fléchissant dû à la dilatation

^' ^ ^ est négatif, des extrémités, où

Fig. 263. 2p moment fléchissant est po-

sitif. En C et C le moment fléchissant est nul : il atteint son

PONTS MÉTALUQUES.

Nous considérerons uniquement le cas de deux poids égaux n placés symétriquement de part et d'autre de la clef, à une distance n de la verticale OS. Soient N et N' leurs points d'application sur Tare

De A à N on a et de N à S on a

X'=-iç(a — n).

Les intégrales définies qui contiennent la variable X' se composent donc de deux parties à calculer séparément :

Jo "T--> — ï— ^^ + > = n) — i—^^^

rL X'yds r(x = n) Tz{a — n)y , TL -KJa—x) ,

On peut les écrire ainsi qu'il suit :

rhX'ds , , r{x = n)ds , TL (« — ^) j

Jo -[---^(^-'^^^ — + ^>=.r„)— T — ^'•

On peut calculer ces intégrales définies avec d'autant plus de facilité que ce sont des fractions des quatie intégrales

for fo'^' fô-'-^^ «' /.''^^*.

dont les deux premières ont déjà été calculées : si l'on a opéré par quadrature, il suffit de prendre' dans le tableau, où l'on a porté les valeurs des éléments de chaque intégrale, les nombres correspondant à la portion d'arc comprise entre les limites de l'intégrale partielle et en faire la somme.

Cela fait, on obtiendra Q, z et — Qz k l'aide des formules précédentes.

Dans le cas d'une surcharge quelconque symétrique par rapport à la clef, le problème ne serait pas plus difficile : on sait toujours, en pareil cas, calculer pour une section quelconque la valeur de X', qui est égale au moment fléchissant développé dans une poutre droite de longueur 2a appuyée à

pour A' : x~ — o, y,=o, dx== pour A :x,^^, dyi=o, dx,=

Remarquons d'ailleurs que l'i

néccsaairement nulle entre les lî D'où :

Supprimons le facteur commi équation» X par sa valeur :

Faisons sortir les incooDuus 1 les intégrales où elles figurent; équations qui suivent :

Rien n'est plus aisé que de résoudre ces trois équations : trois inconnues Q, T et z. Toutes les intégrales définies qu figurent dans le calcul peuvent être déterminées par quadra lurc : sauf la première de chaque équation qui est fonction d< la surcharge, elles ne dépendent que de la forme de I'eu-c Nous avons vu précédemment comment on peut calculer X'

Ces intégrales sont au nombre de dix, dont quelques-une ont déjà figuré dans l'article précédent. En effet, vu la symé trie de l'arc par rapport à la verticale Oy, on a :

PONTS MÉTAIXIQUE3.

j (x=nj — (L, ^ iy ■■■ J; pjj conséquence, on peut

urs se borner à calculer les intégrales définies entre les !s 0 et L.

tS. lUaiTChe Kénërale dCH «aïeuls. — ■ £n résumé,

déterminer la poussée Q et le moment Qéchissant :, développés dans la section d'encastrement A d'un aretré quelconque symétrique par rapport à la verticale asse au milieu de l'ouverture, il convient de suivre la lie suivante :

Dans le cas d'une dilatation simple, on doit calculer e intégrales définies qui ne dépendent que de la forme rc, savoir :

TL ds r\. ds CL i/ds fL y'ds

Jo ii- jo i- Jo l "■' Jo i ■

Dans le cas de la charge permanente ou de la surcharge lète, on doit calculer en outre les intégrales défiuies :

rL{a'-x'). , rL{a'-x') .

; dépendent que de la forme de l'arc.

Dans le cas d'une surcliarge symétrique par rapport à f, si l'on représente par X' le moment fléchissant que U arge déterminerait dans une poutre droite simplement 'ée de même ouverture 2a que l'arc étudié, les deux 'aies nouvelles à calculer sont :

rL\'ds p. \'i,ds

jo I '■' jo — f-

s'agit de deux poids isolés, on n'a qu'à calculer les

■Iles mtcgrales ( — j — as et ( — |— ^^ as qui ne

dent que de la forme do l'arc, de façon à pouvoir ment obtenir les valeurs çtt'elles auraient en les prenant (les limites différentes de 0 et L. Ces intégrales ainsi ées suffisent, quels que soient les points d'application :ux poids de part et d'autre de la clef. )an3 te cas d'une surcharge dissymétrique, on a de plus

Fis- 268. c(j

ail qu'il faul remi

ignc / la différ

t substituer aux vai entre tie gravité G elles relatives à cell lent calculées.

Les résultats de iblcau aaaloguc au

Calcul par 5

Le nombre de la 2° colonne ■ ' . — '■ est facteur dar

les colonnes suivantes : nous l'avons représenté parE L'extrême facilité que présente la préparation d'u

tableau saute aux yeux, les longueurs i/,x eta —

données par un calcul préliminaire ou par des mesura

sur une épure.

Une fois ce tableau dressé on obtient une intégrt

conque / en faisant la somme de tous les nombre)

dans la colonne verticale correspondante, une inlég en s'arrëtant au nombre relatif à la section située au l'abscisse n, et l'intégrale / "'"," en ajoutant à la

/ de tous les nombres le total partiel / • etc. En n

recherche d'une intégrale définie quelconque consiste dition de plusieurs nombres consécutifs de l'une lonncs du tableau.

Quant au calcul de Q et de — Qz, il se ramène touji résolution d'une équation du I" degré dont les co( numériques sont fournis par le Tableau qui précèd opération ne peut être ni longue ni pénible.

SOT. Evnlufttlon du tpavall. — Ayant déteri valeurs de la poussée Q et du moment fléchissant h sancc — Qs correspondant à un état quelconque de reste à calculer le travail maximum développé dans section transversale de l'ouvrage. On connaît aussi posante verticale T de la réaction exercée par l'ar culée A : T, dans le cas de la surcharge symétrique, » à la moitié de cette surcharge. Dans le cas de la si dissymétrique, les équations du 1" degré qui ont sei culcr Q et Qz donnent en même temps sa valeur.

Le moment fléchissant X est fourni pour une secti conque par la formule :

PONTO UËTALLIQL'BS.

US avons donné précédemment les valeurs de X' et de fonction d'x cl d'y. Nous n'y reviendrons pas. T, Q et ;

:onnus.

peut appliquer sans aucun changement la méthode de

1 du travail développée dans le n" 138 pour les arcs artiaux naissances.

us conseillerons encore de diviser la surcharge on poids

L et équidislants, et de calculer Q cl z pour chacun de façon à appliquer sans changement cette mé-

méthode géométrique (139) peut également être adoptée difficulté, le tracé des courbes de pression correspondant ifférents cas de température, de charge et de surcharge des plus aisés lorsque l'on connaît Q, z et T. us allons faire l'application aux arcs circulaires de ia Dde que nous venons d'exposer.