FORME GÉNÉRALE DES ARCS

A 99. Dii?eetloià cle l'axe lonfirlfucliiml et empla*

eement de» apticuiation». — Nous venons d'indiquer des méthodes de calcul applicables aux arcs de forme quelconque. Il convient maintenant de formuler les règles à

PONTS HtTALUQDlS.

suivre dans la détcrmiDation de la forme h allribucr à l'aie.

Examinons d'abord ce qui est relatif è l'axe longitudinal, Il est évident a priori que si les naissances sont au même niveau horizontal, ce qui est le cas général,' il conrie&t d'adopter un axe symétrique par rapport à la verticale qui passe au milieu de l'ouverture.

Il faut que cet axe s'écarte le moins possible {fig. 203) de

la parabole : y = -

. qui correspond à la charge perma-

nente et à la surcharge complète : en effet, si cet axe coïncide avec la parabole ABOB'A', on voit immédiatement que, dans le cas où le pont ne porte aucune surcharge, et dans celui où la surcharge est complète, la courbe des pressions

Fig. Î03

passe par le centre de gravité de chacune des sections et le moment fléchissant est nul en tous les points de l'arc; celui-ci ne travaille donc qu'à la compression simple, ce qui, au point de vue de l'utilisation du métal, est la condition la plus avantageuse. Dans le cas d'une surcharge couvrant seulement une moitié de la travée, Icmomont fléchissant relatif à une section quelconque aura même valeur absolue, pour le cas de la surcharge couvrant la demi-travée à laquelle appartient cette section (courbe A'C'O — moment positif], et pour le cas de la surcharge couvrant l'autre demi-travée (courbe A'D'O — momoiil négatif). Donc les maxima positif et négatif du travail dû au moment fléchissant auront mérni'valeur absolue dans chacune dos sections de l'arc, on ce qui

concerne du moins l'effet de la surcharge couvrant une moitié du pont. Or, nous avons vu précédemment que c'était cette disposition do la surcharge qui, dans le cas de Taxe longitudinal parabolique, donne le travail maximum à la flexion sur la presque totalité de Tare. Par conséquent on peut admettre avec une exactitude presque absolue que, avec un axe ainsi profilé, on obtient le travail minimum dans chaque section, puisque les courbes de pression limites passent à la même distance au-dessus et au-dessous de l'axe.

Il est bien évident d'autre part que les trois articulations A, O et A' doivent être placées sur la parabole décrite par Tarie.

Il peut arriver que,* en vertu de considérations spéciales, on ne veuille pas que l'axe longitudinal décrive la para

bole y = -î a:*, et qu'on préfère l'établir suivant une autre

courbe, une droite ou un arc de cercle par exemple. Il faut en ce cas, d'après ce que nous avons dit plus haut, que l'on s'attache à rapprocher le plus possible cette courbe de la parabole précitée, afin de réduire le travail dû. au moment fléchissant. Pour se conformer à cette règle on est conduit alors à déplacer la courbe, de telle sorte qu'elle ne passe plus par les points d'articulation A, 0 et A'.

Par exemple la droite. mmm{fiff. 203) passe au-dessus de A' et 0, et l'on voit aisément que, en la rapprochant de la corde A'O, on l'écarterait notablement de la parabole A'B'O, ce qu'il faut éviter.

D'ailleurs la courbe des pressions devant passer en A' et 0, il faut dans le voisinage des points d'articulation abandonner pour Taxe longitudinal la forme recti ligne, et le raccorder avec A' et 0 suivant deux petites courbes Oh et A'h. Ce raccord s'effectue simplement en établissant des renforts normaux à l'âme de l'arc ou en saisissant les extrémités de l'arc entre des plaques en fonte, dites joues ou flasques, qui transmettent les efforts aux articulations {fig, 204).

Nous formulerons donc la règle suivante : lorsque l'axe longitudinal s'écarte de la forme parabolique rationnelle, il convient, pour le rapprocher le plus possible de cette parabole, do ne point s'astreindre à faire passer la courbe régulière

mi

POSrS MÉTAtXtQOES.

qu'il décrit, par les points d'articulation ; on dévie seulement cet axe dans le voisinage des extrémités de l'arc de façon à l'amener à passer aux centres des articulations. Cette déviation s'effectue sans modifier la direction générale de l'arc, de telle façon que les articulations ne paraissent pas placées aux centres de gravité des sections extrêmes de l'arc.

Ainsi pour une droite {mmm)y il faudrait que l'axe passât au-dessus des deux articulations. Pour un arc de cercle à tangente horizontale au milieu de l'ouverture imn^ il faudrait placer Taxe au-dessous de l'articulation centrale 0, et audessus de l'articulation extrême A'.

La figure 204 indique comment on réaliserait cette disposition sans modifier la forme de l'arc, et on voit que les deux articulations A' et 0, bien qu'en réalité situées sur le prolongement de l'axe longitudinal, ne paraissent pas placées au centre do gravité de la section, à cause de de la présence de la partie accessoire de l'arc gçg qui ne joue ici quun rôle architectural, et ne contribue en rien à la stabilité.

L'emplacement à attribuer aux articulations est donc arbitraire, et doit être déterminé dans chaque cas, lorsque l'axe longitudinal n'est pas parabolique, de façon à ce qu'il se rapproche le plus possible de la parabole y = -Ta:*, tout en décrivant la courbe que, pour un motif

quelconque, on a choisie.

Nous en concluons que les types d'ouvrages étudiés aux n*' 123, 124 eti25 sont irrationnels parce que, les arcs étanttout

entiers situés d'un même côté de la parabole y = -j x\ leur

axe longitudinal s'en écarte notablement. Ces types sont bien conçus pour des ponts suspendus (i09 et suivants), dans lesquels le câble qui décrit la parabole ne peut subir aucun travail à la compression et où d'ailleurs l'effet dû à la charge permanente est généralem-^nt prépondérant, eu égard à la grande portée de ces ouvrages. Il ne convient pas pour

Ki«. «04.

le» ponts en arc : ii faut toutefois en excepter le cas où, l'ouverture du pont étant considérable, la charge est trois ou quatre fois plus grande que la surcharge, et par suite la courbe des pressions résultant de ces deux causes ne peut

s'écarter sensiblement de la parabole y = ~;x'. Dans ce cas

seulement, il convient de concentrer le plus de métal possible sur celte courbe, et les types dont nous parlons sont à recommander. C'est ainsi que dans un concours ouvert pour l'établissement d'un pont de 228 mètres d'ouverture sur l'Ëast River à New-York, le projet qui a réuni la majorité des suffrages était établi sur le type n" f 2i : la charge permanente était ici de 12 tonnes par mètre courant, la surcharge roulante, représentée par un train de chemin de fer, étant évaluée à 2 tonnes seulement (/î^. 187).

AS», ppooide l'arc — Le moment d'inertie de la section transversale de l'arc doit ^Ire en chaque point de l'axe longitudinal proportionnel à la valeur maximum du moment Héchissant, dû à l'effet de la surcharge répartie de la manière la plus défavorable. Le moyen le plus rationnel pour arriver à ce résultat parait être de faire varier lU hauteur de l'arc en raison de l'importance du moment fléchissant, Toutefois lorsque l'on n'adopte pas pour l'axe longitudinal la forme parabolique, qui, au point de vue de l'utilisation du métal, est la pins logique, il serait difficile, à moins d'attribuer à l'ouvrage une forme bizarre, d'appliquer la règle précédente. On donne alors à l'arc une forme arbitraire, en ayant soin d'assurer aux deux semelles, en chaque point de l'axe, l'épaisseur nécessaire pour que le moment d'inertie ait la valeur voulue. 11 vaut mieux d'ailleurs adopter pour l'arc une hauteur constante que de prendre une hauteur variable qui n'offre aucune corrélation avec la valeur du moment fléchissant. Â ce point de vuCf le type du n° 125 est mal conçu : mais il a pour lui l'avantage de supprimer les tympans et par là de réaliser une certaine économie.

Supposons que l'axe del'arc décrive laparabole y = — ; af ;

31 l'cii veut que la hauteur de la section transversale soit très

336 PONTS >rÉT,iu.iQCts.

sensiblement proporlionnelle en chaque point & la valeur maximum du monicnl Hcr.hissant, il suflira ilo considérer le moment fléchissant dû à la surcharge couvrant l'une ou l'autre des deux moitiés de la travée ; car nous avons dit précédem' ment que c'était ce mode do surcharge qui donnait sonsiblomcnl le maximum positif ou négatif du travail à la flcsion pour toutt'S les sections de l'arc, et que ces deux maxima étaient égaux au signe pr^s.

On a marqué par dos hachures sur la ligure 203 une sorte de fuseau limité par deux paraboles qui représente précisément un arc remplissant la condition précitée, la hauteur de la section transversale étant proportionnelle en chaque point à la distance verticale de la parabole ODA, ou de la droite OCA, à la parabole moyenne OBA. Tel est le type de l'arc économique. En clioisissanl convenablement le rapport constant entre la hauteur de l'arc et ta valeur du moment fléchissant maximum dû à la surcharge, on peut obtenir que la courbe des pressions (due h la charge et la surcharge simultanées) ne sorte jamais de l'intérieur de l'arc, les deux paraboles étant à peu près les enveloppes des différentes courbes réalisables.

Nous remarquerons que la hauteur maximum de l'arc s'ob-

Fig. Î03. Projet de ponl

tient eu milieu de chaque demi-arc. c'est-à-dire au quart di l'ouverture, point que l'on désigne sous le nom de reins de l'arc : c'est aux reins que le moment fléchissant maximum acquiert sa plus grande valeur. Dans le cas de la surcharge

Couvrant une moitié de Tare, il est égal k±-:X Q = dr-7^»

c'est donc là qu'il conviendrait d'adopter la plus grande hatl* leur pour l'arc, et non à la clef ou aux naissances, où le moment fléchissant s'annule.

Nous ne savons si le type de pont en arc que nous venons d'étudier a jamais été exécuté : toutefois dans un concours ouvert dernièrement pour l'érection d'un grand pont sur le Danube, près de son embouchure, une maison de Francfort a présenté un projet absolument conforme à nos indications, et dont nous donnons le dessin dans la figure 205.