CALCULS ACCESSOIRES

m 30« Effet de 1a tomp^ratupe. — Les variations de la température ont uniquement pour résultat de faire subir à Tare de légères déformations, dont on donnera plus loin l'expression, sans modifier en rien le travail de ses différentes parties. Il n'y a donc pas à en tenir compte dans le calcul des dimensions des éléments de l'ouvrage.

113I. Tympans. — On appelle tympans d'un pont en

arc l'espace compris entre le tablier, qui est toujours établi suivant une direction rectiligne telle que BB', et l'arc AO A' dont la semelle supérieure est d'habitude curviligne (fig. 206). Pour transmettre à l'arc le poids propre du tablier, ainsi que celui de la surcharge, il est nécessaire de les relier au moyen de barres placées dans les tympans, auxquelles on applique aussi la dénomination de tympans. Parfois, comme au type du n'' 125, la corde supérieure de l'arc est constituée par le longeron du tablier, et

Fig. ï06.

338 PûHTs hAtalliqoes.

les tympan» sont remplacés par )a triangulation mêmp «Je l'arc. Mais on géni>ral, il n'en est pas ainsi, et les tympans forment un élément particulier de l'ouvrage, distinct da tablier et de l'arc f/fy. 206).

Les tympans sont constitués soit par une tAle verticale pleine ou évidée qui surmunie l'arc, ce qui ne s'emploie guère que pour les petites ouvertures, soit par une triangulation (cMé gauche de la figure 206), soit plus simplement par une série de bras verticaux ou montants (côté droit de la figure 206). Ce dernier système est le plus simple et le plus rationnel. En elTct, le tablier et les tympans forment uns sorte de viaduc' métallique à travées très petites, dont les piles viennent s'appuyer sur la semelle supérieure de l'arc : les pièces du tympan n'ayaitt à transmettre que des efforts verticaux, correspondant au poids du tablier et de la surcharge, l'emploi de montants, orientés dans la direction même de l'eiïort & transmettre, est tout indiqué.

Il est nécessaire que les longerons du tablier et les tympans soient interrompus au droit de l'articulation 0, de manière que les deux moitiés du pont soient uniquement reliées par l'articulation, sans quoi celle-ci ne fonctionnerait plus, et les résultats des calculs faits précédemment ne seraient plus applicables.

Quelquefois le tablier, au lieu d'être situé tout entier audessus de Tare, auquel il est tangent au droit de l'articulation centrale {fig.

206), est établi à mi-hauteur des articulations A' et 0 (côté gauche de la figure 207).

En ce cas, la liaison du tablier et de l'arc est assurée de U en N au moyen de montants comprimés, et de P en Q aa moyen de tiges de suspension.

Cette disposition, qui est parfaitement acceptable, est peo usitée, parce que l'on a toujours besoin dans la pratit|a6 d'établir le point d'articulation  aussi bas que possible, afin de réduire la dépense d'établissement de la culée, ce qui conduit à placer A au-dessous du niveau du tablier. Dai^

CHAP. V. PONTS £H ARCS 33d

d'autres circonstances, on tient à laisser au-dessous de l'arc le plus d'espace libre possible, ce qui conduit à abaisser le tablier au niveau du point A.

Chaque moitié du tympan et du tablier peut suivre, sans déformation ni fatigue supplémentaire de ses éléments constitutifs, les déplacements de la moitié d'arc qui la supporte, les effets de la surcharge et des variations de température no modifiant en rien la figure géométrique des tympans. En conséquence, il convient de relier le tablier k l'arc au moyen d'asseniblages rigides, c'est-à-dire à l'aide de boulons si l'arc est en fonte, et de rivets s'il est en tdie.

13S. Ajrtienbitioiia. — L'articulation centrale peut être constituée par une cheville générale* ment en acier traversant des ouvertures circulaires d'un diamètre égal (au jeu près), que priîsenlent des pièces d'acier reliées aux extrémités de chacun des nrcs; on pourrait plus simplement fixer à l'un des arcs une rotule cylindrique saillante h section circulaire, l'autre arc présentant V jT^ une pièce évidée de même diamètre

{/ig. 208 et 209).

On exécuterait de même les articulations des extrémités. Au point de vue de la résistance à la charge et la surcharge Pie !M. '^^ deux systèmes sont équivalents, et

même le second est préférable au premier, les poussées des deux arcs n'étant pas transmises dans des sections différentes de la rotule, ce qui donae lieu dans la première disposition à un couple de torsion.

Au point de vue du contreventement, le premier système, unsi qu'on le verra plus loin, peut dans certains cas être le seul qui donne ■oute sécurité, du moins pour l'articulation centrale.

Le calcul de ces articulations se fait d'après les règles indiquées i36) pour le calcul des supports cylindriques ; on détermine leur diamètre et la longueur de leur portée, de bçoa à ce qu'elles puissent résister aux efforts maxima de

340 FONTS UËTALLIQCES.

compression dus à la charge et la surcharge, clTorU qui onl pour exprcsaicn à la clef :

T. a', et aux Daissances ; ^ J,^^ a l^o' + iiV

Il faut ajouter k ces efforts ceux qui pcuveut être dus à l'effet du vent.

Les articulations sont des points spéciaux de l'arc auxquels s'applique la règle formulée au n* 17. Comme ils transmettent en un point parlienlicr d'une section un efTort considérable, ils doivent èlre reliés aux semelles et à l'âme de l'arc par dos pièces supplémentaires chargées de répartir l'effort sur toute la section. Ces pièces sont, soit des nervures ou renforts en fer ou en acier, soil des fiasques oujoues de fonte : elles doivent être calculées en raison de l' effort à transmettre.

133. ContL-evontemeitt. — Le contreventement des ponts en arc à triple articulation doit se faire par les mêmes procédés et suivant les mêmes rèç glcs que pour les ponts en arc à

*'.^-^^-,':""ïJ2L:'.:'- = '--»r » double articulation. En consé- * -,-:----■-''' ■= = ==;--.- * quence nous renverrons à la *•• deuxième partie du présent cha-

I pitre où cette question est traitée,

rig. tM. Nous remarquerons ici seulement

que l'articulation est un point critique dont il convient de vérifier la stabilité. En effet, pourun pont composé par exemple de deux arcs, il peut arriver que le moment fléchissant développé à la clef par l'effet du vent soit assez considérable pour que, durant les vibrations que subira l'ouvrage, la clef de l'un des arcs j-uisse travaillera l'extension : si dans ces conditions l'arliculation était disposée comme l'indique la figure 209, il pourrait y avoir déboitement de la rotule, et chute de l'ouvrage {fiff. 210). Alors même que cet accident ne se produirait pas, l'effet du moment fléchissant serait de modifier la répartition de la poussée sor les deux rotules, en augmentant l'effort supporté par la rotule 0, de l'arc opposé au vent de la quantité dont serai allégée la rotule 0 de l'autre arc. Il pourrait y avoir en consé-

CHAP. V- PONTO m ARC. 341

quence ezoës de travail en 0| et par suite rupture de Tune des rotules. C'est là une question qui mérite un examen appro* fondi, lorsqu'il s'agit d*élablir un pont en arc de très grande ouverture, et de très grande flèche, comme le pont de Porto sur le Douro par exemple, où les effets du vent peuvent acquérir une importance exceptionnelle.

m 34. i>êffopiimuon. — Nous ne donnerons la valeur du déplacement vertical subi sous l'action de la température et f ous l'action de la surcharge complète pour l'articulation ceiiirale de Tare que dans le cas particulier d'un arc à axe longitudinal parabolique. On a vu (118) que dans ce cas la variation de la flèche b ou le déplacement vertical à la clef pour un changement de température de -)- f* est donnée par la relation :

La clef s'abaisse lorsque la température décroit et se sou« lève lorsque la température augmente.

On peut en général admettre la formule plus simple :

Sous l'influence de la surcharge complète cr, le déplacement do la clef e3t donné par la formule :

».. ^ ^ a* 15a| + 20^* ^^""'*~'^ûE^Ï'^40a" — 486**

Q représente ici l'aire de la section de l'arc et E le coefficient d'élasticité du métal.

Désignons par R le travail du métal de l'arc dû à la surcharge complète. La formub précédente peut être mise sous la forme :

R a; iSa' + ^oy ''"" 'E ^ 6 ^20a*-24A**

Eu général b* est négligeable devant a*, et l'on peut employer la relation plus simpi

343 PONTS IfÉTAUlQUE^.

Nous croyons pouvoir conseiller de se servir de cette for* mule pour tous les tjrpes de ponts eu arc * à triple articu* lalion. A supposer qu'elle soit très inexacte pour les ouvrages où Taxe n'est pas sensiblement parabolique, elle donnera au moins une idée de la valeur du déplacement de la clef, le résultat de la formule et la déformation réelle étant nécessairement des quantités de même ordre.

Examinons le cas d'une surcharge couvrant une moitié de Touvrage à l'exclusion de Tautre ; la clef subit un déplacement horizontal en s'éloignant de la surcharge, le milieu du demi-arc surchargé s'abaisse, le milieu du demi-arc libre se soulevé. Ces différents déplacements sont pour le cas particulier de Tare parabolique à entraits rectilignes (118) donnés par les relations suivantes :

Déplacement longitudinal de la clef :

Ra

Belèvement vertical du milieu de la demi-travée libre :

3 Ra* 16 Eb'

Abaissement vertical du milieu de la demi-travée surchargée :

3Ra;

Dans ces expressions^ B désigne le travail du métal dû à la surcharge répartie sqr la moitié de l'ouverture.

On pourra également avoir une idée de la déformation que peut subir un arc quelconque en se servant de ces formules, bien qu'en dehors du type du n° 423 elles ne soient pas exactes. Pour le type du n* 125, elles donneraient très évidemment un résultat tout à fait exagéré. En ce qui louche les déformations produites par le vent, nous renvoyons à la deuxième partie du présent chapitre.

CHAP. y, PORTS ES ARC

n. — ABCS ARTICULÉS AUX NAISSANCES.

mss. G«n£rAUté«. — Daos tous les ouvrages métalliques quG nous avons étudiés jusqu'ici, les réactions exercées sur les culJes se déLerminent à l'aide de formules très simples de Statique. Il n'en est plus de même dans le cas présent : la déterminalion de la poussée exercée par l'arc sur les deux cutées ne peut se faire qu'à l'aide des équations de la Résistniice des matériaux, et elle constitue un problème des plus ardus, qui n'a encore complètement élé étudié que dans certains cas particuliers. La résolution de ce problème exige des intégrations successives très diflicîles et laborieuses, qui, dans certains cas, nepeuventse faire, et, dans d'autres, conduisent à des formules d'une telle longueur et d'une telle complication que l'emploi en devient impossible, ce qui conduit à recourir soit à des formules simplifiées, d'une exactitude pi'u satisfaisante, soit à des tables numériques établies avec les formules exactes, soit k des méthodes de quadrature permettant d'effectuer dans cbaque cas, avec des données numériques, l'intégration des fonctions qui entrent dans les calculs.

Dans tous les cas oît le problème de la recherche de la poussée a été déjà complètement étudié, et oti il est exposé dans les traités de résistance de matériaux, nous nous abstiendrons d'indiquer le développement des calculs analytiques, qui encombreraient inutilement le présent chapitre. Nous nous bornerons strictement à énoncer, sans aucune démonstration, les formules auxquelles sont arrivés les Ingénieurs qui ont traité la question, ou à fournir des tables numériques pour le calcul de la poussée, ou bien encore à exposer les méthodes de quadrature, en indiquant, en chaque cas, la marche à suivre dans l'application de ces formules, tables ou méthodes de qua< drature.

Nous verrons d'ailleurs que, lorsque l'on a calculé la valeur de la poussée d'un arc placé dans des conditions déterminées de charge, de surcharge et de température, la recherche du

travail du métal dans ses didérontes parties est nne opération des plus simples, qui sViTecluc sans difriculté à Taide des formules éiémeulaires do la Statique et de la Rcsistauce des matériaux.

et

CALCUL DES AUCS CIRCULAIRES A SECTION CONSTANTS AVEC ARTICULATIONS SUR L'AXE DR FIGURE.

ft 30. I>6tepmlniitioii do la ponfl»9Ôo. — M. Bresse Bl

fait une étude complète de ce genre d'ouvrages, qu'il a exposée en détail dans les chapitres IV et V de son Irrâlc tic Résistance des matériaux. Nous nous bornerons à énoncer lo5 résultats auxquels il est parvenu, et à indiquer comment Ton devra se servir de ses formules et de ses tables.

Dans ce qui va suivre, nous considérerons Tare circulaire, qu*il soit à Àme pleine ou à triangulation, comme une pièce prismatique, et nous calculerons le travail du métal suivant la méthode connue, en cherchant, pour chaque section, le moment fléchissant, Teffort normal et Tcffort tranchant développés par les actions extérieures agissant sur l'ouvrage. Nous allons d'abord faire connaître comment l'on peut

déterminer la poussée de Tare sur ses points d*appui, connaissant la charge et la surcharge qui agissent sur l'arc, ■*■ ainsi que sa température.

Nous consei-verons comme axes des coordonnées ox et oy la corde OA de lare et la verticale qui passe par le som> met ou la clef S de l'arc. Nous désignerons toujours par 2a Touverture mesurée entre les deux articulations, et par ils flèche de l'arc (/i>. 211).

Nous emploierons en même temps un système de coor-

COAP. y. PONTS EN ARC. 845

données polaires ayant pour polo lo contre G de Tare de cercle décrit par Taxe longitudinal AS A'.

Le rayon vecteur CM d'un point quelconque de Taxe longitudinal a pour longueur conslanle le rayon de courbure p de l'arc. On a d'ailleurs entre les deux systèmes de coordonnées les relations suivantes :

xz=zp sinô, y = p (cos6 — cosç).

Soit 2? l'angle au centre de l'arc AOA'; on a égaler ment :

a = psm<p,

ft = p(4 — cosç).

V Poussée produite par un poids isolé.

Soit r. un ;)oids isolé appliqué en un point M de Taxe longitudinal défini par ses coordonnées x el y on par l'angle 6.

La poussée horizontale Q exercée par l'arc sur chacune do ses relomhées est donnée par la formule suivante :

Q = «XBXK.

B est une fonction des deux angles d et 7, qui entrent dans son expression d'une manière assez compliquée. Le produit ic Xll,qui diffère assez peu en général de la valeur exacte de Q, est ce qu'on appelle la, partie principale de la poussée.

K est une fonction de l'angle f et du rapport -i du carré do

rayon de gyration de la section transversale de l'arc (laquelle est constante sur tout le développement de Tare) au carré de la demi-ouverture : sa valeur est donc indépendante de la position du poids ^, et ne dépend absolument que des dimensions principales de l'ouvrage. La valeur de K est toujours inférieure à l'unité, dont elle diffère peu en général ; nous appellerons ce nombre le coefficient de correction de la poussée.

Le calcul des nombre B et K est une opération des plus laborieuses et des plus longues, et si l'on avait à l'effectuer chaque fois qu'on a un arc à étudier, on n'en finirait pas. Aussi M. Bresse a-t-il paré à ce grave inconvénient en dressant

346 PONTS MÉTALLIOUES.

des tables numériques spéciales donnant dans chaque ca5 particulier les valeurs convenables de B et de K.

Nous avons placé à la suite du présent chapitre les tables dont il s'agit : seulement la table n* I, qui est à double entrée en fonction de — et de -: — , n'est pas celle deM. Bresse.

ir sin f

Au lieu de graduer la table d'après des valeurs régulièrement croissantes du rapport - , comme le fait M. Bresse fiions avons

basé la graduation sur le rapport -: — , égal à - , que nous

faisons varier de cinq centièmes en cinq centièmes. Nous indiquerons plus loin dans quel but nous avons effectué cette substitution, qui nous a obligé à calculer une table nouvelle.

Quant à la valeur du coefficient de correction K, elle est donnée dans la table n' II extraite sans modiûcation de l'ouvrage de M. Bresse, Cette table est à double entrée (— et -;)

et permet de calculer les valeurs de K dans tous les cas de la

r* pratique, le rapport -î ne dépassant jamais la lioûte extrême

admise par la table.

A défaut de ces tables, on pourrait obtenir approximativement la valeur de la poussée à l'aide de la formule suivante due à M. Darcelf ingénieur en chef des Ponts et chaussées, auquel nous ferons plusieurs emprunts dans le courant de cette étude. [Annales des Ponts et chaussées^ <862. 2* semestre) :

^ 5 sin* 6 — 30 sin'Ô sin*© + 25 sin*©

64 sin cp (1 — cosç)

Ayant ainsi calculé la poussée, c'est-à-dire la composante horizontale de la réaction exercée par l'arc sur la culée, il reste, pour connaître cette réaction, à en déterminer la composante verticale, qui, à l'inverse de la poussée, n'a pas même valeur pour Tune et l'autre culée.

GBAP. V. FOMTS Slf ARC. 347

Soit T la composanle verticale correspondant à la retombée A*, la plus voisine du point d'application M du poids ^c, et T' la composante verticale correspondant à la retombée A', la plus éloignée du point d application M du poids v.

On a:

-, (sincp + sinô) a + x 2sin(p 2n

n faut attribuer dans ces formules le signe — à sm 0 et à x lorsqu'ils sont comptés dans le sens négatif des x, c^est-à-dire à gauche de Torigine 0. Si Ton convient aussi d'attribuer à A' les coordonnées — a et — y, en suivant la même règle que pour M, la formule (1) devient applicable dans tous les cas et la formule (2) est sans oiijet.

2* Poussée produite par une charge uniformément répartie suivant ^horizontale.

Ona, d'après M. Bresse :

Q = 2paB'K.

2 pa est le poids total de la charge; B', coefficient de la partie principale de la poussée, est une fonction de l'angle au centre 2 <p ; il est fourni dans chaque cas par la Table II ^ placée à la fin du chapitre. A titre de renseignement intéressant, nous avons également inscrit dans cette Table la valeur du coefficient qui correspondrait à un arc circulaire de même ouverture 3a et de même flèche A, articulé à la clef en S. On peut ainsi se rendre compte de la modification apportée dans le travail de Tare parla suppression de l'articulation centrale : la poussée est notablement réduite et par conséquent la courbe des pressions passe au-dessus du centre de gravité S de la section transversale de la clef, qui est ainsi soumise à un moment fléchissant positif.

K est le coefficient de correction dépendant de f et de *-,

dont il a été parlé précédemment : il est donné par la table II.

A défaut de la table, on pourrait calculer la poussée à Taide de la formule approximative suivante :

318 P0NT8 NÉTALUQUKS.

pa?\ 77/.

~ 8J TTTs?

qui peut ètro encore simplifiée sans grande erreur quand -

est très petit (arc très surbaissé), et s'écrire :

va* 1

Les composantes verticales de Fefifort transmis par Tare aux culées sont, dans le cas présent, égales à la moitié de la charge totale :

T = T'=pa.

3* Pomsée produite par un poids uniformément réparti mvant la fibre moyenne de Parc.

On a, d'après M. Bresse :

Nous désignons par p* le poids de la charge par mètve couinant delà fibre moyenne de Tare ; 2p' ^j représente donc le poids total, puisque p 9 est la longueur de Tare. '

B" coefficient de la partie principale de la poussée dépend de la valeur de l'angle au centre f ; il est fourni par la Table IL

K est le coefficient de correction dont il a été déjà parlé.

A défaut de Table, on pourrait employer la formule appros.imative :

que l'on peut encore simplifier sans grande erreur quand - est très petit (arc très surbaissé), et écrire :

c:iAP. V. eorm £x arc 349

On a encore :

A poids égal, on voit que la poussée est plus faible dans le cas de la chnrge uniformément répartie suivant la fibre maycnno, que dans le cas qui précède.

On n'a guère occasion d'utiliser cette partie de la Table, car on suppose presque toujours dans les calculs de pont que la charge, au5si,bion que la surcharge, est répartie uniformément suivant l'horizontale.

Toutefois, lorsque le poids de l'arc proprement dit est prépondérant, il peut être plus exact de répartir la charge suivant la fibre moyenne et c'est pourquoi noua avons donné ce renseignement dans la Table.

Au surplus, eu répartissant toutela çbarg;c suivant l'horizoniate, on ne s'expose qu'à se placer dans une hypothèse plus défavorable que la réalité, et par conséquent on se donne une marge de sécurité.

4' Poussée produite par une dilatation indépendante des charges.

Dans les ponts métalliques que nous avons étudiés jusqu'ici, noua ne nous sommes jamais préoccupé de l'influence de la température sur le travail du métal. £n effet ces ouvrages étaient disposés de telle sorte que les dilatations et contractions ducs aux variations de température pussent se produire librement, par suite sans rien changer à leurs conditions de stabilité.

Il n'en est pas de même pour les arcs dont il est question à présent : comme la longueur de leur corde, déterminée par t'écartement des culées, est invariable, et que la clef étant rigide ne peut s'élever ou s'abaisser sans qu'il y ait un changement dans la figure géométrique de l'arc, il en résulte que la température ambiante a sur les conditions de travail du métal une influence considérable, dont il y a lieu d'étudier les effets.

Si l'on considère un pont en arc à double articulation, il existe une température déterminée et une seule, pour laquelle les poussées dues à des charges et des surcharges quelconques ont exactement la valeur donnée par les tables et les formules

TF7«»Ï

âSO PONTS MÉTALUQm.

dont il a été question pins haut : nous TappelleroAS ^a tempe-' rature moyenne : au-dessous de la température moyenne, la poussée diminue d'autant plus que Técart est plus grand ; audessus, elle augmente également dans la proportion de Técart constaté.

En général cette température moyenne est la température observée lors du décintrement de Tare : en effet à ce moment, il y a contact intime, sans pression aucune, entre les retombées de Tare et les sommiers des culées.

Au moment où Ton opère le décintrement, la charge agit sur Tare sans modifier sa corde et donne lieu à la poussée théorique.

Mais si avant de décintrer Tare on a fortement serré les coins que Ton interpose d'habitude entre des plaques de fonte fixées sur les sommiers et sur les extrémités des arcs, on a une poussée initiale qui n^est pas due à la charge, et par conséquent on est dans les mêmes conditions que si la température extérieure était déjà supérieure à la température moyenne. Au contraire, en desserrant les coins après le décintrement, ou en laissant au moment du décintrement un léger jeu entre les coins et les plaques, on obtient le résultat inverse : la température du décintrement est alors inférieure à la température moyçnne, et la poussée est plus faible que la poussée théorique.

En résumé, si Ton veut que la température moyenne soit exactement celle observée lors du décintrement, il faut qu'à ce moment les coins soient bien en contact avec les plaque» des arcs, mais sans être fortement serrés ; s'il existe un jeu, la température moyenne est supérieure à la température du décintrement ; si les coins sont serrés avec force la température moyenne est inférieure à celle du décintrement.

En serrant ou desserrant les coins d'un pont en arc en métal, opération assez difficile, qui ne peut se faire qu'en frappant les coins avec un mouton, on peut à volonté relever ou abaisser la température moyenne, et par suite augmenter ou diminuer la poussée exercée par Tare sur les retombées.

Cet écart en plus ou en moins, que la poussée réelle pr^ sente sur la poussée théorique, est indépendant de la chusg^

et delà surcharge, et il est proportionnel à la différence qui existe entre la température considérée et la température moyenne précédemment définie. C'est ce qu'on appelle la poussée produite par une dilatation indépendante des charges.

Soit / Pécart positif ou négatif qui existe entre la température moyenne et la température actuelle. La poussée due à la dilatation est donnée par la formule :

« est le coefficient de dilatation du métal, E son coefficient d'élasticité, I est le moment d'inertie de la section transversale de Tare.

B'" est le coefficient de la partie principale de la poussée. II ne dépend que do (p et est fourni par la Table II.

K est le coefficient de correction, dépendant de f et de r", dont il a été question plus haut. En réalité, ce n'est pas lui qu'il conviendrait d'employer ici, et M. Bresse donne dans son ouvrage le moyen de calculer le coefficient de correction exact à admettre. MaisPerreur commise en substituant au coefficient

vrai le coefficient K ne peut , en aucun cas y atteindre ^ttt^

de la valeur de la poussée. Cet écart est insignifiant, et c'est pourquoi l'on peut sans inconvénient se servir ici du coefficient K donné par la Table II.

 défaut des Tables, on peut avoir recours à la formule suivante, qui ne donne pas d'erreur sensible pour des arcs très surbaissés (Bresse, Résistance des matériaux , 102) :

Q = «f.EI J — -

Supposons que Fon serre ou que Ton desserre les coins d ua pont en arc, et que l'on se propose de déterminer la quantité •c dont on a fait varier la température moyenne, afin de rectifier les calculs de stabilité en tenant compte du changement apporté dans les conditions d'établissement de l'ouvrage. On y arrivera aisément, si Ton a pu mesurer le déplacement

POXTS MÉTALLIQUES.

horizoutal subi par chaque articulation, par l'effet du serrage des coins * la somme des déplacements subis par les deux articulations représente rallongement ou la contraction 2 ^ a subi par la corde de l'arc 2 a.

On a :

za «

Le changpment subi par la poussée est donc