X. = T,'(a + cr)-Q,y

= T,'p(sin^-|-sina) — Q,p(cosa — C0S9J,

(2) F,=T/sina— Q, cos a,

(3) F,=T/cosa + Qisin a.

Considérons maintcnanl un poids P, appliqué entre le point M et Texlrémilé de gauche A'. On aura les formules suivantes en désignant par T,, T,' et Q, les réactions verticales et la poussée produite par le poids P, :

= T,p (sin? — sîna) — Q,p (cosa — cosç),

(5) F, = — T, si na — Q, cosa,

(6) V, = — T, cosa + Q, sinoc.

On a ainsi deux séries de formules, dont Tune doit être employée lorsque le poids est placé entre la section de Tare considérée et la culée la plus voisine, et Tautre dans le cas contraire.

Ces formules s'obtiennent d'ailleurs sans difficulté en prenant la somme des moments par rapport au point M des forces T'elQ', ou TetQ, appliquées en A'ou A, ce qui donne X ; en projetant ces forces sur la tangente à la fibre moyenne en M, ce qui donne F ; en les projetant sur le rayon MC, ce qui donne V.

L'effort normal F est toujours négatif ; il donne lieu à une compression de l'arc. Le moment fléchissant X est positif ou négatif suivant les cas. Il en est de même de l'effort tranchant V.

Connaissant pour une section transversale quelconque les valeurs de X, F et V, il est aisé, en suivant les règles posées au chapitre premier, decalculer le travailcorrespondant(li-19).

Nous croyons utile de revenir ici sur cette question.

Le travail maximum à la compression ou à l'extension est pour la semelle supérieure :

F X^ H 21 ' et pour la semelle inférieure :

en conservant les notations du n"" 11.

Cette formule est applicable alors même que, l'arc étant à treillis ou à triangulation, sa section transversale est discontinue et formée des coupes de deux cordes isolées.

'ï Jim^'!

rr-

Ponn uiTÂUjQVEê.

Dans le cas d'une section dissymétrique par rapport à l'ho-

Fig.91S.

rizontale qui passe par son centre de gravité M (fig. SIS), les formules de M. Bresse et les calculs qui précèdent restent applicables, mais il faut remplacer dans Texpression du travail dû au moment fléchissanl-parupour la semellesupéricure

et par u' pour la semelle inférieure, u et u' étant les distances des fibres extrêmes à Taxe neutre de la section transversale.

Quant à Teffort maximum subi par Tâme de Tare sous Tac* tion simultanée de Teffort normal et de l'effort tranchant,

il a pour valeur : - (2^*+" y 2Ji + ■^7)1 ^ ^^^^^ ^'^^^^ ^^ hsec-

tion transversale de T&me considérée isolément. Il est plus

F V simple de prendre pour valeur de ce travail :^4-~- On a

ainsi un résultat trop fort, mais comme Ton se trouve toujours conduit à donner à Vktne plus d'épaisseur qu'il n'est nécessaire, il n'y a pas à craindre d'évaluer trop largement le tra. vail du métal dans celte parlie de l'ouvrage.

Pour le même molif, si Tàme de l'arc est remplacée par une triangulation, on calculera de la manière suivante le travail subi par le métal de la barre AB, qui fait l'angle 0 avec le rayon de courbure de l'arc, en appelant ta Taire de la section transversale de la barre (fig. 214).

Fig. 914.

F sin»e

n-f-^^sin'O w'cosô

188. Calcul du travail dû A la «orohapce, 91 é- Uiode al^élirlqne. — Considérons une surcharge unifor-

ClfAt». V. PONTS EN Àftâ.

Flg. 215.

mément répartie sur la totalité de rouvcrtute AA* et proposons-nous de déterminer le travail du métal résultant^ pour un certain nombre de sections transversales de l'arc choisies arbitrairement {fig, 215).

Nous supposerons à cet effet la surcharge décomposée en

une série de poids égaux et équidistants, et nous admettrons sans démonstration, comme évident ^ que Teffet de ces poids sur une sec* tion quelconque est équivalent à celui de la surcharge uniformément répartie (i).

La position de chacun de ces poids est définie, comme précédemment, par l'abscisse x ouTangle 0.

Nous conseillerons, pour faciliter les calculs ultérieurs, de diviser la surcharge en un nombre impair de poids isolés, de façon qu'il y en ait un appliqué en S à la clef : chaque demiouverture comportera ainsi un nombre entier de divisions. Afin de distinguer les différents poids, nous leur assignerons des numéros d'ordre.

Proposons-nous de déterminer . le travail du métal dans l'une des sections de Farc, dont le centre de gravité est sur la verticale de Fun des poids de la surcharge, sous l'influence d'un autre poids choisi arbitrairement : les formules du numéro précédent nous permettent d'effectuer ce calcul sans difficulté. Nous pourrons, de même, évaluer l'effet produit sur cette même section par chacun des autres poids qui composent la surcharge. Totalisant tous les résultats, nous aurons

(I) La diTisioD de la sorcbarge en poids isolés pent résulter du mode de eonstroction des tympans du pont, anqael cas ils peuvent cesser d'être égaux et équidistants. Amsi qu'on le verra plus loin, la méthode reste applicable^ mais les calculs sont on peu plus compliqués.

3S6 POHTS KÉTALLIQnES.

1(! travail total développé dans la section par l'enscmLle des poids, c'ost-à-dirc par la surcharge complète.

Faisons cotlo opération pour toutes les autres sections de l'arc qui correspondent aux points de division de la corde, et nous aurons rempli le but proposé, qui était de connaître le travail du métal développé par la surcharge dans losdifTéronlcs parties de l'arc.

La suite des opérations, dont nous venons d'indiquer la marcliG, semble a prioi-i devoir exiger une somme de travail très considérable, pour peu que l'on ait divisé la surcharge <?n ua grand nombre de poids isolés. Mais en effectuant méthodiquement les calculs, et les disposant en tableaux successifs, on constate que les opérations à faire étant fort simples, puis qu'elles se réduisent à des multiplications ou des additions de deux nombres, n'exigent pas, quoiqu'elles soient très Dombreusea, un temps très long, et ne demandent pas un labeur aussi formidable qu'on eût pu le craindre. . Nous ne croyons pas inutile d'exposer la marche que nous conseillerions, le cas échéant, de suivre dans les calculs, de façon à réduire au minimum le travail, et à permettre de recoo* naître immédiatemcnttoute erreur commise dansles opérations.

1' Calcul des poussées. — Soit m le nombre de poids isolés en lesquels on a divisé la surcharge. On commencera par dresser un tableau à simple entrée donnant pour chacun des points de division de l'arc, les valeurs de sin 0, cos ?, x, y, a -|- X et a — x qui lui correspondent, travail des plus aisés puisque a est partagé en un certain nombre de divisions égales.

Q T On inscrit également dans ce tableau les valeurs de — ' - et

— qui correspondent à chacun des poids, en désignant par

« la valeur constante de chaque poids.

Ou sait que l'on a :

B et K étant les coefficients numériques donnés, pour des valeurs déterminéns de 9, ? et )■', par les tabloK 1 et II placées à la fin de ce chapitre. K est un coefficient dépendant uni-

qnement des dimensions de Tare, que Ton n'a besoin do calculer qu'une fois pour toutes. B dépend de la valeur de Fangle 0 : la position du poids est ici définie par le rapport

X sin 6

— = -. , qui varie d'une quantité constante d'un poids à

a sin (p ^ ^ ^

celui qui le suit immédiatement. C*est pour cela que nous avons jugé utile de graduer la table I en fonction de —. — ot

non de — * comme l'avait fait M. Bresse : en choisissant

convenablement le nombre des points de division de la corde

de VarCy de manière que chaque valeur de x soit égale à un

ou plusieurs vingtièmes de la domi-ouverlure a, on arrive à

sin B *

ce résultat que toutes les valeurs de -: figrurent dans les

^ sm <p °

en-tête des colonnes de la table I, ce qui permet de trouver immédiatement les valeurs exactes de B sur la ligne correspondant à Tangle au centre 2 ç de Tare considéré.

Avec la table de M. Bresse, — variant régulièrement, -; —

9 ° sin y

croit d'autant moins rapidement que o est plus grand. On est donc toujours obligé de recourir à l'interpolation pour calculer les valeurs de B. les valeurs successives de — » qui cor-

respondent' aux différentes colonnes delà table, se rapprochant de plus en plus, au fur et à mesure que Q augmente.

Le calcul de — et de — s'effectuera sans difficulté par les

formules suivantes :

T a-^x sin<p-f-sinO

ic 2a 2sin<p

lLz=\ — l.

Vu la symétrie de Tare, il suffit d'établir ce tableau pour la moitié de Touverture, y compris la clef, les poids symétriques par rapport à la clef présentant les mêmes valeurs pour Q, y et sin 6, des valeurs égales, mais de signes contraires,

358 PONTS HÉTALUQDEf,

pour X et cos 0, «t enfin les mêmes valeurs, mais permutées, pour T et T'.

2° Calcul du moment fléchmant, de Veffort normal et dt f effort tranchant. — Cela fait, on peut aborder le calcul da X, F et V pour chacune dea scciions de l'arc sous l'influeDce de chacun des poids. De même que dans le cas précédent, oo

calculera — • — et — • de façon à ne pas tenir compte pour

le moment ite l'intensité de la surcharge.

D'ailleurs, vu la symétrie de l'arc, il suffira d'effectuer les calcula pour les sections situées sur une moitié de l'ou' vrage, clef comprise, à la condition de considérer successivement tous les poids d'une extrémité à l'autre de la corde.

Il y aura lieu, pour chaque section, d'cftcctuer séparément les calculs pour les poids situés entre ladite section et l'eïtréniité de l'arc la plus voisine A, et pour les poids appliquât à l'autre partie de l'arc.

Pour les premiers, les calculs s'effectuent à l'aide dei formules suivantes :

1=:L (d + ij—ïly

et pour les seconds, à l'aide des formules suivantes :

Les valeurs de —1 . — -, — - et — ï- sont données pour chft-

que poids par le tableau dressé précédemment. Comme la section considérée coïncide avec le point d'application d'un poids, le même tableau donne pour cette section les vateuri Aaa •\-x,a — x,y, ain a et cos a.

coAP. V. PONTS EN inc. 359

Tous ces résultats doivent Atre inscrits dans un lableau & donble entrée, dont les colonnes verticales correspondent, pour fixer les idées, à la série des poids, et les lignes horitontales aux sections successives de l'arc.

3* Calcul du travail partiel correspondant â chaque poitù.

— Soient — et — les rapporta du moment Qéchissant et de

l'efTort Dormal au poids ic, pour une section et un poids déterminés :

Le travail maximum du métal aura pour expression, pour la semelle supérieure :

P XA F ir X„7tA

et pour la semelle inférieure :

P , XA P 5( , X^kA

II suffit donc de prendre tous les nombres inscrits au tableau précédent, et de multiplier les efforts normaux par le

coefficient ^ qui dépend uniquement de la surcharge et de la

section transversale de l'arc, et les moments fléchissants par

le coefficient*^' qui est dans le même cas, puis de prendre

les différences des nombres obtenus, pour avoir le travail à la semelle supérieure, et leurs sommes, pour avoir le travail à la semelle inférieure, sous l'action du poids considéré.

On effectuera ces opérations pour toutes les sections et tons les poids, el on inscrira les résultats dans un tableau à double entrée semblable au tableau précédent : il pourra paraître plus commode d'employer deux tableaux distincts, lun pour la semelle supérieure et l'autre pour la semelle inférieure.

Pour obtenir le travail de l'ftme sous l'influence de l'efl'ort normal et de l'effort tranchant agissant simultanément, il

l'&me. Mais comme en général, ce travail est toujours bien

inférieur à la limite admise, on peut se contenter d'en faire la vérification pour un ou deux points, sans s'astreindre à faire ce calcul pour toutes les sections de Tare.

4* Calcul du travail développé par la surcharge complète ou répartie de la manière la plus défavorable, — Si dans le tableau précédemment dressé et relatif, par exemple, à la somcUe supérieure, nous effectuons la somme de tous les nombres placés sur la ligne horizontale qui correspond à une des sections de Tare, nous aurons la valeur du travail total développé par Y ensemble des poids agissant simultanément, c'est-à-dire par la surcharge complète. Faisant la même opération pour toutes les sections et pour les deux tableaux, nous aurons en toutes les sections l'effet produit à la semelle supérieure et à la semeUe inférieure par la surcharge complète.

Les tableaux peuvent servir aussi à calculer le travail dû i une surcharge partielle : il suffit de faire le total des nom-. bres de chaque ligne horizontale correspondant à la partie de l'ouverture sur laquelle s'étend la surcharge, en laissant de côtelés colonnes qui correspondent à des poids supprimés, c'est-à-dire, à des points de Tare que la surcharge ne couvre pas. On pourra donc étudier la stabilité de l'arc dans l'hypothèse d'une surcharge incomplète quelconque.

Mais ces tableaux permettent aussi de se procurer un renseignement de la plus haute importance, savoir : le travail maximum développé dans chaque semelle de chaque section par la surcharge répartie de la manière la plus défavorable pour le point considéré lui-même.

En effet, le travail maximum dû à un poids quelconque se rapporte à un effort de compression, si le nombre qu'il représente est négatif, et à un effort d'extension dans le cas contraire. Une même ligne horizontale, correspondant à l'une des semelles d'une section de l'arc, comporte une suite de nombres dont les uns sont négatifs et les autres positifs. Effectuons séparément la somme de tous les nombres négatifs, en laissant de côté les autres : cela reviendra à calculer le travail dû à une surcharge répartie de telle sorte, qu'elle comprenne tous les poids susceptibles de produire un effort de compression, à l'exclusion de tous les poids susceptible^

de produire un effort d'extension. Cette surcharge est évidemment celle qui donne le maximum du travail à la compression. De même en effectuant la somme des nombres positifs, à Texclusion des nombres négatifs, ou aura le travail dû à la surcharge répartie de la manière la plus défavorable au point de vue du travail à Tex* tension. Ces deux surcharges sont complémentaires, et leur réunion constitue la surcharge complète. De même la somme des efforts maxima calculés, c'est-à-dire la différence de leurs valeurs absolues, puisqu'ils sont de signes contraires, donne le travail dû à la surcharge complète, qui, on le voit, est toujours plus petit que Tun des deux nombres précédents, savoir le nombre négatif. Les deux tableaux relatifs au travail subi par Tune et l'autre semelle de Tare se divisent ainsi naturellement en deux zones contenant Tune tous les nombres négatifs, l'autre tous les nombres positifs : il faut effectuer séparément sur chaque ligne les sommes des nombres compris dans chaque zone pour avoir les efforts maxima à la compression et à l'extension que le métal aura à supporter, puis additionner ces deux derniers nombres pour avoir l'effort dû à la surcharge complète. La méthode de calcul que nous venons d'exposer remplit, on le voit, entièrement le but que Ton doit se proposer dans le calcul d'un ouvrage métallique. Il ne serait d'ailleurs pas possible d'arriver à ce résultat d'une manière différente au moins pour toutes les sections de Tare, car il résulte nettement des applications que nous avons faites de ce mode de calcul à différents ponts, que la surcharge la plus défavorable pour une section diffère de celle qui correspond à la section voisine, et que dans une même section, la surcharge la plus défavorable pour la semelle supérieure n'a aucun rapport avec celle qui est relative à la semelle inférieure : on ne peut donc imaginer une surcharge particulière, couvrant la moitié ou les 2/3 ou les 3/4 de l'ouverture, qui produise l'effet maximum à la fois en tous les points de l'arc, et cette surcharge doit être déterminée séparément pour chaque section considérée à part^ ainsi que nous Tavons fait.

Les figures ci-jointes indiquent, dans un cas particulier étudié par nous, et dont il sera question dans l'article suivant.

OVÂ POMTS KtTÀUXQOa.

les modes de répartition de la sorcharge.quï donnent dans lu différentes sections, les efforts maxima, tant dans la Bemella supérieure (fiff. 216), que dans la semelle inférieure {fig. 2t7). Les verLicales correspondent aux poids, les horizontales aux sections et les parties couvertes de hachures indiquent le travail à l'extension.

Cela veut dire que pour la section M {fiç. 216), située à la distance MA des naissances et à fa distance MS de la clef, la surcharge qui donnera l'etfort maximum à la compression sur

PlR. 311.

la semelle supérieure s'étendra de M en N, c'est-à-dire, comprendra un peu plus que la moitié de l'ouverture; la surcharge correspondant à l'effort d'extension maximum s'étendra de même de N en P. Pour la bemcUe inférieure, les données relatives à la même section (M' A' = M A el M' S' = MS) seraient pour la compression N' P' et pour l'extension M'N'. ■

On a ici la preuve de nos assertions précédentes relatives au changement que suhit d'un point à un autre la surcharge Is plus défavorable.

Laiîgurfl 218 indique l'interprétation h donner aux renseignements fournis par les figures précédentes.

Nous terminerons celte élude en remarquant que les tableaux du travail partiel des semelles permoltcnl encore Je déterminer le travail dû à une surcharge qui ne serait pas répartie uniformément, par exemple à un train de chemin <ie

CHAP. V. toxn EN Ane. 36<1

fer comportant des véhicules dont les poids par mètre courant ■eraiflDt trèa diiïéreats (locomotive et wagoas). La valeur de ic estalors variable, et il suffit de multiplier par un coefficient convenable — tous les nombres placés dans la colonne

verticale correspondant à chaque poids pour tenir compte de la modification qui résulte ào la subsLiliition faite du nouveau poids Tc' au poidjt moyen ic pris précédemment pour base des calculs.

Nous avons recommandé d'inscrire au fur et à mesure les résultats numériques obtenus dans des tableaux disposés avec méthode, parce que cela facilite la recherche des erreurs commises. Dans un pareil tableau les nombres successifs doivent varier d'une manière régulière dans chaque ligne horizontale et chaque colonne verticale. Toute erreur correspond à une infraction à celte loi de la continuité, infraction qui saule aux yeux et permet de reconnaître sans difficulté le point où une faute de calcul a été commise.

ft30. iM6tit(»de 8p«om«ti>i4ac — La mélhodo que nous venons d'exposer en détail exige pour le calcul d'un arc métallique un très grand nombre d'opérations numériques, ' qui n'offrent aucune difficulté, mais qui cependant nécessitent un travail long et fastidieux.

On peut abréger singulièrement ce travail en recourant à l'emploi do constructions géométriques, qui donnent rapidement les nombres dont le calcul est le plus laborieux,

1* Calcul du morne ni fléchissant.

Supposons qu'on ait calculé, ainsi qu'il a été dit précédemment, les nombres du tableau 1, c'est-à-dire les coordonnées diverses ol les poussées correspondant aux différents poids.

Nous allons voir comment on peut y arriver simplement à l'aide de constructions gconiiilriques.

Considérons un poids «quelconque. Les résuttaDtes des

POIfTS MÉTALUQUES.

réactions exercées, sous Tinfluence de ce poids, par Tare sur

les culées A et A' se coupent [fig, 219) en un point G silué

sur la verticale qui .0 '^ passe par le point

d'application de ce poids ic. Cela est évident y puisque ces deux forces et le poids ic se font équilibre.

Désignons par T

l'ordonnée GH de ce point G, dont l'abscisse x est connue,

et proposons-nous de chercher sa valeur.

On a, en désignant par Q et T les composantes horizontale

et verticale de la réaction de Tare sur la culée A :

OY = T(a-xp);

On connaît a, a; et - . Il est facile de déternoinerY pour tous

les points de division de l'arc ; nous pourrons alors figurer sur une épure les deux droites A'G, GA relatives à chacun des poids tc. Nous avons donné (127) à l'ensemble de ces deux droites le nom de courbe des pressions relatives au poids 7c.

Le lieu des points G, intersection de ces droites, est la courbe enveloppe des courbes de pression relatives à tous les poids isolés appliqués à l'arc ; c'est aussi le lieu géométrique des points d'intersection des réactions exercées par l'arc sur les culées, sous l'influence des différents poids agissant chacun isolément.

Considérons maintenant un point M de Taxe longitudinal de l'arc (fig. 220) : le moment fléchissant déterminé dans la section transversale M par un poids isolé quelconque est égal au produit de la poussée Q par la distance verticale MN du point M à la courbe des pressions relative à ce poids (127).

Fig. 220.

On doit donc tracer la verticale qui passe par le point M et mesurer les distances comprises entre M et les différents

points de rencontre de cette ordonnée avec toutes les courbes de pressions. En multipliant chaque longueur par la poussée Q qui correspond à la courbe des pressions dont il s'agit, on a le moment fléchissant cherché, qui est />ositif si la longueur est mesurée au-dessus de M, et négatif dans le cas contraire.

Nous avons indiqué dans la figure 220, à côté de Tépure, les longueurs qu'il y aurait lieu de mesurer sur la verticale qui passe en M.

On voit que le calcul du moment fléchissant se réduit à la mesure d'une longueur sur Tépure et à la multiplication de cette longueur par la valeur de la poussée Q précédemment calculée.

2* Calcul de Veffort normal et de V effort tranchant. Pour Teffort normal et Teffort tranchant, la simplification est tout aussi grande.

Reportons-nous à la figure 219. Prenons à partir du point A' sur la corde A A' une longueur A'y proportionnelle à la valeur de la poussée Q, et menons l'ordonnée qui passe par ce point. La longueur A'r interceptée sur la droite A'G est proportionnelle à la résultante de Q et de T', c'est-à-dire à la

réaction totale exercée par Tare sur la culée A'. Il est aisé de construire -de même les longueurs représentatives des résultantes de Q et T, ou Q et T' pour tous les poids isolés : le plus simple est de mener par un point C des parallèles à toutes les droites de la figure {fig. 221), et, portant sur Thorizontale qui passe par G les longueurs correspondant aux différentes

Fig. 221.

â66 MNTÀ uàrkUAQOÈA.

poussées, de mener les ordonnées passant par ces points de division, lesquelles interceptent sur les différentes droites passant par C les longueurs des résultantes de Q et de T.

On aura ainsi deux faisceaux de droites, correspondant Tun à la culée A et Tautre à la culée A% issues du même point Cet limitées par deux courbes donnant pour chaque direction rintensité de la résultante correspondante .

Menons à présent par le point C une paraître CM à Tune quelconque des sections transversales de Tare, et supposons que la droite de pression parallèle à CP rencontre cette section transversale : l'effort normal déterminé dans la section M par le poids correspondant s'obtiendra en projetant la longueur CP sur la direction CM :