V = PP

Il suffira d'effectuer la même construction pour chacune des sections et toutes les directions issues de C, parallèles aux droites qui rencontrent ladite section dans la figure 220, pour avoir immédiatement toutes les valeurs de F et de V que l'on n'obtenait, d'après la méthode précédente, qu'àl'aide d'un calcul long et sans intérêt.

Cette construction se justifie d'elle-même^ et nous croyons inutile d'en démontrer l'exactitude.

Les deux procédés géométriques que nous venons d'exposer permettent d'obtenir aisément et rapidement les râleurs de

' X P , V — » - et — •

Il reste maintenant à calculer

ce qui revient à multiplier par un coefficient constant

8Ï *»" û chacun des nombres fournis par le calcul qui précéda*

CHâ». V. PONTS tS AtiC. 367

Celte opération n'a rien de difficile et n'est pas bien longruo :

pourtant on peut s'en dispenser. Il suffit de construire doiix,

. i>è^les dont les divisions, au lieu d'être espacées d'unité en

a <■ uca uiai(iiii>i;a ugiues, puur i une i'*

et pour l'autre à -, et de se servir de ces deux règles pour me-

Borer sur les deux épures d'un cAté les lon^eurs MN et de l'autre les longueurs CP'.

De cette façon, la multiplication de la longueur par le coefficient sera effectuée une fois pour toutes sur la rfegle divisée,

série des opérations en suivant ta marche indiquée au- numéro précédent.

La méthode géométrique que noua venons d'exposer donne nécessairement les mêmea résultats que la méthode algébrique précité, puisqu'elle n'en est que la traduction, el qu'elle a simplement pour but de remplacer des opérations numériques nombreuses et fatigantes par des constructions géométriques équivalentes fournissant identiquement les mêmes renseignements. A l'aide de cette simplification, on pourra sans aucun doute effectuer en un ou deux jours tous les calculs de stabilité relatifs h un arc circulaire, alors que la méthode purement algébrique exigerait probablement le quintuple de ce temps.

Cette méthode géométrique présente un autre avantage, c'est d'être applicable k un arc de forme quelconque, pourvu que l'on ait au préalable fait le calcul des poussées : en effet dans les constructions qui viennent d'être décrites, noua n'a- Vons eu nulle part à utiliser les propriétés de la courbe circulaire décrite par l'axe longitudinal, et cet axe eût pu être parabolique ou elliptique ou même décrire une anse de panier, sans que le raisonnement ni le tracé géométrique fassent changés en rien, i condition, bien entendu, que l'on eât au préalable pu calculer pour l'arc en question les différentes valeurs de Q, qui sont les seules données que l'épure ne

•■-wr-

368 PONTS MÉTALUQUES.

fournisse pas immédiatement par des mesures directes. Aa contraire il serait impossible d'adapter la méthode algébrique à CCS différents cas sous peine de tomber dans des formules inextricables, par suite de la complication qu'eutratnerait le calcul des ordonnées de la courbe et des inclinaisons des tangentes en ses différents points. On serait forcément amené à se procurer ces bases de calcul par des mesures effectuées sur une épure, et, dans ces conditions, il vaut évidemment mieux profiter de Tépure pour appliquer en entier la méthode géométrique.

fl^€>« Calcul dit tpavall dû ék la eliai*ci^ penua-

nente. — Apres avoir fait le calcul du travail dû à la surcharge complète, il suffit de multiplier tous les nombres obtenus par le rapport ^ dé la charge à la surcharge, pour avoir les

nombres relatifs à la charge permanente. Il n'y a donc en réalité pas de nouveaux calculs à faire.

Toutefois, il pourrait arriver que Ton se proposât de déterminer le travail résultant de la charge permanente et de la surcharge complète, sans avoir besoin de connaître l'effet d^une surcharge incomplète. Il serait alors parfaitement inutile de recourir aux nombreuses opérations de la méthode précédente, des formules très simples permettant de calculer d'un seul coup, pour une section quelconque, le moment fléchissant et Feffort tranchant dus à la surcharge complète ou à la charge permanente répartie uniformément suivant l^orizontale.

Nous extrayons textuellement ces formules du Traité de résistance des matériaux do M. Bresse (116,117) : nous croyons inutile d'en donner la démonstration qui est d'ail* leurs extrêmement simple.

On sait que dans le cas présent la valeur de la poussée est donnée par la relation :

Q = 2pa.B'.K.

B' et K sont des coefficients, dépendant de r* et de 9, qiû sont fournis par la table II, 2 pa est le poids total de la charge.

aUP. V. F0»T3 EN ARC. dbV

Lcsformuics à appliquer sont alors les suivantes poui les sections définies par les coordonnées x, y et «.

X = s ;)p*(co8« — cosy) (cosa + cosç — 4 einç X B' X K)

= 5P(a'-aT*)-2/Ja.y.B'.K,

P= — jjpsin'a — ipa. cosa.B'.K = — pi siiiŒ — %pa. cos«. B'. It. V = pf sina cosa- 'ipa. sina. B'. K ^ px cosa — 3ji>a. sina. B' K.

Ces trois formules donnent rapidement les valeurs de X, F et V dans toutes les sections de l'arc, soit que l'on emploie les expressions où figure le rayon de courbure {> de l'axe long;itudLna], soil que l'on préfère celles qui dépendent des coordonnées rcctilignes x el y.

Cela fait, on calcule ta valeur du travail par la méthode habituelle.

«Al. Colcnl au travail dû * In dllatntlon. — Si l'on connaît ou si l'on se donne à priori la valeur de l'écart maximum / qui pourra exister entre les températures extrêmes de l'ouvrage et la température moyenne précédemment définies, on sait calculer (136) la poussée additionnelle, positive ou négative, qui résultera de cette dilatation ou de cette contraction (1).

Cette poussée est donnée par la formule :

B'" et K sont des coefficients fournis par la Table II. On a, pour le calcul de X, F et Y les relations :

V=! — Q8ina = — sina.ai. -r- B*K.

(t) Par une confusina regrettable, q".i r6(ulte des notatioDS adoptéet, la lettre s diiigne, daai les Tormules du H' 141, i la to\a le cocfOcient de cUlatation linéaire du métal et l'angle au centre relatif à la BeclioD cuasidérée : dons ce dernier cas la lettre a est toujoura précédée du Bignc cos ou du signe tin. n ne peut doue ; avoir d'erreur, d'autant plus que dans ta« applications « ( est toujoun remplacé par sa valeur numérique.

if:.

PONTS MâTALLIQUSS.

On cherche ensuite le travail par ia méthode habituelle. On peut aussi se servir de la formule :

El

Q^oit

si l'arc est très surbaissé.

Remarquons qu'en changeant le signe de « t^ on change le signe de toutes les expressions algébriques que nous venons d'énoncer. Le travail change donc purement et simplement de signe et garde la même valeur absolue : donc on peut prendre à volonté avec le signe -f ou le signe — tons les nombres représentatifs du travail que donne le calcul, à condition bien entendu que Ton admette l'égalité de valeur entre les écarts positif et négatif que peuvent présenter les températures extrêmes par rapport à la température moyenne. Sinon il convient de modifier les nombres dans le rapport même des écarts admis.

tJà-