SW

A. POUTRES DROm

■ 81. Détermination graphique de« ■aatvqalsemanifealent dana ane pai appui* «impies, pendant le paaMig paîds isolés eireniant lentement. -

que nous avons données pour le calcul à travées indépendantes, nous avons touji surcharge, couvrant en totalité ou en pont, était répartie umformémeat suivan l'hypothèse généralement admiiîe dans métallique.

On peut toutefois se proposer de reche veloppés dans une poutre droite par une ; de poids isolés distribués suivant une 1 exemple par un train de chemin de for, ce de poids très différents, qui ne serait nul! une surcharge uniformément répartie.

Les formules générales du n° 29 permel difficulté le calcul des moments fléchissai une poutre droite pour une podtion déter le pont ; celles des n"45 et 46 permcttn la même hypothèse de déterminer tous 1 nifestent dans les cordes et les barres i caîne. Mais il serait intéressant d'effectué que section transversale de la poutre dan; défavorable, c'est-à-dire en disposant le t telle manière que l'effort, développé dan rée, atteignit sa valeur maximum.

Onyairive sansdifâculté&raide d'une construction géométrique très simple imaginée simultanément par M. Cuimann, professeur à l'Ecole polytechnique de Zurich qui l'a donnée dans soo Traité de statique graphique, et par M. Bresse (Annales des ponts et chaussées, 1877, 2' semestre), auquel nous empruntons la présente note.

Supposons que le convoi de chemin de fer, dont la longueur prise arbitrairement peut dépasser l'ouverture du pont, se compose des poids isolés 1, 2, 3, 4, S, 6, 7 et 8 se succé-

il ;

lyy*

Pig. £93.

dant k des intervalles figurés sur la droite horizontale XX'. Portons successivement sur une droite verticale YY les longueurs représentatives de tous les poids 01, 1.11,11.111, etc.; et VU. VIII. La longueur 0. VIII figure le poids total du convoi. Soit S un point quelconque du plan situé & une distance arbitraire ST de la verticale YY ; joignons S.I, S.ll, S.III... etc. Par un autre point quelconque U du plan, menons une parallèle à la droite S.O, que nous prolongerons jusqu'à son point de rencontre 1' avec l'ordonnée du point 1 ; à partir du point 1' menons une parallèle & S.I, que nous prolongerons jusqu'à son point de rencontre 2* avec l'ordonnée du point 2, etc., etc., jusqu'au point 8' située sur l'ordonnée du point 8, à partir duquel nous mènerons une parallèle i S. VIII.

Le polygone U 1' 2' 3' 4' 5' 6' T 8' W est un po, ffone ftmiculaire relatif au convoi de poids isolés que no avons considéré. C'est la figure d'équilibre d'un câble fiexil qui, fixé inTariablement en deux points quelconque d droites Ul' et 8'W, serait sollicité par tous les poids qui coi posent le convoi. La traction borizontale exercée par ce câl sur ses culées serait figurée par la longueur ST, et 1 efforts normaux développés dans ses différents élémei seraient représentés par les longueurs des droites parallèl issues du point S ; ainsi, l'efiort développé dans l'élément 1' serait égal à la longueur S.I\'.

On pourrait évidemment imaginer un nombre infini i polygones funiculaires correspondant au même train, en fs sant varier arbitrairement la position du point T sur la droi YY, et la longueur de l'horizontale ST. En remplaçant point S par le point S' symétrique par rapport à la droi YY, et effectuant exactement les mêmes constructions q» dans le cas précédent, nous obtiendrions une courbe funici laire symétrique de la courbe U 1' 2" 3' 4' o' 6' "ï' 8' W p; rapport à une direction borizontale ; cette courbe représent rait non plus un cable flexible, mais un arc dont les diffi

rents éléments, symétriques de l'2', 2'3' , seraient e

équilibre sous l'influence d'efforts normaux développés par It poids isolés 1, 2, 3, efforts normaux dont l'intensité sera encore donnée par les distances de S' aux diflérents points d division de la droite YY.

Les droites S'WIII et S'O figureraient les réactions oblique exercées par l'ouvrage sur ses culées, la composante horizon taie ST étant la poussée de l'arc.

Considérons maintenant une poutre droite AB de longueu donnée / : supposons que le convoi occupe sur le tablier d l'ouvrage la position indiquée par la figure, de telle sorte qu les poids 1, 2, â et 4 soient placés sur le pont, les autre poids étantencore en deçà de la culée B. Menons les ordonnée verticales qui passent par les extrémités A et B de la travée soient a et 6 leurs points de rencontre avec la courbe funicu laîres ; joignons ces deux points par une droite. Le momen fléchissant en un point quelconque M de la poutre s'obtien dra eu effectuant le produit de la portion mn de l'ordonné'

518 FONTS BIÉTALUQUES

verticale menée par M comprise entre la corde ab et le polygone funiculaire, par le poids représenté par la longueur ST. Comme cette longueur ST peut être prise arbitrairement, rien n'empêche de la choisir égale à Tunité ; la longueur mn représente alors précisément à l'échelle convenue le moment fléchissant développé en M par le convoi 1 , 3; 3, 4, que porte la poutre AB.

Nous renverrons pour la démonstration de ce théorème au travail de M. Bresse ou au Traité de statique graphique de M. Maurice Lévy (p. 179). Supposons à présent que le convoi continue sa marche en s'avançant sur le pont ; le moment fléchissant développé en M va nécessairement varier, Proposons*nous de trouver la position du convoi pour laquelle il atteindra son maximum. Le mouvement relatif du convoi et de la poutre peut s'obtenir indifféremment en supposant le convoi mobile et la poutre fixe, ou inversement le convoi immobile et la poutre animée d'un mouvement de translation.

Adoptons ce dernier moyen pour simplifier la figure. Lor^ que la poutre sera venue en CD, le moment fléchissant développé en M' (nouvelle position du point M) sera représenté par la longueur verticale n'm' mesurée entre la corde cd et la courbe funiculaire.

De même, la poutre étant venue en EF, le moment fléchissant en M" sera égal à la longueur m''n\

En résumé, il est très aisé de construire une série de cordes ab^ cdy ef, etc., ayant toutes une projection horizontale égale à / et correspondant par conséquent à des positions successives de la poutre. On reconnaîtra au premier coup d'œil, ou à Taide de mesures prises sur Fépure, la corde pour laquelle la longueur de l'ordonnée correspondant à un point choisi sur la poutre atteindra son maximum. En faisant la même opération pour une série de sections transversales de la poutre, on résoudra le problème posé au début de cette note ; on aura en effet déterminé en chaque point le moment fléchissant maximum dû au convoi mobile placé de la façon la plus défavorable. On pourra d'ailleurs avoir une exactitude aussi parfaite qu'on le voudra en traçant une série de cordes très rapprochées dans le voisinage du maximum, afin

HOTES AMNEZKS 819

d' obtenir plut edrement ^& valeur exacte. Dans le cas présent, le maximum du moment fiéchissant en M s'obtiendrait sans aucun doute pour une position de la poutre voisine de CD.

Il est bien évident d'ailleurs que la position du convoi, qui dans la poutre droite AB correspondrait au moment fléchissant maximum développé dans la section M, est ég'aleme&t celle qui, pour une poutre américaine AB de longueur égale /, développerait en M, dans les deux cordes, les efforts normaux maxime. Cette épure est donc applicable à toutes les poutres droites & travées indépendantes.

Elle pennet aussi de trouver immédiatement la réaction verticale exercée par la poutre sur l'un de ses points d'appui ; proposons-Qous par exemple de déterminer la réaction verticale exercée en C par la poutre CD. Il suffira de prolonger l'élépient de courbe funiculaire S'a" rencontré par la corde cd, ainsi que cette corde elle-même ; portons sur e 3' la longueur cr égale à S.III et menons par r une verticale qui coupe en /le prolongement de cd. La longueur r/ représente . précisément la valeur de la réaction verticale exercée par la poutre CD sur l'appui C.

Nous remarquerons en terminant que les courbe» repraisnlative$ des moments fléchûsants dans les poutres droites h travée unique appuyées ou encastrées à leurs extrémités, dont il a été question aux n" 29, 30, 3t, 68, sont tont simplement des courbes funiculaire» correspondant aux surcharges considérées. On a vu que, dans le cas d'une surcharge uniformément répartie suivant l'horizontale, la courbe funiculaire est toujours un arc de parabole à axe vertical.

L'étude que nous avons faite des déformations des c&bles des ponts suspendus, sous l'action de surcharges concentrées ou réparties suivant l'horizontale d'une manière absolument quelconque, conduit k des formules permettant également de tracer les courbes funiculaires qui correspondent à ces mfimes surcharges ; la courbe décrite par un câble flexible sous l'action d'une série de poids quelconque est effectivement une des courbes funiculaires correspondant k ces poids. Cette courbe est ici déterminée par tes positions relatives des

PONTS IfÉTALLlQUES.

points d'attache du câble et par la longueur de ce dernier. Ces deux données permettent de calculer la poussée ST et les réactions sur les appuis OT et T. VIII ; on est donc dans les mêmes conditions que si Ton donnait la position du point T et la longueur de la droite, ce qui suffit pour déterminer la courbe funiculaire. Enfin, nous ajouterons que les courbes, dénommées par nous courbes des pressions dans l'étude des ponts en arc, sont encore des courbes funiculaires correspondant aux charges et surcharges considérées ; ces courbes sont ici déterminées par les directions des réactions obliques exercées par Tare sur ses culées, directions que le calcul de la poussée fait connaître. Connaissant dans la figure 293 les directions des droites S. VIIII et SO, on voit que la position du point S est bien définie, et que la courbe funiculaire ne présente plus d'indétermination. Nous en concluons que dans un ouvrage métallique quelconque à travée unique le moment fléchissant développé dans une section choisie arbitrairement est proportionnel à la distance verticale qui existe entre le centre de gravité de cette section et une courbe funiculaire correspondant à la ch^ge et à la surcharge considérée. Nous avon^ donné dans' chaque cas étudié par nous le moyen de tracer cette courbe funiculaire, que nous appelions en parlant des poutres droites la oourbe représentative des moments fléchissants, et en parlant des arcs la courbe des pressions.

B. PONTS SUSPENDUS

t8ft. Courbe décrite par an oàble nollieité par son propre poids. — Dans Tétude que nous avons faite des ponts suspendus, nous avons admis sans démonstration que les courbes décrites par les câbles étaient toujours des paraboles. Cela est rigoureusement exact lorsque la charge supportée par le câble est répartie uniformément suivant Thorizontale ; cela cesse d'être vrai lorsque la charge est répartie uniformément suivant la fibre moyenne des câbles, ce qui est le cas pour un câble sollicité par son propre poids.

La courbe funiculaire décrite diffère alors d'une parabole :

NOTES ANNSXIS. 521

c'est une chaînette à axe vertical^ qui, rapportée à sa tangente horizontale au sommet et à son axe vertical {fig. 150), a pour équation :

e désigne ici la base des logarithmes népériens, c'est-àdire le nombre incommensurable 2,71828.., m est un coefficient que l'on détermine à Taide des coordonnées a et d du point d'attache du câble :

On peut résoudre cette équation à Taide d'une table de logarithmes hyperboliques ou népériens, en remarquant que

Ton a : Log. nép. cm=fl^ et

La langueur OM'd'un arc de chaînette, mesurée à partir du point 0, est donnée par la relation :

D'après M. Debauve (Manuel de Fingénieur des ponts et chausséeSy iV fascicule, page 270), on aurait également :

D'où Ton tire :

Cette formule, comparée à la dernière formule du no 93, montre qu'à égalité d'ouverture a et de longueur s, la flèche b de la chaînette est plus petite que celle de la parabole. La

différence est d'autant plus faible que le rapport - est plus ré- '

duit. Nous avons donc pu supposer sans erreur appréciable que la courbe décrite par un câble de retenue, dont la flèche

PONTS MÉTAIUQVSS.

est toujours minime, est une parabole, l'écart entre la parabole et la ehalnette étant toujours négligeable dans ce cas.

Lorsqu'on monte les câbles principaux d'un pont, ceuxci, avant que le tablier n*ait été posé, sont sollicités uniquement par leur propre poids : il en résulte que la courbe décrite par eux est une chaînette et non une parabole. La

difiérence peut être sensible, le rapport -j qui diffère peu en

général de ^j ayant une valeur asse2 élevée.

M. Debduve a calculé que, pour un pont ayant 200 mètres d'ouverture et 20 mètres de flèche, la différence entre la flèche de la chaînette et celle de la parabole pourrait atteindre ©«.as.

f SU. Ponts suspendus rigides A double articulation. ■- Poutres auxiliaires des ponts snspendu«i. — Nous avons parlé précédemment (104) du pont suspendu de Mannheim, dont les deux chaînes sont reliées par une trangu-

lation qui assure à l'ouvrage une ce^ taîne rigidité. Considérons im ouvrage semblable (fig. 294), qui serait constitué par deux câbles ou chaînes formant cordes supérieure et inférieure, reliées par Fig. 294. une série de barres

formant trangulation. L'analogie qui existe entre ce pont suspendu et le pont en arc à double triangulation, que Ton obtiendrait en traçant la figure symétrique par rapport à une horizontale HH, est évidente.

Il saute aux yeux qu'après avoir calculé Tun des ouvrages, on peut utiliser sans modification tous les résultats obtenus pour la détermination des éléments constitutifs de l'autre, en supposant que la charge et la surcharge présentent identiquement 1* mêrfte valeur, & condition de changer les signes de

HOTES ARNSXSS

tous les efforte, et par suite de substituer partout aux pressions des tensions de même intensité, et vice-versà (122).

Le calcul du pont suspendu rigide ASA' pourra donc se faire sans difficulté par la méthode et les formules applicables à un arc à double articulation, et Ton pourra également se servir des tables numériques de M. Bresse^ données précédemment, qui conviennent aussi bien aux ponts suspendus rigides circulaires à section constante et articulations aux extrémités, qu'aux arcs à double articulation. L'écart entre la parabole et Tare de cercle est assez faible pour qu'on puisse le négliger sans grand inconvénient dans le calcul de la poussée.

Gomme on n'exécute guère de ponts de ce type (puisque le seul exemple connu de nous est le pont de Mannheim^ construit en 1835, dont la rigidité est d'ailleurs insuffisante, vu le trop faible écartement des . deux chaînes), notre remarque serait sans intérêt pratique, si eUe ne fournissait l'explication du rôle que jouent dans les ponts suspendus américains les poutres auxiliaires ou poutres de rigidité, au sujet desquelles nous n'avons donné jusqu'à présent que des indications générales.

Supposons que nous ayions calculé les dimensions du câble

principal ASA' d'un pont suspendu, de façon qu'il puisse résister dans de bonnes conditions à l'effort normal résultant de la charge et de la surcharge complète [fig.

Il s'agit de trouver les dimensions qu'il conviendrait d'attribuer à la poutre auxiliaire du pont pour que la courbe décrite par le câble principal restât sensiblement invariable, sous l'action d'une surcharge partielle quelconque. Admettons un moment que le câble ASA' soit devenu rigide, de telle sorte que la courbe parabolique qu'il décrit reste invariable en toute circonstance : nous aurons alors un pont suspendu rigide articulé à ses extrémités A et A', et nous

Fig. 295.

524 PONTS BfltTAlLlQOIS.

pourrons ealcnler, à Taide des méthodes applicables aux ponts en arc (138-1 39) , le moment fléchissant maximum qui serait développé dans une section transversale quelconque du cAble rigide par la surcharge partielle la plus défavorable. 11 n*y aura qu*à suivre exactement la marche indiquée pour les arcs : les résultats auxquels nous arriverons seront semblables & ceux représentés sur la figure 223, avec cette différence que nous ne nous occupons à présent que du moment fléchissant, tandis que, dans la figure 223, on a ajouté & Teffet du moment fléchissant celui de Teffort normal développé par la surcharge partielle. Nous laissons ici de côté Teffort normal, nous bornant à chercher le maximum du moment fléchissant seul.

Rendons maintenant au câble A S A' sa flexibiUté première, mais accolons-lui une poutre curviligne aa! Ith établie en vue de résister convenablement aux moments fléchissants calculés précédemment, la fonction du câble flexible se bornant à supporter en totalité Teffort normal. La réunion du câble flexible et de la poutre parabolique constituera un ouvrage suspendu rigide, et, si chacun de ces éléments remplit bien le rôle qui lui est attribué, les déformations dues aux surcharges partielles seront égales â celles que subirait un pont en arc ayant les mêmes dimensions principales.

Comme d'ailleurs la poutre curviligne n*a d'autres fonctions que de résister au moment fléchissant, elle ne transmet aucun effort aux culées A et A', le moment fléchissant étant toujours nul aux points d'attache du pont suspendu : on peat donc sans inconvénient arrêter la poutre à une certaine distance des maçonneries. Rien n^oblige même â lui faire épouser exactement la forme parabolique du câble ; on peut Fen séparer et lui donner une direction rectiligne horizontale, à condition bien entendu de la relier au câble de telle manière que celui-ci ne puisse se déformer sans que la poutre fléchisse.

En somme, la poutre auxiliaire des ponts américains est Téquivalent d'une poutre parabolique rigide qui serait juxtaposée au câble et aurait pour rôle spécial de résister aux moments fléchissants développés par les surcharges partielles. dans Thypothèse de l'invariabilité de la courbe décrite par le

NOUS AHMEZES.

câble. Son emploi se justifie par rimpossibUité où Ton se trouve de donner directement de la rigidité au câble. Nous allons exposer ci-après ime méthode qui permette de calculer les dimensions à attribuer aux éléments de cette poutre, et de se rendre compte, d'autre part, du r6le que jouentles haubans de suspension dans les ponts américains.

Calcul des poutres auxiliaires ou poutres de rigidité des ponts suspendus. — Emploi des haubans de suspension.

187. Théorème fondamental. — . Soit AMÂ' la courbe parabolique que décrit un c&ble parfaitement flexible supportant une charge permanente uniformément répartie. Supposons que Ton ajoute une charge distribuée irrégulièrement sur la Ion- ^' gueur horizontale

de la travée. Connaissant les grandeurs et les points d'application de tous les poids partiels dont se composent la charge permanente et la surcharge, il sera toujours possible de tracer lanouvelle courbe AMiA' que

Pig. ,297.

va décrire le câble, en tenant compte, pour plus d'exactitude^ de rallongement éprouvé par lui en raison de l'augmentation qu'aura subi le travail à l'extension en chaque point. Il suffira à cet effet d'appliquer les méthodes exposées dans les articles 94, 95 et 96 du chapitre IV.

La courbe AMjA', dont la longueur développée est égale à celle du câble, est im polygone funiculaire correspondant au mode de répartition de la charge totale, et dont les ordonnées verticales sont proportionnelles aux valeurs des moments

526 PONTS MtTALUQDBS.

fléchissants que cette charge totale déterminerait dans une poutre droite simplement appuyée à ses deux extrémités  et A'.

Admettons à présent qu'avant d'ajouter la surcharge, ou ait relié le câble à une poutre auxiliaire, au moyen d'un certain nombre de tiges verticales.

Cette poutre ne sera pas influencée par la charge pennanente du câble, puisque Ton aura eu soin de ne pas modifier pendant l'opération la courbe AMA' décrite par le câble, et, par conséquent de ne rien changer à Téquilibre élastique de celui-ci.

Quand on viendra ensuite placer la surcharge, la poutre auxiliaire tendra, en raison de sa rigidité propre, à maintenir le câble dans sa direction primitive, et Tobligeraà décrire une courbe AM,A' plus voisine de la parabole initiale AMA' que la ligne AMjA'. La section transversale qui est directement reliée au point M du câble, aura subi le môme déplacement vertical MM, ; par conséquent la poutre, dont la fibre moyenne se trouvera déformée, sera soumise, dans ses différentes sections transversales, à un travail de flexion qui variera de Tune à l'autre.

Considérons les deux axes horizontal Ax et vertical Ay menés par le point d'appui de gauche A du câble. Soient y l'ordonnée du point M, y^ celle du point Mi, et y, celle du point M,, situes tous les trois â la même distance horizontale X de l'origine sur les trois courbes AMA, AMiA' et AMjA précédemment définies.

Nous nous proposons de déterminer les valeurs du moment fléchissant X et de l'effort tranchant V qui se sont développés dans la section transversale située dans le plan vertical MM„ lorsque, le câble se déformant ainsi que la poutre sous l'action do la surcharge, le point M est venu en Mj.

Soient Qi et Ti les composantes horizontale et verticale de Teffort de traction qui s'exercerait, sous l'influence simultanée de la charge et de la surcharge, au point Mi du câble, si ce dernier n'était pas associé à la poutre de rigidité.

Comme la direction de cet effort est tangente à la courbe décrite par le câble supposé parfaitement flexible, on a entre Qi et T^ la relation :

HOtKS ANMK2tES. Sâ7

On a de même entre Qt et T«, composantes horizontale et verticale de Teffort de traction exercé en M, sur le câble associé à la poutre^ la relation :

Si nous passons du point Mi [x^y^ au point infiniment voi^ sin de coordonnées a: + do? et yi + dyi , Taccroissement subi

par la traction verticale T, sera — Ar : cet accroissement sera

égal & la fraction de charge et surcharge directement appliquée à cette portion du câble, de longueur horizontale infiniment petite dœ.

Pour le câble AMjA', cette même fraction de charge et de surcharge sera égale à la somme des accroissements subis simultanément par la traction verticale T, du câble et par l'effort tranchant "V de la poutre :

D'où:

dT- dV ^

dx dx

— dx -\ dx =z — - ;

dx dx dx

et, en intégrant :

C est une constante à déterminer.

dK

Appliquons la formule connue : V = -- :

dx

X= rYdx+C\

c étant une constante d'intégration à déterminer. D'où:

X = r* (Ti — T, + C)dr -l-G'

= (Qi - Q.)»! + Qi(»i - ») - Q.(yj - »)+C*+C'.

528 PONTS MÉTÀLUQUKS.

Telle est l'expression analytique du moment fléchissant X, qui agit sur la poutre auxiliaire dans la section transversale définie par l'abscisse x. Cette formule est absolument générale, puisque nous n'avons formulé aucune hypothèse sur l'importance et le mode de répartition de la surcharge qui a provoqué le fonctionnement de la poutre de rigidité.

Supposons que nous fassions décroître indéfiniment cette surcharge. Le câble reviendra graduellement à son état d'équilibre primitif, correspondant à la parabole AMA' . Par conséquent yi et y, se rapprocheront de y ; Q^ et Q, tendront vers Q. A la limite, quand la surcharge aura entièrement disparu, Qi — Qi sera nul, ainsi que y, — y ^t y, — y. D'autre pari, la poutre auxiUaire ne jouera plus aucun rôle, en vertu de l'énoncé du problème. Donc X sera nul pour toute valeur de x^ et par conséquent les constantes C et C seront réduites à zéro.

Ces constantes, qui ne dépendent pas de a;, ni par suite de ses fonctions y, yi et y,, doivent ainsi s'annuler en même temps que Q^ — Q,. On peut, par conséquent, les remplacer par les produits (Q, — Q.) K et (Q, — Q.) K', où K et K' seraient des coefficients numériques à déterminer.

Nous arrivons en définitive à l'expression suivante du moment fléchissant X :

(1) X«{Qt-Q,)(yi + K«-l-K')-hQ,(yi-y)-Qt{îf.-îf).

Quand le câble passe de la courbe AMA' à la courbe AMtA', la fibre moyenne de la poutre, qui lui est invariablement reliée, suit son mouvement, et le centre de gravité de la section transversale définie par Tabscisse x s'abaisse verticale ment de la longueur MM„ ou y, — y. L'apparition du moment de flexion X est la conséquence de cette déformation de la poutre. On a donc, en vertu de la théorie des poutres droites la relation suivante entre y, — y et X :

E' est le coefficient d'élasticité longitudinale du métal qui constitue la poutre, eti est le moment d'inertie de la section transversale définie par l'abscisse x»

MOTKS ANNBXKS. 539

D'où, en remplaçant X par sa valeur précédemment énoncée :

E' et I sont des données du problème ; ^i et ^ sont des variables connues, puisquel'on a tracé-tout d'abordles courbes funiculaires ÂMA' et AMiA.' ; la valeur numérique de la quantité Qi a été également déterminée dès le principe, en étudiant le fonctionnement du cftble séparé de la poutre auxiliaire (art. 95 et 96).

Le terme (Q, — Q,) {yj ^-Ka:-^- K') représente le moment fléchissant dû à la fraction de surcharge que la poutre auxiliairt porte à elle seule, comme si elle était indépendante du câble. Chacun des poids partiels P, dont se compose cette surcharge, se divise ainsi eu deux parties, dont le rapport

-~ j^ est indépendant de la position qu'occupe entre A et

A' le point d'application de ce poids considéré en particulier :

1" La portion P ■■■'~ ' , qui est directement supportée pat

la poutre auxiliaire fonctionnant comme un ouvrage indépendant, et n'exerce aucune action sur les conditions d'équilibre élastique du cAbte ;

2* La portion complémentaire P ' ~ que porte le câblé

seul, la poutre auxiliaire n'agissant ici que comme oi^anc de rigidité, et ayant pour rôle unique de limiter le déplacemeiit du cAble, sans rien changer â la traction horizontale Q, : celle-ci est la même que si le cAble, ne portant que la charge

toute entière et la fraction -^ ''

relié à la poutre auxiliaire.

Il est aisé dans ces conditions de déterminer les constantes Ket K', en cherchant la manière dont se comporterait la poutre auxiliaire séparée du cAble sous l'action de la surcharge, dont le mode de répartition est connu. C'est un problème qui se résout sans difficulté par l'application des méthodes de B. 34

IJ: S80 PORTS MfiTALtlOCÉS.

calcul relatives aux poutres droites. Si là {)6Ufrë se termine en A et A', et est simplement appuyée à ses deux extrémités, on a : K= K' = o. Si la poutre est encastrée à une ou deux extrémités, ou si elle est continue sur plusieurs travées successives, K et K' auront des valeurs numériques que Ton pourra toujours se procurer, connaissant la distriJ3ution de la surcharge, en étudiant la poutre séparée du câble.

Cela fait, Téquation (2) ne contiendra plus comme inconnues que la traction horizontale Q, ei la variable y,, qui définissent rétatd^équilibre élastique dans laquelle se trouve le câble associé à la poutre de rigidité, sous Finfluence simultanée de la charge et de la surcharge.

Soit S la longueur primitive que possédait le câble avant qu'il ne fût soumis & aucun travail d'extension ; le câble s'est allongé depuis, en raison des efforts développés dans ses différents points. Soient ds la longueur initiale d'un élément, dSi ce qu'est devenue cette longueur pour la position ÀMi A, et dSi ce qu'elle est devenue pour la position AM,A. On a, en désignant par û l'aire de la section traiisversale du câble et par E le coefficient d'élasticité du métal qui le constitue :

*■* Ën~ ^"^ En

D'où:

Ce qui peut s'écrire, en remarquant que dSt-= ^dc'+dji'queT,= Q,£*,etc.

fAV'+(î)"

Les équations (2) et (3) ne contiennent qu'une seule variable inconnue, 2/t)etune seule constante itloollnue,Q^ En éliffli*

NOTES ANNEXES. SSl

nftiit cette derhière ehtre elles, ofa obtietiârà finâlëmëiit une équation différentielle à une seule variable inconnue i/,, dont rintégration conduira à Téquation de la courbe AMjA', c'està-dire à l'expression de y, en fonction de x et des données du problème. On en déduira ensuite sans difficulté les expressions de X et de V, et le problême sera résolu.

Ces opérations analytiques ne peuvent évidemment s'effectuer sur les équations simultanées (2) et (3) prises sous leur forme générale. Pour rendre possible Télimination de Q, et l'intégration de l'équation différentielle entre y^ et x, il faut de toute nécessité formuler une hypothèse préalable sur le mode de répartition de la surcharge.

Nous allons chercher à tirer des résultats pratiques de cette étude, qui ne nous a conduit jusqu'à présent qu'à une solution purement théorique.

tSS. DiseasAion de la formule représentative de H.

— Terme (Qi — Q,) (y,+KaH-K'). — Les expressions

qui représentent les rapports, à la longueur primitive ds d'un élément du câble, des allongements élastiques éprouvés par cet élément sous Tinfluence de la charge et de la surcharge, sont assimilables à des infiniments petits du premier ordre. On peut donc mettre Téquation (3) sous la forme :

f\/<y(-lv/'T(|y)^=(Vn^t'-lv^'"^V-

Soient S, la longueur développée de la courbe AMiA', et S, celle de la courbe AM,A'.

Nous admettrons que l'aire U de la section transversale du câble soit constante d'une extrémité à Tautre.

Par des calculs simples, dont nous jugeons inutile de donner le détail, on peut intégrer Téquation qui précède, et obtenir la relation approximative suivante qui, étant donné que rallongement du câble n'est jamais qu'une fraction très faible

de sa longueur primitive, et que ^ est toujours très inférieur

dr « •

à Tunité, est, au point de vue pratique, rigoureusement exacte:

D'où:

Si - ^ (2S, —1) = s, -:^ (2St- /).

Ea^ ^ ' En '

Q«-o«=|l7ir;<^"--o«)-

2Q4 est d*ailleurs négligeable devant Eû , et par conséquent Ton peut écrire :

On voit que la différence Qi — Qi est proportionnelle à l'allongement S^ — St éprouvé par le câble quand il passe de la position AMtA' à la position AMi A'. Si, dans les conditions oùle problème est posé, on pouvait regarder cet allongement comme négligeable, et admettre que le cÂble est inextensible, on serait conduit à attribuer à Q, la même valeur qu'à Q,.

Pour nous rendre compte de l'importance que peut avoir, au point de vue de la stabilité de la poutre auxiliaire, le moment de flexion partiel (Q, — Q,) (yj + Kx+ K'), considérons à titre d'exemple le cas où la surcharge serait uniformément répartie, à raison de tt kilogs. par mètre courant de tablier. Nous supposerons d'autre part que, les appuis A et A' étant au même niveau, le sommet de la parabole se trouve au miUen de l'ouverture / ; que la poutre esta section constante, setermine sur les verticales des sommets A et A', et est simplement appuyée à ses deux extrémités.

Dans ces conditions, la poutre ne fonctionne pas comme organe de rigidité, et son rôle unique se borne à supporter une fraction de la surcharge, fraction que nous allons déterminer.

Soit / rabaissement vertical simultané du sommet de la parabole et du milieu de la poutre, qui, étant reliés ensemble parune tige de suspension, subissent nécessairement leméme déplacement.

Nous avons établi à la page 236 la relation qui existe entre l'abaissement vertical f du somn^et de la parabole et la 8ll^

charge uniforme q ^q '^l, qui a déterminé cet abaissement :

Qi— Q Eu i60/«6«— 7686*

La poutre porte à elle seule le surplus de la surcharge, soit *^^ ^l ; d'où, en appliquant une formule indiquée à la page 78 :

^ Qi - Q E'I 384 '

Û représente ici Taire de la section du c&ble, supposée constante sur toute sa longueur ; I est 1 ) moment d'inertie de la section transversale de la poutre ; E et E' sont les coefficients d'élasticité longitudinale des matières qui constituent ces deux éléments de Touvrage. Si le c&ble et la poutre sont formés de la même matière, on a :

Eliminons f entre les deux relations énoncées plus haut. Il vient :

Qi — Q, E'I 9P + 486»

0, — Q En 5W— 24f^*

Etant donné que b* est toujours une très petite fraction deP, qui ne s'écarte guère de ~ , on peut, sans erreur sensible, écrire cette formule comme il suit :

Qt-Q,Ea 2.

Q, — Q Eq' 56 '

Connaissant les dimensions du câble et celles de la poutre, on évaluera donc sans difficulté le rapport r^ — ~ , dans

le cas particulier que«nous avons envisagé.

Soient p le poids par mètre courant de la charge perma nente, supposée uniformément répartie, qui agit sur le câble comme s'il était isolé de la poutre, et tt celui de la surcharge d'épreuve ; R le travail à l'extension déterminé dans le c&ble, au sommet de la parabole, par la charge et la surcharge com-