PONT DE NBW-TORK SUR L'E^-ST RIVER

Fig. 297. Elévation.

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Fig. 298. Plan.

/A\/AJi7/V/yW\VAM^I/yV/AS^ :

Fig. 299. Coupe transversale.

plète agissant simultanément ; h la hauteur de la poutre ; et R' le travail à la flexion que déterminerait dans la section milieu de cette poutre une surcharge uniformément répartie égale

On a

D'où

Q, — Q ER'^p + îT

MOTBS ANNEXBS. 83V

Or,nous verrons ci-après (art. 193 et table aumériqueIY)que, dans rhypotbèse d*une surcharge uniforme mobile, qiii vient couvrir graduellement le tablier à partir d'une extrémité de la travéei le moment de flexion maximum, subi par la poutre» fonctionnant comme organe de rigidité, est inférieur au

sixième de celui, -r , que déterminerait, dans la même poutre

isolée du c^ble, |a surcharge complète vl>

La formule qui précède permet donc d'évaluer -r-^f , en

attribuant à R' et R les valeurs connues du travail maximum à l'extension admises en principe pour la poutre et pour le câble. Prenons pour exemple le pont de New York sur J'^ast- River (page 299, et fig. 297, 298, 299) : h = i'-GO ; ft = 39» ; R= 33.000.000 ; ir = 3.300k ; p +îr= 16.126. Admettons que E soit égal ê^ E>, .et supposons, faute de renseignements sur ce point, c|ue Ton ait voulu limiter à 12 kil. par m.m.q. le travail à la flexion de la poutre de rigidité. Nous trouverons :

Ainsi, dans ce cas particulier, la fraction de surcharge directeipent portée par la poutre auxiliaire ne représenterait

qi)e -rrr de celle que porte le câble. C'est insignifiant, ^ifssi

bien pour la poutre que pour le câble. Ce coefficient départage,

qui croit proportionnellement au rapport ~ des limites 4e sécurité admises pour le câble et pour la poutre, au rapport

de la surcharge d'épreuve seule à la som^n^ delà charge pe^^-

manente et de la surcharge, au rapport - de la hauteur de la poutre à la flèche du câble \ peut varier ep plus ou en

1 . En général le rapport - est compris entre rr et — . Dans le pont de

New York sur l'East-River, il s'élève à— • Cette limite extrême ne paraît avoir

été atteinte dans aucun ouvrage. Elle est ici justifiée par la faible valeur du

rapport , qui ne dépasse guère - • Au fur et à mesure que ce dernier rap-

h port s'élève, le rapport - doit logiquement diminuer, pour que la poutre de ri-

S36 POMTS METALLIQUES.

moins suivant les cas. Mais son ordre de grandeur ne s'écarte pas, dans les conditions pratiques que rexpérience a consacrées pour les ponts suspendus, de celui que nous venons de trouver pour le pont de New York. Si la poutre^ au lieu d'être simplement appuyée, est encastrée aux extrémités de la travée, le coefficient de partage s'accroît de 66 "/^ environ. Si la8u^ charge, au lieu d^être uniformémentrépartie, était concentrée au milieu de Touverture, Taccroissement serait de 30 ^/^.

En définitive, si Ton calcule, par la méthode que nous allons exposer plus loin, la valeur maximum du moment de flexion déterminé, dans la section la plus fatiguée de la poutre, par les conditions de surcharge les plus défavorables, il n'est passupposable que l'erreur relative commise en négligeant le terme (Qi — Qt) (yi + Kx H- K') puisse dépasse 7 à 8 7^ du résultat obtenu.

Ttnm Qj(y, — y). — Ce terme correspond au rôle joué par la poutre comme organe de rigidité. Si Ton supposait le câble inextensible et la poutre indéformable, c'est à ce terme uni* que que se réduirait l'expression du moment fléchissant X. II représente donc la partie principale du moment de flexion subi par la poutre auxiliaire.

Terme Qt(yi — y). — Si la poutre auxiliaire ne subissait aucune déformation, le câble conserverait rigoureusement son tracé parabolique initial, abstraction faite de l'allongement, dont l'influence a été étudiée plus haut. On aurait donc, pour une valeur quelconque de j: : y, = y, et le terme dont il s'agit serait nul. En réalité^ il n'en est pas ainsi, el la courbe décrite par le câble difi'ère toujours de la parabole primitive. Mais dans les circonstances ordinaires, c'est-à-dire avec une poutre de rigidité dont la hauteur soit au moins égale au vingtième de la flèche du câble, et une surcharge d'épreuve au ffudm égale au quart delà charge permanente, la différence yi— y est toujours une fraction très peu importante de la différence yi — y : le terme Qt^y» — y) peut sans erreur appréciable être négligé devant le terme Q,(yi — y).

Conclusions. — En résumé, l'expression du moment flécbis-

gidité conserve la même efficaciW. Plus la surcharge d'épreuve est importante comparativement à la charge permanente» plus la hauteur relative de la poutre auxiliaire doit être réduite.

santX comporte un terme principal Q,(yi — y))qui est le seul à considérer en tant que Ton regarde le câble comme inextensible et la poutre comme indéformable. On le calcule sans difficulté en supposant que Qi soit égal à Q,, ce qui donne une légère erreur par excès : nous avons vu que la différence Q, — Q ne dépasse Q, — Q que de 2 ^/^ au maximum.

Les autres termes de Texpression de X sont des termes cor* rectifs correspondant Tun à rallongement du câble, et l'autre & la déformation de la poutre. Dans les conditions de la pratique, ces termes sont négligeables, c'est-à-dire que leur valeur cumulée ne représente qu'une fraction insignifiante de celle du terme principal ^

Il est bien entendu d'ailleurs que cette assertion serait inexacte si la hauteur h de la poutre n'était pas comprise entre

les limites supérieure ^b ^i inférieure rr 6, que nous avons

déjà mentionnées. Avec A > ^ b, le premier terme, relatif à

rallongement du câble, peut atteindre une valeur comparable & celle du terme principal.

Par exemple, si Ton prenait h = b (poutre droite associée à un câble parabolique attaché au milieu de la semelle inférieure et aux deux extrémités de la semelle supérieure), il pourrait arriver que la poutre supportât plus de la moitié de la surcharge.

Au contraire, si la hauteur h décroît et tend vers zéro, le second terme, relatif à la déformation de la poutre, va en augmentant, et, à la limite, il est exactement égal et de signe contraire au terme principal : X est nul et le déplacement du câble s'effectue librement sous l'action de la surcharge. 11 faut reconnaître par exemple que, pour le pont suspendu de Mann" heimy représenté par la figure 163 (page 242), la poutre de rigidité, obtenue en reliant par une triangulation les barres dont sont formés les câbles, est trop peu haute pour que son rôle soit bien efficace : le premier terme du développement de X

i . Dans la section où l'un de ces termes atteint son maximum, la valeur de l'autre est nccessairemeot de signe opposé, de sorte que l'on n'aurait le cas échéant à faire entrer en ligne de compte que la différence des deux résultats numériques correspondant à l'un et l'autre terme.

est quasi nul, mais le troisième est très important, et sa valeur doit se rapprocher de celle du terme principal. La déformation effective du c&ble ne diffère sans doute guère de celle qu'il éprouverait s'il était parfaitement flexible. Si la charge permanente est très considérable par rapport à

la surcharge d'épreuve, le résultat est le même que si - est très

petit.

En définitive, l'expression exacte de X peut ^tre mise sous |a forme :

•X = Q,(y,-y)-h(Qty-Q,y,) + (Q.-QO(K:r+K'). '

Si les dimensions de la poutre de rigidité ont été établies dans les conditions consacrés par la pratique, le premier terme de ce développement est le seul dont la valeur soit potable. Les deux autres sont des termes' correctifs que Ton aie droit de négliger, en admettant que Qij/ diffère très peu de Q«,Vit et Qi très peu de Q,.

Nous allons indiquer la méthode à suivre pour évaluer le terme principal Qilyt — y), et faire de cette méthode quelques applications à des cas usuels, sauf à montrer plus tard comment on pourrait, sinon calculer exactement les termes correctifs, du moins se rendre compte a posteriori de leur peu d'importance, et vérifier qu'ils sont bien réellement négligeables, comme on a dû le supposer tout d'abord (sauf, dans l'hypothèse contraire, à faire les rectifications convenables^.

189. Détermination de la partie principale du mament fléchissant. — Nous supposons que le câble est inextensible et la poutre auxiliaire indéformable. Soient AMB la parabole suivie par le câble, et AM'B la ligne, de même longueur développée, qu'il décrirait, en raison de sa flexibilité, sous Tinfluence de la surcharge s'il n'était pas relié à la poutre auxiliaire. On pourra toujours tracer sans difficulté cette courbe funiculaire, connaissant la charge et la surcharge, et quel que soit le mode de répartition de cette dernière, en se servant des méthodes exposées dans les articles 9B et 96 ; on calculera en môipe ten^ps la tractioii horizontale Qj exercée sur ses appuis par le câble AM'B.

MOTO AMVBZES.

Soit X la distance verticale des deux points M et M'. Le moment fléchissant qui sollicite la section transversale de la poutre située sur cette verticale MM' aura pour expression Qis. On peut d^ailleurs le démontrer très simplement, sans recourir aux

théorème général de T article 187 : Teflfort de traction Fj (dont les composantes verticale et horizontale sont Ti et Qi), qui agit en M' sur le câble, peut être remplacé dans le plan par un effort égal F passant en M et par le couple Q,^. Il suffit par conséquent de soumettre chaque section transversale de la poutre à Faction du moment fléchissant correspondant Q^;?, pour que le câble, qui doit toujours décrire la courbe enveloppe des efforts F, revienne au tracé parabolique AMB.

Fig. 300.

190. Inflaenee da «urbiilfl^eiiieiit da oàble. — La méthode qui vient d'être exposée présente au point de vue pratique un défaut assez gra-

^ ^....,^v ^ffi " A" ve : elle oblige à tracer

^ une courbe funiculaire, relative à la charge et la surcharge agissant simultanément, dont la longueur développée S est fixée à Favance. Nous allons voir que, dans les circonstanceshabituelles, on peut se soustraire à cette sujétion.

Considérons le cas par-

Fig. 301.

ticulier où la surcharge serait réduite à un poids unique P appliqué à une distance horizontale v de Fappui de gau-

540 PONTS MÉTALLlQnSS.

ohe A, et où la surcharge permanente totale pi (uniformément répartie suivant Thorisontale) serait une fraction très faible du poids P, et pourrait être négligée devant lui. • La courbe funiculaire relative à la charge et la surcharge se composera dans ces conditions de deux droites AH et MA' se rencontrant au point d*application M du poids P. Si le poids est mobile et se déplace de A en A', le point M décrira une ellipse dont les foyers sont A et A\ et dont la somme des rayons focaux AM et A'M est égale à la longueur S du câble.

Supposons, pour simplifier, que les appuis A et A' soient au même niveau.

L'ordonnée Mm ou u du point M aura pour expression, en fonction de r, de S et de l'ouverture A A' ou / :

La traction horizontale Q^, correspondant à la courbe funiculaire AMA\ s'obtient sans difficulté :

Enfin la distance verticale z d un point quelconque de la ligne brisée AMA' à la parabole de même longueur ANA',

dont l'équation connue est y = — ^j — , est facile à calculer. On trouve : de A en M,

de M en A',

u{l — x) ibx{l — x)

La valeur du moment fléchissant Q^z ou X, qui sollicite la poutre de rigidité dans la section définie par Tabcisse a;, sera par conséquent :

de A en M, o < x < o ; (%) x^ln f>^x P"^^-^'^) iMiz:*)

NOTES ANTIIXE8. B41

de M en A', v<x<l:

Le problème est résolu, puisque, pour une valeur donnée de t7, on pourra toujours calculer la distance u correspondante, si Ton connaît la longueur développée S de la parabole ANA' décrite par le câble.

Cette longueur S s'obtient, en fonction de l'ouverture et de la ilècbe b du câble, par une formule déjà énoncée (art. 93),

qui peut s'écrire en remplaçant a par - :

Supposons que le terme — — - puisse être regardé comme

négligeable, et qu'on s'en tienne dans le calcul aux deux premiers termes. L'équation ^1) pourra alors s'écrire :

(i)u=ib k/^^^1^ , et les relations qui fournissent X deviendront :

(6) v<x<l, X, = yi;(/ — a?)->PV3p(/-p)^^^r"^^'

Xi etXs sont en ce cas indépendants de la flèche 6 du c&ble, qui ne figure plus dans leurs expressions.

i . Nous avons négligé de signaler, dans l'article 93, que la longueur S peut se calculer par la formule suivante (rectification de la parabole), qui est rigou-

T* P /Ab / Î6i«\

reusement exacte : 8=1/ r + 4/>*+ -log n.pA —-[-i/l -| — -- j. Cette relation est peu pratique» et c'est en la développant en série qu'on obtient l'expression usuelle de 8. Si les appuis de la parabole ne sont pas au môme niveau, la relation à employer est :

dont le déreloppement en série a déjà été donné (page SS4).