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NOTES ANHEXIÇS,

S40. DëtermiuHtiaii directe des surohar^es parv tfelles le» pln« déravorableH p*UT- au pout eu are. —

Nous avons vu précédemment (138) qu'A une section transversale déterminée d'un arc quelconque correspond, pour chacune deu deux semelles, une surcharge partiells partîculièie qui est la phis défavorable, c'est-fl-dire qui produit au point considéré leirort maximum de compression. Nous avons montré comment la méthode de calcul applicable A . tous les ponts en arc, que nous avons développée au a." 138, faisait connaître, pour chacune des sections transversales et chacune des semelles de l'arc, la surcharge défavorable correspondante. Mais, pour en arriver là, il faut appliquer complètement la méthode, ce qui est très long et exige beaucoup de travail, aoit que l'on se serve uniquement des formules algébriques, soit qu'on ait recours pour abrégera des constructions géométriques. Dans ce dernier cas cependant {139j, il est facile de reconnaître immédiatement les limites des zones correspondant au \ surcharges défavorables au début même de l'application de la méthode géométrique, lorsque l'on a tracé (/igi. 220) la courbe enveloppe des courbes des pressions ou courbes funiculaires relatives à tous les poids isolés appliqués i*! l'arc.

Si l'on se propose uniquement d'étudier la répartition des surcharges défavorables, une méthode, due à M. Winkler, dispense d'eifectticr tous les calculs de stabilité de l'arc, et fournit immédiatement le résultat cherché. Ce qui suit est extrait textuellement de la Théorie des arcs à rolation libre sur les appuis de M. Maurice Aar/i/iTi, ingénieur des arts et manufactures : c'est de ce travail, inséré en 1882 dans les Anna/es de^ travaux publics, que nous avons tiré la présente note. Soient MN la section transversale quelconque d'un arc,fi son centre do gravité et K le point où la section est rencontrée par la courbe dos pressions correspondant à un poids isolé appliqué & l'arc : appelons F l'elTort normal déve-

loppé par ce poids isolé daiis la section MN, et y la distance du point K au point G. Le moment fléchissant relatif à la section est égal À Vy, Le travail développé dans la fibre extrême N de la section est, dans le cas représenté par la ligure, égal à

F Fyu' — — H — y- , en appelant Û et I l'aire et le moment d'inertie

de la section transversale,' et u la distance NG.

Si cette expression représente un effort de compression, elle doit avoir une valeur négative :

ou :

Par conséquent, pour que le travail développé en N soit une compression et non une tension, il faut et il suffit que la courbe des pressions rencontre la section transversale MN en un point situé en deçà du point m dont la distance

à G est égale à — / De même, pour que TefiTort développé

en M soit une compression, il faut et il suffit que le point K ne soit pas situé au delà du point n, dont la distance au cen*

tre de gravité est égale à — •

Ces deux points m et n sont^ on le voit^ très faciles à trouver. Supposons la section symétrique ; alors ti et w'= 5,

et Ton a :

On sait que I = ûr*. Le rayon de gyration r est toujours

h plus petit que la demi-hauteur — de Tare, dont il diffère

toutefois très peu lorsqull s'agit d'une section à double té.

Donc les points m et n sont toujours compris entre G et les

»OT£S AKMEXe

fibres extrêmes M et N : par conséqut pressiocs sort de la section transver h

extrême lap]us éloignée du point K

Supposons maintenant que t'on ai

les sections transversales d'un arç qi

Fig. 313.

Soit M N une section transversale qui nous avons dit plus baut, toute surcl pressions rencontre la section trans situé entre les deux courbes poîntî vail de compression dans toutes It toutes les fois au contraire que le p< dehors de la zone m n limitée par c pression dans la fibre extrême la pli la fibre extrême la plus éloignée.

Supposons que nous ayions tracé ( loppe R R' des courbes de pression poids isolés appliqués sur l'arc. Men A'ni et An, et prolougeons-les j usqu' courbe R R'. D'après ce que nous ve appliqué en un point situé entre C effort d'extension, car la courbe des jt un pareil poids coupera la sectîoD au-dessus de m : donc la surcharge '.

la semeUe inférieure N de la sectic tendrait de R' en C et de D eu R ; a couvrant la partie du tablier comprii rait en N le travail maximum à Texte

De même la surcharge la plus dél s'étendrait de B en R, et l'on

maximum h rextension en surchargeant le tablier de R' en B.

En résumé, après avoir tracé les deux courbes A' m A et A'n A, il suffit, pour connaître la siirchage la plus défavorable pour la fibre extrême X d'une section transversale tpielconque, do joindre le point m aux articulations A et A'. Los points où ces droites rencontrent la courbe R R' limitent précisément des zones qui correspondent à la surcharge la plus défavorable au point de vue du travail à la compression et du travail à Textension.

Il convient donc, pour obtenir le renseignement que Ton cherche, de compléter la figure 220 du n*" 139 en traçant les deux courbes AmA' et AnA', que pour plus de simpUcité on peut, en général sans erreur sensible, remplacer par le contour apparent de Tare, si la section transversale de cet ouvrage est un double té sytnetrique.

^. n La recherche de la

surcharge la plus défavorable au point de vue de Teffort tranchant est encore ^'"^ ' ^^'plus facile à faire

^»»- 3^*- [fig. 314), et n'exige

le tracé d'aucune courbe nouvelle.

Soient mu une section transversale de Tare et GLla verticale qui passe en son centre de gravité G ; abaissons sur cette section une perpendiculaire AP du point à' articulation le plus voisin A ; cette perpendiculaire coupe la courbe RR' en K. Il est facile de reconnaître immédiatement que tous les poids appliques entre R' et K et entre L et R développent dans la section mn des efforts tranchants de même signe, et de signe opposé à Teflort dà à un poids quelconque appliqué entre K et L. Les deux cas de surcharge les plus défavorables, à considérer, sont donc : 1** la surcharge couvrant la zone KL ; 2* la surcharge couvrant simultanément les zones Rlv et LR.

Ces constructions sont très simples : elles peuvent s'effectuer immédiatement sans épure ni tracés nouveaux, lorsqu'on calcule un arc par la méthode géométrique. Dans le cas

MOntS ANNEXES. 587

où l'on n recours à la méthode algébrique, elles fournissent un moyen rapide et commode de vérifier les résultats des calculs, en constatant la concordance entre les surcharges défavorables auxquelles a conduit l'emploi des formules algébriques, et celles que fournissent les constructions géométriques qui précèdent.

Ce que nous avons dit s'appliquerait tout aussi bien à un arc encastré ou demi-encastré qu'& un are articulé : on sait que dans ce cas les enurl>ea des pressions ne passent pas aux eentrea de gravité A et A' des sections eitr^mes de l'arc. Aussi est-il nécessaire de calculer non seulement la poijssée due h chaque poids isolé, mais encore le moment fléchissant aux naissaafies, ce qui permet de déterminer le point de passage de la courbe des pressions au droit do l'extrémité de l'arc. Ce calcul alfectué, rien n'empêche de tracer les deux droites qui constituent la courbe des pi^pssions correspondant à chacun des poids isolés en lesquels on a divisé la surcharge ; te lieu de rencontre de ces points est encore la oourbfl enveloppe RR', et l'on peut effectuer les mêmes Bonstructions que dans le cas précédent, après avoir tracé les ûourhea limites AmX' et AnA', puisque l'on a tout d'abord tracé les faisceaux de droites non concourantes qui remplacent ici les droites issues des points A et A' de U figura : il y a lieu de considérer dans chaque cas les quatre droitei qui passent par les points m et n de la section transversale mn dont on s'occupe {fig. 313). 8i parmi les droites déjà tracées sur la figure il n'en est aucune qui passe au point m, il sera facile d'intercaler sur l'épure avec une exactitude suffisante une droite rempUssant la condition voulue et faisant partie du faisceau dont il s'agit.

Arcs encastrés avec culasses formant

contre-poids.

20i . Dispositions n^énéraies du pont Mlrabean. —

Nous avous dans l'article 175 du chapitre Y discuté le système d'arc imaginé par M. Cadiat, et critiqué en particulier Tapplication qu'on en a faite au pont d'Ârcole, à Paris ^ Nous avons émis à ce propos Topinion que, si Ion veut encastrer un arc sur ses appuis en vue de réduire sa poussée, le seul moyen pratique et sûr à employer consiste à prolonger Tossature métallique, au-delà de chaque appui, par une culasse en porte-à-faux, formant contrepoids, et exerçant sur le longeron du tablier un effort de traction qui vient en déduction de la poussée primitive. Un ancrage de ce genre résulte de la combinaison, ou plutôt de la superposition, de l'arc ordinaire et du pont-grue ou cantilever^ dont le pont de Brest a été, à notre connaissance, un des premiers spécimens, et dont le pont du Forth est, quant à présent, l'application la plus importante. L'arc encastré diffère du pont-grue en ce que la réaction exercée sur un support n*est pas verticale, mais inclinée, la composante horizontale étant la poussée de Tare. On ne saurait d'ailleurs établir entre ces deux types une démarcation bien tranchée. La passerelle de Passy, que nous avons classée dans la catégorie des ponts-grues (page 471, et page 450 du tome II des Ponts métalliques)^ devrait en toute rigueur être qualifiée d'arc encastré, puisque les deux appuis sur pile sont censés fixes : pour annuler complètement la poussée, et obtenir un véritable pont-grue, il eût été né-

i. Depuis qu'a élé publiée la premièro rdiiion de cet ouvrage, le pont d'Ai^ cole a («prouvé, dans l'hiver de 1888, un accident grave : par suite de la contraction subie par los longerons sous l'influence du froid, les barres d'ancrage dans les maçonnerie dos cu1(m>s ont clô rompues ou arrachées. On a répan*' l'ouvrage en supprimant h's ancrages et renforçant les arcs. Ce n'est plus aujourd'hui qu'un pont en aro ordinaire, et les critiques formuir^es dans l'article 175 ne visent que l'ancien dispo&ilif, établi d'après les idées de M. Cadiat, dont l'expérionce a ainsi démonlrô l'instabilité.

POMTS MÉTALLIQUES

se rapprochant beaucoup plus en somme du pont-grue que de Tare encastré.

Nous avons eu récemment Toccasion d'étudier une applî-

Fig. 316.

cation de c# système d*arc, en préparant le projet d'un ouvrage à construire à Paris. Il nous parait intéressant de faire connaître les méthodes de calcul dont il a été fait usage. La figure 316 indique le mode de construction du pont Mirabeau. La travée centrale esl articulée à la clef et aux naissances ; chacune des deux fermes opposées dont elle se compose est prolongée au-delà de la pile par une culasse couvrant une des travées latérales. L'about de cette culasse est relié, par une barre verticale articulée à ses deux extrémités, avec un ancrage noyé dans la maçonnerie d^une culée : ce dispositif a pour effet de maintenir Tabout à un niveau invariable, en lui laissant toute liberté de déplacement dans le sens horizontal. Comme cette barre ne doit être mise en place qu'après Tachèvement du pont, au moment de le livrer à la circulation, elle ne joue aucun tfAe au point de vue de Teffet produit par la charge permanente, qui agit sur l'ouvrage comme si Tabout de culasse était parfaitement libre et isolé de la culée. Mais il n'en est pas de même pour les eff'ets dus à la surcharge d'épreuve ou aux changements de température: la barre d'ancrage transmet alors à la culasse une réaction verticale dirigée suivant les oas de bas en haut ou de haut en bas.

tôt. Cialeul dn traTAll. — L'ossature du pont est divisée en deux fermes symétriques arcboutées Tune contre l'autre par rintermédiairo de l'articulation centrale. En raison de la

N0TI8 ANKCXEB

forme triangulaire afïectée par chacune de ces lieu de recourir dans les calculs à la tnéiliode a pièces fléchie de hauteur variable*.

Modules de rfisistance. — Culasse. — Considé tion verticale MM' de la culasse. Soient u l'aire droite de la membi-ure supérieure, dont l'axe loi

Fig. 317.

sensiblement horizontal; g le centre de gravit» tiou droite, qu'il est facile de déterminer en niê w ; w' l'aire de la section droite de la membrure ii l'angld, variable avec la position occupée par li sidérée, que fait aon axe longitudinal avec l'hor centre de gravité de cette section ; h la distance des deux centres de gravité.

** Le module de résistance à la flexion est: pour la membrure supérieure : ^ = -— ;

pouf la membrure inférieure : ,-=-: r-

Le moment d'inertie de la section transversal

WM'cQgnft*

~ W-f-w'eOBa'

Volée*. — On calculera de la mfime façon culasse les modules de résistance à la flexion :

1. Voirie tome 11 ilcsPonli mitalliqua (btI. 104, 103 et lOB ouvrage sur lus Conilrutliont mitalliquet |acl. S5).

i. Nous appi'lleroas traite la purtion do la Terme qui CQU' travée ce d (raie.

1 W» ' I u cos a k '

et le moment d mertie : 1= — — ; — .

Il faut de plus déterminer Taire utile Q de la section transversale MM' :

û = a)'+(«)COSa;

et la position du centre de gravite commun 6 des deux surfaces partielles en et (o' cos a, au moyen de la formule :

0A*co8a

w -j- u'cosa

Connaissant ainsi la position du point G^ on peut déterminer immédiatement sa distance z k Thorizontale passant par le centre de Farticulation centrale du pont, dont on aura besoin pour le calcul du moment de flexion.

Dans les parties non triangulées de la ferme^on a fait usage^

pour le calcul de -, -, I et £i, des formules ordinaires rela-

tives aux poutres droites en caisson.

Travail des membrures. — Culasse, — Soit X' le moment fléchissant relatif à une section transversale déterminée. Le travail des membrures sera fourni par les relations suivantes:

Membrure supérieure : R = — X' - ;

Membrure inférieure : R = -|-X'-*

Volée. — Soient Q la poussée de Tare, c'est*à-dire la composante horizontale de la réaction mutuelle des fermes opposées, que Ton suppose arcboutées Tune contre Tautre par l'intermédiaire de Tarticulation centrale, et X le moment fléchissant relatif à une section transversale déterminée. On appliquera les formules suivantes :

Membrure supérieure : R= r- — -;

Membrure inférieure : R=+ -= --•

NOTES ANNBX8S ù93

Travail de ta triangulation. — Culasse et Volée. — Soit V

l'effort tranchant (v^ — ^ relatif & une section transversale

déterminée. L'effort tranchant réduit W, qui est transmis par les pièces de triangulation (montants verticaux et tirants obliques), sera fourni par la relation :

Il y a lieu de remarquer ici que W est toujours beaucoup plus petit que V ; en calculant les pièces de triangrulatiou en

vue de résister & l'effort tranchant absolu — , on serait condx

duit à exagérer leurs dimensions, et l'on ferait une dépense de

métal inutile.

••S. Effet de !• charge permanente. — I>a charge permanente est distribuée sur le pont symétriquement par rapport à la verticale qui passe par l'articulation centrale.

Fig. 31B.

Elle agit sur l'ouvrage comme si la barre d'ancrage, reliant la culasse à la maçonnerie de la culée, n'existait pas, puisque cette barre ne doit être placée qu'après l'achèvement des travaux; l'about de culasse doit donc être considéré comme libre dans le sens horizontal et dans le sens vertical.

Nous distinguerons dans les calculs les deux fractions de la ferme, culasse ADB et volée CDB.

En ce qui touche la culasse, nous prendrons pour origine des abscisses horizontales x' l'articulation de culée A ; pour la volée, l'origine des abscisses x sera placée & l'articulation centrale C.

Désignons par a' et b' les distances horizontale et verticale de l'articulation de pile B à l'articulation de culée A ; par a

et b les distances horizontale et verticale de Tarticulation B à larticulation centrale C.

Chaque section de la culasse sera définie par sa distance horizontale x au point A ; et chaque section de la volée, par sa distance horizontale jc au point C.

Calcul de la poussée et du moment fléchissant. — Traçons séparément pour chacune des deux fractions de la fcrniQ, cu-

lasse et volée, considérée en son particulier comme une console encastrée dans le plan DB et libre à son extrémité A ou C, la courbe des moments fléchissants produits par la charge permanente qu'elle porte directement.

Désignons par M' le moment fléchissant, nécessairement négatif, ainsi calculé pour la section de la culasse définie par Tabscisse x ; par M le moment fléchissant de même signe obtenu pour une section de la volée ; enfin par M'o et M^ les maxima négatifs — Dd' et — Dd relatifs à la section d'encastrement commune des deux consoles.

Les formules à employer pour le calcul de la poussée et du moment fléchissant sont les suivantes :

Poussée : Q= — j (Md — M'd) ;

Culasse : o ^ ^' ^ a' : X' =M' ;

Volée: o^x^a ; X=M+JQ.

Calcul de la déformation, — Proposons-nous d'abord de définir la déformation de la ferme par le déplacement horizontal, l[a — x) ou l{a' — ^\ et l*^ déplacement vertical, Sy ou hj', subis par le centre de gravité M ou M' d'une section transversale quelconque de la volée ou de la culasse, par rapport au plan de la section d'encastrement DB considéré comme invariable dans Fespace. Les directions positives de

NOTKS ANNEXES

ces déplacements sont indiquées par les flèches de la figure : elles correspondent respectivement à des accroissements des

distances horizontale et verticale du point M ou M' à Tarticu lation de pile B.

On obtient sans difficulté les formules suivantes :

Point M

dy =

— dXt

En '

X El ""^X

Point M'

Appliquées aux abouts C et A de la volée et de la culasse , ces formules conduisent aux résultats suivants :

Point C

Jo En • Jo

Xxdx El

^a'zizo,

Point A

'' = i -ET-

Connaissant les valeurs du moment d'inertie I pour un certain nombre de sections transversales de la ferme, il sera toujours aisé de calculer ces intégrales par quadrature.

Les formules précédentes supposent que le plan de la section d'encastrement est fixe, ce qui est inexact. En réalité le déplacement horizontal de Tarticulation centrale C est nul, cette articulation étant assujettie, par suite de la symétrie de l'ouvrage et de la charge permanente, & se déplacer dans un plan vertical. Il en résulte forcément que la ferme doit, en même temps qu'elle subit la déformation que nous venons d*étudier, basculer autour de son point d*appui B, de façon que la distance horizontale du point C au point B reste invariablement égale à a.

Considérons le triangle ABC, dont les sommets sont aux centres des trois articulations de la ferme. Désignons par c, c et d les longueurs des trois côtés CB, BA et AC ; les changements subis par ces trois longueurs, en raison de la déformation de la ferme, se déduisent sans difficulté des quantités S«i Sô et ic précédemment calculées :

dhd = (a+a) (Sa+ Sa ) + {b— b') (U — W).

Fig. 321.

Désignons par v et v' les déplacements verticaux, par w et w' les déplacement horizontaux subis respectivement par les points C et A, tant en raison de la déformation propre de la ferme, que par suite du mouvement de bascule, qu'elle a dû opérer autour du point B pour que Tarticulation C restât sur la verticale dont la distance à B est a : le déplacement w est nul par hypothèse, et Ton obtient sans difficulté les expressions suivantes de «, t?' et w' :

I horizontal : w=^o, verlical : » ^= —- ; b

Ihonzonl.: r'-— ■

t^' 1 .1 ■ . iJ b(ab'+a'b)

Deplacen.eal du ponU A d.^d.a'6+cJc.a^«6^)-f^-.rc'.6(a+«)

D'OÙ en remplaçant cS^, c'hc, dld par leurs valeurs en fonctions de a$a, b^b^ a la et i'Si' :

Substituons enfin à S«, SA, Sa' et S*' leurs expressions énoncées plus haut :

Point G

Point A

v= i —arda?— 7 / r- rf^; 6 L EU

Jo El ^ 6> Eft

Si, au lieu des points G et A, nous considérons les points M et M', nous obtiendrons sans difficulté les expressions de leurs déplacements verticaux dans l'espace (les déplacements horizontaux sont ici sans intérêt).

Volée. Point M: c = / x 1 -—-— . / tt-^^-

Jx El J^ El b Jo EU

Culasse. Point M': r' z= / ûfiîf a;' / ^^ + ^— — ^ / ^ du;.

jx' El 7^- El ^ 6 7o En

Ces formules permettent de déterminer la courbe des déformations subies, sous l'influence de la charge permanente, par le longeron de la ferme, supposé rectiligne pendant le montage de la partie métallique. Elles nous ont servi à régler la cambrure initiale du pont Mirabeau (art. 76, page 182), de façon à corriger cette déformation et à obtenir un longeron sensiblement droit après Tachèvement des travaux du

pont, et avant la mise en place do la barre verticale d'ancrage. Dans la figure 322, les distances verticales des courbes ah et De à la droite AC représentent les déplacements verticaux dus à la déformation propre de la ferme ; les distances verti-

Fig. 322.

cales de la droite a De' à la droite AC représentent reCTet du mouvement de bascule subi par la ferme autour de son appui. Les déplacements effectifs totaux sont représentés par les distances de la droite ac à la courbe ac.

904. Effet do la «nreharire d^épreaTe. — Les barres d'ancrage dans les culées étant mises en place avant que le pont ne soit livré à la circulation, il y a lieu de tenir compte, dans la recherche des effets produit par la surcharge d'épreuve, de la réaction verticale exercée par la culée sur chaque about de culasse, assujetti à ne subir que des déplacements horizontaux.

Surcharge symétrique. — Nous {jupposerons premièrement que la surcharge soit distribuée symétriquement par rapport au plan vertical qui passe par l'articulation centrale.

Calcul préliminaire, — Calculons d'abord Telfet de la surcharge en supposant, comme dans le cas traité à l'article précédent, que les abouts de culasse soient libres, les barres d'ancrage étant supprimées. Soit v' le déplacement vertical que devrait subir dans ces conditions chacun de ces abouts.

Calcul auxiliaire. — * Nous referons le calcul précédent en supposant la surcharge réduite à deux poids P pris arbitrairement (admettons par exemple, pour fixer les idées, que P soit égal à 10.000 k.)et appliqués chacun à l'un des abouts de culasse. Soit ti' le déplacement vertical que subirait dans ces conditions cet about supposé libre.

La réaction verticale exercée par chaque culée aura pour

valeur ; — , puisque la force ; — est précisément

cellequi.appUquéesimultaDémentâiruneetàrautre e< du pont, donnerait lieu pourchacune à un dêplacemen de signe contraire au déplacement i.<' calculé plus hftut,c norait par conséquent cette extrémité a son niveau prii Il n'y a plus maintenant qu'à totaliser pour chaque le moment fléchissant obtenu dans le calcul préliinlnai le moment fléchissant fourni par le calcul auxiliaire c

dans le rapport ; ; puis à faire la même opération j

poussées et les déplacements verticaux.

Surcharge dissymétrique. — La marche à suivre est la mais les calculs sont un peu plus compliqués. Soient la ferme de gauche et A,BtCj la ferme opposée, que e vons ici distinguer puisqu'elles sont inégalement s gces. Leur réaction mutueUe n'est plus dirigée hori; ment : désignons par Q la composante horizontale, qi poussée, et par -k la composante verticale orientée (po les idées) de haut en bas pour la ferme A,B|0| et de haut pour la ferme Â,B,Ci.

Calcul préliminaire. — Noua supposerons d'ahord ahouts de culasse soient libres, les barres d'ancrage étt primées. Calculons pour chaque ferme la somme des m par rapport k l'articulation de pile, B, ou B,, des poid

Fig. 323.

titutifs de la surcharge qui lui sont directement apf Nous aurons les deux équations d'équilibre suivantes :

Ferme A,B,C, : Qô — 7:a + 2:MB,P = o;

Ferme AjB,C, : Q*+7:a + SMB,P = o.

Nous en tirerons sans difhculté Q et n : connaissai toutes les forces qui sollicitent chaque ferme, il sera calculer le moment fléchissant pour une section trans quelconque.

Nous déterminerons ensuite séparément la déformation de chacune des fermes, soumise à Taction de forces toutes connues, par la méthode de Farticle précédent, comme si elle était contrebuttée par tme ferme surchargée symétriqttemetit. Soient ai le déplacement du point Ai, et yi celui du point G^, que nous aurons obtenus ainsi pour la ferme de gauche ; a, et

Fig. 324.

Y^ les déplacements analogues des points A, et Ct, pour la ferme de droite : x^ sera différent de «i, et yi de ysf puisque les deux fermes ne travaillent pas dans les mêmes conditions, et que par suite Farticulation centrale doit forcément éprouver un déplacement horizontal.

Pour ramener les points G^ et G, à coïncider Fun avec Tautre, il faudra faire subir à chacune des deux fermes un mouvement de bascule, de façon à les ramener au contact.

Les déplacements verticaux de Tarticulation centrale et des abouts de culasse, supposés libres, seront finalement fournis par les relations :

Articulation centrale G : t) =

About de culasse A^ : v\ = a^

About de culasse A, : t;',= as H- ^ ^' — .

Connaissant la déformation propre de chaque ferme et

Tangle zp dont elle a tourné dans son mouvement de

bascule, il est aisé de déterminer le déplacement vertical subi par une section transversale quelconque.

Calcul auxiliaire. — Supposons que la surcharge dissymétrique se réduise à un poids unique P pris arbitrairement (prenons pour fixer les idées P = 10000 k.), et sollicitant Tun des abouts de culasse, le point A| par exemple. Appliquons à ce cas particulier la méthode de calcul que nous venons

MOTU AKNBXES

d^exposer. Soient u^ le déplacement vertical du point A^, et t/s le déplacement vertical du point A,.

Les réactions verticales F^ et F, exercées sur les abouts de culasse par les barres d'ancrage, lorsque celles-ci fonctionnant le pont porte la surcharge d'épreuve dissymétrique précédemment considérée, s'obtiendront par la résolution des deux équations simultanées du premier degré :

iOOOO

. F« , Fi

Le problème est résolu, puisqu'on connaît toutes les forces (y compris les réactions des culées) qui agissent sur le pont. Il n'y a plus qu'à combiner les résultats fournis par le calcul préliminaire avec ceux du calcul auxiliaire (réduits respecti-

vement dans les rapports -tt^ et rr:^|, pour connaître la

poussée, le moment fléchissant et le déplacement vertical relatifs à chaque ferme.

Fig. 325.

La figure 325 donne : !• lignes pointillé es ^ les courbes de pression relatives au pont Mirabeau, dans l'hypothèse où les ancrages dans les culées sont supprimés, pour la surcharge uniforme d'épreuve couvrant la totalité de la travée centrale

602 POrCTS MÉTALLIQUES

(parabole 1), la demi-travce de gauche (parabole 3), et la demi-travée de droite (droite 2) ; ces trois lignes passent nécessairement par Tarticulation de pile B.

2* Lignes pleines^ les courbes de pression 1, 2 et 3 correspondant aux mêmes conditions de surcharge, mais dans Thypo thèse où la barre d'ancrage fonctionne.

On voit que Tencastrement joue un rôle assez important, le point de rencontre de ces trois dernières lignes étant assez éloigné de l'articulation de pile. Tout se passe comme si, la culasse étant supprimée, la ferme centrale était encastrée sur ses appuis Bj etB,.

Il convient de remarquer que les surcharges dissymétriques, qui, pour les ponts en arc ordinaire, donnent des résultats beaucoup plus défavorables que la surcharge complète, ne conduisent pas ici à des valeurs de travail sensiblement supérieures : Técart est k peine de 3 à 4 0/0 pour le pont Mirabeau. Ce résultat est imputable d'une part à Tencastrement (art. 171) et d autre part au profil de la ferme, dont Taxe longitudinal s'écarte de la parabole correspondant à la surcharge complète, tandis que dans les arcs ordinaires ces deux lignes sont très voisines.