Prineipe* de la p^sistaneo de» niAtôrlaiix

Les corps solides qui sont les éléments constitutifs des ponts métalliques, doivent être considérés comme engendrés par un profil plan fermé, de forme variable ou invariable, qui se déplace normalement à une ligne continue, droite ou courbe, que le centre de gravité de son aire est assujetti à décrire. Lé profil plan s'appelle la section transversale et le lieu des centres de gravité des sections successives est l'axe longitudinal de la pièce.

Pour que led formules de la résistance des matériaux soient applicables à une semblable pièce, il faut :

1* Que la variation de la section transversale soit continue et peu rapide, de telle façon que deux sections très voisines soient presque identiques;

2* Que Taxe de la pièce ne présente ni points angulaires ni points multiples, dt que son rayon de courbure soit toujours très grand comparativement à la dimension de la section transversale prise suivant ce rayon.

Dans ces conditions, si Ton considère deux sections infiniment voisines, on peut admettre sans erreur appréciable que la portion de pièce comprise entre elles est un prisme à bases égales et parallèles, et c'est l'hypothèse dans laquelle on se place pour la détermination des- formules de résistance à lui appliquer. On appelle élément de fibre ou fibre élémentaire un prisme engendré par un élément infiniment petit dô Tune des sections, se déplaçant parallèlement à Taxe du prisme élémentaire : celui-ci se compose donc d'une infinité de fibres toutes parallèles entre elles. Une file d'éléments de fibres Buccessifs coostituent une fibre de la pièce elle-même : cette

• PONTS siii-Ai.r.nj'Jes.

Qbre ne serait,' on le voit, rigoureusemenl parallèle à l'axe longiludînal que si la pièce ôLail exactement prismatique. Cnfîn on appollc fibre moyenne celle qui suit d'un bout à l'autrL- l'axi' Au la pièce.

Appliquons uns série de forces extérieures au corps solide que nous venons de dérmir et que nous appellerons ^l'ece ^rwmatique, bien qu'au point de vue géométrique ce ne soit pas en réalité un prisme : il se déformera et prendra un nouvel état d'équilibi'c, dans lequel les actions moléculaires ou forces élastiques développées dans la matière qui le constitue, par l'effet même de sa déformation, feront équilibre a'jx forces extérieures.

Tant que la déformation du corps est très petite relativement à sa longueur, elle croît proportionnellement à l'intensité des forces extérieures; supprime-t-on celles-ci, le corps revient exactement à son état primitif. On dit alors que le travail du métal, qui est la mesure par unité de surface des ictions moléculaires ou forces élastiques qui avaient été développées par les forces extérieures, n*a pas dépassé la limite f élasticité de la matière qui constitue le corps.

Dès que l'on remarque que la déformation subie croit plus rapidement que l'intensité des forces extérieures, on constate également que la suppression de ces forces ne ramène plus la pièce à son état primitif. Elle a subi une déformation permanente, ettsa forme à l'état libre ayant cbangé, on en conclut que son état moléculaire a été modifié par l'action des forces extérieures. On dit alors que le travail du métal a dépassé la limite d'élasticité de la matière.

Enfin il peut arriver qu'en faisant croître les forces extérieures on produise une rupture, une dislocation ou une désa- ^égation du corps : alors les efforts moléculaires ont dépassé La cohésion de la matière, et l'on dit que le travail développé ft atteint la limite de rupture.

X. Bnt dn tsfkleal de« pont» in6talltcpie«.— LorsqUe l'on calcule les pièces constitutives d'un pont métallique, on le propose de leur donner des dimensions telles que sous l'action des forces extérieures auxquelles elles seront soumises, le travail du métal, en chaque point, n'atteigne pas la limite d'élasticité, à fortiori la limite de rupture* et reste înfi-

CHAP. I**. GÀLGUt DES PIÈCES PRISMATIQUES. 5

rieur ou égal à un maximum que Ton se donne à l'avance. On est assuré dans ces conditions que le pont présentera une stabilité satisfaisante, puisque les charges qu'il aura à supporter, non seulement ne pourront en rompre aucune pièce, mais encore ne pourront lui faire subir une déformation qui ne disparaisse pas entièrement après renlèvetncnt de la charge.

D'après une règle empirique qui a toujours été admise par tous les constructeurs, et que parait justifier une expérience déjà fort longue, on doit prendre pour limite pratique de la charge le sixième de celle qui produirait la rupture (charge que l'on apu déterminer, par expérience, pour tous les corps), s'il s'agit de pièces métalliques, et le dixième seulement s'il s'agit d'une autre matière : bois, pierre, etc..

Pour calculer un pont, le problème à résoudre est donc le suivant : étant donné un ouvrage de forme déterminée, soumis à un certain nombre de forces connues, et assujetti, le cas échéant, à certaines conditions particulières également connues (fixité de certains points, invariabilité de l'orientation de certaines sections, etc., etc.), déterminer les dimensions des différentes pièces qui le composent, de façon que le travail du métal qui mesure l'intensité des forces élastiques développées dans les différentes pièces, ne dépasse en aucun point un maximum que Ton a fixé à priori au-dessous de la limite d'élasticité du métal. Il peut arriver aussi que les conditions auxquelles la pièce est assujettie ne lui permettent pas de se dilater ou de se contracter librement sous Taction des changements dç température, et donnent lieu, de ce chef, à des efforts moléculaires^ qu'il convient également de déterminer et d'ajouter à ceux dus aux charges extérieures.

Enfin en général, on se propose en outre de rechercher les déformations passagères que peut subir le pont sous l'influence de ces diverses causes.

3* ll.<Kîlici*elic de l*ellet produit par les force* cxt6rloar<^s sur une pX^ce prlsiiiatlq[ue« — Considérons un corps remplissant les conditions précédemment posées, et supposons qu'on lui applique un système quelconque de forces.

6 POIfTS HtTALLtQtTBS.

Les formules de la résistance des matériaux supposent encore ;

1" Que les sccLions transversales de la pièce restent planes après la déformation;

2° Que la figure d'une section quelconque ne subit aucun changomcnl,

La pi^C4t, dite prismatique, ne peut donc se déformer que par des chaugomonts de position dos sections les unes rclati- Vfmrnt aux autres.

Il doit être bien entendu que si on se trouvait dans de toiles circonstances, que l'une des hypollii-sos précédemment adoptées ne fût évidemment pas réalisée, les formules que nous allons donner plus loin ne seraient plus applicables au cas considéré.

Dans le cas, par exemple, d'un rouleau ou cylindre de métal placé entre deux plans paralli;los qui tendent à se rapprocher, l'effort exercé tend à écraser ce rouleau en déformant sa section transversale, qui s'aplatit nécessairement dans une certaine mesure. Les formules de la résistance des matériaux ne sont pas applicables à ce cas qui, on le sait, se présente souvent dans la pratique (36).

Cela posé, considérons la pièce ABA'B', qui a pour axe longitudinal la droite YY' [fig. i) située dans le plan de projection de la figure. Soient CD et C'D' deux sections infiniment voisines de ladite pièce, qui est supposée en équilibre.

Fig. 1. Il en résulte que toutes tes forces

extérieures appliquées sur la partie A6DC de la pièce, située à gauche de la section CD sont équilibrées par les actions moléculaires développées entre les deux sections CD et CD'.

Or l'ensemble de ces forces extérieures situées à gauche de CD peut être remplacé par une résultante passant au centre de gravité O de la section et par un couple.-

La résultante peut elle-même être décomposée en deux forces :

1* Une force perpendiculaire au plan CD. Cette força F, que

ng.s.

CejL^. !••. CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. 7

nous appellerons e/^ort normal, fait travailler le métal à la compression on à VextensioUy suivant qu'elle tend à rapprocher la section CD de la section CD' ou à Ven écarter, sans modifier d'ailleurs Torientation du plan CD qui vient en C|D, ou en CiDi {fig. 2).

2^ Une force Y située dans le plan CD. Cette force, dite effort tranchant j tend à imprimer à la section CD un mouvement de translation dans son plan. Elle fait travailler le métal au cisaillementy et tend à amener CD en CD,. ^

Le couple lui-même est . décomposable en deux autres : 3* Un couple X {fig. 3) situé dans un plan passant par

l'axe longitudinal YY' et ayant par suite son axe situé dans le plan CD, et passant par le centre de gravité de la section. Ce couple dit moment de flexion ou moment fléchissant tend à faire tourner la section autour d'une droite située dans son plan et projetée en 0 tnr la figure. Uaxe YY' de la pièce suit nécessairement ce mouvement, et subit un déplacement angulaire égal à celui di| plan CD, qui Tamènc en Y4 Y'4 tandis que CD vient en C4D4. Ce couple fait travailler la pièce à la flexion.

4* Un couple TT [fig. 4) situé dans le plan de la section CD

et ayant par suite son axe dirigé suivant Taxe de la pièce YY', normal en 0 au pian CD. Ce couple dit couple de torsion tend à faire tourner la section dans son plan autour du point 0. Il fait travailler le métal à la torsion. CD vient en C4D4.

«JL* Ppoblèine II r^flioudpo poop le calcul d*un pont métallique. -— LeS

considérations qui précèdent nous conduisent à diviser en deux parties distinctes le problème général du calcul- des ponts métalliques, que nous avons précédemment défini :

1° Étant donné un pont de forme déterminée, soumis à un ensemble de forces connues ou que Ton peut calculer d'a-

Fig. 4.

d PONTS NÉTtr.LTQrEK

vance, chercher pour chaque pièce do ce pont, et pour chaque soclion do celte pièce, l'effort normal, l'effort tranchant, le moment fléchissant et le couple de torsioo.

2* Connaissant ainsi pour une pièce quelconque (dont, en général, la longueur seule est déterminée par la forme du pont) et pour chacune de ses sections l'effort normal, l'effort tranchant, le moment fléchissant et le couple de torsion, arrêter les dimensions de la section de telle façon que les actions moléculaires développées ne dépassent, en aucun point, par unité de surface, la limite admise, c'est-à-dire, que le travail maximum du métal y ait, autant que possible, une valeur constante, que l'on fixe a priori en raison de la nature du métal.

B. Calcul de» cliiiioii«lons Ik donner «nx places priwmatlqno», et de« d£fonn«tion« qu'elles sabl«- ■ent son* l'nctlon des forées extArlenreo. — Nous allons indiquer iromédiatement la solution complète du second problème, qui est indépendante de la forme de l'ouvrage que l'on a à étudier. Gela fait, noua donnerons ta solution du premier dans un grand nombre de cas, embrassant tous les systèmes de ponts qui sont en usage. Nous aurons ainsi rempli complètement le but que nous nous sommes proposé.

Nous indiquerons d'abord sans démonstration les formules permettant de calculer ta section des pièces soumises à un seul genre de déformation, et nous adopterons dans cet exposé l'ordre suivant :

Effort normal : Extension et compression. — Moment fléchissant. — Effort tranchant, — Couple de torsion.

Nous donnerons en même temps les formules permettant de calculer la déformation de ces pièces.

Dans ce qui suit, nous prendrons pour unité de force le kilogramme, l'unité de longueur et de surface étant le mètre.

«. Ellort normal. Pièce» tendues. — Soit F l'effort d'extension appliqué au centre de gravité de la section, 0 l'aire de cette section.

L'effort se répartit uniformément sur toute la section.

l*J^Jif"l"1

La tension du métal, c'est-à-dire la force élastique par unité de surface est donc égale à :

rallongement par unité de longueur, au droit de la section considérée est :

^"" Eu"" E *

E étant un coefficient numérique ou constante spécifique dépendant de la nature du métal, et appelé coefficient d'élasticité longitudinale à ^extension.

Si le rapport g reste constant sur une longueur L de la

pièce, rallongement de cette fraction de la pièce aura pour valeur :

Eu

Soit R la limite pratique adoptée pour le travail du métal à l'extension ; on doit avoir :

?^R; d'où Û^l»

ce qui permet de calculer Ù connaissant R ou réciproquement. Les valeurs des coefficients R et £ sont données pour les différents métaux dans le tableau placé à la fin du présent chapitre (n* 21).

*T* Pi^eeA eoiiipriiii6eA de ffikible lonsueup» «—

Lorsque la longueur de la pièce comprimée n'est pas très grande relativement à sa plus petite dimension transversale, la solution du problème est la même que celle du précédent. Pour les distinguer, on convient d'attribuer le signe — à l'effort normal F, lorsqu'il a pour effet de comprimer le métal. Le

travail à la compression donné par la formule R' == — g est

donc aussi négatif. Le changement de longueur de la pièce

10 POlfTS MÉTAIXIQUIS.

est donné, par unité de longueur, par la formule As= — fç. 6t

pour une pièce de longueur L par la formule

AL -. ï-^ ^^ Eu

Cette expression est aussi négative, ce qui indique que la pièce s'est raccourcie et que sa longueur L se trouve diminuée de la quantité A L. E est ici le coefficient cTélasticité longitudinale à la compression.

Le tableau du n^ 21 montre que les matières en usage, sauf la fonte, ont le même coefficient d'élasticité à Textension et à la compression.

Enfin pour calculer Taire û de la section on a l'inégalité :

R étant la limite pratique adoptée pour le travail du métal à la compression (Tableau I).

9* Pl^ee» compplm^efli de gppancle longrn^nv**

x^orn&uie tii^opiq[ue. — Dans les deux cas déjà traités, on voit que la figure de la section est indifférente : son aire seule est fournie par le calcul. .

Il peut arriver que la longueur de la pièce soit très grande par rapport à sa plus petite dimension transversale ; si par exemple elle dépasse douze à quinze fois cette dimension, la formule précédente, n'est plus applicable telle donnerait pour û des valeurs trop faibles, et on aurait une pièce qui se romprait par flexion sous une charge bien inférieure à la limite admise pour le travail de compression proprement dit.

En ce cas, si la pièce comjTiméo a ses extrémités libres, la théorie indique que la force de rupture F ne dépasse pas en

valeur absolue la limite -y^' ^^ ^ représente la longueur

de la pièce, u 1(3 rapport de la circonférence au diamètre, E le coefficient d'élasticité longitudinale à la compression, et enfin I le moment d'inertie minimum de la section transversale (nous indiquerons dans l'article dO ce qu'on entend par molifienl d'inertio et rayon de g yration d'une aire plane par rapport à une droite de son pian).

CHAP. 1*'. GAtCUL DES PIÈCES PRISMATIQUKS. 11

On aurait donc :

D'où :