C»36X<0* 86X^0* SI5X10* 30X
Ces dernières formules, qui s'appliquent indifféremment à toutes les formes de pièces et donnent de bons résultats, même pour do petites valeurs de L, nous semblent beaucoup
14 PÔPiTS MÉTALUQOBS
plus rationnelles que les précédentes, et nous croyons que leur emploi doit être recommandé.
Toutes les formules précédentes supposent que les colonnes reposent sur des bases plates : dans le cas où Tune des extrémités est arrondie ou articulée, il convient de multiplier
p„ * 1. v.le„ do„„^ pour N p.r le. fo™n>» I e. H. et
dans le cas où les deux extrémités sont dans le même cas
par =• Pour les formules III et IV il faut multiplier le coefficient K par 2 dans le premier cas et 4 dans le second.
Ces formules supposent aussi une qualité moyenne dans les matériaux employés. Lorsque l'on aura affaire à des matériaux de valour médiocre ou d'excellente qualité^ il conviendra d'abaisser ou de relever en conséquence les limites pratiques de résistance, en raison des résultats fournis par les expériences de rupture auxquelles ces matériaux auront été soumis. (Voir le n** 21 du présent chapitre.)
Pour déduire la limite pratique de la charge de la valeur N de la charge de rupture trouvée, on suit la règle indiquée au commencement du paragraphe.
V. Nous terminerons en donnant les formules employées par la Compagnie du chemin de fer de New-York au lac Erié et de rOuest, en Amérique, extraites de la Revue générale des Chemim de fer (1879, 2* semestre).
Ces formules, qui donnent ici, non plus la charge de rupture, mais la limite pratique de travail par millimètre carré de seetioTiy sont déduites* simplement de la formule de Rankincy donnée plus haut. Elles ne s'appliquent qu'aux pièces en fer de bonne qualité.
Le travail par millimètre carré d'une pièce comprimée en fer ne doit pas dépasser la limite suivante :
1^ Si les deux extrémités sont plates :
iOGOÔP
2^ Si une extrémité est plate, et l'autre arrondie ou articulée :
3' Si les deux extrémités sont arrondies ou articulées :
On pourrait, partant de la formule générale de Rankine, établir des formules pratiques analogues pour la fobte, Tacier et le bois.
lo. îifonicnt dnnertio. — Nous croyons utile, avant do parler du calcul des pièces fléchies, de rappeler ici ce qu'on entend par moment d'inertie, rayon de gyration, ellipse d'inertie d'une surface plane.
Soit un profil plan fermé quelconque, 0 son centre do
gravité, ù son aire, AB une droite quelconque passant par le point 0 {/ig, 5). Prenons pour axe des x la droite AB ® et pour axe des y une perpendiculaire à AB menée par le point 0.
Soit 01 un élément infiniment petit de la surface du profil. On appelle moment d^inertie I du profil par rapport à îa direction AB l'intégrale /«y* étendue à tout le profil.
On a donc :
On a d'ailleurs \
Flg. 5.
Posons 1
I = ûr";r*= j. = "V^-
f est ce qu^on appelle le rayon de ffyration éa profil par rapport à la droite AB.
10 PONTS MÉTALUQUES
On peut pour effectuer riutégration donner aux valeurs de I et de 0 les formes suivantes :
1= ffy'dxdij, ù = ffdxdf/.
Connaissant la figure du profil, c'est-à-dire la relation qui existe entre x et y, on peut toujours calculer I et r, soit par une intégration exacte, soit par des formules de quadrature.
Supposons que nous ayons calculé les rayons de gyration de la surface par rapport à toutes les droites qui passent par le point 0 : il existe toujours, quelle que soit la figure du profil considéré, une ellipse telle que si l'on abaisse de tcxtrémité b du diamètre a o b cfe cette ellipse conjugué du diamètre AOB, une perpendiculaire sur AOB, cette perpen^ diculairc bp a une longueur égale à celle du rayon de gyra^ twn du profil par rapport à la direction AOB.
Cette ellipse est appelée Yellipse centrale d'inertie de la figure.
On voit que, si Ton connaît les rayons de gyration de la figure par rapport à deux directions, cotte ellipse est déterminée et peut être tracée ; elle permet ensuite de mesurer ou de calculer la longueur du rayon de gyration par rapport à une direction quelconque passant par 0.
Si la direction considérée est celle de Tun des axes de Tellipso, le rayon de gyration correspondant est égal à la moitié de l'autre axe. On voit que le rayon de gyration minimum, qui est égale au demi petit axe, correspond à la direction donnée par le grand axe de l'ellipse, et réciproquement. Ces deux directions rectangulaires sont dites les axes principaux d'inertie du profil : lorsque celui-ci a un axe de symétrie, il coïncide nécessairement avec un axe principal.
Soit CD une parallèle à la droite AB menée dans le plan de la figure, cf la distance de ces deux droites : on pourrait calculer le moment d'inertie V de la figure par rapport à CD, comme on a c(?lculé le nu>ment I par rapport à \B. Mais il suffit de recourir à la relation suivante qui lie entre eux ces deux moments d'inm*tie :
par «uile on a entre les rayons de gyration r et r' la relation ;
CHA^. 1°^ CALCUL ûtô PlÊG£â PiilSMATIQÙES.
r est rhypothénuse d'iin triangle rectangle qui aurait pour eûtes r et d.
Si Pon considère un point M du plan, il existe une ellipse d'inertie ayant son centre en M qui jouit, par rapport aux rayons d3 gyration relatifs à toutes les directions passant par M, des mêmes propriétés que Tellipse centrale d'inertie par rapport aux directions passant par le centre de gravité 0 de la figure.
Connaissant l'ellipse centrale d'inertie, on peut donc tracer une infinité d'ellipses d'inertie relatives à tous les points du plan de la figure.
MJi
i ! ii
Nous croyons utile de donner ici la valeur des moments
d'inertie principaux de quelques surfaces que l'on rencontre fréquemment dans les applications.
Recianff le plein ABCD {fiff. 6).
Soient a ai h les côtés, OX et OY les deux axes de symétrie passant par le centre de gravité 0. Nous affectons de l'indice x le moment d'inertie relatif à la droite Ox.
Fis. 6.
Rectangle évidé ABCDEFGH. Soient c et d les côtés du rectangle intérieur.
Ix = i^ (aô' - cd^) , r.
'~~ M [ab—cdj '
Pièce en forme de l{fig. 7).
(ab^—cd^
Fig. 7.
là
l^ONTS .MËTALLlQÛEft
Cercle plein
L'ellipse de gyratiou est un cercle qui a pour rayon
r— 2 IV.
Couronne circulaire.
Ellipse pleine.
Soient a et b les deux demi-axes
i/iff. 8).
Fig. 8.
Couronne elliptique.
Si Tellipse présente un vide intérieur formé par une ellipse concentrique et semblable à elle, les rayons de gyration principaux, en appelant m le rapport de similitude des ellipses, sont :
f \yh+frf, ^[/^l + nf
Losange [fig. 9).
— ip -V-ii-*
• «•«•••«av
Polygone régulier quelconque.
Soient a le côté et h Tapothème, R le rayon du cercle circonscrit et n le nombre des côtés. On a :
On peut se servir indifféremment de ces deux formules.
Chap. i'*. calcul des pièces prismatiques. 19
L'ellipse centrale est d'ailleurs, un cercle ainsi qu'il arrive toujours lorsque le profil a plus de deux axes de symétrie.
A l'aide des formules qui précèdent, on peut calculer le moment d'inertie et le rayon de gyration d'un profil quelconque par rapport à une direction donnée : après avoir déterminé son centre de gravité, on le décompose en rectangles ou en figures régulières dont on connaît le moment d'inertie par rapport à la parallèle à la direction donnée qui passe par leur propre centre de gravité, et on calcule alors par la formule indiquée plus haut, le moment d'inertie par rapport à la droite donnée elle-même.
Nous donnons comme exemple le profil représenté par la r- — i — -n 'figure 10. Ce profil qui se rencontre fréquem- L^ ..j....^ ment dans la pratique peut, ainsi qu'on le voit,
se subdiviser en rectangles dont on calculera aisément le moment d'inertie par rapport à
une droite passant par le point G, situé dans leur plan, qui est le centre de gravité du profil pi......p..7I^ total. Pour les profils évidés, on retranche le mo^
Fïg. 10. ment d'inertie du vide, par rapport à la droite passant par le centre de gravité de la surface, du moment d'inertie, par rapport à la même droite, de la surface supposée pleine. Par exemple, dans la figure H, le moment d'inertie de la surface est égal au moment d'inertie du cercle extérieur 0 par rapport à la droite passant par le point g, centre de grayité de la surface évidée, Rg- li. diminué du moment du cercle intérieur
0' par rapport à cette même droite.
Comme en général on ne se sert dans les ponts métalliques que de pièces ayant leur profil déterminé par des droites parallèles à deux directions rectangulaires, le problème de la détermination des moments d'inertie ne présente aucune difficulté. Sil'on rencontre un. profil irrégulier, il y a lieu de le décomposer en petits rectangles, suivant la méthode qui sert à déterminer l'aire et le centre de gravité.
En général on voit a priori que la section a un axe de symétrie, et on en conclut la direction des axes principaux de l'ellipse d'inertie.
20 PONTS MÉTALUQUES
Il arrive que dans les grandes poutres ayant une section en
forme de double té, on peut négliger sans grande erreur dans le calcul du moment d'inertie la surface de la tôle centrale dite âme du double té, ainsi que le moment d'inertie propre de chacune des autres tôles dites se^ melles, tables, platebandes^ ou ailes de la poutre, par rapport à leur centre de gra- Fig. 12. vite {fig. 12).
Le moment d'inertie de la poutre a alors sensiblement pour valeur :
- ah'
en désignant pat* Û la somme des aires des dcui: sections
transversales des deux semelles et par h la hauteur de la poutre.
On a en ce cas :
Pour que cette formule soit suffisamment exacte, il faut que Ton puisse négh'gor sans grande erreur l'épaisseur e des semelles devant la hauteur de la poutre, sans quoi il conviendrait de recourir à la formule :
On se sert fréquemment dans le calcul des ponts métallique^d'albums indiquant les sections des fers du commerce préparés par les usines métallurgiques et donnant avec chaque coupe le poids par mètre courant, l'aire et le moment d'inertie : on est dispensé ainsi de la recherche toujours laborieuse des moments d'inertie, et il suffit de prendre dans l'album le fer dont la section a le moment d'inertie voulu,
fl. 1. • Moment fl^^dilssaiit. Pi^cc» flécl&les* Oalcul
du travAii. — Revenons maintenant au calcul des pièces fléchies.
Soient AB la section considérée,
X le moment du couple de flexion,
ou moment fléchissant, MN la trace
sur le plan de la section du plan qui
Fiif. 13. ** * contient le couple X {fig. 13).
Soît PQle diamètre de l'ellipse centrale d'inertie, conjugué du diamètre MN précédemment délini. La section AB, sollicitée par le couple de flexion, va tourner dans le sens indiqué par le couple autour de la droite PQ. Chaque élément de la surface AB décrira donc un arc de cercle situé dans un plan perpendiculaire à la droite PQ, et ayant son centre sur cette droite. Si la droite MN est un axe principal de l'ellipse d'inertie, il en est de même de sa conjuguée PQ, qui lui est par conséquent perpendiculaire. Ce cas se présente en particulier toutes les fois 'que MN est un axe de Symétrie de la section, ou est perpendiculaire à un axe de symétrie.
Il en est généralement ainsi dans la pratique, et nous supposerons toujours dans les applications que cette condition est remplie, et que par conséquent l'axe de rotation de la section, que l'on appelle son axe neutre, est perpendiculaire au plan du couple de flexion, que l'on appelle le plan de flexion.
Lorsque ce plan de flexion reste invariable d'une extrémité à l'autre de la pièce, ce qui est le cas le plus fréquent, on convient de le prendre pour plan de projection de la pièce, et les axes neutres de toutes les sections, étant perpendiculaires au plan de la figure, se projettent suivant les différents points de l'axe longitudinal de la pièce, ainsi que l'indique la figure 14.
La section AB, primitivement parallèle à la section infiniment voisine CD, est venue en A' B', en subissant un déplacement angulaire e. Les plans des deux sections infiniment voisines AB et CD ne sont plus parallèles, et se coupent suivant une droite projetée en S (fig. 14).
La fibre CA, devenue CA', s'est raccourcie : il en est de même de toutes les fibres qui composent le prisme élémentaire qui a pour base PAQ. Au contraire la fibre DB, devenue DB' s'est allongée, ainsi que toutes les fibres du prisme qui a pour base PBQ. Donc la partie supérieure PAQ de la section est soumise à un effort de compression, et la partie inférieure PBQ à un effort d'extension.
Fig. 14.
22 POICTS BfÉTAIXIQtJES
Quant à la fibre moyenne, et aux fibres que coupe Taxe neutre PQ, elles n'ont subi ni allongement ni contraction, et sont donc restées à Tétat naturel.
Soient H un point quelconque de la partie supérieure PAQ de la section, z sa distance à Taxe neutre PQ : le travail du métal en ce point, c'est-à-dire la compression par unité de sur-
face, est donné par la formule : R = - — ? — Pour un point H'
situé dans la zone inférieure de la section PQB, le travail, c'est-à-dire la tension par unité de surface, serait de
même : R = -y- .
Changeons le sens du couple de flexion, sans modifier sa valeur absolue, on aura un résultat inverse :
Compression en H', tension en H. Il importe donc de toujours définir le sens du couple X, de telle façon que l'on sache toujours immédiatement quelle est la zone d«î la section transversale qui travaille à l'extension, sans qu'il y ait aucune incertitude à cet égard.
Nous conviendrons de désigner par zone supérieure de la section transversale celle dont le contre de gravité est plus élevé que le centre de gravité de la section totale, par rapport à un plan horizontal inférieur à la section, et partie supérieure de la pièce le volume engendré par la zone supérieure de la section. Nous attribuerons le signe + au moment fléchissant lorsqu'il donnera lieu à un travail négatif, c'est-àdire à vnt compression dans la partie supérieure de la pièce^ et le signe — lorsqu'il donnera lieu à un travail positif, c'està-dire à une tension.
Comme en général, dans les cas que Ton rencontre dans la pratique, il arrive que toutes les forces extérieures, et par suite le couple de flexion, sont comprises dans un plan vertical ou peu incliné sur la verticale, l'axe neutre PQ est horizontal ou à peu près, et il est aisé de distinguer immédiatement la zone supérieure de la section transversale.
La règle précédente est inapplicable lorsque le plan de la section transversale est horizontal (supports métalliques verticaux), ou que les forces extérieures sont comprises dans un plan horizontal (contreventements des ponts).
TT
CBAP. l**. CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. 23
Dans ces cas tout à fait exceptionnels, il importe de con* ▼enir avec précision de l'interprétation à donner au signe du moment fléchissant.
Ceci posé, on voit que le travail dû au moment fléchissant X, appliqué à une section transversale quelconque, a pour
expression 5- pour la partie supérieure de la pièce, z dési-
Xz gnant la distance à Taxe neutre du point considéré, et + -^ —
pour la partie inférieure. Suivant que X est positif ou négatif, ^ le travail est négatif ou positif à la partie
^ supérieure, et correspond par conséquent à 7 une pression ou à une tension. Le travail a ^ même valeur pour toutes les fibres équidis* tantes de Taxe neutre. Soit AOB une perpendiculaire à cet axe neutre, menée dans le plan de la section [fig, 15). Le travail est Fig. 15. maximum en A et B, et il est nul en 0, où il
change désigne. Si Ton représente par ka et Bd le travail en A et en B, la droite aob sera la courbe figurative du travail du métal pour tous les points de la droite AB, le travail en G étant représenté par Gg et en G' par G'^'.
Si dans la section considérée le moment X est variable et susceptible d'atteindre deux maxima, Tun positif X' , l'autre négatif X', et si Ton désigne par u et u' les distances à Taxe neutre des points A et B de la zone supérieure et de la zone inférieure qui, étant les plus éloignés de cet axe, travaillent le plus sous Faction du moment fléchissant, on voit que le travail maximum à la compression sera
dans la zone supérieure : 1— »
et dans la zone inférieure : —y— ,
et le travail maximum à la tension, dans la zone supérieure : X'w
X'w' et dans la zone inférieure ; -y- •
Soient R' et R^ les limites pratiques du travail & la com-
24 PONTS NÉTALUQUES.
pression et à l'extension ; il faut, pour que les pièces soient établies en de bonnes conditions, que les inégalités suivantes soient satisfaites :
~ nr -*^ - "T~
— Si la hauteur h de la section mesurée perpendiculaire-ment à Taxe neutre est divisée en deux parties égales par cet
axe, ce qui est le cas le plus ordinaire, on a t/ = ti' ss ^' ellq
maximum dû au moment fléchissant a même valeur absolue dans la zone supérieure et la zone inférieure. Il suffit donc de considérer la plus grande valeur absolue de X, sans se préoccuper de son signe : le maximum de la compression et le maximum de la tension sont donnés par l'expression :
La condition à remplir pour que la pièce soit stable est alors la suivante \
Si on admet la même valeur R pour les limites pratiques à l'extension et à la compression, ce qui est le cas ordinaire, on doit avoir simplement :
Pour que la pièce soit stable, il faut que cette inégalité soit satisfaite dans toutes les sections de la pièce, et Ton doit toujours s'en assurer, si la section de la pièce est donnée a priori.
%9m X^^teratlnattoii de 1a «eetlon. — Si l'on connaît
X et R, et qu'il s'agisse de calculer les dimensions de la section transversale, on voit que l'inégalité précédente ne donne
qu'une limite supérieure du rapport y ou un minimum dcT*
La figure de la section est indéterminée, et en général on
CaOAP. I^. CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES, 25
la choisit de telle sorte que Taire Q, et par suite le poids de la pièce par unité de longueur, soit aussi faible que possible : c'est ce qui conduit à adopter la forme dite en double té.
A titre d'application, examinons le cas ou Ton veut donner à la pièce une section rectangulaire, et soient a et A les dimensions de la section.
ie8tégaIà:l^=laA'.
On peut donc se donner a priori une des dimensions a et A, en calculant l'autre de façon à satisfaire à la condition de stabilité précitée.
Dans le cas d'une pièce métallique ayant une section en double té, si Ton suppose que l'on puisse négliger le moment d'inertie de l'âme (10), on sait que le moment d'inertie est
-T- ; û est la section totale des tables, c'est-à-dire le produit
2eb, si l'on appelle b la largeur et e l'épaisseur d'une table. On a donc :
l Qh ebh Â"~ 4 ~ 2 *
On peut oe donner deux des dimensionse,ô et A, avec la condition de calculer la troisième de façon à satisfaire à la condition de stabilité. On voit que Ton a toujours une grande latitude dans le choix de la section, et que l'on peut satisfaire aux conditions particulières qui résultent souvent de circonstances spéciales étrangères aux questions de stabilité. Souvent l'on se propose de réduire le plus possible le poids de la poutre, ou de ramener la déformation au minimum, ce qui en général conduit à attribuer à h une valeur très grande relativement k e et b.
Quand la section d'une pièce varie d'une extrémité à l'autre, il faut s'assurer que la limite pratique du travail n'est dépassée nulle part. Si l'on fait varier la section suivant une loi telle que le travail maximum du métal atteigne exactement la même valeur dans ton! es les sections, on désigne la pièce ainsi définie sous le nom de solide d'égale résistance.
26 PONTS MÉTALUQCIft.
Si la section est constante d'un bout à l'autre, il suffit de faire la vérification pour la section la plus fatiguée, c'est-àdire pour celle où le moment fléchissant atteint la plus grande valeur pour toute la pièce.
Pour le fer, l'acier et le bois, on attribue toujours en pratiquoydans le calcul des pièces fléchies, la môme valeur aux limites de résistance à la compression et à l'extension. On ne saurait en faire autant pour la fonte, vu l'écart considérable qui existe entre les charges de rupture à l'extension et à la compression (voirie tableau dun*21). On doit donc, lorsqu'on calcule une pièce en fonte qui doit travailler à la flexion (ce que l'on évite en général aujourd'hui, vu la nature cassante de ce métal), veiller à ce que le travail maximum à la tension n'atteigne pas la moitié ou même le tiers du travail maximum à la compression.
II suffit, pour obtenir ce résultat, d'adopter une section [ I f dissymétrique par rapport à l'axe neutre, comme l'indique la figure 16. Supposons que la zone ^ supérieure travaille à la compression, on voit
Fig. 16. dans le cas présent que u=2u' : donc le travail maximum à la compression est le double du travail à 4'extension. Ce procédé n'est évidemment applicable que lorsque le moment fléchissant ne peut changer de signe et faire travailler la table supérieure à l'extension.
Bien que l'on n'exécute plus guère en fonte les pièces destinées à Fextension, cette remarque pourra toutefois trouver son application lorsque nous parlerons des arcs, système de ponts où la fonte est encore admise d'une façon courante, bien que le métal y travaille en certains points à la flexion.
