I.3. I>^tormAtioii des places fléchies* — Le calcul
de la déformation d'une pièce fléchie est, en général, un problème d'une grande complication, lorsque la pièce n'est pas rigoureusement prismatique. L'on doit en effet tenir compte de la courbure initiale de l'axe longitudinal, qui n'est négligeable qu'entre deux sections infiniment voisines, et de la variation de figure de la section transversale. Soit p^ le rayon de courbure de Taxe longitudinal en un point déterminé, p ce que devient ce rayon après la déformation. On a, en conservant les notations précédentes, Téquation ;
COAP. I^. CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. îl
E est ici le coefficient d'élasticité longitudinale, que Ton doit supposer avoir même valeur pour F extension et la compression, sans quoi Féqualion serait inapplicable, car tout ce que nous venons de dire au sujet du travail à la flexion des pièces prismatiques se trouverait faux : c'est encore un motif de plus pour exclure la fonte des pièces qui travaillent à la flexion, car pour ce métal, on ne peut guère admettre, dans la plupart des cas, l'égalité des deux coefficienls d'élasticité longitudinale, qui est la base fondamentale de la théorie de la flexion, et par conséquent les résultats des calculs sont entachés d'incertitude.
Quoi qu'il en soit, l'équation que nous venons de donner est une équation différentielle du deuxième ordre dont Tintégration est une opération en général laborieuse, et doit être faite dans chaque cas particulier, connaissant la relation qui existe entre X, I et p,.
Si l'on appelle 0 et 0' les angles formés par une section transversale de la pièce courbe avant et après la déformation avec nn plan de comparaison arbitrairement choisi, et 6^ et 0^ les mêmes angles relatifs à une section de la pièce prise pour origine, l'équation (1) peut être intégrée une première fois et, en désignant par ds un élément infiniment petit de Taxe Iongitudinaly prend la forme :
On ne peut effectuer cette seconde intégration que connaissant la relation qui lie ^ntre elles les variables X, I et $.
Lorsque Taxe longitudinal primitif de la pièce est une droite, l'équation se simplifie et devient
Si Ton prend pour origine des coordonnées un point de Taxe longitudinal, son extrémité de gauche par exemple ifiÇ' *'^)> po'^ *^® ^^^ ^ C6t axe lui-même, et pour axe des y une perpendiculaire à ox^ l'équation précédente, relative à
PONTS MÉTALUQUES.
la déformation des pièces prismatiques à axe rectiligne, peut, eu égard à la petitesse de cette déformation, être mise
sous la forme ci-après :
dx* ""El
Cette équation différentielle peut Fig- **'• s'intégrer connaissant l'expression
de X et de I en fonction de la distance x à l'origine du centre de gravité de la section considérée.
Nous donnerons le résultat de cette intégration dans tous les cas que nous étudierons ultérieurement.
Nous examinerons seulement ici le cas où le rapport -^ est
constant d'une extrémité à l'autre de la pièce. Alors la valeur
de p est aussi constante et l'axe de la pièce déformée affecte
El la forme d^un arc de cercle dont le rayon a pour valeur =-•
Si la hauteur h de la pièce est également constante, on voit
qu'il en est de même de-^« La pièce est par suite un solide
d'égale résistance. ,D'où l'on conclut que lorsqu'un solide d'égale* résistance, à axe rectiligne et de hauteur constante, se déforme, son axe prend la forme d'un arc de cercle.
• siiort tpanciàaiit. — L'effort tranchant, qui est une
. force située dans le plan de la sectioù transversale, Qst la dérivée du moment fléchissant, ce qui signifie que, si l'on passe de la section AB à la section infiniment voisine CD {fig. 18), le moment Fig^ ié, fléchissant X s'augmente du produit de
l'effort tranchant V par la distance dx des deux sections.
dX = Vdar, d'où V =
dX dx
Connaissant V en fonction de x, on peut toujours en déduire par une intégration la fonction qui représente X.
On voit que l'effort tranchant n'existe que dans les pièces
CHAP. l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES. 29
fléchies, et que toute section d'une pièce fléchie, à Texception du cas où le moment fléchissant ne varierait pas d'une section à la suivante, ert soumise à Taction d'un effort tran* chant.
Pour définir le sens dans lequel s'exerce l'action de l'effort >j^ tranchant, nous supposerons tou-
jours que, en prenant pour origine des longueurs une extrémité de la
1 ■ pièce (par exemple celle de gauche
Fig. 19. pour fixer les idées), l'effort tran-
chant est positif lorsque c'est la partie de la pièce située au delà de la section considérée par rapport à l'origine (c'est-àdire la partie ABX située à droite de la section {figr. 19), qui tend à glisser de haut en bas : dans ces conditions, si l'on considère la variation de X en parcourant la pièce de gauche à droite, c'est-à-dire dans le sens des x positifs, X croît lorsque l'effort tranchent V est positif, et décroît lorsque V est négatif.
Cet effort ne se répartit pas^ainsi qu'on serait tenté de le croire a priori, uniformément sur toute la section, comme l'effort normal. A l'inverse de ce qui se passe pour le moment fléchissant,' le travail dû à l'effort tranchant est nul sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre de la section, et il n'est jamais nul sur les fibres qui rencontrent cet axe : en grnéral même, il est maximum sur l'axe neutre.
L'effort tranchant a du reste, ainsi que le travail à la
flexion, même valeur pour toutes les fibres ^T—y que coupe une parallèlle à l'axe neutre ^ i ¥Q{/ig.20).
J :•* Cherchons le travail par unité de surface S
/ Y développé sur la parallèle NN' située à une
distance Zi de la droite PQ et dont la lon-
Fig. 20. gueur comprise àl'intérieur de la section est ««,
On a, eh désignant par V l'effort tranchant total, par m et r
les variables qui prennent pour NN' les valeurs w, et^i,
et par n la valeur maximum Ao que peut atteindre z :
^-T^ijl^'"' (')•
1. Voir Collignoa : Traité de rc'sislance des matériaux, n« 107,
iù
^ONTS MÉT4LUQ1}I;Â.
Cette expression donne bien Sssro pour s==fi : TefTort tranchant est nul sur les fibres les plus éloignées de Taxe neutre.
Pour avoir le travail maximum il faut chercher quelle est la plus grande valeur que puisse atteindre l'expression
— I ^ uzdz quand on fait varier la limite inférieure z^deok n.
En général ce maximum correspond à z^sz o eiu^^ ti^et le travail maximum a lieu sur Taxe neutre de la section.
uzdx.
Mais si la section présente un rétrécissement excessif en
M {fig. 21), comme en ce point le coefficient — est
très grand, c'est là que se manifeste Teffort tranchant maximum et non au centre de gravité 0. Nous verrons plus loin que dans la pratique on rencontre de semblables points faibles, et qu'il Fig. 21. convient de vérifier si en ces points la valeur de S ne dépasse pas la limité admise.
La valeur de S peut s'intégrer soit d'une façon exacte, soit par des formules de quadrature, lorsque l'on connaît la relation qui lie u et z. Nous donnerons le résultat de cette intégration dans quelques cas particuliers.
Poutre à section rectangulaire, — Soient a et é les deux
Cotés du rectangle.
tissa
^- ab\b' 2/
maximum pour « = o, ^ = s -r'
Poutre à section en double té [fig, 22). — S est ici représenté par deux formules différentes.
,ft.
Depuis z = o a s=s -^,
On a
Fig. 22.
et de
Cbap. i'^. CALcot bes piâces êrisbiâtioues.
On a
Le maximum a toujours lieu pour zz=o et il a pour valeur
Supposons que dans le calcul du moment d'inertie on puisse négliger Tàme verticale, et substituons à la valeur
exacte de J,qm est j^ ,Ja valeur approximative
— ^~f^ — ; la parenthèse de Téquation qui précède devient
égale à ^ et la valeur de S se réduit à -yr, • ainsi le travail
maximum a lieu sur la fibre moyenne, et il a la même valeur que si on supposait l'effort tranchant uniformément réparti sur Tàme verticale du double T. à l'exclusion des semelles. Cesl ce qui explique pourquoi les constructeurs ont l'habitude dans le calcul des pièces fléchies de ne tenir compte que des semelles lorsqu'ils déterminent la surface destinée à résister au moment fléchissant, et au contraire de calculer P&me verticale comme si elle devait résister s^le à l'effort tranchant uniformément réparti sur sa surface.
On peut d^ailleurs toujours vérifier sans difficulté, par les formules que nous venons de donner, l'exactitude du résultat donné par la méthode approximative. Dans certains cas, ou pourrait être amené à donner à l'àme plus de force que ne l'indique la méthode usuelle.
Poutre â section circtilaire. — Soit R le rayon.
3 7cir
If
pour z ss 0, on a :
32 PONTS MÉTALUQUÊS.
S est les -X du travail qui résulterait de refToi t Iranchant uniformément réparti sur la surface.
On admet tantôt que la limite pratique à Tcffort traachant
peut être évaluée aux ^ de la limite à l'extension, tantôt qu'elle
lui est égale. C'est ce que nous supposerons pour plus de simplicité, en l'absence de tout résultat d'expérience suffisamment précis.
Dans la pratique, le travail à l'effort tranchant est presque toujours bien inférieur à ces deux limites, l'âme verticale des poutres recevant généralement, pour des raisoils de consliniction, une épaisseur bien plus grande que ne l'exige l'effort tranchant.
L'effort tranchant ne joue aucun rôle dans la déformation des pièces fléchies : ce résultat ne paraît pas paradoxal lorsqu'on réfléchit au mode de répartition, qui est tel que les fibres extrêmes, n'étant soumises à aucun travail, ne peuvent être déformées de ce chef. C'est pourquoi l'effort tranchant no figure pas dans les formules relatives à la déformation.
flS. Places fl^cliles. Ti-avail du iné>tal clans one
direction quciconcfue. — Nous venons de, donner des formules permettant de calculer dans une pièce fléchie : i"le travail à la compression ou à l'extension qui se manifeste dans une direction normale à la section transversale de la pièce ; 2* le travail au cisaillement qui se manifeste dans une direction parallèle au plan de la section transversale. Dans la pratique en effet, on ne tient compte, pour le calcul des dimensions de la pièce, que de ces deux éléments.
Toutefois il n'est pas pas inutile de remarquer que le couple de flexion qui tend à faire tourner la section transversale autour d'une droite de son plan, et l'effort tranchant qui est une force située dans le plan de la section, font travailler le métal à la compression ou à l'extension, aussi bien qu'au cisaillement, dans toutes les directions menées dans le plan de flexion que nous supposons ici, comme c'est le cas général de la pratique, contenir l'effort tranchant.
Soit M un point du plan de flexion fiff. 23), AB la trace sur ce plan de la section transversale qui passe par M, CD une
CnAP. l". CALCUL DES PIÈCES PRISMATIQUES.
