CBAP. III. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES

Supposons que, par suite d'une répartition déterminée de la surcharge, les bras soient exposés à travailler à l'extension, et les tirants BC à la compression : il s'agit de remédier à cet inconvénient.

Il suffit pour cela d'établir des contre-tirants AD, CE, qui constituent avec les bras AB, CD,EF une nouvelle triangulation établie de telle sorte que le nœud antérieur primitif d'un bras, le noeud C du bras CD par exemple, en devient le nœud postérieur et vice versa. Par conséquent l'angle 6^, qui était aigu, est remplacé par l'angle 0', qui est obtus. Donc cos 0, change de signe, et l'effort de traction que subissait le bras est transformé en un effort de compression, sans d'ailleurs changer de valeur absolue.

De même l'angle obtus 6. du tirant est remplacé par l'angle aigu 6', du contre-tirant ; cos 6, change de signe et Teffort de compression que supportait le tirant BC est remplacé par un effort d'extension, appliqué au contre-tirant AD ; on l'obtient en multipliant l'effort normal primitivement calculé

cos 6'

par r^' On aurait pu arriver au même résultat en conser-

'^ cos a, *

vant les tirants BC, DE, etc., et remplaçant les bras par des contre 'bras tels que BE et DG. Le raisonnement serait absolument le même, et Ton verrait que les contre-bras travaillent à la compression alors que les bras auraient travaillé à l'extension, et qu'ils transforment en effort d'extension l'effort de compression qu'auraient primitivement subi les tirants.

On voit que dans une poutre américaine on a besoin, en certains cas, et dans le voisinage du milieu de la poutre, d'établir soit des contre-bras, soit des contre-tirants pour éviter le renversement des efforts dans les barres, mais que d'ailleurs on n'a jamais à établir à la fois des contre-bras et des contrer tirants. Ces contre-bras ou contre-tirants doivent être admis dans la partie de la poutre comprise entre les points où F(p) -f- <?K et Fp +/w changent de signe. On à approximativement les limites de cette zone à l'aide de la formule qui donne, pour les poutres à âme pleine (n* 69), les distances à l'origine des points où l'effort tranchant peut changer de siçne ;

424 PONTS MÉTALUQUES*

La longueur de la zone a:*— a:' est d'autant plus réduite

que ^ est plus grand. Par conséquent, plus la portée d'une

poutre est grande, plus la longueur occupée par les contrebras est relativement réduite.

On peut reconnaître û priori dans une poutre le genre d'effort que doit subir une barre par la règle suivante d'une application immédiate qui indique les limites entre lesquelles peut varier 0 dans les différents cas. Dans la première moitié

de la poutre (ar < 5) » on a toujours pour les bras et les contre-

tirants : cosô^o; pour les tirants et les contre-bras -.

cos 6^0. Dans la seconde moitié {'>^>ô)^^ * ^^lyours

pour les bras et les contre-tirants : cos 6^ 0 ; pour les tirants et les contre-bras : cos 6^0.

'AT. Oaicui de« oordes. — La corde supérieure qui travaille toujours à la compression a pour effort normal maximum — (Cp -J- C,r), C^ et C,c indiquant des valeurs absolues.

La corde inférieure travaille à l'extension et son effort normal maximum est C^ -|- Cr.

'AS. fi^impiiflcAtton de* ffopmuiefli. — Les formules que nous avons indiquées précédemment peuvent se simplifier notablement, lorsque l'on fait certaines hypothèses sur la figure que présente la poutre simple étudiée.

Par exemple, l'on peut avoir ^= /, ce qui est le cas le plus général : d'habitude les poutres simples américaines sont symétriques par rapport au milieu de leur longueur.

Les formules deviennent alors :

(10) f=r,T'^ Al—x^n-\'S)[l—x — s)\ ^ , ,

^ ' ' 2 /n cosÔ ^ ' ^ ^ ' i Ces formules sont

1 applicables à la barre

u\\ ^— J!! — {x 4- s) te 4. n — «) \ ^«?^^« ^" ."®"^ 9»»«'--

^ ' ^ ^In COSÔ T^ */ \* T^ '• •/ / gé X et a celle issue

l du nœud non chargé

Hî) F = ZJL (/2a:„) 1* + ^

• 2nco89 '

CHAV. l 1*. POUTRES DHOITKS A TKAVKliS INOÉPËN'DA.NTliS 12S

J Portion de corde ^ I opposée au nœud

(U^ 7 = ^rr-L (/ — a?) (a? + 5) (x + n — f) > chargé x et compri- ^ • ' 2 /nA ^ / \ 1 / \ I / f gg ^jy^pg Igg limiter

ij?— n-i-Xeta;-i-X.

(46) c'=^-^(c -|-X)(/ — X — n + 5)(/ — a? — «) ] de corde

* ''*'* j opposée au

/ noeud non

I et compri-

1 se entre les

(*^) C' = ^:x(/-x) + s(»r,-«) + X(/~2x~n)]Jliimte8^et

Ainsi les formules 1,2, 3, 6 et 9 suffisent pour calculer /, 9, Fy C et C dans les cas les plus compliqués de la pratique.

Les formules iO, il, 12, 15 et 18 sont applicables toutes les fois que les poutres étudiées sont symétriques par rapport a la verticale passant au milieu de la longueur.

Enfin lorsque la poutre simple étudiée est à elle seule Touvrage complet, c'est-à-dire n'est pas un élément de pou-

tre composée, on a nécessairement /=:5=nou iss$ = ^. Dans le premier cas les formules deviennent:

(20) • = s — - — î (x-\-n) X I Nooud aDtérienr te) oa la

^ ' ' z»cosO ' ' ' l -t >)• \ I \

^ ' 2 n cos9 ^ '

(23) 7=gJ4(/x)(;p + n)(x) ( N»»"» «PP<«« (*).

Nœud opposé (x).

Limites :dp — n + ^Âx-j-X.

iû6 PONTd MÉTALLlQUliS.

/ofix r '^ ft ^^/ I \ l Nœud opposé (a? + X).

^ ' * ilnh^ Ml/ ^ Limites : a? à a? +n

(^''^ C' = ^[x{/-.a.) + X(/-2a:-n)] et dans le second cas.

(*^) »=27;r^('' + l) [ Nœud .ntérieup (*).

(3*) '''-râ(-+»h*-iy

(3S) ^'=râ(^— ^)Hi)'

Il nous paraît inutile d'insister sur ces simplifications. On peut en obtenir tant qu'on voudra en faisant des hypothèses sur les valeurs de /, n, Sy cosO, A, etc., etc.

Nous allons à présent adapter les formules précédentes aux. différents types de poutres américaines en usage, et donner les formules pratiques immédiatement applicables dans chaque cas, connaissant les valeurs particulières à attribuer à ê^ t^ n^ A, X, 6, etc.

Dans les poutres composées» nous ferons la somme des efforts normauxcalculés pour les cordes supérieure et inférieure de chaque poutre simple, afin d'avoir les efforts totaux sup-

Nœad oppo*

Limites :

CaAP. m POtiTKCS MOtTKâ A TRAVl&Ëd INDÉPENDANTES 12?

portés par les cordes de la poutre composée. Ces calculs n'offrent rien de particulier ni d'intéressant, et nous nous borne- . rons à énoncer les formules auxquelles ils conduisent dans chaque cas.

«AO. Cbolx. d'une unltô de lonsueiup «péetale* — *

Afin de simplifier encore l'emploi de ces formules, nous conviendrons de prendre pour unité de longueur' l'équidistance des poids égaux en lesquels on a divisé la charge et la surcharge, c'est-à-dire la distance constante de deux nœuds chargés consécutifs de la poutre composée.

Dans ces conditions, en désignant par zéro l'extrémité de gauche de la poutre, et numérotant les nœuds chargés de la poutre à partir de cette extrémité, on arrivera à ce résultat que le numéro d'ordre d'un nœud chargé représentera aussi sa distance à l'origine en fonction de l'unité de longueur choisie (à condition que la distance du premier nœud chargé à l'extrémité de gauche de la poutre soit égale à l'unité, ce qui est le cas général de la pratique). Le numéro de l'extrémité droite de la poutre représentera la longueur totale de l'ouvrage.

Cette convention oblige à mesurer la hauteur h de la poutre en fonction de P unité de longueur adoptée. Cela fait, on remarque que la formule obtenue permet de calculer immédiatement, non-seulement, la poutre que l'on considère, mais toutes les poutres semblables, c'est-à-dire toutes les poutres que Ton obtiendrait en multipliant toutes ses dimensions par un même coefficient quelconque, à la seule condition d'attribuer aux poids j9 et «, en lesquels la charge et la surcharge sont subdivisées, la valeur qui leur convient en chaque cas.

Après avoir établi le tableau des efforts normaux subis par les différentes portions de corde supérieure et inférieure, et par toutes les barres d'une poutre, on obtiendrait les efforts relatifs à une poutre semblable en multipliant tous les nombres du tableau par le rapport ^ des charges par unité de

longueur des deuxpoutres, ou le rapport-* des surcharges par

a^ w ^ •« BP •«

128 PONTS MÉTALUQUES. .

unité de longueur (celte unité étant dans chaque cas Téquidistance des nœuds chargés). Soit P la charge totale du pont, et L sa portée en fonction de Tunité choisie. La charge par

unité de longueur est -• De même la surcharge serait f-*

Nous représenterons tous les types de poutres que nous allons étudier par des figures où les pièces comprimées (cordes supérieures et bras) seront indiquées par un double trait, les pièces tendues (cordes inférieures et tirants) par un trait simple, les contre-bras par un double trait pointillé, et les contre-tirants par un trait simple pointillé.

Les pièces figurées par les traits — • ... — ou =r... = ...=:

seront des barres accessoires, tendues ou comprimées, ne

^ faisant pas partie de Tossature de l'ouvrage

et destinées simplement à reporter une partie

de la charge en un point détermi^ié de la

poutre. Si par excmple^dans la figure 80, on

admet que le tablier du pont est AC, et que

*^* ' l'on veuille le faire porter par les nœuds

A, B et C, il faut placer en B une tige verticale BD, qui

supportera le tablier au milieu de la distance AC.

Ces pièces, que nous indiquerons sur les figures lorsque nous le croirons utile pour donner plus de clarté aux dessins, ne figurent jamais dans les calculs, puisqu'elles ne font pas réellement partie de la poutre et ne contribuent en rien à sa stabilité.

KO. disposition n&^tl&oaiiiue des oalcnls. — Avant de passer à l'examen des divers types de poutre en usage, nous mentionnerons l'utilité qu'il y a à eflFectuer méthodiquement les calculs de toutes les parties de la poutre. A cet effet on établit un diagramme ou dessin géométrique représentant la poutre, où toutes les pièces sont indiquées par des droites. On calcule successivement^ à l'aide des formules applicables au type et en raison de la charge et de la surcharge, l'effort normal maximum supporté par chaque pièce sous l'action de la charge et de la surcharge, et on l'inscril sur le dessin à côté de la ligne qui représente cette piècCi Gela fait, il n'y a plus qu'à multiplier chaque effort normal

Ti-7

CaAP. lu. MUTRES DftOltÊS A tHAVÉËS INDÉPËiNDAMES 129

trouvé par le coefficient-^, où R représente le travail à Tex-

tension ou à la compression qu'il convient de lui faire supporter en raison de sa longueur et du métal qui la constitue (chapitre I, n* 21), pour avoir Taire de sa section transversale, qu'on inscrit sur le diagramme à côté de Teffort normal. C'est ainsi qu'il faut toujours procéder pour les cordes. Pour les barres, il est en général plus commode de calculer non pas fn + Fp mais (/« + Fp) cos 6, qui dépend uniquement de la variable a:, et non plus de l'inclinaison 0 qui peut changer d'une barre à la suivante. Cela fait, pour avoir l'aire de la

section transversale d'une barre quelconque, il faut multiplier

le résultat du calcul précédent par ^ au lieu de o-tC^ qui

ne présente aucune difficulté. Ce procédé de calcul simplifie sensiblement les opérations dans les poutres oii 0 est susceptible de présenter plusieurs valeurs différentes pour les tirants, bras, contre-tirants et contre-bras.

Nous allons maintenant passer en revue les différentes poutres américaines, dans Tordre suivant: poutres simples, poutres composées, poutres complexes.