POUTRES AMÉRICAINES. MÉTHODE GÉNÉRALE DE CALCUL
4ft« I>^flnttioi& des poutpeA simple». — Les poutres
américaines présentent cette particularité : que toutes les pièces prismatiques dont elles se composent travaillent uniquement à la compression ou àTextension simple, et ne sont jamais soumises à un effort de flexion.
Un pareil ouvrage comprend une corde supérieure horizontale elnne carde inférieure également horizontale situées dans le même plan vertical.
Ces deux cordes, constituées chacune par une seule poutre rectiligne (en général il en est ainsi de la corde supérieure), ou bien par une série de pièces successives placées bout h bout en ligne droite, et assembles soit par des manchons, soit par des articulations, soit de toute autre manière, sont reliées par une série de barres formant une triangulation.
On appelle bras celles de ces barres qui, sous l'action d'une charge uniformément répartie sur toute la longueur de l'ouvrage, travaillent à la compression, et tirants celles qui, dans la même hypothèse, travaillent à l'extension. Si Ton parcourt la triangulation à partir d'une extrémité de la poutre, oct remarque qu'un bras suit et précède toujours un tirant, et vice versa [fig, 70). Ce n'est qu'au milieu de la poutre, si celle-ci est symétrique par rapport à ce point, que deux bras ou deux tirants peuvent se toucher par leurs extrémités. Les barres d'une poutre américaine se divisent donc en deux systèmes, celui df s bras et celui des tirants, dont les éléments sont intercalés. On rencontre également dans certains cas d'autres barres ne faisant partie d'aucun de ces deux systèmes, qui n'ont à supporter aucun effort normal lorsque la surcharge uniformément répartie couvre toute la travée ; mais quand cette surcharge ne couvre qu'une partie de la longueur de la poutre^ ces barres peuvent travailler soit à la compression, et alors on les appelle contre-bras, soit à rextension, et
112 PONTS MÉTALUQUES.
on les appelle contre-tirants. Ces barres supplémentaires ont pour but d'empêcher que, par l'effet d'une surcharge încomplète, quelques tirants de la poutre ne viennent à travailler à la compression et quelques bras à Textension : on évite ainsi que dans les pièces do la triangulation le sens de l'effort normal puisse changer.
D'ailleurs la corde supérieure de la poutre travaille toujours à la compression, la corde inférieure à l'extension.
^l^m O^finltlon dctft poutre» compo96es. — Nous
venons de déAnir une poutre américaine simple. Il peut arriver que les deux cordes soient reliées par deux systèmes de triangulation différents, de telle façon qu'un bras d'un système croise un tirant de l'autre. En ce cas la poutre est dite double, et elle peut être considérée comme composée de doux
poutres simples, dont on aurait soudé
respectivemexil les cordes supérieures et
inférieures, tandis que les barres, n'étant
pas établies suivant le même mode de
triangulation, n'auraient pu se superposer
et seraient restées distinctes {fig. 71).
Une poutre composée peut être triple ou quadruple, si elle
est décomposable en trois ou quatre poutres simples. Dans ce
dernier cas un bras de l'un des systèmes de triangulation
croise trois tirants appartenant aux autres systèmes, et vice
versa.
Pour calculer une poutre américaine composée, on la décompose en poutres simples, que l'on suppose porter chacune une part égale de la charge et de la surcharge. On calcule les éléments de chaque poutre simple comme si elle était isolée, puis on reconstitue la poutre composée : chaque corde a en chaque point l'aire de sa section transversale égale à la somme des aires des sections des cordes correspondantes calculées pour les poutres simples. On introduit d'autre part sans changement dans la poutre composée tous les systèmes de barres, tirants, bras, contre-tirants ou contre-bras calculés pour les poutres simples.
On voit que le calcul d'une poutre composée peut toujours se ramener à celui de deux ou de plusieurs poutres simples.
CHAP. m. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES H 3
^3. i>é>fliutioii des poutpes compiex^e». — Considérons une poutre simple MNPQ, et soient AB et BCdeux barres successives de la triangulation, formant ce qu'on appelle une MAILLE de la poutre. Le tablier du pont que nous supposerons être établi à la partie inférieure de la poutre, suivant PQ, est soutenu en A et en C. Il peut arriver que la distance de ces points A et C soit assez considérable pour qu'on juge indispensable de soutenir le tablier par une petite poutre américaine régnant de A en C, telle que A a c C, ayant pour points d'appui les sommets A et C de la triangulation de la poutre principale {fig. 72). Il pourrait arriver de même que Ton fût obligé de Yi^^u ^^^^^ porter le tablier par de petites
poutres secondaires du second ordre régnant entre deux sommets consécutifs A et b de poutre secondaire de premier ordre. On obtiendra de cette façon ce que, faute d'appellation consacrée par Tusage, nous nommerons une poutre complexe : un ouvrage de cette nature comprend une poutre simple principale ; dans chaque maille de cette poutre est intercalée une poutre simple secondaire de premier ordre, qui soutient le tablier dans l'intervalle de deux sommets consécutifs de la triangulation de la poutre principale, et a pour points d'appui extrêmes ces deux sommets eux-mêmes; on peut également avoir des poutres secondaires de deuxième ordre, de troisième, etc. On dispose toujours l'ouvrage de façon que toutes les poutres secondaires de même ordre soient identiques.
On voit à priori que, pour calculer un semblable pont, il suffit de calculer d'abord la poutre principale comme si elle était seule ; puis de calculer une poutre secondaire du premier ordre, une poutre secondaire du deuxième ordre, etc. Si une barre ou uneportion de corde appartient à la fois, sur une partie de sa longueur, à la poutreprincîpale et à une ou plusieurs poutres secondaireS) on n'a qu'à faire la somme, en tenant compte des signes^ des efiForts qu'elle a à supporter à ces différents points de vue, pour avoir l'effort total qu'elle doit subir; ou plus simplement il suffit de déterminer les sections de toutes los
(li
PONTS MÉTALUQUHà.
pièces de chaque poutre comme si elles étaient isolées, et
de les ajouter lorsqu'il s'agit d'une pièce qui entre à la fois dans la composition de deux poutres; ainsi, dans la figure 73, les parties de corde A p et pC et les parties de barres A m et n C appartiennent à la fois à la poutre principale et à la poutre secondaire de premier ordre, et leurs sections doivent être calculées en conséquence. Si une portion de barre est à la fois un bras pour Tune des poutres et un tirant pourTaulre, il suffit évidemment que sa section soit celle qui convient au plus grand des deux efforts calculés et non à leur somme.
On voit que le calcul d'une poutre complexe se ramène encore au calcul de dewi ou de plusieurs poutres simples.
IMC^tliode 9Ôiié>i*ale cle ealcul cl*une pontife
simple. — Nous allons chercher les formules générales de calcul applicables à une poutre simple quelconque.
1* Cas d'un poids isolé. — Soit OAKL une poutre simple {fig. 74), 0 et L ses deux extrémités. Nous conviendrons de prendre pour origine des abcisses rexlrémité de gauche 0 de
Flg. 74
la poutre. Sî nous partons de cette extrémité pour parcourir
le système de triangulation formé par les barres 0 ABCDE ,
nous conviendrons d'appeler nœud chaque point d'attache d'une barre sur une corde : le nceud anténeur^ tel que C pour la barre CD, sera le. premier nœud rencontré en partant de l'origine 0 ; on voit que ce point C serait le nœud postérieur relatif à la barre BC. Nous définirons chaque barre par l'abcisse X de son nœud antérieur par rapport à Torigine 0 et par l'angle ^ que forme la direction de la barre avec une verticale
CnxP. II r. POUTKEd DROlTËâ A TRAVEES INDEPENDANTES 11 S
dirigée de bas en Aai/fetpassant par son nœud antérieur. On voit que cet angle 6 peut être aigu (exemple barre BC), ou obtus (barre EF), ou même plus grand que deux droits (barre CD).
Ceci posé, soit MN (fig, 75) une barre quelconque, M son
nœud antérieur situé à la distance horizontale x de Torigine 0,
et 0 l'angle de la barre avec la verticale dirigée de bas en
haut menée par M.
Supposons que Ton applique un poids isolé ir en un point
quelconque de la poutre, défini par sa dis« tance horizontale u à Torigine 0. Les composantes de ce poids sur les points
d'appui 0 et L seront
et -
on déhignant par / la longueur de la poutre OL.
L'effort normal subi par la barre MN
s'obtient en égalant à o la somme des
projections sur la verticale des forces
appliquées à la portion de poutre corn*
prise entre la verticale qui passe par le
nœud M et Tune des extrémités 0 ou L. On trouve ainsi que
l'expression de cet effort varie suivant que le poids isolé « est
placé, par rapport à l'origine 0, en deçà ou au delà du point M.
V Cas. — Le poids ic est placé entre M et L : u> x.
Valeur de Teffort normal agissant sur MN :
Fîg. 75.
cosO
/ — Il
2* Cas. — Le poids « est placé entre 0 et M : m < x.
TZU
/ces 6
On voit que / représente une compression et<p une tension lorsque cos 0 est positif (0 < 90°) ; c'est l'inverse lorsque cos • est négatif (0 > 90''). Ces formules sont d'ailleurs générales, quelle que soit la position du nœud antérieur M sur la corde supérieure ou inférieure. L'effort normal subi par la portion de corde QN opposée au nœud M s'obtient aisément en pre*
116 PONTS MÉTALUQUES.
nant les moments par rapport au point M de toutes les forces appliquées à la partie de la poutre comprise entre la verticale qui passe par M et Tune des extrémités 0 ou L. Désignons par h la hauteur de la poutre :
On trouve dans le premier cas, u^xi
et dans le second cas, u<^x:
7 = zi:çcose.i-^j— = dz^. '— ^•
Ces formules donnent c et y en valeur absolue. On sait (j^axlleurs que Veffort normal est toujours tau: compression lorsqu'il s'agit de la corde supérieure et une tension lorsqu'il s* agit de la corde inférieure.
2"* Cas de plusieurs poids isolés, — Supposons qu'au lieu d'un seul poids isolé ^ nous en ayons un certain nombre, et que Ton demande TelTort normal qui en résultera pour la barre MN, qui a le point M pour nœud antérieur, et la portion de corde NQ opposée au nœud M. Il faudra faire le calcul séparément pour les poids situés à gauche et pour les poids situés à droite de M ; on a :
/=g^^;^""^^ et 9 = 2*-!^.
' ' /cose ^ •/cosô
L'effort normal résultant sur la barre MN est : F » / 4. f. Enfin les efforts normaux partiels et l'effort total subis par la portion de corde NQ sont :
« = di/cos6 7-»
Y = ±:çcosO ^ — ^—4
et G = c 4- y,
F est égal à la somme algébrique de / et de (p, pris avec leurs signes, qui sont nécessairement contraires, tandis que C est la somme des valeurs absolues de c et de y, à laquelle on attribue le signe + ou le signe —, suivant qu'il s'agit de la corde inférieure ou de la corde supérieure*
CHAP. m. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉl£NOANTES 117
«4Lft* X^oifmiiles ppatlcfue» s^n^i*ale« pour le oa1« enl de* poutree flun^riccUiiee. — Les formules précédentes, qui sont absolument générales, seraient en pratique d'une application laborieuse, et il convient de les modifier de façon à en rendre l'usage commode et rapide.
Nous y arriverons au moyen de la remarque suivante :
Toutes les poutres simples qui entrent dans la construction des ponts américains, soit comme ouvrages isolés, soit comme éléments de poutres composées, présentent le caractère commun suivant :
Tous les triangles qui les composent sont égaux {fig, 76) & l'exception des quatre triangles exlrèmes adjacents aux ex-
FJg. 70.
trémités des cordes supérieure et inférieure. Ces quatre triangles sont en dehors de toute règle et peuvent être pris arbitrairement.
Désignons par n l'équidistance de deux nœuds consécutifs sur la même corde, par s et par / les distances du second et de l'avant- dernier nœud à l'origine 0 et à l'extrémité L de cette corde. Soit enfin X la distance horizontale d'un nœud de la corde inférieure au nœud de la corde supérieure qui le suit immédiatement : nous supposerons pour fixer les idées que les points d'appui 0 et L sont sur la corde inférieure. La charge permanente que supporte la poutre peut être décomposée en une série de poids/} appliqués à tous les nœuds de la corde inférieure : ces poids sont donc tous équidistants, et les poids extrêmes sont aux distances ^ et / des points d'appui. Il en est de même de la surcharge, qui est divisée en poids ic égaux et équidistants : mais nous admettons que cette surcharge peut ne couvrir qu'une partie de l'ouvrage à partir d'une des extrémités, le surplus jusqu'à l'autre extrémité de la poutre n'étant pas surchargé.
Il peut arriver que les nœuds de la corde supérieure soient
aussi chargés : mais alors pour que les poids soient équidîs-
tants il faut que Ton ait X == ^ * et que par suite les triangles
soient isocèles, ou bien queX = (7 ouX=rn, et les triangles sont rectangles. Ce cas est moins général que le précédent dont il constitue une simplification.
Nous allons donc chercher les formules applicables au genre de poutre simple que nous venons de définir, et qui, nous le répétons, comprend tous les types de poutres simples en usage. Il est bien évident que ce que nous avons dit de la corde inférieure pourrait s'appliquer à la corde supérieure, et vice versa, sans rien changer au raisonnement.
Considérons un nœud chargé M, défini
■1^ quJ^iô* par sa distance x à l'origine G. Le nœud
non chargé qui le suit sur la corde supérieure est Q dont Tabscisse est x + Xy et le nœud chargé suivant est T, qui a pour
— ÏJTTj j^;ifT abscisse x + n {fig. 77).
„. --, Nous allons chercher successivement
Fig. 77.
TefFort normal supporté par la barre M sous l'action : 1"* de la surcharge couvrant entièrement la partie de poutre située à droite de M (à Texception du poids M); 2'' de la surcharge couvrant entièrement la portion de poutre située à gauche de M (y compris le poids M). Grâce à rhypo thèse faite sur la figure de la poutre, le problème se réduit à trouver la somme d'une progression arithmétique. Gn a, en effet, en appliquant les formules générales du n* 44 et en désignant par e une longueur quelconque plus petite que n:
Surcharge à droite :
fl) f — ^. + e l^^^^
/cosô
iz
2/ncos9
GHAP. m. P01]TIIES DROITES À TRAVÉES INDÉPENDANTES 119
Surcharge à gauche
Surcharge complète ; (3) P = /^+T=2^=^J/(/-2ar~«)+^(n--0-*(n-«)].
On voit que / et 9 représentent les efforts normaux maxima, à l'extension et à la compression, que peut subir la barre MQ : en effet, tous les poids situés d'un même côté de M donnent lieu à des efforts dirigés dans le même sens, et dans le sens contraire de Teffort qui serait dû à un poids placé de l'autre côté de M. On a donc bien l'effort maximum dans un sens déterminé en prenant tous les poids placés du même côté du nœud, à Texclusion des autres.
D'où la règle suivante : une barre quelconqtie d'une poutre américaine est soumise à son maximum de travail à l'extension ou à la compression lorsque la surcharge couvre entièrement ' et exclusivement toute la partie du pont comprise entre cette barre et Pune ou P autre des extrémités de P ouvrage.
Cherchons maintenant Teffort normal supporté parla barre QT, qui a pour nœud antérieur le nœud non chargé Q (a: + X). Nous retrouverons exactement les mêmes valeurs que pour la barre QM, sous réserve du changement subi par le coefEcient cos 0 qui devient cos 6'.
Par conséquent, dans les formules qui précèdent, x désigne toujours la distance à l'origine 0 d'un nœud chargé, et ces formules sont applicables à la barre issue du nœud a:, ainsi qu'à la barre issue du nœud [x -f- X) non chargé qui le suit.
Il arrive dans certains cas qu'au milieu de la longueur de la poutre il y a un changement dans, le mode de triangulation, de telle sorte qu'une barre est assemblée à Tune de ses extrémités avec la barre précédente AB et la barre suivante BD {fiy. 78). En pareil cas on doit considérer que la barre
CB est double et que la triangulation est composée ainsi qu'il suit : AB — BC — CB — BD. Rien n'est changé au calcul,
sauf que cette barre CB supporte un effort normal double de celui qui est indiqué par les formules générales. Ces barres doubles ne peuvent se rencontrer qu'au milieu de la pièce, à partir duquel, comme on le p. ^g verra, Tinclinaison des bras est renversée,
ainsi que celle des tirants.
Nous obtiendrons de même la valeur de Feffort normal supporté par la portion de corde NQ opposée au nœud chargé M (x), c'est-à-dire comprise entre les distances x — n4-^ et x-f X prises à partir du point 0.
Surcharge de M à L :
(4) c = fco^^'^ = ^^x{l—x — n + t)[l—x — t).
Surcharge de 0 à M :
(5) 7 = TC06e-^ = ^(/— aF){3r + s)(a? + n — s).
Surcharge complète :
(6) (^ = c + ^i=^^[lx[l-x) + tx{n-t) + s{n-s)[l^x)].
Nous avons encore à calculerrefiFortnormal supporté par la portion de corde MT, qui est opposée au nœud Q (ar + X), lequel n'est pas chargé, c'est-à-dire comprise entre les distances X et a;-j- n prises à partir du point 0.
On trouve de même :
Surcharge de M à L :
Surcharge de 0 à M :
(8) Y^ = (pcosO.^~^""^ = ^(/ — g--X)(ar4-5)(jr-|-n---i;). Surcharge complète :
(9) C.' = c' + ^f = ^^[lx{l^x) + lx{n-t)^s{n-s)[l^x)
+ X[/(/ — 2 a? — «)-fr(n — 0 — «(« — «)]]•
nwmi ■ ■■ .
CHAP. ni. POUTRES DROITES A TRAVÉES INDÉPENDANTES 121
Dans le calcul de c, y et C, c'y y et C nous ne nous sommes pas préoccupés des signes. On sait que c et y sont positifs lorsqu'il s'agit de la corde inférieure et vice versa. Par conséquent, les quantités c eiy étant de même signe, leur somme G est plus grande qu'elles, et représente l'effort maximum que doit supporter la corde.
D'où la règle suivante : pour calculer Veffort maximum subi par Pune de^ cordes de la poutre^ il faut toujours se placer dans l'hypothèse de la surcharge complète^ quelle que soit la portion de corde considérée.
Dans le cas où tous les nœuds sont chargés, tant sur Ja corde supérieure que sur la corde inférieure, les formules (4), (5) et (6) sont seules applicables : n désigne alors léTdistance horizontale de deux poids consécutifs placés l'un sur la corde inférieure, l'autre sur la corde supérieure.
'A.O. Calcul des iMurre» et de« oontpe-lMirpe». -—
Nous venons d'examiner toutes les formules a appliquer dans le calcul d'une poutre simple. En distinguant par les indices ^ et 17 les efforts normaux dus à la charge, nécessairement répartie sur toute la longueur de la poutre, et à la surcharge, nous voyons que le calcul de la poutre doit se faire d'après la règle suivante :
L'effort normal subi par une barre sous l'action de la charge est représenté par F (formule (3)); suivant queF^p^ est positif ou négatif, la barre, qui travaille à l'extension ou à la compression, est un tirant ou un bras. D'autre part F^^^; s'annule, puis change de signe lorsqu'on passe d'une moitié de poutre à l'autre. Donc pour que F cos 9 garde le même signe d'un bout à l'autre de la poutre, il faut que cos 0 change de signe au milieu de la portée : c^Ia veut dire que l'angle 0 est aigu pour les bras situés dans la pri^miërc moitié de la poutre, et obtus pour les bras situés dans la seconde moitié.
(Test rinverse pour les tirants, dont l'inclinaison sur la verticale est aussi renversée au delà du milieu de la portée.
Les efforts maxima dus à la surcharge sont, dans des sens opposés, fiz otîpn (formules (1) et (2)). L'une des quantités /^ et ç^ aie même signe que F, ; en l'ajoutant à F,., on a le maximum de TelTort que le bras ou le tirant pourra avoir à sup-
porter, par l'elTet de la surcharge répartie de la maniëre la plus défavorable pour la stabilité de cette barre. Supposons pour fixer les idées que F, et /*« soient de même signe (1" moitié de la poutre à partir de l'extrémité 0) ; alors ^ et Fp sont dpt signes contraires : si Ton a en valeur absolue Fp > <pit, on voit que la barre n'est susceptible de travailler que dans un sens déterminé, à la compression par exemple, et l'efFort de compression qu'elle peut subir est nécessairement compris entre les limites supérieure F, -f /« et inférieure Fp + <p«.
Si au contraire Ton a F, < 9,c en valeur absolue, alors Fp 4- <Pic et Fp -}- /« sont de signes contraires, et par suite le mode de répartition de la surcharge qui correspond à fn change le signe de Teifort supporté par la barre : si, pour fixer les idées, il s'agit d'un bras, ce bras est exposé à travailler à l'extension. De même un tirant peut avoir à subir un effort de compression.
Cette inversion de l'effort se présente nécessairement dans le voisinage du milieu de la poutre, où l'on sait que F, décroît et finit par s'annuler avant de changer de signe.
Or il peut arriver qu'une pièce, dont la forme a été déterminée en vue de résister à un effort de compression, résiste très mal à un effort d'extension, ci vice versa. II importe alors de s'opposer au renversement de l'effort sous raction d'une surcharge incomplète : c'est à quoi servent les contre-barres
Fig. 79.
(contre-bras ou contre-tirants), dont nous allons parler maintenant.
Soit une triangulation ABCDEF, ou les doubles traits AB,CD, EF représentent les bras, et les simples traits BC, DE les tirants (yî^. 79)
