CALCUL ET DEFORMATION DES CABLES PRINCIPAUX

Of.» O^tcniiliiatlon do la seetion ti^ansvcmalc.

— Considérons une travée d'un pont suspendu. Soient 0 le sommet, A et A' les extrémités de la parabole décrite par lo

CHA?. IV. PONTS SUSPENDUS

Fig. i49

câble, sous raclion de la charge et de la surcharge que nous supposerons répartie sur toute la travée. Soient p et v cette charge et cette surcharge par mètre courant (1). L'équation de la parabole, rapportée à son sommet 0, est de la forme

^. y = K X*. Cette courbe est symé trique par rapport à Taxe oy ; nous convicndronsdc rapporter labranche L, de gauche OA aux axes ox et oy, et la branche de droite OA' aux axes ox' et oy, de telle sorte que chaque Jj^. branche se trouve placée dans Tangle positif de ses axes de coordonnées, et que Tabscisse et l'ordonnée d'un poijit quelconque soient positives. L'équation de

la branche de gauche est alors y = - x' et celle de la brandie

de droite y= -ji ^'\ en désignant par a et é, a' et 6' les coor

données des points d'appui A et A' {fig. 149 et ISO)

Cette convention admise, il est inutile de distinguer x' de X, et, comme d'ailleurs

— g = -7,f on peut représenter les deux branches par la même formule y = i x* .

Il reste seulement convenu que l'on comptera positivement les abscisses des

points de la parabole aussi bien à droite qu'à gauche du

sommet 0.

L'inclinaison sur l'horizontale de la tangente à la courbe

kipub)

(i) Dans les calculs nous ae considérerous qu'un seul câble ; si Ton veut faire porter le tablier par n càblels, qui nécessairement décriront la même parabole, on pourra soit supposer que chacun d'eux porte la rf partie du poids total et le calculer en conséquence, soit calculer un câble unique capable de porter la charge et la surcharge, et répartir ensuite ad libitum l'aire de la section trouvée entre les différents câbles partiels dont le câble unique serait réquivalent.

222 IPOMTb MÉtÀLLlQCfifl<

en un point quelconque M est donnée par la formule:

° or

L'effort normal d'extension qui se manifeste dans le câble en M sous l'action de la charge et de la surcharge complète est :

Cet effort a pour composante horizontale :

et pour composante verticale :.

(3) V-r{u+p)ar.

V s'annule au sommet 0 pour x =0.V est alors mini mum.

Fo=Q:^(it+p)f,, V,.= 0.

F et V ont leurs maxima en A' pour la branche de droite OA', et eu A pour la branche de gauche OA :

(4) Fa = («+/>)^|/4F+7, V^ = (it+/?)a

(5) PA'=(^ + />)^l/46' + a'% V^=(it+;>)a'.

En général on donne au câble une section uniforme sur toute sa longueur : on doit donc le calculer en vue de l'effort maximum qu'il a à supporter ; cet effort qui a lieu au point d'appui le plus élevé, que nous supposons ici être l'extrémité A du câble, est donné par la formule (4).

On voit : r que la composante horizontale Q de l'effort normal reste constante d'un bout à l'autre du câble ; 2** que l'effort vertical V^ exercé sur une culée A dépend de sa distance a au sommet de la parabole ; les ponts suspendus pré^ scntont donc cette particularité qu'une charge uniformément r^partio outre les deux culées est supportée inégalement par elles, quand les deux appuis ne sont pas au même niveau«

CHAP. IV. PONTS SUSPENDUS

Aïa;*'^

Les formules précédentes sont générales et s'appliquent même au cas [figure 151) où les deux extrémités A et A' du câble sont sur une même branche de la parabole. Mais alors on voit que d'après les conventions posées au commencement du paragraphe, la branche de droite OA est située toute entière du côté des x négatifs. Les formules précédentes restent donc

applicables à la condition d'attribuer le signe moins à l'abscisse a du point d'appui le plus bas. La traction horizontale Q, qui ne dépend que du paramètre de la parabole, a même valeur que précédemment. L^effort total F varie entre la limite inférieure Fa et la limite supérieure Fa'. En A l'effort vertical, exercé sur la culée, est dirigé de bas en haut et tend à soulever le massif :

Fig. 131

o;9i. i^oi*niuie« diverflMBoi. — Les formules précédentes supposent connus a, b^ a* et b\ U arrive souvent que le problème se présente autrement. On connaît à priori les sommes ou les différences de a. ar^ b Bi¥\ la traction horizontale Q que le câble aura à équilibrer ; la section du câble, ou, ûe qui revient au même, le maximum F de l'effort d'extension qu'il pourra supporter. En combinant entre elles les formules précédentes, il est toujours aisé, lorsque le problème est déterminé, de trouver les dimensions essentielles du pont. Nous croyons utile de donner ici les principales formules que Ton pourrait avoir occasion d'employer en pareil cas pour calculer a et 6 en fonction des différentes données du problème.

On a:

{-^^vW 1 +

Quand les extrémités Â et A' du câble sont du même côlé du sommet de la parabole, il faut attribuer à a' le signe

moins.

98. Ijonf^evr des el^bles princip&iix. — Ayant déterminé la section du câble, on calcule sa longueur au moyen de la formule approximative suivante :

Si les extrémités du câble sont sur la même branche de la parabole, a doit être pris avec le signe — (fiff, 151).

Cette formule, qui, pour le pont de New- York (2a = 487» et b ^Se^'SS) ne donne qu'une erreur inférieure à un centimètre, est toujours d'une exactitude plus que satisfaisante en pratique.

Cas de la parabole symétrique par rapport à son axe [a=:a!). On trouve :

S = 2afl+^i"-?r\.

V 3a» 5aV

Expression de 6 et 6' en fonction de S, a et a' :

Fig. 158.

Pour a = a', cos de la parabole symétrique^ on a :

6 = ô'=ai A

Par a'=o^ cas de la demi parabole :

CUAP. IV. POKTS SUâPËNDOS. 22S

Formules simplifiées, donnant en général une approximation suffisante :

(6 étant supposé peu différent de V).

94. Déformation des e4bles pplnoipaiix % chargée et snreliaPi^ complète. — Âpres avoir calculé la section du Câble en raison de leffort qu'il aura à supporter dans les condition s les plus défavorables, c*est*à-dire avec la surcharge complète, et avoir déterminé sa longueur, il importe de rechercher quelle pourra être sa déformation dans les différentes circonstances qui peuvent se présenter.

Considérons la charge p par mètre courant. Cherchons Tal* longement que va subir le càble par TefTet de la tension qu'il subit. Soit Sp S cet allongement. L'effort normal en un point quelconque M (jr,y) est :

L'allongement produit sur un élément infiniment petit du c&ble d$ est, en désignant par û Taire de la section du c&ble et par E le coefficient d'élasticité du métal :

^ as. îbas, '^ «* y n- ^,

d'où:

' J Ji ûE ÛElJ ,\ icfb J ^ J »\ 2a'«6' J j

=âl§(«*+«'*')+i^« +«')!•

£n général on retranche cet allongement ip S de la loa<>

gueur S trouvée précédemment (93), de façon que le câble ne

prenne sa forme parabolique définitive, correspondant à la

longueur S, que lorsqu'il porte la charge permanente. Pour

calculer rallongement dû à la surcharge complète, il suffit de substituer tz h p dans la formule précédente.

Connaissant rallongement S?? S dû à la surcharge complète^ il peut paraître intéressant de rechercher le déplacement subi par le sommet de la parabole sous Tactiou dé la surcharge, c'est-à-dire les variations ha et hb de ses coordonnées.

On a, en ditférenciant Téquation qui donne S, en fonction de a, A, a' et b\ et tenant compte de ce que Zb = ^b' et

hb représente ici l'abaissement vertical du tablier au droit du sommet de la parabole. -

Ces deux équations permettent de calculer deux des quan* tités ^ S, Sa, }ib, connaissant la troisième. Nous indiquerons plus tard certains cas où elles trouvent leur application.

Pour a = a\ cas de la parabole symétrique, les formules se simplifient :

^. /« b i6 6«\ . . TT a* 15a» +

$776 est l'abaissement vertical du tablier du pont au milieu de la travée.

Pour la demi parabole (a'=o)y on a :

ha' = —U =JSX

Fig. 153.

Sa est négatif, et Ton voit que le sommet de la parabole^ qui coïncidait primitivement avec une extrémité A du càble, s'est déplacé de la longueur — Sa pour venir en B sans subir

.ijS^yWi^"-»

CHAP. IV. PONTS SUSPENDUS

2ÏÎ

de déplacement vertical appréciable, vu la proximité du point d'appui A.

I>éfopiiftatioii des cAbles pplnclpaux. Sap«

oiMAPse ineompi^t©. — Pour calculer la section d'un câble principal, on suppose toujours la surcharge complète, et c'est ainsi que Ton obtient l'effort d'extension maximum. Mais dans l'étude de la déformation il convient, lorsque l'on cherche les déplacements maxima que peut subir le câble, de supposer que la surcharge ne couvre qu'une partie de Touvrage, depuis une extrémité A jusqu au point M du câble dont on cherche l'abaissement vertical maximum {FigAM).

Les coordonnées primitives du point M, lorsque la parabole était simplement chargée, étant connues, il suffit pour déterminer la déformation subie par le câble, (le chercher la nouvelle valeur, prise par l'ordonnée u du point M, mesurée au-dessous de l'horizontale passant par l'extrémité A du câble, que nous supposerons plus élevée de A que l'extrémité A',etque nous prendrons pour origine des coordonnées. Désignons par / l'ouverture totale de l'ouvrage. Le câble.surchargé de A en M et chargé simplement de M en A', décrit deux arcs de para- Ifble différents, qui ont même tangente au point de passage M. Appelons m et n, m' et n' les coordonnées inconnues des sommets 0 et 0' de ces deux paraboles par rapport au point A. Désignons par A la distance verticale des deux extrémités A et A' du câble. En exprimant que les deux paraboles passent au point M (u, v), qu'elles s'y raccordent;, que les tractions horizontales exercées par le câble sur les deux points d'appui A et A' sont égales, et enfin que la somme des longueurs des deux arcs de parabole A M et A' M est égale à la longueur totale S du câble connue à priori, nous avons cinq équations de condition dont nous pourrons tirer les cinq inconnues m, n, m'y n' et u.

228 PONTd MÉTALLIQtJfcS

m— tt m

(n— v)* w« tn' — u w' — A

^*^ 2Q~";;i^(p+7r) "^ (l-ny ^p

Il est aisé de tirer des quatre premières équations les valeurs de n, tn, u', ni en fonction de u, do les substituer dans la cinquième qui est du 2^ degré en t<% et qu*ou peut par con- .séquent résoudre par rapport à ti.

Nous indiquerons le développement des calculs dans le cas très fréquent où les extrémités du câble sontau même niveau: h=o.

On a alors :

n« ~ (n — «)« (/ — «')* — (n' — vf

îl{p + n)

plt — mfl 2lp

l^Ui' i ^'-(^-^)* I (/-n')»+(n'-v)

Les quatre premières formules permettent de calculer m, m', n et n'. Gela fait, la dernière, qui est du 2* degré en u% fournit u sans difficulté.

Dans le cas particulier où la surcharge couvre une moitié

de la travée, c'est-à-dire où « s= -, on peut faire les substitutions des valeurs de m, m'y n et n' dans la dernière équation.

fflAP. IV. PONTS SUSPENDUS.

On a en ce cas, en posant lz=z2ax

nz=za —

flir

* (;> + it),

ait