CALCUL DES AHCS DR FORMES QUELCONQUES

flSe. Méthode Mle^bpiqne. — Considérons un pont en arc de forme quelconque AO A', ayant ses trois articulations en A,OctA'

(/îy. «3).

Soit P un poids Isolé

Fig. in. appliqué à l'arc, et défiai

' sa distance horizontale i à la culée A.

1 est aisé de calculer la poussée Q déterminéi; par

te charge P, ainsi que les composantes vcrlicalco 1

CnAP. V. PONTS EN ARC. S21

et T' transmises par l'ouvrage aux points d'appui des retombées.

Il suffit en effet d'égaler à o la somme des moments des forces appliquées à Tare à partir de l'extrémité A, d'abord par rapport au point 0, qui, par suite de l'articulation, est un point de passage de la résultante, puis par rapport au point A '. On a deux équations d'où on tire Q et T:

Soient maintenant deux nœuds M et N appartenant Tun à la corde supérieure et l'autre à la corde inférieure de l'ouvrage : pour avoir l'cfFort normal développé en M, il suffira d'écrire que le moment de cet effort par rapport au point N est égal à la somme des moments des forces extérieures appliquées à la portion d'arc compris:.' entre rcxlrémité A et le profil MN, forces que l'on connaît puisqu'on a déterminé QetT.

On obtiendrait de même l'effort normal développé en N en prenant les moments des forces par rapport au point M. Cela fait, on trouverait au besoin l'effort développé dans une barre de la triangulation, en projetant sur l'axe de cette barre toutes les forces (y compris les efforts normaux en M et N) appliquées à la portion d'arc ANM, et égalant la somme des projections à l'effort subi par la barre. Ce calcul ne serait pas en somme bien compliqué, ainsi qu'il est aisé de s'en rendre compte : nous venons d'exposer la méthode générale que nous avons appliquée dans un cas particulier aux n**" 110, Ht., et 112.

Sachant déterminer en un point quelconque de l'axe d'une corde de l'ouvrage, ou pour une barre quelconque de la triangulation, l'effort normal dû à un poids isolé, rien n'est plus aisé que de faire le calcul pour une surcharge répartie sur une longueur quelconque du tablier. Il suffit en etTct de diviser cette surcharge en un certain nombre de poids isolés 11. 21

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l»ONTS MÉTALLIQUES,

pour chacun desquels le calcul peut être fait par la méthode qui précède. II faut ensuite effectuer la somme des efforts correspondant à la surcharge totale.

Nous renverrons d'ailleurs au n°138 où la marche à suivre est indiquée en détail : la seule différence entre les arcs articulés à la clef et les arcs à clef rigide consiste dans la détermination de la poussée, qui dans le dernier cas est plus difficile et exige l'emploi de tables ou de formules compliquées.

Une fois le calcul de la poussée effectué, il y a identité complète entre les deux cas et il y a lieu de se reporter au n* 138 où la question est traitée avec tout son développement.

ftST. Aff^tiftode 0é>onié)trique. — 1® Détermination de la courbe des pressions et de la poussée, — Supposons que chacune des moitiés de Pouvrage métallique à calculer puisse être assimilée à une pièce prismatique, suivant la définition que nous en avons donnée au n» 1 .

Le pont est alors composé de 2 pièces prismatiques AO et A'O, à axes généralement courbes A B 0 et A' B' O

(/îy. 194).

Considérons une section transversale MN de la pièce A'O : cette section est normale à Taxe longitudinalen G. Pour déterxniner le travail du métal de Tare sous Tintluence d'une surcharge quelconque, il suffit d'après la règle connue de calculer le moment fléchissant, l'effort normal (perpendiculaire à la section) et l'effort tranchant (parallèle à la section). Soit D le point où la section transversale MN est rencontrée par la résultante R de toutes les forces appliquées à la portion d'arc A'MN : connaissant l'intensité et la direction de cette résultante R, ainsi que le point D, rien ne serait plus facile évidemment que de calculer le moment fléchissant, TcfTort normal et l'effort tranchant (20).

Fig. i94.

FONTS MÉTALUQUES.

j surchargée. Supposons-les toutes deux de même signe, tif pour fixer les idées (/îy. 195), ce qui signifie que la zone chargée est tout cnlière d'un même c61é de l'articulation ;ra!e 0, du côté des x positifs. '

l'équation de la parabole (courbe pleine ST de la figure) alors la suivante :

i s et / ét&ient tous deux négatifs, il suffirait de subsli- ' dans l'équation — x à -|- ^t pour obtenir la relation à )loyer.

ette courbe est tangente en T à la droite A' 0, qui réunit deux articulations A' et 0, et qui constitue la courbe des isions entre les limites — a et /, La tangente AS complète c courbe entre 1rs limites s et a.

upposons maintenant que les limites S, et T, do la zone îhargéc soient de part et d'autre de l'articulation conlraie. rs l'abscisse l, du point Ti est négative : t, <e», l'équation de la parabole (courbe poinlillée S,OT, de la re), qui passe alors par te point 0, est en ce cas :

a poussée due à la surcharge, c'est-à-dire la composante Izontale constante de la résultante R, dont nous venons rouver l'enveloppe ASTA', est toujours égale, ainsi qu'il ■it aisé de le démontrer, au poids m par mètre courant de urcharge rfiwM^joor le double du paramètre de la para-

es formules (I) et (2) permettent de tracer la courbe Je* sions dans toutes les hypothèses possibles, puisque, après r décrit la parabole, il suffit de prolonger jusqu'en A et ïs tangentes menées à ses extrémités S et T. En faisant Tentes hypothèses sur les valeurs de s, ï,SiOU ti, nous avons nu des formules se rapportant à certains cas particuliers srésentent de l'intérêt.

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On n'aura guère dans la pratique qu'à étudier les cas de ;i surcharge correspondant aux courbes spéciales, dont noos

V.- venons de donner les équations. Après avoir tracé Taxe lon-

gitudinal de Tare et les courbes de pression sur une épure à grande échelle, on a immédiatement pour une section transversale quelconque : le point de passage D de la résultante, qui est le point de rencontre de la courbe des pressions (droite ou parabole) avec la normale à Taxe longitudinal que Ton considère ; la direction do cette résultante qui est tangente à la courbe des pressions ; enfin sa composante horizontale qui est la poussée Q.

On peut ainsi déterminer R en grandeur et direction : donc le problème est résolu.

Il ne serait pas plus difficile de tracer la courbe des pressions relative à une série de surcharges discontinues, couvrant des portions successives non contiguês du tablier. On aurait une série d'arcs paraboliques raccordés par des droites: on obtiendrait leurs équations à Taide de calculs simples, que nous avons jugé inutile d'indiquer, car ils ne présentent aucun intérêt pratique.

Lorsque Ton a à étudier un ouvrage établi dans les conditions habituelles, c'est-à-dire avec un axe longitudinal qui ne s'écarte pas beaucoup de la parabole y = -? a:", il suffit d'étudier

complètement le travail du métal dans les différentes sections correspondant aux courbes de pression :

(1) J/ = -î a?' (charge permanente ou surcharge totale)

y = — î- 0?* X (demi-surcharge);

c'est en effet la surcharge sur une moitié de l'ouverture qui donne lieu d'habitude aux plus grands efforts de flexion dans chacun des demi-arcs (voirie tableau qui précède). Quant aux autres modes de répartition de la surcharge, il suffit de les étudier partiellement, c'est-à-dire qu'après avoir tracé l^s courbes de pression qui leur correspondent, il convient d'examiner les points où ces courbes s'écartent d'une façon anor-

maie de Taxe longitudinal, et où par suite le moment fléchissant peut atteindre une grande valeur. Il est bien évident d^ailleurs que partout où ces courbes se rapprochent plus de Taxe longitudinal que la courbe correspondant à la demi-surcharge, il est parfaitement inutile d'effectuer un calcul qui conduirait nécessairement à une valeur du travail maximum inférieure, pour les sections considérées, à celle déjà trouvée dans l'hypothèse de la demi-surcharge.

Après avoir calculé, à H'aide de la méthode que nous allons exposer, le travail maximum dû à la surcharge répartie do la manière la plus défavorable, on ajoute pour chaque secLion ce résultat au travail dû à la charge permanente, qui

correspond à la courbe y = - a:', et on a le travail maximum

total du métal. On peut alors renforcer la section de Tare ou Taffaiblir suivant que le résultat obtenu est supérieur ou inférieur à la limite adoptée.

* 2® Détermination du moment fléchissant, de V effort normal et de , l'effort tranchant.

Ayant tracé la courbe des pressions correspondant à une dispos'ition particulière de la surcharge et calculé la valeur de la poussée correspondante, il s*agit de trouver le moment fléchissant, l'effort normal et TefTort tranchant dans une sectien transversale quelconque MN de Tare.

SoitD le point où la courbe des pressions a a renconfre le

plan de la section MN et « l'angle que fait la tangente Dé à la courbe avec la droite MN [fig, 196). Le moment de la résultante R par rapport au centre de gravité G de la section transversale MN, c'est-à-dire le moment

fléchissant cherché, a pour valeur : R X DC X sin a.

DC X sin « est égal à la perpendiculaire

(^Ë abaissée du point G sur la tangente Db.

Désignons par ô l'angle que fait avec l'ho-

Fig. i96. rizontale la tangente Db. Menons par G une

verticale GH qui rencontre cette tangente en H,

KNTS BIÉTALUQUES

Od&

Q = Rcos9.

Or l'angle HCE est é^al à 0; d'où :

.'SGco86 = EC.

Effectuons membre à membre le produit des deux égalités qui précèdent :

QXHC=:ItXËC.

Donc le moment fléchissant peut être également obtenu en effectuant le produit de la poussée Q par la dislance verticale HC du centre de gravité de la section MN à la tangente à la courbe des pressions en D.

Remarquons que les points de rencontre K et H de la verticale qui passe par C avec la courbe des pressions ellemême et sa tangente en D diffërcnt très peu, et que l'on peut, sans erreur sensible, substituer dans le calcul la longueur CK à la longueur CH.

L'erreur commise est toujours en réalité absolumoat insignifiante, et ne dépasse guère la valeur des décimales que l'on néglige dans les opérations.

Donc nous admettrons que le moment fléchissant a pour valeur le produit de la poussée horizo/itale Q par la distance verticale de taxe longitudinal de l'arc à la courbe des pressions: X = Q4 ifig. 197).

On mesure la longueur^ sur l'épure et, connaissant Q, on peuttalculcr immédiatement X.

Quant à l'effort normal et l'effort tranchant, il est aisé de reconnaître que leurs valeurs sont données par les formules suivantes :

Qsinix

COSO

QcOSa

0 est toujours l'angle de la courbe des

Fig. t'j7, pressions avec l'horizontale, et a l'angle

de la section MN avec la courbe. Cas deux

angles doivent être mesurés directement sur l'épure.

Supposons qu'au lieu de l'angle « on donne l'angle ^ que

Fig. 198.

fait la section MN avec la verticale ; les formules précédentes peuvent être mises sous la forme :

cos(e~p) v^sin(e-|) ^^ cose ''•^^ sine

La manière la plus commode de déterminer F et V consiste à employer la construction géométrique suivante, qui peut se faire sur répure {fig. 198) : soit hq une droite horizontale dont la longueur mesure la poussée Q, qr une verticale menée par le point y, et hr une parallèle à la tangente à la courbe des pressions passant par le point h. Menons par le point d'intersection r une parallèle rc à la tangente à l'axe longitudinal de l'arc : la projection tI de la droite rh sur la direction rc est l'effort normal F, et la projection hl de la droite rh sur une perpendiculaire à rc est l'effort tranchant qui^ ainsi qu'on le voit, est toujours très petit.

On calcule séparément X, F et Y pour la charge et la surcharge la plus défavorable, et on fait la somme des résultats obtenus.

GonnaissantX, F etV,on sait (n" 12, 14, 19) calculer le travail du métal dans la semelle et l'âme de la section transversale, ou inversement déterminer les épaisseurs de la semelle et de l'âme de façon que le travail ne dépasse pas une limite donnée. Le problème est donc résolu.

Supposons que l'arc soit formé de deux cordes A et B reliées

par une triangulation GDE : le calcul, des cordes se ferait par la méthode habituelle (fig. 199). Quant aux barres de la triangulation, on déterminerait leurs sections, connaissant V et F, de la manière suivante :

Soient H la somme des aires des sections des deux cordes A et B, o) Taire de la section de la barre CD, « l'anglo qu'elle

fait avec Taxe longitudinal de l'arc, ou, ce qui revient au

même, avec l'une des cordes.

Fig. 199.

PONTS HftTALLIQCES.

Le travail subt par le métal de la barre lera & peu prës exactement donné par la relation ;

il+wcos'a wâinct

Il est facile d'en tirer w si l'on s'est donné R et vice versa.

3" Efftt d'un poids isolé. -~ Supposons que la surcharge se réduise à un poids isolé P appliqué en un point quelconque do l'arc. Il est évident a priori que la courbe des pressions se composera de deux droites, l'une A'OE qui joint les deux articulations À' et 0 du demi^arc non surchargé et l'autre AE qui passe par l'articulation inférieure A du demi-arc surchargé et par le point de rencontre E de la preaiière droite et de la verticale du poids f i,-,j. ,Do, {/i(/. 201)). Kien n'est donc plus

simple que de tracer cotte courbe des pressions. La valeur du moment fléchissant en un point quelconque C de l'arc est égale au produit de la poussée Q (126) par la distance verticale CK de l'axe longitudinal de l'arc à la courbe des pressions.

On peut simplifier iiolablemenl les calculs nécessaires pour appliquer la méthode indiquée au n° 126, en traçant les courbes de pression relatives aux différents poids isolés en lesquels on a divisé la surchnrg'e.

En effet, la somme des moments des forces extérieures appliquées t, l'arc {poids et réactions des appuis), par rapport à un point quelconque M de l'une des cordes de l'arc, est égale au produit de la distance verticale MK de ce point à la courbe des pressions, que l'on peut mesurer sur l'épure, par la poussée horizontale Q que l'on a calculée à l'avance (/tj. 201).

Pour avoir TelToi-t normal F développé dans le nœnil opposé N de l'autre corde do l'arc, il suffit de diviser fe produit Q X Ml^ P«r la distance MS du point M à la tangente à la corde opposée mfuéc par N, distance qu'il est également facile de mesurer sur l'épure.

On voit que Topération est des plus simples et des plus rapides, puisqu'elle se réduit à multiplier la poussée Q par le rapport de deux longueurs KM et MS que l'épure fournit immédiatement. D'ailleurs les courbes de pression se tracent

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Fift. ICI.

aisément enjoignant au point Aies points de rencontre de la droite AO avec les verticales de tous les poids isolés tels que P. Comme pour le demi-arc non surchargé A'O la courbe des pressions est la droite A' 0, quelle que soit d^ailleurs la