IP
fONTS UÈTÀUiqfStS,
Dans cette formulei^ représente la longueur constante d*une mailie AB de Tare, â; l'abscisse du point A, et e Tangle de
Télément d'arc A B avec Taxe des x (Jig. 186). On trouverait peut-être en général plus convenable de prendre s ces d constant, et non pas s. Cela ne changerait rien au calcul.
En supposant s cos 0 négligeable devant a-Xf on trouve :
Fig. 186.
Cette expression, qui, par suite de la simplification admise, donne pour ^ des valeurs Irop fortes, a pour maximum :
Tca
ira
""sK^T*^" ""8"'
B. L'effort maximum f subi par le tirant et l'effort maximum ^' subi par le contre-tirant sont donnés par la formule unique :
cosa'
La charge permanente uniformément répartie sur la totalit(^ on sur la moitié de l'ouverture ne développe aucun effort dans la triangulation.
Nous ne croyons pas que ce genre de pont en arc ait jusqu'à présent reçu d'application, du moins en Europe.
H^-A. Pont h. Apo et entpatts pAPAlBOllques* — •
/• Calcul de tare et de l'entrait, — L'arc et l'entrait sont syméiriqups par rapport à leur corde commune.
Gît ouvrage correspond au pont suspendu rigide du n"" 113. Nous croyons inutile de recopier le tableau inséré dans ce
•*jÏT
paragraphe, en changeant le signe des efiorls normaux ifig^ 187).
Fig. 187. — Projet de pont de 228 mètres de portée 8ur l'East-Hiver à New-York.
Nous nous contenterons d'indiquer la valeur maximum de l'effort normal subi par Tare, ainsi que par l'entrait, sons l'action de la charge et delà surcharge répartie de la manière la plus défavorable.
Pour J'arc, ce maximum est donné par la formule :
F' varie entre la limite inférieure :
— -——a*, pour x^rzo (clef),
et la limite supérieure :
a V tt' + ^^* pour x=za, (naissances).
Pour l'entrait ce maximum est donné par la formule :
*^~ %ab (a* + 2^*a?)(îa + ar) *
C varie entre la limite inférieure :
± "8^ — ' Po^«* ^ = 0 (cleQ, et la limite supérieure :
itfl(Q' + y)i/^'fl'4-4// , .
66 a' 4- 26* ^^"^ x=a (naissances).
(ONT! UÈTXïJLiQVUé
2* Calctd de la trianffulatton.
Soient A B et D 6 l'arc et l'entrait, MN la corde commune, qui est un axe de symétrie {fig.
Désignons par C'-C le maximum de Técart que peut présenter Teffoct normal subi par rentrait de part et d'autre du point D, qui correspond au
Fig. 188.
point À de Tare dont l'abscisse est x. On a :
4Ô ^(a' + 2^*JE:)(a-ar + scose)
s représente toujours la longueur AB d'une maille de Tare, et 0 Tanglc do l'élément d'arc avec l'axe des x ; s cos 8 est la différence entre les abscisses des points A et B. Les efforts normaux développés dans la triangulation sont :
8in (« + ?).
sina
Pour le bras AD : ^/=(C'— C)
Pour le Urant BD : ?=(<7'- C)^i
sin
Et pour le contre-tirant PD : ip' =(C'- C) -. — ^
Les angles a, a' et |3 sont faciles à calculer ou à mesurer sur une épure à grande échelle.
ft SS. • Pont tL fii*o parabolique et lonsepon reetlU-
snc. — Cet ouvrage correspond au pont suspendu du n* 115.
Comme dans les cas précédents, nous renverrons à ce paragraphe pour toutes les observations et remarques qui se rapportent à ce type d'ouvrage métallique et pour le tableau des formules usuelles relatives aux efforts normaux subis par Tare et le longeron [fig. 189).
Fig. ICO.
/• Calcul de Parc et du longeron.
Si Ton suppose que l'axe du longeron soil langent à Taxe de Farc au sommet 0, les formules suivantes donnent les valeurs maxima des efforts normaux subis par Tare et le longeron, aux points dont TabscisseestA;.
On a pour Tare :
[^ a^-\'kb* X* I ita* \ (Compression ...
ib \" x[ia — x)) maximum) ^ '
Kg* -f" ^ ^* ^' / __ ^ (« — g)'\ (Tension maximum
ib \ x('ia — x)) ou compres. min.) ^ '
et pour le longeron :
Ces formules ne sont exactes que pour le cas où l'axe du longeron est tangent, au milieu de Touverture, à Taxe parabolique de lare.
Cette hypothèse est parfaitemont réalisable (fig. 190) ; mais comme Tare, pièce comprimée de grande longueur, doit avoir nécessairement un Fig. 190. moment d'inertie assez con-
sidérable, et par suite une hauteur notable, on est conduit à interrompre le longeron dans le voisinage de la clef à partir du point L où sa semelle inférieure vient rencontrer là semelle supérieure de l'arc.
Les formules qui précèdent ne sont applicables que jusqu'à celte section L : entre L et Tarticulation centrale 0, le longe* ron a disparu et la rigidité du système est assurée par l'arc seul, dont le moment d'inertie doit figurer dans les formules. Il y aurait donc lieu d'appliquer les méthodes générales des n" 126 et 127. Mais comme la distance OL est forcément très petite, et que d'ailleurs le travail du métal de l'arc diminue de L en 0, le plus simple est d'admettre que ce travail a sur toute la longueur OL la valeur calculée pour la section L, puisque cette hypothèse s'écarte peu de la réalité, et est d'ailleurs plus défavorable.
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PONTS MÉTALUQinsS.
n peut arriver encore que l'axe du longeron soit établi paralIMement à la tangente au sommet de la parabole et à
une distance m de cette tangente {fig. 191). En ce cas les formules qui précèdent donnent des résultats sensiblement exacts tant que le
* y àx*
rapport — f— =-r-r-ï — ;-'0ù y
Fig. 191. et X représentent les coordonnées
du point M de la parabole, est peu différent de Tunité : au besoin on peut rectifier avec une exactitude suffisante les résultats des formules 2 et S^enles multipliant par le coef*
bx*
ficient de correction T-i-T — t" ; mais comme cette correction
ox 'T am
est en général peu importante, et que d'ailleurs les résultats des formules pëcbent par excès, il n'y a pas d'inconvénient à s'en dispenser. Dans le voisinage de la clef, comme y devient très petit, les formules ne sont plus applicables. Il y a alors trois partis à prendre : •
1* Appliquer le coefficient de correction r- tt — r- » ce qui
ox -^ am *
ne donne pas tout à fait le résultat exact ;
2^ Se servir de la méthode générale du n* 126, ce qui est long et compliqué ;
3^ Admettre, ce qui est suffisamment vrU| que dans le voi« sinage immédiat de la clef, c'est-à-dire dans le premier pan* neau de l'ouvrage, le travail de l'arc et celui du longeron peuvent être considérés comme variant extrêmement peu, et en conséquence appliquer entre 0 et L les résultats fournis pour la section L, où les formules sont encore acceptables avec une exactitude suffisante, en se servant du coefficient de correction. C'est le parti le plus simple et il ne peut conduire à aucun mécompte.
Nous voyons donc que les formules qui précèdent ne sont jamais applicables dans le voisinage de la clef ; d'ailleurs, eu posant â; = 0| elles fournissent pour l'effort normal une valeur infinie.
La limite supérieure négative de F (travail maximum de
^jf .
CBAP. V. PONTS m AUG.
farc à la compression) correspond à â;= a (naissances)^ et elle a pour valeur :
(p + it)at^^+4y 2i
La limite supérieure positive de F (travail maximum de Tare à la tension, si, ce qui est rare, Timportance de la surcharge relativement à la charge est suffisante pour faire en certains cas travailler Tare à la tension), ainsi que les maxima positif et négatif de C (travail maximum du longeron à la tension ou à la compression) se manifestent toujours dans le voisinage de la clef; c*estdonc dans le calcul de ces efforts qu'il convient de tenir compte du coefficient de correction, sous peine de s'exposer à des erreurs très appréciables.
On voit d'ailleurs que C s'annule pour x = a: hn droit des naissances, le longeron n'est plus soumis à aucun effort, quel que soit le mode de répartition de la surcharge.
^ Calctil de la triangulation.
A. Pièce verticale ou montant MN {fig.
192). La formule suivante donne l'effort normal maximum subi :
On a toujours :
Fig. IW. =t+<.^
^ s'annule pour x «s a (naissances).
Gomme la triangulation s'arrête nécessairement dès que y est petit, on n'a pas à se préoccuper du coefficient de
B. Pièce oblique MP. L'effort normal subi par cette pièce est donné par la relation :
COSOC
ç et 4^ sont toujours de signes contraires. Si Ton veut que <f soit toujours positif, il faut ajouter un conlre-tiranl
' ' ' ^'^'^^VRIRIRh
PONTS HËTÀLUQUES,
de m6me section formant avec le tirant HP uno croix iû |
Lndré.
n général la surcharge est appliquée sur le longeron qui
ansmcl à l'arc. Il fauL tenir compte de celte circonstance,
9nsidérer également MN comme une pièce chargée debout
upporlant en N une partie de la surcharge ; s'il s'agît d'un
I de chemin de for, le passage d'une locomotive en N peut ner lieu à un effort de compression notablement supérieur
II convient donc do no pas négliger ce point de vue, et calculer en conséquence la section du montant : il est bien lent qu'au droit des naissances, bien que ^ s'annule, il est essaire d'attribuer une grande résistance au montant qui icnte une longueur considérable,
ette observation est d'ailleurs générale, et s'applique a 1 les ouvrages h triangulation, lorsque l'effort normal, iqué par le calcul pour une pièce quelconque, n'est pas
supérieur h la surcharge maximum susceptible d'être liquée à l'une des extrémités de cette pièce : cette surrgc doit servir à calculer l'aire minimum à attribuer à la ion des pièces de la triangulation : pour les ponts en arc, es efforts transmis par les semelles à la Iriangulalion sont léraIcmcnL faibles, cette remarque est des plus importantes, rouve fréquemment son application.
