INTRODUCTION. XXIX

11 semble a priori que la mélhode des syslfemes articulés doive fournir dans un cas donné des résultats nolablement plus exacts que celle des syslèmos rigides. Mais si Ton considère la question au point de vue pratique, on reconnaît que cette supériorité est plus apparente que réelle. Quand on passe de la théorie aux applications, il est impossible de réaliser avec précision les conditions qui ont servi de bases aux calculs et l'ouvrage exécuté diffère tellement, par la force des choses, de Touvrage calculé, que les erreurs imputables à Timperfection de la méthode choisie sont absolument négligeables devant des écarts infiniment plus importants, ^ui résultent des sujétions qu'entraînent inévitablement lapféparation et la mise en œuvre des mélaux,ainsi que le montage delà construction (page 336).

Dans ces conditions, il est admis d'une manière générale par tous les constructeurs qu'au point de vue de Texactitude des résultais les deux méthodes de calcul sont absolument équivalentes, du moins en ce qui concerne les ouvrages de hauteur constante.

La méthode de calcul des systèmes rigides, telle que nous l'avons exposée dans le premier chapitre du tome I des Ponts métalliques^ est basée sur la théorie des pièces métalliques prismatiques^ c'est-à-dire des pièces dont la hauteur, mesurée normalement à la fibre moyenne dans la direction de l'effort tranchant, peut être considérée comme variant très peu d'une section transversale à une section voisine. Les formules usuelles qui dérivent de cette théorie ne sauraient donc être appliquées en toute sécurité qu'à des constructions de hauteur constante, comme celles que nous avons étudiées dans les chapitres suivants du même volume.

Aussi, les constructeurs recommandent- ils de ne jamais employer la méthode des systèmes rigides lorsqu'il s'agit d'établir les épures de stabilité de poutres à semelles courbes (M. Maurice Koechlin : Applications de la statique graphique^ préface, page XV), ou, d'une manière générale, des fermes de hauteur variable.

On se Iroiivcrail ainsi réduil pour celte catégorie d'ouvrages à remploi de la milhode des syslèmcs articulés. Or, nous verrons ci-aprës dans le chapitre VII que, dans des cas très nombreux et très fréquents, l'emploi de celle méthode peut être impossible, ou tout au moins très long et très pénible, en raison de la complication des calculs qu'elle entraîne. Il nous a paru fâcheux de ne pouvoir en pareille circonstance recourir aux procédés simples et rapides de la méthode des systèmes rigides sans nuire à rexaclitude des résultats. Nous avons constaté qu'il n'y avait, pour atteindre ce but, qu'à apporter à la méthode en question des modifications, d'ailleurs importantes, qui cependant ne changent pas la marche des opérations et ne compliquent en aucune façon les calculs.

Nous avons dit que, pour étudier par la méthode des systèmes rigides une construction de hauteur constante, il fallait calculer pour chaque section transversale considérée : !<> le moment d'inertie et l'aire û des platcbandes, et l'aire A de l'âme ; 2* le moment fléchissant X, l'effort normal F et l'effort tranchant V.

Dans le cas où la hauteur serait variable, il conviendrait de tenir compte de cette circonstance dans le calcul du moment d'inertie et de l'aire des platcbandes, en recourant à des formules où figurent les cosinus des angles d'inclinaison des platcbandes sur la fibre moyenne.

Nous avons donné aux quantités ainsi calculées les dénominations de moment (Vmertie réduit \ et à!aire réduite Q! des platebandes. Cela fait, on détermine les quantités X, F et V, qui définissent la force intérieure appliquée à la section transversale, comme s'il s'agissait d'un ouvrage de hauteur constante, à l'aide des mêmes formules et sans se préoccuper en aucune façon de la variation de h.

Puis on calcule une nouvelle quantité W, désignée par nous sous le nom A^effort tranchant réduit^ qui dépend à la fois de l'effort tranchant absolu V, du moment fléchissant X et du profil de l'ouvrage.

Le calcul du travail développé, soit dans les semelles, soit dans l'âme de la construction, s^effeclue ensuite en considérant : d'une part, le moment d'inertie réduit T, Vaire réduite

INTRODUCTION. XXXi

Çï el l'aire de l'àme  (comme dans le cas de ta hauteur constante) ; d'autre part, le moment fléchissant X, TefTort normal F, et Yeffbrl tranchant réduit W.

En définitive, la modification apportée à la méthode consiste dans ladoption de formules nouvelles pour l'évaluation du moment d'inertie et de Taire des platebandes, et de l'effort tranchant transmis a Tâme. Cette substitution est absolument nécessaire et on ne saurait la regarder comme une correction plus ou moins utile, dont il soit permis de se dispenser, même à tilre de première approximation.

I' n' En effet, les rapports -r et - du moment d'inertie rédutùan

moment d'inertie absolu et de Vaire réduite k l'aire absolue peuvent varier entre 1 et 0. Tandis que V ne peut s'annuler qu'en un seul point d'une travée, on peut, en arrêtant convenablementle profil de la poutre, réduire W à zéro en autant de points qu'on le veut, et même dans toute l'étendue de la travée (poutres à semelles indépendantes), de façon à sup« primer la triang^ulation. Il est évident qu'on ne peut remplacer une de ces quantités par sa correspondante sans s'exposer à commettre des erreurs inadmissibles.

Etant admis que l'on fera usage des formules que nous avons énoncées au chapitre lY du présent ouvrage, formules qui d'ailleurs concordent avec les formules usuelles du tome I dès que l'on suppose la hauteur constante, la méthode des systèmes rigides fournit dans tous les cas des résultats exacts, que la hauteur soit variable ou non. Elle peut ainsi être considérée d'une manière absolue comme équivalente à la méthode des systèmes articulés, toutes les fois qu'il s'agit d'une construction à liaisons surabondantes décomposables en systèmes simples Hmultojiés ou alternatifs.

Les deux méthodes étant également bonnes au point de vue de l'exactitude des résultats, on devra choisir, le cas échéant, celle dont l'emploi paraîtra le plus commode et exigera le moins de travail.

Pour les ouvrages do la première classe, elles se valent à peu

XXXII POUTHKS A TKAVKKS SOLIDAIIIKS.

près à ce poinl do vue particulier. Dans le chapiiro lil du tome I, nous avons eu recours h la première pour le calcul des forces intérieures et des déformations des poutres droites américaines, et Ix la seconde pour Tétude des poutres européennes à treillis. Les formules auxquelles nous sommes ar-, rivé ne sont pas plus compliquées dans un cas que dans l'autre.

Il arrive souvent toutefois que la méthode des systèmes articulés, aussi simple et aussi pratique que Taulre pour le calcul d'un ouvrage déterminé dont les conditions d'établissement sont données sous forme numérique par le programme de la construction à établir, se prèle moins aisément à rétablissement de formules générales algébriques, lorsqu'il s'agit d^étudier un type général, en représentant par des lettres les données arbitraires du problème.

La seconde méthode serait donc préférable, notamment pour la recherche des déformations, lorsqu'on se propose, non pas de dresser le projet d'un pont, mais d'étudier les propriétés d'un type général, et de déterminer les relations algébriques qui le concernent, ainsi que les règles à suivre pour l'établissement du profil en long.

Pour les ouvrages de la seconde classe, nous verrons que la méthode des systèmes rigides est toujours d'un emploi incomparablement plus commode que la méthode des systèmes articulés, laquelle exige des calculs d'une complication et d'une longueur rebutante, et assez souvent même inabordables. A supposer que l'on voulût s'en servir pour résoudre un problème numérique, en vue de dresser le projet d'exécution d'un pont, il faudrait, en toute hypothèse, avoir déjà eu recours à la méthode des systèmes rigides pour établir provisoirement les principales dimensions des éléments de la construction. Ce ne serait que pour rectifier les résultats du premier calcul approximatif et arrêter définitivement toutes les dispositions du pont que l'on pourrait se servir de la méthode des systèmes articulés.

S'il s'agit au contraire de faire l'étude théorique d'un type de pont, et de chercher, sans données numériques, les formules générales qui le concernent, l'emploi de la seconde mé-

LNTHODUCTION. II

Ihoile s'impose a fortiori. Nous l'avons appliquécî dans le lome I à l'élude des arcs mélalliques sans arliculalion à la clef. Nous nous proposons, dans le présent volume, de procéder de même pour Téludc des poutres à Iravées solidaires et des piles métalliques.

L'emploi de la méthode des systèmes articulés se trouve ainsi pratiquement réduit :

i* A la vérîlication des résultats fournis par l'autre. Celte vérification peut être utile dans certains cas où les premiers résultats peuvent inspirer quelques déliance : constructions hétérogènes (fer et bois), système à liaisons surabondantes décomposables en systèmes simultanés ou alternatifs.

2® A l'étude des systèmes à liaisons surabondantes non décomposables, la méthode des systèmes rigides tombant alors en défaut. On trouvera au chapitre VI quelques applications de ce genre, applications nécessairement très restreintes dans la pratique, les ouvrages de cette catégorie étant rares et devant être évités par les constructeurs, parce que leur principe est défectueux et qu'ils constituent toujours une solution vicieuse et peu économique du problème posé. On peut affirmer qu'un ouvrage bien conçu est toujours décomposable en systèmes sans liaisons surabondantes, dans les conditions indiquées à la page XXIV, ce qui permet de lui appliquer la méthode de calcul des systèmes rigides.

Les constructions que nous nous proposons d'étudier dans le présent volume peuvent être ainsi définies.

Une poutre à travées solidaires est un ouvrage composé d'une série de fermes distinctes, placées bout à bout et reliées les unes aux autres par des articulations, comme les maillons d'une chaîne. Elle est disposée de façon que les réactions exercées sur elle par ses différents supports (piles et culées) soient toutes verticales, lorsque les forces extérieures qui lui sont appliquées sont elles-mêmes verticales. C/cst le cas des forces correspondant à la charge permanente et à la surcharge d'épreuve. Il en résulte qu'il ne peut exister entre deux supports successifs plus de deux articulations, sans quoi Tou*

vragu scraîl inslablc, ou du moins ne pourrait demeurer en équilibre qu'à la condition d*exercer sur ses supports des tractions ou des poussées horizontales, contrairement à la définition énoncée plus haut. Les conditions de stabilité d*un pareil ouvrage ne peuvent être modiRées par les contractions et les dilatations dues aux changements de température ; il n*y a donc pas à se préoccuper de Tinfluence de la chaleur dans Téludedece type de construction.

Quand le point d'application de la réaction d*un support est connu a priori (rotule d'un appareil de support à balancier), la ferme considérée est simplement appuyée sur ce support. Lorsque le point d'application est inconnu, la ferme est encastrée sur le support. La recherche de celte réaction comporte alors deux inconnues : l'intensité de la réaction et son point d'application, ou, pour employer un langage équivalent, l'intensité de cette force et son moment {couple de renversement de la pile) par rapport à un point choisi sur le support, qui est d'habitude son milieu.

Il arrive très généralement, on peut même dire toujours, que la libre moyenne de la poutre à travées solidaires s'écarte assez peu d'une droite horizontale. Les sections transversales successives peuvent alors être considérées sans grande erreur comme déterminées par dos plans verticaux parallèles. Cette convention admise, Teirort normal relatif à une section quelconque est toujours identiquement nul, puisqu'élant perpendiculaire au plan de celte section il doit avoir une direction horizontale, tandis que toutes les forces extérieures, y compris les réactions des appuis, sont verticales.

Il n'y a donc plus à s'occuper que des moments fléchissants et des efforts tranchants, ce qui simplifie notablement la marche des calculs. Nous nous sommes toujours placé dans Thypothëse où celle condition serait remplie, parce qu'en pratique le cas contraire ne se présente jamais : il n'y aurait nul intérêt à compliquer les formules par l'introduction d'un effort normal, en réalilé toujours nul ou négligeable.

Nous avons appelé ponts-grues les poutres à travées soli-

INTnoniJCTION. XXXV

(lairos comportant deux ou plusieurs fermes distinctes placées bout à bout, et reliées les unes aux autres par des articulations.

Il peut arriver qu*unc poutre de ce genre ne comporte qu'une ferme d*un seul tenant, sans articulation : on a alors une poutre continue, si le nombre des supports qui portent la ferme en question est supérieur à deux, et une travée indépendante, si ce nombre est réduit à deux, placés aux extrémités de l'ouvrage et formant culées.

Nous avons traité au cbapitre III, tome I des Po7il$ métalliques les poutres droites, c'est-à-dire do hauteur constante, à travées indépendantes. Le chapitre V du présent volume complète cette étude en ce qui touche les poutres à semelles courbes, c'est-à-dire de hauteur variable.

Les poutres à travées solidaires peuvent être des ouvrages de la première et de la seconde classe, suivant les définitions dcMUàées à la page XIX.

Les ouvrages de la première classe ont été désignés sous le nom de poHisgrues ordinaires ; ils possèdent toujours des articulations (sattf le cas de la travée indépendante), et peuvent être encastrés ou simplement appuyés sur leurs supports.

Les ouvrages de la seconde classe sont désignés sous le nom de po?its-ffriies mixtes s'ils comportent des articulations, et de poutres continues s'ils n'en ont pas ; ils peuvent être soit appuyés soit encastrés sur leurs supports.

Parmi les ouvrages existants, un très petit nombre est pourvu d'articulations et représente des ponts-grues ordinaires ou mixtes. Les poutres à travées solidaii'es sont presque toutes .continues et simplement appuyées sur tous leurs supports. C'est pour ce motif que nous nous sommes particulièrement étendu sur l'étude de ce genre de construction, qui prend plus de la moitié du livre, et que nous avons traité sommairement les ponts-ginies ordinaires et mixtes, dont les principaux types sont on complètement inusités ou représentés par un nombre très restreint d'applications.

Nous avons vu que la méthode do calcul à suivre pour l'étude d'un ouvrage de la première classe diffère complètement de celle applicable à un ouvrage de la seconde. II existe de

XXXVI POUTHKS A THAVÉKS SOLIDAIUES.

plus cnlre ces deux classes de poutres à travées solidaires une différence essentielle. Celles de la première classe sont insensibles à la dénivellation des appuis^ c'esl-à-dire qu*un support quelconque peut 6trc soulevé ou abaisse^ sans modifier l'intensilé et sans déplacer le point d'application de la réaction qu'il exerce sur Touvrage ; il n'en rdsulte par suite aucun changement pour les forces intérieures développées dans les différentes parties de la construction. Il n'en est pas de même dos ouvrages de la seconde classe, dont les épures de stabilité sont influencées, daps une mesure qui peut être considérable, par les tassements ou les soulèvements des appuis. C'est là un caractère bien tranché qui sépare absolument les deux classes de poutres.

Le chapitre I est consacré à l'étude des poutres coniitmes à section constante simplement appuyées sur tous leurs supports.

Nous avons suivi la marche indiquée par Clapeyronei Bresse, qui consiste à prendre pour inconnues auxiliaires les moments fléchissants développés dans les sections d'appui, et à s'appuyer, pour leur recherche, sur le théorème des trois moments, dû à Bertot, Do cette façon, on résout simultanément les deux premières parties du problème posé à la page XVII, calcul des réactions des appuis et détermination des forces intérieures, représentées par les moments fléchissants et les efforts tranchants.

Mais en ce qui touche les effets produits par les surcharges incomplètes les plus défavorables, au lieu de considérer, comme Ta fait Bresse^ en partant d'un principe indiqué par M. Maurice Lévy^ des dispositions de surcharge couvrant certaines travées convenablement choisies sans empiéter sur les autres, nous nous sommes proposé d'étudier les effets des surcharges les plus défavorables dans le cas plus général où elles pourraient couvrir partiellemejit certaines travées. Il est toujours possible de tracer dans ces conditions les courbes*enveloppcs des moments fléchissants produits par les surcharges partielles les plus défavorables. Mais cette opération, dont la marche a