DANS UNE TRAVÉE CONSIDÉRÉE ISOLÉMENT

i. Expre«Mon« analytiques da moment fléchissant et de l'effort tranehant, en fonction de la charge et des moments fléchissants développés au droit des appuis dans une travée de poutre À section constante variahle — Nous désignerons : par / Touverlure AB de

la travée (fîg. 1) ; par Xj et Vi le moment fléchissant et Teffort tranchant sur Tappui de gauche A, ou premier appui de la travée ; par Xj et V, le moment fléchissant et Teffort tranchant sur l'appui de droite B, ou second appui ; par Qi et Q, Fig. 1. les réactions verticales, dirigées

de bas en haut, qui seraient exercées sur la poutre par ses appuis A et B, si Ton supposait

Fouvrage limité au droit de ces appuis, sans rien changer d'ailleurs à la répartition des moments fléchissants et des efforts tranchants.

Nous prendrons pour origine des abscisses x et des ordonnées y le point A,

Comme dans la première partie du Traité des Ponts Métalliques, nous définirons le sens des moments fléchissants en considérant comme positif le moment d'une force verticale dirigée de bas en haut, et comme négatif le moment d'une force dirigée de haut en bas, telle qu'un poids.

Avec cetle convention, le travail du métal dans la moitié supérieure d'une section transversale est négatif et correspond à une compression de la matière lorsque X est positif ; il est positif et correspond à une extension de la matière, lorsque X est négatif.

Dans une poutre à une travée simplement appuyée à ses deux extrémités, les moments fléchissants sont positifs dans toutes les sections, quelle que soit la disposition de la charge, et la semelle supérieure est par conséquent comprimée en tous ses points.

Cela posé, nous allons étudier la répartition des X et des Y dans la travée AB considérée isolément.

Nous examinerons successivement différents modes do disposition de la charge.

a, — La charge se réduit à un poids unique P, qui coupe la fibre moyenne en un point R défini par son abscisse r.

Le moment fléchissant a deux expressions analytiques distinctes, qui se rapportent respectivement aux cas où la section considérée sur la poutre est placée, par rapport à l'origine A, en deçà ou au delà du point R d'application du poids P.

Désignons par x l'abscisse du centre de cette section transversale.

On a dans le premier cas pour un point tel que M, satisfaisant à la condition a: < r :

X« = X, + Vjr;

en. ï. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 7

et, dans le second cas, pour un point tel que N, satisfaisant à la condition x> r:

Si Ton pose dans cette seconde relation a: = /, la valeur obtenue pour Xm convient au second appui B. Or nous avons désigné par Xj le moment fléchissant développé en B ; d'où :

X, = X,-hY, / — P(/— r).

Tirons Vi de cette relation et substituons la valeur trouvée dans les équations précédentes. Nous obtiendrons finalement pour le moment fléchissant deux expressions analytiques, où ne figureront plus que les données du problème : l,Xu ^ti Pet r.

Xi+(X8 — XJ--+ -r (/ ^r)x, pourx<r. Point M.

X rV

Xi+(Xj — Xi) 7 + 'T-{^ — ^)y poura:>r. Point N.

Les expressions analytiques de reflbrt tranchant se déduisent sans difficulté de celles de X :

«Y \ ^ / ' + 7 (^ — r), poura?<r. Point M.