I -^ , pour a: > r. Pomt N
La courbe représentative des moments fléchissants s'obtient en portant sur les verticales des difl^érents points de la fibre moyenne, à partir de Taxe des x, des longueurs proportionnelles aux moments et dirigées dans le sens des y positifs ou des y négatifs suivant que les moments sont eux-mêmes positifs ou négatifs.
Dans le cas présent, elle se compose de deux droites coupant les verticales des appuis A et B en des points dont les ordonnées représentent respectivement, en grandeurs et en signes, les moments Xj et Xj. Ces droites concourent en un point de la verticale passant par R : le moment Xr qui cor-
respond au point d'application de la charge est donné par la relation :
Xr = X. + (X.-X.)'--.^>.
L'angle Xi Xr Xs tourne sa convexité du c6té des X positifs,
puisque Ton a Xr > Xj + (X, — Xj) - •
Le minimum positif ou le maximum négatif (en valeur absolue) de X correspond toujours à l'un des points d'appui ; le maximun positif ou le minimum négatif correspond soit à l'autre point d'appui, soit plus généralement au point R d'application du poids.
Si Xi et Xr sont de signes contraires, la droite X, Xr doit
rencontrer l'axe des x en un point tel que 0,. De même, si Xr et Xj sont de signes contraires, la droite Xr X, coupera l'axe des j: en un point tel que 0,.
Les abcisses des points 0| et O^ (ligne brisée C de la figure 2), où le moment fléchissant s'annule »
sont fournies par les relations sui-
vantes :
Entre A et R (0,) :
rX»
Xr~X,'
entre R et B (0,) : ^i = / +
(/ - r) X, Xr — X,
Les valeurs de Xy^ et x^ ne sont admissibles, c'est-à-dire comprises entre o et /, que si Xj et Xr d'une part, et Xi* et X| de l'autre, sont de signes opposés.
La courbe représentative des cfl'orts tranchants se compose de deux droites horizontales, limitées respectivement par les verticales des points A, R et B, et dont la seconde a pour or^ donnée celle de la première diminuée de la longueur repr^* Bonlative du poids P,
Les réactions verticales des appuis, dans Thypothëse où la poutre serait limitée en A et en B, sont fournies par les relations :
Une de ces réactions est toujours positive (dirigée de bas en haut) : l'autre peut être négative (dirigée de haut en bas). £n ce cas Tappui auquel elle se rapporte retient la poutre au lieu de la soutenir.
b. — Im charge comprend un nombre quelconque de poids isolés.
Désignons par P un quelconque de ces poids, et par r l'abscisse de son point d^applieation.
En vertu du principe de la V. ^ ^ superposition des effets des for-
; ces, il suffira, pour obtenir
I l'expression analytique du mo-
T^^' ment fléchissant X, d'effectuer
I I pour tous les poids P les som-
L i V. mes des termes relatifs à un ^* : poids unique , qui figuraient
Fig. 3. dans les équations du paragra-
phe précédent, en ayant soin de distinguer les charges placées à gauche de la section transversale considérée de celles situées à sa droite. Nous ferons de même pour l'effort tranchant.
Soit ^ l'abscisse du centre de la section considérée :
x=x,4-(x,-xo } +rz: T (^-^) + KZl \ {'-'•) ^ ;
dx l ^ ^""^^ l "^ ^=* l
La courbe représentative des moments fléchissants est un polygone tournant sa convexité du côté des y positifs, c'est-àdire vers le haut de la figure, et dont le9 sommets correspond
dent aux points d'application des forces : ce polygone ne peut donc couper Taxe des x qu'en deux points au plus, fournia par la condition X = o.
La courbe représentative des efforts tranchants se compose d'une série de droites horizontales limitées chacune aux verticales de deux poids consécutifs : l'ordonnée d'une droite quelconque est égale à celle de la précédente diminuée de la longueur représentative du poids appliqué à leur limite séparative.
Les réactions dos appuis sont données par les formules :
On voit que Q^ + Q, = S j P.
L'une de ces réactions est toujours positive (dirigée de bas en haut) ; l'autre peut être, suivant les circonstances, positive ou négative (dirigée de haut en bas) : dans ce dernier cas, l'appui auquel elle se rapporte retient la poutre au lieu de la soutenir.
c. — Cas (Tune charge uniformément répartie sur toute la longueur de la travée , à raison de p kilogrammes par mètre courant d'ouverture.
Nous remplacerons dans les formules du paragraphe précédent les signes ^ par /, les lettres P par le poids élémentaire de la charge uniforme pdr, et nous intégrerons les différentielles placées sous les nouveaux signes / entre les limites précédemment indiquées pour les expressions qui figuraient sous les signes £.
Nous obtiendrons de la sorte les formules suivantes :
Les réactions des appuis sont: Qj=Vi==-^-- — ^* + -/>^,
Q,=V,=-^« + îp/.
La courbe représentative des moments fléchissants est une parabole à axe vertical, tournant sa concavité vers les y négatifs : Téquation de cette parabole, rapportée à son sommet, sans changer les directions et les sens des y et des x^ est :
La forme de cette courbe dépend donc uniquement et exclusivement de la valeur /) de la charge par mètre courant ; on peut faire varier l'ouverture / de la travée, ainsi que les grandeui*s et les signes des moments sur les appuis X^ et X^, sans faire subir à la parabole d'autre modification qu'une translation de son axe, qui se déplace parallèlement à lui-même dans une direction qui dépend des changements apportés a A\j A% et i»
Fig. 4.
Les abscisses aTi et j?a des points de renconlre Oi et 0, de cette parabole avec Taxe des x correspondent à des sections transversales où le moment fléchissant X est nul.
Elles sont fournies par les relations :
PoiolO.:x, = l + ï^'
Le sommet X^ de la parabole correspond au point S dont Tabscisse est :
•Pj "^ iT» V A 3 ^— Aj
Le moment Xs a pour valeur :
Fig. 5.
Il peut se présenter différents cas :
lo Supposons que les moments sur les deux appuis soient positifs : X, > 0, X, > 0 (fig. 5, courbe C) : On a alors
OTi < 0 et a:, > /. La parabole ne coupe pas Taxe des X entre A et B, et les moments fléchissants sont positifs dans toute l'étendue de la travée. Le moment maximum correspond à Tabscisse s du sommet S, si celleci est comprise entre o et /.
Dans le cas contraire , si s < 0, le moment maximum est Xi ; si .s > /, le moment maximum est X^. Réciproquement le moment minimum correspond toujours à celui des appuis qui est le plus éloigné du sommet de la parabole.
2* Supposons que Tun des moments soit positif et Tautre négatif: X, > 0, X^ < 0 (fig. 5, courbe C') : On a alors Xi <i 0, el 0 <i Xi <i L La parabole ne coupe Taxe des x qu'en un point 0^. Le maximum en valeur absolue des moments négatifs est Xj, et correspond au second appui. Le maximum des moments positifs est Xs, si s est plus grand que o, et Xi dans le cas contraire.
3*" Supposons que les deux moments soient négatifs : Xi<0 et Xj < 0 (fig. 5, courbe C) : en ce cas, si les valeurs de Xi et de x^ sont réelles, elles sont nécessairement comprises entre 0 et /. La courbe coupe Taxe des x en deux points. Le moment positif correspond toujours au sommet S de la parabole, situé^ à égale distance de Oj et de 0,. Le moment négatif maximum en valeur absolue correspond & Tun des deu^^ appuis.
CH. I. — THKORIr. DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. i3
4* Lorsque l'on a Xj < 0 et X, < 0, il peut arriver que les valeurs de Xi et de x^ soient toutes deux imaginaires, si la
condition suivante; est remplie : f-H — *— — ^j H ^ < 0
(fig. S, courbe C").
En ce cas la parabole est située tout entière au-dessous de Taxe des x : les moments fléchissants sont négatifs en tous les points de la poutre : leur maximum en valeur absolue correspond à Tun des appuis. Leur minimum, en valeur absolue, correspond à Tabscisse s du sommet S, si Ton a 0 < 5 < /, et dans le cas contraire à celui des deux points d'appui qui est le plus voisin du sommet.
La courbe représentative des efforts tranchants est une droite inclinée, faisant avec Taxe des x Tangle dont la tangente est ~ = — ;? (fig. 6).
Elle coupe Taxe des x sur la verticale du sommet de la parabole : pour X = Sy on a en effet V = 0.
Lorsque le sommet de la parabole est situé en dehors de la travée (s < o ou ^ > /), tous les efforts tranchants sont de même signe. La droite représentative ne rencontre pas Taxe des X ; Tappui le plus voisin du sommet retient la poutre (Q est négatif), et l'appui le plus éloigné la soutient (Q est positif).
Lorsque le sommet de la parabole est sur la verticale d'un des points d'appui, la réaction de cet appui est nulle, et il peut ôtre par conséquent supprimé sans que rien soit changé aux conditions d'équilibre de l'ouvrage.
Les formules énoncées dans cet article sont indépendantes : de rintensité et du signe des moments des appuis Xj et X, ; du nombre, du mode de répartition, des grandeurs et des signes dés poids P, dont on suppose simplement les directions
Fig. 6.
i4 i'OUTHES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
verticales el les points d'application situés entre A et B. Dans le cas où un certain nombre de forces P seraient dirigées de bas en haut, et non de haut en bas, comme on Ta supposé jusqu'ici, les équations resteraient encore applicables, à condition d'affecter du signe — les valeurs de ces forces.
Ces formules sont également indépendantes du coefficient d'élasticité de la matière qui constitue la poutre : cette matière peut être homogène ou varier de nature d'une extrémité à l'autre de l'ouvrage.
L'axe longitudinal, ou fibre moyenne de la poutre, peut être curviligne, à la seule condition que ses extrémités coïncident avec les points A et B situés sur une même horizontale, et que les réactions des appuis soient des forces verticales, dirigées de bas en haut ou de haut en bas. Enfin la hauteur et la section de la poutre peuvent varier suivant une loi quelconque sans qu'il en résulte aucun changement dans les expressions analytiques de X et de V.
En résumé, les formules qui précèdent sont applicables à toutes les poutres continues sans exception, formées d'une matière homogène ou hétérogène, à section variable ou constante, à axe rectiligne ou curviligne, à condition que leurs points d'appui soient sensiblement placés dans un même plan horizontal et exercent sur elles des réactions verticales, et que leurs fibres moyennes et les forces extérieures verticales soient situées dans un môme plan vertical. Les valeurs calculées pour les réactions des appuis Q, et Q, ne sont d'ailleurs exactes que si les points d'appui A et B souliennenlles extrémités de l'ouvrage.
Ce caractère de généralité n'appartiendra pas aux formules de l'article suivant^ qui supposent expressément l'homogénéité de la matière et la constance de la section, ou du moins de son moment d'inertie.
1. Ei!Kpres«ion0 analytique» de la défarmatian d'une travée de poutre continue) à «eetion constante^ en fonction de la charge et de» moments fléelii«sants développés au droit des appuis. — Soient E le coefficient
d'élasticité du métal qui constitue la poutre, dans une section déterminée, et I le moment d'inertie de cette section. Nous
ce. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTIOiN CONSTANTE. 15
supposerons que le produit El a la même valeur pour toutes les sections de la poutre d'une extrémité à l'autre de la travée, ^ous admettrons en outre que la fibre moyenne est sensiblement rectiligne, de façon que l'ouverture l, c'est-à-dire la distance horizontale de ses extrémités, ne varie pas d'une façon appréciable pendant la déformation.
Nous désignerons par jfi et y, les déplacements verticaux
subis, à la suite de la déformation X. I , X. due à la charge, par les extrémi-
