V. j ! Va lés de la fibre moyenne, qui sont
y^',' î*^' supposées coïncider, avant l'ap-
•* ; I ^' plication de la charge, avec les
J j. points A et B situés sur une
même horizontale et séparés par la distance /. Nous représenterons ** enfin par Oi et 6s les tangentes des
Fig. 7. déplacements angulaires (qui, en
raison de leur petitesse, peuvent être confondus avec ces déplacements eux-mêmes) subis par la fibre moyenne au droit des points d'appui, par suite de la déformation due à la charge. Les y positifs sont dirigés de bas en haul (fig. 7).
Nous examinerons successivement les différents modes de répartition de la charge déjà considérés dans l'article précédent.
a. — Cas d\m poids unique P, appliqué au point R delà
fibre moyenne dont l'abscisse est r.
La formule générale de la déformation des pièces élastiques
d'y fléchies: El — = X, combinée avec l'expression analytique
des moments X énoncée à l'article 1, nous conduit aux deux relations suivantes :
f Xi-f(X, — Xi)^H j — jfouvr<x<L
Le coefficient El étant constant, par hypothèse, nous arri-
El
16 POUTRES A TRAVKKS SOLIDAIRES.
verons, au moyen d'intégrations successives, aux équations qui suivent :
dx I Xdx==x I Xdx — / Xxdx.
\ En posant dans ces deux équations x=l, nous obtiendrons
i po"^' 7" ^^ y ^^^ valeurs % clt/j qui correspondent au second
point d^appui^ et nous pourrons eiïectuer les intégrations des ^ termes des seconds membres entre les limites qui deviennent
applicables : o et /.
f X(ù=(X,+X,)-^+ / -^U-dx-h / y(i'x)dx
El {;ij,—yy—^,t)=l f Xdx— f Xxdx= f X{l—x) dx
J 0 Jo Jo
= (^ + ^-l)P + lPr{l-r){2l-r).
Ces deux équations de condition permettent de calculer deux des quantités y^, y^, 6i et 0^, connaissant les deux autres. Pour que le problème de la recherche de la déformation de la poutre soit déterminé, il suffit donc de connaître, outre X| et Xs, ainsi que l'intensité et le mode de répartition de la charge, deux des quatre quantités y^ y^, 6i etO,.
6. — La charge se compose d'un nombre quelconque de poids isolés.
En partant de l'expression analytique de X, énoncée précédemment et que nous reproduisons ci-après, et procédant par intégrations successives, nous obtiendrons les équations suivantes :
(l)EI^!=X=X.+ (X,-X.);+4r.7(/--^)+s:îi'^'^;
(2)El(^g-6.)=X.^+(X,-X,)|;+j;'[s:î:f(/-x)+v::;i'^^a:]rfz;
(3)EI(y-y.-e.;c)=X.|+{X.-X0^,+x/'[s:î:^(/-x)+2;î:^>^]rfx
Posons X = / dans les équations (2) et (3), et effectuons les intégrales entre les limites o et /:
(4) El (9.-e.) = (X. + X.) i + K ^^ :
(5) EI(y,-y.-e./) = (|' + |)/' + ii:;Pr(/-r) (2/-r).
Enfin les expressions de refTort tranchant et des réactions des appuis, déjà énoncées à Tarticle 1, sont les suivantes :
(G) y ^ <^>^ X.-Xi vr=^ Pr ^,,^1 I>(/~r) .
(7, g. = V, = >krîi + ,; î!hr) ;
(8) ■ 0, = v, = - ïîzl' + v; L' .
Ces huit relations permettent, connaissant El, /, Xi, X^, rintensilé et le mode de répartition de la charge, ainsi que deux des quatre quantités ^i, t/i, Oi et 6|, de calculer le moment fléchissant, TefTort tranchant et la déformation (déplacement vertical y et déplacement angulaire 0) d'une section transversale quelconque, ainsi que les réactions des appuis (si la poutre est limitée à ces appuis).
c. — Charge uniformément répartie complète.
Supposons que la charge uniforme p par mètre courant d'ouverture s'étende de l'extrémité A à l'extrémité opposée B. Nous remplacerons dans les formules du paragraphe précédent P par pdr, les signes S par les signes f et nous intégre-
rons ces nouvelles expressions entre les limites indiquées pour les signes S.
Nous obtiendrons de la sorte les relations qui suivent :
• (9) El^=X^K, + (X,-X,y^+^px{l-x);
m El(g-6.)=X..+(X.-X)f^+î;,.'(i-|);
(12) EI(e.-e.) = (X.+X,)i + i;,/»;
(13) El(y.-y.-6./)=(| + |')/'+^K.
On sait d'ailleurs que l'expression de l'effort tranchant est :
(14) v = '^' + ii.(/-2x).
Connaissant E, I, /, X, et Xj, ainsi que deux des quatre quantités yi, y^, 6i et 6j, par exemple y, et 9i, ces formules permettent de calculer pour un point quelconque de la poutre, défini par son abscisse x, le moment fléchissant X, Teffort tranchant V, le déplacement vertical y et le déplacement angulaire -~ ou 9 de la fibre moyenne déformée.
Nous transcrivons à nouveau ici quelques relations intéressantes qui figurent déjà à l'article 1.
Equation de la parabole des moments fléchissants rapportée à son sommet :
(15) y = — -^px\
Abscisses Xi et x^ des points Oi et 0, où cette parabole coupe Taxe AB des x et où par suite le moment fléchissant est nul ; dans Thypothèse où la fibre moyenne primitive de la poutre serait rectiligne, les abscisses Xi et x^ correspondraient à des points d'inflexion de la fibre déformée ;
cil. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 19
('^) ^'=i + -i;i--vU+-7r-)+T'
m ^. = à + -^ + V ii + -j- i + 7 •
Le sommet S de la parabole a pour abscisse :
La valeur du moment correspondant à ce sommet est :
/IQ\ Y. P^' , X, + X. . (X.-X.)*
L'abaissement vertical /" subi par la fibre moyenne au milieu de la travée est égal à la valeur, changée de signe, que
Ton obtient pour y en posant a; = - dans Téquation (11) :
En général /est positif, ce qui signifie que le centre de la travée s'aflaisse sous l'action de la charge ; mais cette règle n'a rien d'absolu, et/ peut être négatif et correspondre à un soulfevement du milieu de la poutre.
FORMULES RELATIVES A UNE POUTRE A UNE TRAVÉE, DE SEC- TION CONSTANTE, REPOSANT SUR DES APPUIS INVARIABLES ET SUPPORTANT UNE CHARGE UNIFORME COMPLÈTE OU IN- COMPLÈTE, POUR LAQUELLE ON SUPPOSE SUCCESSIVEMENT QUE CHACUNE DES EXTRÉMITÉS EST SIMPLEMENT APPUYÉE, PARFAITEMENT ENCASTRÉE, OU PARTIELLEMENT ENCASTRÉE.
8. Cas d'une chargée nniropme eomplëte, les eiLtrémités de la poutre étant fiimplement appuyées ou pavraitement eneastrées. — Les appuis étant supposés invariables, on a yi = yj = q.
POl'THES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
II suffil alors de connailrc deux des quatre quantités Xi, Xj, 6, et Oi pour que les formules de Tarticle précédent permettent de calculer les valeurs de X, Y, y et 0., relatives à une sectioa quelconque de la poutre. Le problème se trouve complètement déterminé.
Fig. 8.
Nous examinerons différents cas :
a. — Poutre simplement appuyée à ses deux extrémilés. On a, par hypothèse : Xj = X, = 0 (fig. 8).
D'oùX=- px{l — x) : X est toujours positi{,quel que soiiâ;;
Qi = Qi =pi;
Xi = 0, Xi = L
Les points Oi et 0, coïncident avec les extrémités de la poutre ;
6i = — Oà =
__ pî^ ^
~~ 24 El '
5 pl^
Flèche d'abaissement au milieu de la portée : /= + 5^ ëT
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE, âl
6. — Poutre parfaitement encastrée à ses deux extrémités (fig. 9).
Fig. 9.
L'encastrement parfait suppose que la direction de la fibre moyenne sur les appuis n'est pas modifiée par l'application de la charge : 6i = 6, = o.
D'où: X.=X,=-ji';
JzWo,2H326/; x^^A 4-^ W 0,788673/;
* — 2 ' ^ — 24 ' ^ "~ 384 El
c. — Poutre par faitetnent encastrée sur le premier appui A, et simplement appuyée sur Vautre (fig. 10).
Fig. ÏO,
On a :
D'où:
Oi = 0 et Xj = 0.
px\ X, = — Ç; Q,=^;)Z; Q,=-pl;
0,25/; xr^^l; ^ = ^1; Xs = -^^pl';
* /i8EI ' ^ 384 El ■
d. — Poutre simplement appui/ f^e sur le premier appui A et parfaitement eiicastrée sur le second B (fig. 11).
Flg. 11. "
Ce cas est inverse du précédent.
On a:
X, = 0 et Oi = 0.
D'où :
^ = 1? (î'^ — ^7; V = -^plx — px\ X, = — j
Oi=gP/j Qs==-p^, Xi=o\ a:, =3/4 Z= 0.75/; s =
^^■"128^^' ^'~~48EI' ^~384El'
4. Cas d'une cliarg^e unirornie complète, les eiLtrém mités de la poutre étant partiellement encastrées. —
Supposons d'abord la poutre simplement appuyée à ses deux extrémités, et supportant une charge uniforme complote représentée par 77. La formule du moment fléchissant sera :
Appliquons à la même poutre une nouvelle charge uniforme complète, représentée par tz\ en maintenant invariable la direction do la fibre moyenne sur le premier appui^ sans rien changer à la situation précédente relativement au second appui. L'ouvrage se comportera comme une poutre encastrée sur le premier appui, et simplement appuyée à l'extrémité opposéBf et les moments dus à la charge 77' seront représentés par la formule :
Appliquons une troisième charge tt", en laissant la fibre moyenne subir en A le déplacement nécessaire pour que le moment fléchissant déjà développé au droit de cet appui reste constant, et en maintenant invariable la direction de la fibre en B. La poutre se comportera, sous Faction de la charge ic", comme si elle était simplement appuyée en A et parfaitement encastrée en B, et les moments produits seront fournis par la relation :
Enfin appliquons une quatrième et dernière charge 7:'^, en maintenant invariable la direction de la fibre moyenne en A et B, c'est-à-dire en encastrant la poutre sur ses deux appuis.
L'espression des moments dus à cette charge sera :
En vertu du principe de la superposition des effets des forces, TexprcBsion analytique du moment fléchissant totale résultant de l'action simultanée des quatre charges définies plus haut^ sera la suivante :
= - 1 (i:-Hr'-H:"+7c"') «' -f- 5 (^ + ^ it' + ? ,:" + r") fa:
Telle esi l'expression générale des moments fléchissants développés dans une poutre à une travée par la charge uniforme complète :: + ?t'+iç"+ w*, lorsque les extrémités sont parliellemenl encastrées^ c*est-à-dire se comportent pour une partie de la charge comme si elles étaient simplement appuyées.
Soient Xi et Xa les moments fléchissants sur les appuis et p la valeur de la charge totale par mbtre courant d'ouverture.
En identifiant Téquation qui précède avec la formule con-
nue : X = Xj H- (X, — Xj) j- 4- 5 jo^(/ — ^a?),nous obtiendrons :
W+7C +r +7r =p; w -h -z = j^ ' ^ ' 3^^ "^ ÎT •
Ces trois relations ne suffisent pas pour déterminer les quatre quantités w, tc', tt", t:', même en y joignant la condition que chacune de ces quantités soit positive. On peut donc imaginer, connaissant la charge totale p et les moments sur les appuis Xi et X^, une infinité de combinaisons de charges positives tt^tt',?:'', t:"', réalisant, dans rhypothèse de Tencastrement partiel des extrémités, la courbe des moments fléchissants qui résulte des données Xi, X^ et/?.
Nous jugeons inutile de démontrer par le calcul la proposition suivante, qui parait évidente à priori : quelles que soient les valeurs respectives des charges partielles TC,;r',7r", ^"^ (supposées bien entendu toutes plus grandes que 0), dont la somme est égale à /?, la courbe des moments fléchissants, qui répond à leur action simultanée, est située dans la zone limitée par les courbes que Ton obtiendrait en supposant successivement trois de ces charges égales à 0, et la quatrième égale kp.
La courbe limite supérieure est constituée par la ligne correspondant à deux appuis simples ; la courbe inférieure comprend Tare central de la ligne correspondant aux deux encastrements parfaits (77'" = p) et les arcs latéraux des lignes relatives à l'encastrement complet pour une extrémité et l'appui simple pour l'autre {t:' = /?, x" = p) (fîg, 12).
On voit immédiatement que dans la moitié centrale de la travée les moments fléchissants d'une poutre^ soumjsç k une
charge uniforme et parlicUemenl encastrée sur ses appuis, ne
peuvent jamais être négatifs : les points Oi et Oi sont toujours
situés respectivement dans le premier et le dernier quart de
AB
Touverture : AN, = N, B = -— •
Fig. 12.
Nous énoncerions des propositions analogues pour les efforts tranchants, toujours compris entre les limites inférieure et supérieure correspondant à l'encastrement complet pour une extrémité et à Tappui simple pour l'autre (fig. 13).
Fig. 13.
De même les réactions des appuis Qi et Q, ont des valeurs intermédiaires entre le ma^^imum et le minimum correspond
re entre 3/8 pi et g;ale à pi.
enlre le minimum réraités) et le maxi-
ilés).
posKIfaet uéc*-
[re étant «Imple- •tréei. Soit X ' un point quclconnplète p ; nous dét)soluc) du moment liscr en ce même façon la plus défainuim, qui résultergc partielle com-
ml d'admettre que, du minimum d'un de sa valeur absoon à la règle algé- 3:alifs, le plus petit s grande,
difTércnls cas déjà ge uniforme com-
ermettent d'établir, ni simple et d'en- ! de X corresponoaque.
lémenlaire pdr, de :ffecluer celles des .nies des abscisses tiatrc quantités X|, otbèsc faite sur la s deux autres des
relations (4) et (5) et on les portera dans la formule (1), qui fournira en définitive l'expression analytique du moment fléchissant correspondant à une charge partielle quelconque.
Nous n'entrerons pas dans le délai! des calculs extrêmement simples qu'entraîne cette méthode, et nous énoncerons immédiatement la formule fondamentale, représentant le moment fléchissant du, à une charge partielle k laquelle elle conduit. Il n'y aura plus qu'à atlribuôr aux abscisses extrêmes des z6nes chargées les valeurs convenables en vue d'obtenir X' et X*, et à en déduire les expressions de ces deux valeurs limites du moment fléchissant.
a. — Poutre simptemeat appwji^e à ses deux extrémités,
L'expression générale du moment fléchissant développé par une charge uniforme partielle dans la section M de la poutre, dont l'abscisse est x, est :
La différentielle placée sous le premier signe / représente le moment produit par le poids élémentaire prfr, lorsque son point d'application a une abscisse r plus petite que x, et la diflérentielle placée sur le second signe / représente le moment produit par le môme poids élémentaire, lorsque l'abscisse r est plus grande que x.
D'une manière générale, on doit pour obtenir X' ne tenir compte dans l'intégration de chacun des termes que des diffé* rentielles négatives, eii éliminant tous les poids élémentaires pdr qui donneraient lieu à des moments positifs : les limites de la zone à supposer chargée sont ainsi fournies à gauche et à droite de M par les valeurs de r qui annulent les différentielles placées sous les signes f.
Dans le cas présent on a toujours :
-^ — > 0 pour r < ar ;
et
— ^T — > 0 pour X > r.
Les deux dilTéreati elles étant toujours positives, il D'existé pas de charge partielle pouvaut donner lieu à un moment fléchissant négatif, quelle que soit l'abscisse x du point considéré.
D'où:
X' = X— X' =|pi(/-x).
î^e maximum de X" correspond à la charge complète, quel que soit x.
b. — Pou tre parfaitement encastrée à ses deux extrémités .
L'expression générale du moment fléchissant dû à une charge uniforme partielle est :
X= r^j[l(2l^r)-x(Zl-2r)]dr+ r^,(/-r)*[/(a;-r)+2rx]rfr.
Nous nous proposerons de déterminer la valeur de X' pour la seconde moitié de la travée, c'est-fa-dirc pour les points dont
l'abscisse ic est plus grande que - -
Si l'on admet la condition .r > - , la différentielle du second
terme de l'équation qui précède est toujours positive: il convient donc de décharger toute la zone comprise entre les abscisses X et /.
Si nous considérons la première intégrale, nous remarquons que sa différentielle change de signe lorsque l'on attribue à r la valeur particulière v, fournie par la relation :
D'où:
Comme il est entendu que l'on a x > - , il faut, pour que v
ait une valeur admissible comprise entre o et x, que l'on ait
a encore 3a; — 2/ > o, ou a: > - ^
Supposons donc remplie la condition : -• < a? < /.
Alors V a une valeur admissible, et comme la difTérentielle est nég-ative pour r < r, l'expression analytique du moment fléchissant maximum négatif sera, en effectuant l'intégration entre les limites o et t? :
X' =— r Ç [/ (2/— r) —0? (3/— 2r)] dr
= fî:!(2a;/> = -?-'<-?^^*-
On voit que pour : a; = - /, v^=Oj X' = o ;
et pour : X = 1, t? = /, X' = — — pP.
Le moment fléchissant maximum sur Tappui B est donc précisément égal au moment X qui correspond à la charge uniforme complète.
Flg. 14.
De a? = - / à a? = - /, X' = o.
En vcrlu de la syméiric de la poulrc, parfaitement encastrée sur ses deux appuis, on déduira les formules relatives à la première moitié de la travée de celles que nous venons d'obtenir pour la seconde en remplaçant x par / — x.
Soient Xi et Xj les moments sur les appuis dus à la charge
uniforme complète, qui sont tous deux égaux à — j^P^- ^^^
maxiina X' et X" seront fournis pour les différentes zones de l'ouverture, divisée en trois parties égi|lefl AF, F 'F*, F''B (fig. 14), parles relations qui suivent :
o<x<-l )^ 12 (<— 2x)» * '^ kl—2x)* '
zôneAF' | X'=ipx(/-a;)-X'=-*pa</-a.)-X,g|; •
Zone FT^ / X'' = X == - px (Z-x).
zone F"B / X"-= > px(l—jr)—X'= - px{l—x)—X, ^77^ •
On a tracé dans la figure 14 les courbes des moments maxima positifs et négatifs, ainsi que la parabole des moments correspondant à la charge complète, laquelle coïncide pour le tiers moyen de Touverlure avec la courbe des moments maxima positifs, les moments maxima négatifs étant nuls dans cet intervalle,
c. — Poutre simplement appuyée à sa première extrémité et parfaitement encastrée à la seconde.
L'expression générale du moment fléchissant dû à une charge uniforme incomplète est :
^=^JoB (2i'-3/^x+r«x) dr+£ g (/-r) {2P-lr -r») dr.
Nous allons chercher la valeur de X' ,
La différentielle placée sous lo second signe f est toujours
positive quel que soit x ; il n'y a donc à considérer que la première intégrale.
La différentielle placée sous le premier signe f ne peut
présenter de valeur négative que si Ton a : z > - Z.
Fig. i5.
Celte condition étant remplie, la différentielle est négative pour toutes les valeurs de r comprises entre o et la limite te; fournie parla relation :
2/* — 3/* a: + ttJ» a? = 0.
D'où :
lO'
On a par conséquent :
^-jf''&(^^-^^'^ + ''^^^'' = -£'^
p l(Zx—1l)^
Poura;=2/3/,io=oetX'=o;poura:ï=/,u;=/etX'= —
Le maximum du moment fléchissant négatif sur l'appui encastré correspond à la charge uniforme complète. Désignons par Xs ce moment.
Si Ton divise l'ouverture en deux zones, Tune AF^ partant
3i POUTRES A TUAVKES SOLIDAIRES.
(le rostrémilé non encastrée el régnant jusqu'aux 2/3 de Touverture, et l'autre F* B comprenant le dernier tiers de Touverture, les valeurs de X' et X*" seront fournies pour les deux zones par les relations suivantes :
zone AF i X* = X = ^ pa: (l—x).
! pi (3j-2t)» (3x-2f)«
•*■ 8 X ~^' U ' X'=X-X'=ipx(/-x)~X,(iff?i'.
La figure 15 représente les courbes des X' et X"^, ainsi que la parabole des X, relative à la charge complète, qui se confond avec la ligne des X'' dans les deux premiers tiers de la travée, puisque dans cette zone X' = o.
d. — Poutre parfaitement encastrée sur le premier appui A et simplement appuyée à Vautre extrémité.
L'expression générale du moment fléchissant dû à une charge uniforme partielle est :
X=r^^,{l-x){Slr-r')dr+f'^^^^^^^
Nous ne la discuterons pas, le résultat que nous cherchons pouvant s'obtenir facilement et immédiatement en recourant aux formules du paragraphe précédent, où il suffit de remplacer X par l — X et Xj par Xi pour avoir les équations applicables au cas présent : la poutre actuelle est en effet identique à la poutre du paragraphe c retournée bout pour bout.
Les expressions de X' et X'' sont par conséquent, la poutre étant également divisée en deux zones dont Tune, égale au tiers de l'ouverture, part de l'extrémité encastrée :
X^ =X-X' = ipo? {l—x) — X, ''"■^•''
-l<x<l )x^ = X = yx{l~x).
CM. I. — THÉORIE DES POUTRES A SËCtION CONSTANTE. 33
L'épure représentative des moments fléchissants s'obtiendrait en retournant bout pour bout la fig. 15.
U. Caleal des efforts tranchants positifs et négatifs maxima dus k Faetion d'une ciiarire unirorme ineomplète, les extrémités de la poutre étant simplement appuyées ou parfaitement eneastrées. — Soit V Tefiort tranchant correspondant à la charge uniforme complète, Vi et Vj ses valeurs au droit des deux appuis.
Nous désignerons par Y et Vies efforts tranchants maxima négatifs et positifs, déterminés en un point quelconque de la poutre, défini par son abscisse x, par la charge uniforme incomplète la plus défavorable.
On les trouvera par une méthode calquée sur celle employée pour les moments fléchissants. Nous n'insisterons donc pas sur le détail des calculs et passerons immédiatement des équations fondamentales aux formules finales.
a. — Poutre simplement appuyée à ses deux extrémités.
On a :
L'expression générale de Teffort tranchant dû à une charge uniforme incomplète est :
La première différentielle est toujours négative et la deuxième toujours positive.
L'effort tranchant positif maximum a donc pour expression :
V =jr'f il-r) dr = l H-œY = V. ^^ ; Teffort tranchant négatif maximum est :
b. — Poutre parfaitement encastrée à ses deux extrémités.
L'expression générale de Tefforl Iranchant est :
V=- jf'Ç(3/-2>0dr+r|.(/-r/(/+2r)dr.
On a :
Y ?f et V — — ^.
V, — 2 , et V,— 2
D'où:
x^ (2/--jr)
c. — Poutre simplement appuyée à sa première extrémité et parfaitement encastrée à la seconde.
On a:
