LANCEMENT DES POUTRES
48. C^néralltés. — La solidarité des travées permet d'effectuer la mise en place des poutres continues par voie de lancement, en les faisant cheminer sur les piles successives qui doivent les porter, l'extrémité de l'ouvrage formant
encorbellement et s^avançant en porle-à-faux jusqu'à la pile non encore atteinte. C'est là un des principaux avantages de ce genre de construction, en ce qu'il permet d'économiser des échafaudages, très coûteux dans le cas de piles élevées, qui rendraient singulièrement onéreux l'emploi de travées indépendantes.
Il importe, avant de procéder à cette opération, de s'assurer que les efforts développés pendant le lancement, dans la partie en porte-à-faux et dans la travée qui la suit immédiatement, ne dépasseront pas notablement en certains points les efforts produits par la charge et la surcharge variable, qui ont servi à déterminer les épaisseurs des platebandcs II peut arriver en effet que les moments fléchissants soient sensiblement supérieurs, pendant le lancement, aux moments maxima à prévoir lorsque l'ouvrage aura pris sa position définitive, et donnent lieu dans certaines sections à un travail moléculaire dépassant la limite d'élasticité. On risquerait dans ces conditions de voir la poutre se rompre pendant le lancement, ou du moins s'affaiblir par la désorganisation du métal travaillant au delà de la limite pratique. Il faut alors se résoudre soit à renoncer à ce mode de mise en place, soit à établir entre les piles des pylônes provisoires en charpente, fournissant des appuis supplémentaires et réduisant de moitié, pendant le lancement, les ouvertures des travées à franchir en porte à faux soit enfin à consolider les sections de la poutre reconnues trop faibles par des tôles supplémentaires ou plus simplement par des charpentes provisoires ou des câbles de soutien.
Les mesures définitives à prendre ne peuvent être arrêtées judicieusement que si l'on a établi au préalable les courbes des moments fléchissants développés dans la poutre pendant le lancement, et c'est pourquoi nous avons jugé utile d'indiquer sommairement la marche à suivre pour résoudre ce problème.
4t. Momeats fléchificiautA développés peudant le laueenient d'une travée intermédiaire. -^ Considérons
une poutre continue en voie de lancement : elle repose déjà sur un certain nombre de piles 1,2,4 m — 1, m, et présente,
Tpr --;
Cfl. I. — THÉORIE DES POUTRES A SEf:TJON CONSTANTE. 145
en avant du dernier point d*appui atteint m, une partie en porte-à-faux mk.
Soit \ la longueur de cette partie, et p le poids de la poutre par mètre courant. La courbe des moments fléchissants de m en A est une parabole qui a son sommet en  et dont l'équation est :
X est toujours négatif et a pour valeurs limites :
A Textrémité m. . . {x=^o) : — r p V ; A Textrémité A...{x=\) : o
Il arrive parfois que Textrémité antérieure de la poutre est prolongée au-delà de A par un avant bec en charpente ou en mé« tal, de longueur V, dont le poids/?' par mètre courant diffère de celui de la poutre proprement dite. La courbe des moments
Fig. 59.
fléchissants se compose alors de deux arcs de parabole qui se rencontrent sur la verticale du point A et ont pour équations :
De m en A, o<a;<'X, X=— -;?(X— a:)'— gpV(V-t-2X— 2a:);
Au-delà de A, X<a:<X+V, X-=— ^/?' (X+V— x)'.
Les valeurs particulières des moments sont :
iO
En m, x=o .... —-p\* — „ p\\\'+^) ;
En A, x=k .... — r/ V ; En B, «>c=X"+-V.... 0.
Supposons que Ton ait tracé la parabole, ou les paraboles représentatives des moments fléchissants, pour la partie en porte-à-faux ; on connaît la valeur du moment fléchissant développé dans la section m.
Il s'agit maintenant de déterminer les moments produits dans les autres travées par Faction du poids en porte-à-faux (sans tenir compte pour le moment du poids propre de ces travées). Cette recherche s'opérera sans difficulté en appliquant le théorème des trois moments aux groupes de deux travées successives à partir de Tappui m :
Xm /m -f- 2Xm— 1 {Im + /m— i) H- Xm— 2 /m— 1 = 0, Xjn— 1 Im—i + 2Xni--8 (An— i+/m— -ï) "+- Xm — « *m — 2 = 0^ etc.
On voit immédiatement que Ton a, en supposant connue la série des nombres ^ relatifs à la poutre continue 0,1,2,3... m — 1 , m :
Xm— I = — fim — 1 Xm > Xm — s ^= — ^iw — 2 Xm— I» etc.
La ligne brisée représentative des moments passe par les premiers foyers de toutes les travées successives w, m — 1.... etc. Elle est facile à tracer. Pour obtenir les efforts réels subis par le métal dans les différentes sections de la poutre, il convient de combiner cette ligne brisée avec les paraboles des moments fléchissants développés dans chaque travée par la charge permanente correspondant au poids de la partie de la poutre comprise entre les appuis extrêmes 0 et m. Les équations de ces paraboles s'établiront sans difficulté en considérant la poutre comme coupée sur l'appui m et en appliquant la méthode habituelle indiquée à Tarticle 26.
La règle à suivre pour dresser l'épure relative au lancement
ou des
xKl X = — \p {y—xf — l // V (•k'-+-2\—2x),
On aura soia de Iracer celte parabole sur Tépure comme si les X qu'elle représente étaient positifs, c'est-à-dire en portant les ordonnées au-dessus de Taxe des x. On mènera ensuite la ligne brisée partant du point Xmt passant par les premiers foyers de toutes les travées, et ayant ses sommets sur les verticales des points d'appui.
Le moment fléchissant développé dans chaque section par la charge permanente complète, c'est-à-dire le poids de la poutre totale de 0 en A, sera représenté par la distance verticale existant entre cette ligne brisée et la parabole de la charge permanente, relative au poids de la poutre o,m, précédemment tracée.
Dans la première travée, par exemple, le moment fléchissant développé dans la section N (lig. 60) (le porte-à-faux étant mA;) sera négatif et représenté par la longueur nn' ; le moment fléchissant développé dans la section S sera positif et représenté par la ligne ss\
Il pourra paraître utile de considérer successivement diflerents états d'avancement de la poutre, dont Fextrémilé serait supposée coïncider successivement avec les points Ai, A„ A3, A4, Aç. Il n'y aura qu'à ti*acer sur la même épure toutes les paraboles du porte-à-faux ayant leurs sommets en Ai, A^, A,, A^,
de la travée m + 1 (limitée aux appuis m et m+1) est donc la suivante :
On commencera par tracer la courbe des moments fléchissants dus à la charge permanente complète pour la poutre 0, m supposée coupée sur l'appui m, a partir duquel commence le porleà-faux.
On établira ensuite la courbe des moments développés dans la section en port e-à faux en se senvant, suivant lo^ cas, de Téquation :
ri
relations) ^ , v ^ //.../ . j
POITUES A THAVÉES SOLIDAIRES.
A,. On tracera le faisceau des droites passant par le premier foyer de la travée m et aboutissant aux points X*m, X'»,i X'w>
X*m, etc. . . La courbe relative à la charge permanente de la partie o, m, étant sensiblement indépendante pour la travée m de la longueur du porte-à-faux, pourra être établie une fois pour toutes ; ses distances verticales aux différentes droites du faisceau précité donneront, pour chaque degré d'avancement de la poutre, les valeurs des moments fléchissants développés.
La section de Touvrage à laquelle ce moment correspondra sera définie dans chaque cas par sa distance horizontale à Texlrémité antérieure Ai,Aj,A», etc., de Tencorbellement.
Ainsi que le montre la figure 60, rinfluence du poids de la partie de poulre en encorbellement pe se manifeste guère que sur la travée adjacente au portc-à-faux : les moments développés dans les travées suivantes ne modifient pas sensiblement la courbe relative à la charge permanente, dans Thypolbèse où Touvrage s'arrêterait à Tappui w. On pourra donc, 8e contenter, en général, de dresser Uépure jusqu'à l'appui m — { , l'action du porte-à-faux sur les autres travées étant trop peu importante pour qu'il y ait lieu de s'en préoccuper.
fa
CH. I. - THÉORIE DES POUTttES A SECTlO.^ CONSTANTE. 449
Mais il faut remarquer que, pendant l6 mouremetlt de translation de Touvrage, iin point quelconque de sa fibre moyenne^ choisi arbitrairement en dehors de la partie en encorbellement, occupera successivement toutes les positions comprises entre debx piles cotisëcùtlvës. 11 falldrà donb qUe la secliod i^ansversdlé correspotidantë ait une t^ésisidtice suffldâhle pôM supporter dans dé bbnhes bondiliotië les moments fléchiâsants variables auxquels elle sera soumise. Le moment maximum^ pour la charge permanente, correspond toujours à un point d'appui intermédiaire. On a calculé à l'avance la valeur Am du moment développé sur une pile par le poids propre àe la poutre : le moment ainertie de la section transversale de Touvrage ne devra donc descendré en aucun point au dessous de là limite inférieure correspondant à ce moniënt Am. Pour remplir cette condlliôti, ori sera fréquemment obligé, sUrlout pour des ponts & grandes ouvertures, de dépasser en certains points (voisinage deà foyers) les épaisseurs de platebandes indiquées par Tépure de stabilité relative à la charge et à la surcharge, qui ne suffiraient pas pour assurer à la poutre le moment d^inertie minimum correspondant au moment Am.
Par le même motif, la triangulation de la poutre devra être susceptible de résister en tous les points à ta réaction verticale Qm développée par la charge permanente sur un point d'appui.
En définitive, les résultats à retirer de Tétude des effets du lancement doivent être les suivants : 1^ attribuer à une section quelconque, située sur la partie qui sera lancée ou sur la travée qui la précède, une solidité suffisante pour qu'elle puisse résister aux moments de flexion et aux efforts tranchants maxima, lesquels sont donnés^ pour divers degrés d'avancement) par l'épure de la figure 60 ; S^ attribuer à une section quelconque, située sur le surplus de la poutre, une solidité suffisante pour qu'elle puisse résister au moment de flexion et à l'effort tranchant développés par le poids propre, à son passage sur une pile intermédiaire.
Dans lé cas où l'on ne coiinaitrait pas la série des nombres ^ relative à la poutre dx)nt on étudie le lancement, on pourrait
ee dispenser de la calculer, en reniarquaut que ^ est compris entre 0 et 1/2, et m — 1 . F entre 0 et i/3 m — 1 .m;lesva-
leurs moyennes p = 0,25 et m — LF" ^ :*n — i.m ne peuvent
gutre s'écarler des valeurs vraies et par suite fournissent les moments avec une approximation suffisante. Au surplus, l'on pourrait dresser l'épure dans les deus hypothèses extrêmes
m — l.F = Oelm — l.F = -m — i.m el déterminer ainsi les limites entre lesquelles les moments sont nécessairement compris. Ces limites ne donnant pas des résultats très différents, les conclusions auxquelles on arriverait en coosidéranl pour chaque section le cas le plus défavorable ne conduiraient pas à une évaluation trop exagérée du travail maximum du métal. Dans la pratique, cette méthode approximative suffira: on n'a jamais besoin de connaître les moments fléchissants avec une exactitude absolue.
lA. Mvnacntq fléobisvrat* déTel*ppé» par le lanecment d'âne travée de rive. — Nous avons admis, dans l'article précédent, que la partie de poutre en porte-à-faux était précédée d'au moins une travée reposant déjà sur deux piles. D nousTeste à donner les formules relatives à la travée de rive, pour laquelle l'hypothëse précité ne se réalise pas.
Soit 0 la culée à partir de laquelle s'effectue le lancement : la poutre est supportée, en arrière de ce point, par des chariots ou des rouleaux qui la soutiennent en des points très rapprochés. Au fur et à mesure que la longueur OA de la partie en porte-à-faux augmente, la poutre se soulève à gauche du point 0 et quitte ses supporta de façon à faire équilibre par son poids propre à celui de l'encorbellement.
Soit BO la longueur de la portion qui ne porte plus sur les chariots ou rouleaux. Il est facile de l'évaluer, en remarquant
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. i5l
dv que le momenl fléchissant est nul on B et que l'inclinaison -^
OU 0 est également nulle, puisqu'on ce point la fibre moyenne de la partie déformée se raccorde avec sa direction rectiligne initiale.
On a donc^ en désignant par S la longueur OB de la partie de poutre qui constitue, en arrière de la culée 0, une travée reposant sur les appuis 0 et B, les équations de condition :
Xb = 0 , 6, =0 .
Nous connaissons la valeur du moment produit sur l'appui 0.
Ce moment est, suivant les cas, représenté par Tune des deux expressions déjà énoncées :
ou
La formule générale donnant l'angle de déformation 6b de la fibre sur l'appui B est (art. 2, page 18), en supposant bien entendu la fixité absolue des appuis :
D'où, puisque 6b «et Xb sont nuls :
=v/-if- .
m fOUTRES A TRAVÊftS SOLIDAIRES.
La courbe des moments fléchissants développés dans la partie 30 de la poutre correspond en conséquence à réquatioh stiltàUtë, bÙ ± i-ëprésëhtè hi khidiséÉ mèsiiréeâ M pdHir Hè ]& biiiéë 0.
On peut toujours représerilbr î„ par une expression de la
foi'më Xo = ^^-/î V; soit qtio le poids db Tavaiït-boc soit
négligeable, soit que Ton ail calculé lirie longueur fictive \ différente de la saillie réelle db portè-â-fàux, qiii sâtiétassèâ
la condition : \* = -^ , où Îq ^st le moment sur Tappui 0 et
p le poids de la poutre par mètre courant, b'oh:
et la parabole des moments est représentée par la formule simple :
Il n'f a plus qu'à trdcer cette courbé silr Tépure, ainsi que la parabole relative à la pàKie en ehcorbellemeht, doiit Téqutttion a été énoncée à l'article précédent.
4e. Dérormlltioh suHie ^enàAwkt le laneenient par la partie de lapoutl*e eo pbHe-à-faaiK. — U peut être utile
de prévoir d'avance quelle sera la flèche d'abaissement subie par l'extrémité antérieure de la poutre: il est nécessaire en effet de disposer l'ouvrage de façon que son extrémité vienne exactement affleurer le sommet de la pile suivante. Il serait fâcheux que Tabout vint buter contre le parement de la pile, et, connaissant exaclemenl ràbdissêitiont à l'extrémité, on
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTIOxN CONSTANTE. 15à
évitera cet accident en relevant l'ouvrage de la quantité nécessaire sur les piles qui le portent déjà, ou en lui donnant une certaine inclinaison, de façon à réaliser une rampe dans le sens du mouvement, ou enfin en abaissant temporairement le niveau du rouleau d'appui destiné à recevoir Taboul à son arrivée sur la pile.
Nous n'entrerons pas dans le détail des calculs d'ailleurs fort simples qui conduisent au résultat voulu, et nous nous bornerons à énoncer la formule donnant la valeur do la flèche /, dont l'about de la poutre s'est abaissé au-dessous de la direction initiale de la iibre moyenne avant la déformation.
Nous admettrons, pour plus de simplicité, que l'on ne se préoccupe pas ici de la présence de l'avant-bec et que la longueur du porle-à-faux ne diffère pas sensiblement de X, en désignant par X la longueur qui satisferait à la condition
Xw = — âP'^^f ^^ ^'^^ désigne par p le poids par mètre cou-
rant de la poutre et par Xm le moment fléchissant à l'origine du porte-à-faux. Soit /l'ouverture de la travée m — 1, m, qui précède immédiatement celle en voie de lancement. On a :
OU, en substituant à Xm et Xm— i leurs valeurs connues :
S'il s'agit du lancement de la travée de rive, la formule à employer est :
OU, sachant que Xq = — r px* et S = \\2 :
En attribuant à X, dans ces deux formules, la valeur limite que cette longueur atteint au moment où l'about est sur le point de toucher la pile vers laquelle il se dirige, on obtiendra la valeur de la flèche à l'instant où il est utile de la connaître.
