LANCEMENT DES POUTRES K

CALCUL DES MOMENTS FLÉCHISSANTS ET DES EFFORTS TRANCHANTS PRODUITS PAR LA DÉNIVELLATION DES APPUIS.

SU. C^énéralités. — Nous avons remarqué à Tarlicle 11 (page 47) que les eiïels dus à la dénivellation des appuis d'une poutre continue peuvent être étudiés et calculés en faisant abstraction de la charge. Nous admettrons donc que Ton a tout d'abord déterminé les courbes des moments relatifs à la dénivellation des appuis, sans se préoccuper de la charge ni de la surcharge. Cela fait, il sera toujours facile de calculer, pour une section quelconque, le moment fléchissant tolal dû à cette triple cause (charge, surcharge, dénivellation des appuis) en combinant les trois courbes, c'est-à-dire en faisant la somme algébrique des trois moments partiels déterminés séparément pour celte section.

Le théorème des trois moments nous fournit une relation fondamentale entre les moments Mi, M, et Ms développés sur trois appuis I, 2 et 3 et les déplacements verticaux yi, y^ et y,, subis par ces trois appuis, / et /' désignant respectivement les ouvertures des travées 1, 2 et 2, 3:

M./+2M.(Z+r) + M,r = 6EI (2ti y,^i + J)+|j.

1. Dans toutes les formules relatives à la recherche des efTets produits par la dénivellation des appuis et le lancement des poutres^ la valeur du coefficient E devra être arrêtée en tenant compte des observations déjà présentées à Tart. 31 . Pour les ponts à treillis rigide en fer, il faut en général admettre :

E = i.60 X lO'o.

Nous supposerons d'abord qu'un seul des appuis de la poutre a subi un déplacement vertical y (positif de bas en haut), les autres appuis demeurant tous invariables.

89. Momento fléchissauts praduits par le déplaeement vertieal d^un appui dont le numéro d'ordre eatplua g^and que t et plus petit que n — t. — Considérons le cas général où Tappui m, qui est supposé n'èlre adjacent à aucune travée de rive (1 < w < n — 1), subit un déplacement y, connu en grandeur et en signe.

Appliquons le théorème des trois moments à tous les groupes formés de deux travées consécutives, de Textrémité o à Textrémité n de la poutre. Nous conserverons les notations habituelles, en ce qui concerne les désignalions des ouvertures des travées, ainsi que les nombres auxiliaires p et y.

Nous obtiendrons une série de relations, dont le second membre sera nul toutes les fois qu*aucune des deux travées considérées ne portera le numéro m ou le numéro m+1» et par suite ne sera adjacente à Tappui m.

Numéros d'ordre dos équations

ÉgnATioNS

Numéros d'ordre d«i trtTéesgroapétt deux & deci.

6EIy

M« /«+! H- 2M.^, (U+i + /«+«) 4- Mm4j /m+t — ^

CH. I. — THEORIE DBS POUTRKS A SECTION CONSTANTE. 1S5

Nous avons n — 1 relations entre n — 1 inconnues : le problème est donc déterminé. Nous le résoudrons absolument de la même manière que celui de Tarticle 15, en remarquant que Ton a :

l"" en vertu des équations 1.2.3 m — 2.

D'où:

Mm^-f == Mm— i = ""^ Sm— t Mm— i »

2» en vertu des équations m -1-2, m +3 n — 2etn — 1.

M«+i=»»-Hii-iM«-i, Mi>+,=t?»-«-,M»-i,. . . Mi,^=:t;,M»-i, M»-H=f iM»^;

D'où:

Mm+f = " Mm+i = — Yn— m-t Mm-H«

Remplaçons Tdfn-% et Mm+t p&r leurs valeurs en fonction de Mm— 1 et Mm+i dans les relations m— 1, m et m -H < ; nous obtiendrons trois équations du premier degré à trois inconnues Mm^i, Mm et Mm+i, dont la résolution fournira les valeurs de ces trois moments.

£n remarquant que Ton a :

7n— ffi— i

ces trois équations prennent la forme :

î!pJ2î^.M^/« = 6Ell ,

Mm,/m-|-2M„(/«-+-/m+,H-Mm+,tn-H=— ÔEIyf-p +— ) ;

\ im *w+i /

Mm-f 1 Im-H ^ Bly

^à6 POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.

D'où nous lirons :

M,„ :^ - 6 Ely

Im (2 — |3m— i) + fcw+i (2— y»— m— J M,n-. = p,n-t (ô El -y^ - Mm) ,

• M,„+» =Y„„,-i^6 El ^-^ — Mm) ;

L'on voil immédiatement : l"" que le moment sur l'appui m esl toujours négatif lorsque le déplacement vertical y est positif (soulèvement de l'appui); 2^ que les moments sur les appuis précédents et suivants sont nécessairement de signe contraire à Mm et en général plus petits en valeur absolue (à moins que les longue urs7m et Im+i ne soient très différentes) ; 3^ que la droite représentative des moments, pour la travée m. passe à droite du premier foyer de cette travée ; que la droite relative à la travée m+i passe à gauche du second foyer F" (fig. 57).

Fig. 57.

Les lignes représentatives des moments pour les autres travées s'obtiendraient, comme dans le cas d'une charge agissant sur une seule travée, en construisant à partir des points Mm— 1 et MiM-f 1 des lignes brisées passant respectivement par les premiers foyers des travées situées à gauche du point m — 1 (m — 1 à 0) et par les seconds foyers des travées situés à droite du point m-f 1 (m-|-2 à n), aboutissant aux extrémités o et /i, et ayant leurs sommets sur les verticales des appuis.

On pourrait d'ailleurs calculer les moments successifs sur les appuis, en se servant des relations connues :

Mm— j == — Pn— » Mm— i Mm-|-ï ^^ — Y'*"*"*""* Mm-f-i

Mm— 3 = — pm— 3 Mm— 2 Mm+3 = — yn— m—s Mm.-}-t

Mm-* = — Pm— JfeMm-Ar+i Mm+fc= — yn-m— ikMm-| — ki

M, = — p, M, Mn-i = — yi Mn-,.

CH. I. — THEORIE DES POUTRES A SECTION CONSTAxNTE. 137

89. Moments Oéehissanls produits par le dépla« eemeiit de l'appui 1 oa de l'appui n — i • — Dans le cas oh

le déplacement y est subi par le deuxième appui de la première travée, c'est-à-dire Tappui 1, les formules précédentes deviennent^ ^m—t étant nul :

r+r(i + Yn-.)

M. = „, M. = - 6Ely -^^ ;, ., ^, .

Ma = — Yn a Mj, Mj = — yw-; Mg, .... etc.

Dans le cas où Tappui déplacé est le premier appui de la dernière travée {m= ii — 1) on a de même, yn— m— i étant nul :

.— (l + Pn-O+T- MH = o, Mn-. = - 6EIy , .0 3 w ., -

Mn— ; = — pn-; Mn~3, j ^tc.

S9. Momeiits fléchissants produits par le dépla* eement vertieal de l'une des extrémités de la poutre.

— Lorsque le déplacement y est subi par le premier appui de la poutre (w=o), les formules deviennent inapplicables, parce que leur recherche a été basée sur l'hypothèse préalable que Tappui déplacé était compris entre deux travées successives. Si Ton applique à ce cas particulier le théorème des trois moments, les seconds membres de toutes les équations sont nuls, sauf celui de la relation (1), qui devient :

Remarquons que

i38 POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES,

et que

2{/|H-/,)-/,Yii-.= ^'

d'où:

Ml = y»__i . - -

6EIy

Ml = — yn-ï Ml , M8=— yn-aMi , etc.

La ligne brisée représentative des moments passe par les seconds foyers de toutes les travées, sauf la première.

De même s'il s'agissait de l'extrémité opposée de la poutre (m=n), on trouverait :

Mfi-i=Pn-i-^, Mn-«=— Pii-iMm^i, Mn-3=— Pn-aM»— ,» etc.

La ligne brisée représentative des moments passe par les premiers foyers de toutes les travées, sauf la dernière 7i.

40. Moments fléchissants prodalts par les déplacements simultanés de plusieurs appuis, i-. Supposons

que tous les appuis aient subi en même temps des déplacements différents en grandeurs et en signes, y^, yt, y» ... t/w II. conviendra de calculer séparément les moments produits sur tous les appuis parle déplacement vertical de chacun d'eux considéré à part : on obtiendra ainsi, en se servant des formules et des constructions graphiques indiquées dans les articles précédents, une série de lignes brisées correspondant chacune au déplacement de l'un des appuis. Il suffira ensuite de faire pour chaque appui la somme algébrique des moments partiels fournis par chacune de ces lignes brisées pour avoir le moment total produit par les déplacements simultanés de toutes les piles du pont.

Il est évident que si tous ces déplacements s'étaient opérés de façon à ne pas modifier la courbe décrite par la fibre moyenne de la poutre, il s'établirait une compensation entre les momenls partiels développés au droit de chaque appui, de telle sorte que leur somme serait nulle, la fibre moyenne n'ayant subi aucune déformation susceptible de développer

dans le métal des efforts supplémentaires. On peut donc toujours, sans rien changer au résultat du calcul, admettre que la poutre a subi un mouvement vertical de translation et un mouvement de rotation autour de l'une des extrémités de la fibre moyenne, en même temps que cette fibre se déformait. En conséquence, au lieu de mesurer les déplacements y à partir de la position initiale réelle de la fibre moyenne supposée recliligne, on les mesurera à partir d*une droite quelconque choisie arbitrairement. On déterminera cette droite par la condition de passer, après la déformation, par le plus grand nombre possible de points d appui, de façon à réduire

Fig. 68.

au minimum le nombre des op(^rations à faire. Dans le cas de la figure 58, la position initiale de la fibre étant par hypothèse la droite i. 2. 3. 4. 4. 6. 7. 8. 9, et sa position finale la ligne 0'1'2'3'4'5'6'T8'9', dont tous les sommets, sauf un seul (4), s'écartent de la direction primitive, il faudra mesurer les déplacements, non pas à partir de cette direction, mais à partir de la droite auxiliaire m l'2'5'7'8' n qui passe par 5 sommets de la fibre déformée, ce qui réduit à 5 (0',3',4',6',9') le nombre des points d'appui dont les déplacements verticaux, mesurés par rapport à la droite m ?i, devront être soumis au calcul. Il résulte de cette convention que Tappui (4), qui est en réalité le seul à n'avoir pas bougé, sera supposé cependant s'être déplacé de sa position initiale, que la fiction admise conduit à considérer sur la droite mn.

Cette remarque subsisterait dans le cas où la fibre moyenne initiale serait brisée ou curviligne. On peut toujours en effet la supposer rectiligne sur Tépure, à la condition d'y porter les longueurs exactes, en grandeurs et signes, des déplacements

subis parles appuis (00', 11' 99'). Les valeurs des moments dépendent non de la forme réelle de la fibre, mais des déplacements verticaux subis par ses différents points.

41. Travail maiiLimum à la flexion dû à la dénivellation de* appuis — Connaissant le moment fléchissant Mm développé en un point quelconque de la poutre (qui peut n*ètre pas un appui) le travail maximum du métal T^ sera^ en supposant, suivant le cas général de la pratique, la section de la poutre symétrique par rapport à son centre de gravité, et désignant sa hauteur par h :

Pour avoir immédiatement T,;,, il suffira donc de remplacer, dans la formule qui donnerait M,», le facteur 6 El par le facteur 3 EA.

Considérons une série de poutres semblables au point de vue de la répartition des appuis, c'est-à-dire ayant même

nombre n de travées et telles que le rapport -p de l'ouverture

d'une travée quelconque, définie par son numéro A% à celle de la première soit le même pour toutes les poutres.

Le travail maximum développé dans une section quelconque M de Tune de ces poutres par le déplacement y d'un point d'appui m sera représenté par la formule :

N étant un coefficient dépendant uniquement du mode de répartition des appuis, de la position du point M choisi sur la travée /i, et du numéro m de l'appui déplacé. Ce coefficient aura même valeur pour toutes les poutres semblables considérées.

Nous en conclurons que le travail maximum dû au déplacement d'un appui est, toutes choses égales d'ailleurs : 1° proportionnel à la grandeur de ce déplacement, ce qui est évident a priori ; 2'' proportionnel à la hauteur h de la poutre ; 3o inversement proportionnel au carré de l'ouverture.

CH. I. — THEORIE DES POUTRES A SECTIOiN CONSTANTE. 441

Par conséquent, lorsque par suite de circonstances particulières, on a à craindre que les piles d'un pont ne subissent des tassements importants, il convienl, pour réduire le plus possible les efforts développés dans le métal par les déplacements des appuis, d'augmenter les longueurs des travées, et de diminuer le rapport de la hauteur de la poutre a Touverture. Telle est la raison qui justifie la pratique des constructeurs européens de ne pas dépasser 1/10 pour la valeur du

rapport - dans les poutres à travées solidaires, tandis que les

Américains ont reconnu que, pour les poutres à travées indépendantes, où la dénivellation des appuis ne modifie en rien le travail du métal, il est préférable, au point de vue de l'économie, de dépasser notablement cette proportion. Pour les ponts établis sur des fondations inspirant peu de confiance, on sait qu'il peut élre prudent en certains cas de réduire encore ce rapport et de le faire tendre vers 1/20. On se tromperait absolument en se bornant, pour parer aux accidents, à accroître le moment d'inertie de la poutre, sans rien changer à sa hauteur, puisque la formule précédente montre que T„i est indépendant de I, et qu'en faisant varier le moment d'inertie on fait croître proportionnellement le moment fléchissant, et par suite on ne modifie en aucune façon la valeur du travail du à la dénivellation des appuis.

Les rails de chemins de fer, qui fonctionnent comme des poulres continues, doivent présenter une hauteur d'autant plus faible que le terrain sur lequel ils sont posés offre moins de régularité, do résistance et d'élasticité. Dans les premiers temps de la construction des chemins de fer, on se servait parfois, pour les travaux de terrassements, des rails destinés à constituer plus tard la voie définitive ; on a reconnu que ces rails subissaient des détériorations très onéreuses. Les entrepreneurs se servent aujourd'hui de rails de très faible hauteur qui font un meilleur service sur les plateformes non ballaslées, et par suite mal réglées et dépourvues d'élasticité, La formule précédente justifie cette manière de procéder. C'est par ce motif que les Américains se servent sur leurs

ut POUTRES A TRAVKES SOLIDAIRES.

voies non ballastées du Far West de rails légers de faible hauteur, à section piriforme, tandis qu'ils adoptent les modèles européens pour les lignes ballastées des étais de TEst.

49. Caleal des effort» tranchants produit» par la dénivellation de» appuis. — Connaissant les moments

fléchissants totaux Mm et Mm-i développés par la dénivellation des appuis aux extrémités m ci m — 1 de la travée m, il est facile d'en déduire Féqualion de la droite représentative des efforts tranchants :

-y Mm — Mm— 1

La réaction verticale développé sur Tappui m est égale à la différence des efforts tranchants correspondant à cet appui dans les deux travées adjacentes m — 1 et m. On a donc :

^ Mm— Mm— I Mm— 1 — Mm-fi

Qm peut être négatif ou positif suivant les cas : il se retranche ou s'ajoute au poids supporté par la pile.

Il peut arriver que Qmsoit négatif et plus grand, en valeur absolue, que la fraction de la charge et de la surcharge supportée par la pile. En ce cas, la réaction totale de lappui est négative, et la poutre se trouve retenue, au lieu d'être soute* nue. Si, ce qui arrive en général, Tappui n'est pas relié inva* riablement à la poutre, celle-ci cesse de porter sur lui, et se comporte comme si Tappui m était supprimé^ les travées m et m+1 n*en formant plus qu'une seule. Ce phénomène, qui n'est guère susceptible de se présenter pour les grands ponts, s'observe fréquemment dans les voies ferrées : certaines traverses, dites danseuses, se soulèvent et cessent de porter sur le sol. C'est généralement l'indice d'une voie mal réglée et mal entretenue, ou établie sur un ballast défectueux et dépourvu d'élasticité ; on y remédie en remplaçant le ballast et eu vérifiant la pose et le bourrage. Cela peut aussi être le ré-

sullat d'une faute de conslruction : on peut se figurer qu'en multipliant le nombre des traverses et en réduisant leur écartement, on rendra une voie quelconque susceptible de supporter des charges indéfiniment croissantes. C'est une erreur : Técartement des traverses dépend autant de la raideur des rails et de l'élasticité du ballast que de l'importance des charges roulantes.

Avec un rail très rigide et un ballast très compressible et peu élastique, on n*arrivora, en rapprochant les traverses, qu'à augmenter le nombre des danseuses, sans résultat utile au point de vue de la solidité de la voie. Les voies reposant directement sur un sol mal réglé, compressible et sans élasticité, comme les plateformes des chantiers de terrassements, doivent être établies avec des rails de très faible hauteur, pourvus de traverses très rapprochées (voies Decauville), qui malgré leur faible poids se comportent tout aussi bien, et même mieux que les rails lourds et élevés qu'on pourrait être tenté de leur préférer ; ces derniers, s'ils supportent mieux la charge dans l'hypothèse d'appuis invariables, sont susceptibles de se détériorer et de se briser par suite des tassements du sol, dont ils ne sauraient épouser la forme comme les rails légers. Les Compagnies de chemins de fer ont donc raison, lorsqu'elles augmentent le poids des rails destinés aux voies les plus fatiguées, de ne pas en faire croitre la hauteur, ce qui en réduirait la flexibilité.