FORMULES
Limites des sônes
auxquelles
se rapportent les
formules
Travée de rive :
Charge permanente.. (1) X = biX — —
Surcharge variable...
(4) X'=b,X'hc,
Travées intermédiaires :
Charge permanente., (i) X
ai + btx — —
i(2) X'=a^-i-biX + Ci
Surcharge variable... {(3) X"
âtj + b^x — j
x' <ix<Z X
Nous rappellerons que les moments fournis par ces formules présentent les signes suivants :
Formule (I) : X est positif entre les abscisses 0 et x, pour la travée de rive, X, et x, pour les travées intermédiaires, et négatif pour toute valeur de x plus grande que x, ou plus petite que X,.
Les abscisses limites :r, et :r, se calculent en posant X = 0 dans la formule (1) et résolvant par rapport à x l'équation ainsi obtenue, ce qui donne les résultats suivants :
Travée de rive : x, ^ 0 , x, ^ 2bi 8'.
Formule (3) : X" est toujours positif.
Formules (2) et (4) : X' est toujours ndgatif.
ftS. Tracé dra courbe*. Connaissant les équations des dîfférenls arcs de l'épure, il n'y aura plus, pour le tracé de ces arcs, qu'à suivre les règles indiquées à l'article 25, cl que nous reproduisons ici.
Moments produits pur la charge permanente, — On tracera, soit par points, soit à l'aide d'un patron taillé ad hoc, la parabole de la charge permanente, en portant au-dessous de l'axe dos X toutes les valeurs, positives ou négatives, obtenues pour X. Les points 0, et 0, de rencontre de ta parabole avec l'axe des x correspondent au\ abscisses calculées x, et x^. Il peut arriver exceptionnellement que ces abscisses soient imaginaires, et que la parabole soit située toute entière au-dessous de l'axe des x (fig. 47, page 108). Le cas où x, serait plus petit que o, ou j:, plus grand quel (iig. 48, page 109} ne se présente jamais, lorsqu'il s'agit de poutres symétriques. Il n'y a donc pas à le considérer.
Moments produits par lasurcharffe variable. — On marquera d'abord les foyers F' et F", dont les abscisses x' et x" ont été calculées à l'avance. Ensuite on tracera, soit par points, soit à l'aide du patron de la parabole, la courbe des X" représentée par l'équation (3) entre les ordonnées verticales des deux
foyers. On tracera par points les courbes des X' entre les ordonnées passant par le premier point d'appui et l'ordonnée du foyer F' avec la formule (2), et entre les ordonnnées passant par le second foyer et le second point d'appui avec la formule (4).
Le calcul des X' s'effectuera aisément en choisissant pour valeurs successives des x^ dans le cas de la formule (2), des fractions de l'abscisse x' du premier foyer portées dans la colonne de la table numérique I. On trouvera dans la colonne 3
de cette table la valeur correspondante de la fraction -; — - — rr
qu'il n'y aura plus qu'à multiplier par c, pour avoir le dernier terme de la fonction (2).
On procédera de même pour la formule (4), avec cette différence que la valeur choisie pour x devra être telle que le
rapport - — — figure dans la colonne 1 de la table I. La troi-
sième colonne de cette table fournira de même immédiate-
ment la valeur numérique de la fonction '
V 3i— or"/
Prenons un exemple numérique : soit a: =0,1820.
Nous nous proposons de calculer 5 points de la courbe représentée par la formule (2). Nous choisirons les abscisses suivantes pour lesquels la table I fournira les valeurs de la
fonction de — :
X = 0,23 af = 0,0455 , X == 0,50 x' = 0,0910 , a = 0,75 x' = 0,1365, x = x' = 0,1820.
De même supposons que l'on ait : x' = 0>8160.
172 POlîTIiES A TRAVÉES SOIJDAIRES.
Nous choisirons les abscisses suivantes, pour lesquelles la valeur de la fonction est donnée par la table I :
Dans le cas où il s'agirait de la première travée, on suivrait la même méthode pour le tracé de la courbe représentée par la formule (4), avec cette différence que les valeurs de la fonction qui multiplie le coefficient c^ seraient fournies, non plus parla troisième, mais par la seconde colonne de la table, qui se rapporte spécialement à la travée de rive.
Ayant ainsi obtenu les valeurs des derniers termes des formules (2) et (4), le calcul du terme où x entre comme facteur du premier degré s'effectuera sans difficulté, et le premier terme étant un nombre déjà connu, a^ ou a^, on obtiendra immédiatement la valeur de X"^.
Ayant tracé, entre les ordonnées 0, x\ x" et 1, les courbes représenlées parles formules (2), (3) et (4), on élèvera chacune des verticales passant par les points Oi et 0, jusqua la rencontre d'une de ces trois courbes, et Ton joindra par une droite ce point à l'extrémité de la courbe voisine, située sur la verticale d'un foyer (fig. 46, page 107). Ces droites compléteront la courbe représentative des moments fléchissants dus à la surcharge. Elles ne seront rigoureusement exactes que si x^ > X et Xi < x" . Dans le cas où Oj serait à gauche de F', ou Oi à droite de F", la droite correspondante ainsi tracée se confondrait en général avec la courbe exacte, Oi étant très voisin de F' et Oj de F". Dans Thypothèse exceptionnelle où, Xi étant très différent de a?', ou Xi de x\ on aurait des doutes sur l'exactitude de l'épure ainsi établie, on pourrait toujours tracer par points la courbe exacte, dont l'équation s'obtiendrait facilement entre Oj et F', en retranchant la formule (2) de la formule (1) ; entre F" et O2, en retranchant la formule (4) delà formule (1): cela revient en somme & ajouter les ordonnées
de la parabole des X aux ordonnées de la courbe des X' relatives respectivement aux mêmes abscisses.
Dans le cas de la figure 46, cette règle serait applicable pour la travée 2 entre les*poinls V et R, où l'on doit substituer à l'arc de la courbe des X' un arc delà courbe des X" : X" = X — X' : on voit que le bénéfice de cette opération, au point de vue de l'exactitude, serait insignifiant.
Si Xi et Xi étaient imaginaires, la parabole (3) disparaîtrait et serait remplacée de cv' en x' par la droite joignant les extrémités des courbes (2) et (4) (fig. 47). Ce cas est très rare en pratique; il ne peut se présenter que pour la seconde travée d'une poutre de 3 ou 4 travées, au plus, avec la condition S < 0.9. Or, en général, S est plus grand que i.
On peut se proposer encore de calculer les valeurs des maxima de X et de X" correspondant aux sommets des paraboles représentées par les formules (1) et (3). Ce calcul ne présentera aucune difficulté : On se servira des formules suivantes :
Charge complète^
Surcharge va-
Absctsse du soui- Moment au sommet do la parabole met de la i)araboIe
Travée de rive s = 6,S* Xg == ~-
Travée interméd. 5 = A, X, = ai -f- -r
Travée de rive s' = ^3 Sj X%' =
Travée interméd. s' = b^ X'V=a3-i
Vf riable î ^ r ^r« . V
54. Ememple numérique — Nous ne croyons pas inutile de donner, à l'appui de Texposé qui précède, un exemple numérique, qui précisera la marche à suivre, et fera ressortir la facilité avec laquelle on peut, avec notre méthode, effectuer en deux ou trois heures de travail les calculs de stabilité relatifs à une poutre symétrique quelconque. Nous considérerons une poutre de neuf travées {n est impaîrj, pour laquelle on a S == 1,50. Les tableaux numériques à dresser seront les suivants :
Séries
numériques (Formules de l'article 48).
licoDvienl de calculer u à l'aide des formules de Tart. 48, et de déterminer p par logarithmes, avec la relation :
Log ^m = Lg (± Um) — Log (± Wm+i),
OÙ (dz Um) représente la valeur absolue positive de Um et (±: wm-i) celle de Um+i.
L'emploi du logarithme de p permettra de simplifier la recherche des valeurs de J et de II, dont Fespression analytique contient les produits p», Pn— m-i et ^n^m Pm— i-
2® Coefficients numériques (Formules de l'article 49).
3^* Abscisses des foyers (Formules de l'article 50).
N«*dM travées
4*" Moments sur les appuis (Formules de Tarticle 51).
(Tableau II pour B et D, puisque n est impair; Tous ces moments sont négatifs.
N*> des «ppuis
Les moments relatifs à Tappui (o), qui ne sont pas fournis par les formules de Tarlicle SI, où l'on suppose toujours 2m < «, sont donnés par les relations suivantes, qui résultent de la symétrie de la poutre :
A, = A; , B,=B, , J, = II;, Hs = Jv , D,=A, — D;.
5® Epure des moments fléchissants.
Coefftdeîits des équations des différents arcs,
(Formules de l'art. 52)
Numéros des Travéei
S go
Ct
G"" Abscisses Xi et x^ des points de rencontre de la parabole (1)
de la charge complète avec taxe des x,
(Formules de Tari. 52).
POUTHKS A THAVÉES SOLIDAIRES.
Fig. G:J.
7^ Abscisses des sommets des paraboles et maocima des moments positifs (Formules de Tarticle S3).
Numéros des travées
Charge complète :
Surcharge variable :
0,50i9io
La figure 63 est Tépure des moments fléchissants dressée à Taide de ces résultats numériques : nous avons superposé les courbes relatives à toutes les travées, en plaçant le point o, origine de la première travée, au 1/3 de la longueur horizon-
taie L, ouverture commune des travées intermédiaires (?=^-L).
Nous avons distingué chaque courbe par le numéro de la travée à laquelle elle se rapporte.
66. dmploi des tables numériqaes. — Bien que le calcul d'une poutre symétrique, en suivant les règles pratiques que nous avons exposées, ne soit ni bien compliqué ni bien long^ il nous a paru utile de compléter cette étude par des tables numériques analogues à celles de M. Bresse (auxquelles nous avons fait plusieurs emprunts), qui faciliteront le tracé des épures des poutres continues, lorsque le rapport S présentera une des valeurs suivantes: 0,7, 0,8, 0,9, 1,00, 1,10, 1,20, 1,2S et 1,30. Comme nous le verrons plus loin, il est bon que la valeur de S soit toujours comprise, autant que les circonstances s'y prêtent, entre 1,00 et 1,30. Ces tables permettront donc, le cas échéant, de se dispenser des calculs préliminaires relatifs à la recherche des équations des courbes ; lorsque S aura une valeur intermédiaire entre celles indi-
quées ci-dessus, ou pourra toujours, au moins à litre de première approximation, se servir des tables en procédant par interpolation.
La table I fournit pour différentes valeurs, croissant régu-
lièrement de 0 à 1, de - et (col. i) : V les valeurs de la
fonction-^ j (col. 2), qui est facteur du coefficient nu-
mérique c^ dans Téquation (4) relative à la travée de rive ;
2° les valeurs des fonctions-- — - — —et -7 — — ; — ^, (col.3),
V""3?/ V ""3 l-a?"/ qui sont respectivement facteurs des coefficients numériques Ct etCi dans les équations (2) et (4) relatives à une travée intermédiaire quelconque.
Dans le cas où Ton aurait affaire à une poutre continue à section constante non symétrique^ les indications de cette table pourraient encore être mises à profit (page 82).
La table II fournit les valeurs des termes des séries numériques p, dont on a besoin pour calculer les effets de la dénivellation des appuis et du lancement. Le dernier terme ^n-^ de chaque série, qui seul dépend à la fois de n et de S, est donné à part pour chaque valeur de n considérée en particulier.
La table III fournit : 1^ les valeurs de tous les coefficients numériques des équations relatives aux moments pour la travée de rive et les travées intermédiaires («i, ôi, o^, ô„ c„
«8î 6»? Czy a^, Ô4), ainsi que le coefficient — du terme en x*
dans les équations (1) et (3) de la travée de rive; 2<> les abscisses des points de passage, dans Tépure, d'une courbe à la courbe suivante : foyers {x\ a:'", 1 — x") et points Oi et Oj où s'annulent les moments dus à la charge permanente [x^ et ^1). Cette table III permet d'écrire immédiatement toutes les équations de la page 169 (art. 52), et fait connaître les limites entre lesquelles elles devront être utilisées.
La table IV donne enfin les valeurs des moments maxima positifs dus à la charge complète et à la surcharge variable : Xs et XV. Nous avons jugé superflu d'ajouter à ces renseignements les valeurs numériques des abscisses s et s' correspondant à ces maxima, ces abscisses se déduisant avec la plus grande facilité des indications de la table III : pour une travée intermédiaire s est égal à A„ «' k b^ ; pour la travée de rive s est égal à Al X» et 5' à 6, X*.
Nous nous sommes borné à donner tous les nombres avec cinq décimales : cette approximation dépasse les besoins de la pratique, et nous aurions même pu supprimer, sans aucun inconvénient sérieux, une ou deux décimales : il est plus que suffisant de connaître les valeurs des moments à moins d'un millième près. En effet le désaccord, qui existe forcément entre les conditions effectives d'établissement d'un pont et les bases théoriques des calculs, ne permet jamais d'espérer que l'on puisse se rapprocher de la vérité avec moins d'un centième d'erreur, en mettant les choses au mieux : on sait que les poutres existantes sont loin de réaliser l'hypothèse de la section constante, qui a servi de base à notre méthode, et que d'autre part les épaisseurs des tôles ne sauraient être, dans les applications, réglées à moins d'un demi-millimètre près. Dans l'exemple numérique de l'article 54, nous avons calculé les nombres avec six décimales : or, dans le tracé de l'épure correspondante (iig. 63), c'est tout au plus si nous avons tenu compte de la troisième décimale ; les trois décimales supplémentaires se sont trouvées inutiles.
En ce qui concerne le calcul des poutres à deux travées égales, nous renverrons au chapitre précédent (page 128), où, la question a été complètement traitée.
é^. Travée normale. — Considérons une poutre définie
par le coefficient S=-t et par le nombre n de ses travées.
Prenons, dans l'une des tables II, III ou IV, un renseignement numérique relatif à l'une des travées de cette poutre, que nous distinguerons par son numéro d'ordre m. Soit Wm ce coefficient, qui peut être choisi & volonté dana
Tune quelconque des colonnes verticales que conliennenl ces tables.
Supposons maintenant que, sans rien changer à S ni à m, nous fassions croîlre le nombre 7i des travées depuis sa limite inférieure 2m — 1 jusqu'à Tinfini, et cherchons dans la colonne du coefficient W quelle sera la variation correspondante de Wm. Nous constaterons que ce coefficient se modifiera en se rapprochant de sa valeur limite Wm, dont il ne s'écartera que d'une manière insensible pour une valeur assez peu élevée de n (comprise entre 7 et 12, suivant le numéro d'ordre de la travée, lorsque X est lui-même compris entre 0,7 et 1,3).
Il résulte de celte remarque que les tables II, III, IV, qui ne contiennent qu'un nombre très limité de renseignements numériques, permettent de tracer les épures relatives à toutes les poutres imaginables, dont les ^ figurent dans ces tables, depuis ;i = 3 jusqu'à n = oo .
Considérons à présent la valeur limite W,i? établie pour un coefficient W relatif à la travée de rang m, avec une valeur déterminée de h. Supposons que nous fassions croître m jusqu'à l'infini. Le coefficient Wm variera lorsque l'on passera d'une travée à la suivante, mais il se rapprochera très rapidement d'une limite W, dont il ne différera que d'une manière insignifiante dès que m aura atteint une valeur peu élevée (3 à 7, suivant les cas, lorsque S est compris entre 0,7 et 1,3). Cette limite W est indépendante de X. Nous en concluons : 1° que, théoriquement, l'épure relative à la travée de numéro infini est indépendante du coefficient X ; 2"* que, pratiquement, dans une poutre symétrique quelconque, toutes les travées comprises entre les appuis de numéros 6 et « — 6 (n étant supposé plus grand que 12) se trouvent identiquement dans les mêmes conditions de stabilité, Tépure des moments fléchissants étant la môme pour toutes, quels que soient S, 71 et m, tout au moins lorsque l'on a 0,7 < S <C 1,3.
Nous appellerons travée normale des poutres continues cette travée limite, dont les travées successives d'une poutre symétrique quelconque tendent de plus en plus à se rapprocher au fur et à mesure que croit m, quels que soient S et n, et avec
laquelle elles se confondent sensiblement dès que m dépasse 6, lorsque S est compris entre 0,7 et 1,3.
Les premières travées, comprises entres les appuis 0 et 6 (pour 0,7<:;S<1,3), s'écartent loules plus ou moins de la travée normale (fig. 63). L'épure de stabilité oscille autour de répure relative à la travée normale, la valeur d'un coefficient numérique W étant tantôt plus petite et tantôt plus grande que la limite W, lorsque l'on passe d'une travée à la suivante.
Il est à remarquer que, pour une travée de rang déterminé m, l'écart existant entre elle et la travée normale est d'autant moindre que S se rapproche plus de la valeur particulière 1,25 (fig. 64).
En résumé, lorsqu'une poutre conlinue comporte plus de douze travées (0,7<S<1,3), celles qui sont comprises entre les 6* et n — 6* appuis se rapprochent suffisamment de la travée normale pour qu^on puisse tracer leurs épures de stabilité avec les renseignements fournis par les tables II, III, lY, en regard de l'indice m =00.
Quand on se propose de réaliser le maximum d'uniformité entre les travées successives d'une poutre continue, en réduisant le plus possible les écarts que présentent leurs épures de stabilité par rapport à celle de la travée normale, il convient de prendre pour S la valeur 1,25, ce qui revient à attribuer à
la travée de rive les 4/5 de l'ouverture d'une travée intermé-
diaire : /=-L. C'est dans ces conditions que l'on obtient la
meilleure utilisation du métal, parce que la hauteur constante admise pour la poutre convient également à toutes les travées, et que l'épaisseur des tôles des platebandes varie entre des limites aussi rapprochées que possible, qui sont sensiblement les mêmes pour toutes les travées. La figure 63 montre que pour X =1 ,5 (soit 1=2/3 L) l'écart entre la travée de rive et une travée intermédiaire est considérable, si l'on établit la comparaison avec le cas de la fig. 64, oùw = 7 et S = 1,25.
Les formules à employer pour tracer les courbes des moments relatives à la travée normale des poutres continues, qui sont indépendantes, ainsi qu'on l'a vu, de S, n et m, sont les suivantes :
a:' = a:i =0,21132, :c" = ar, = 0,78868,
Les points F et Oi coïncident; il en est de même des points F' et 0,.
0<a:<l,(l) X=-i-f.îar-îx«
0<«<0,21i32, (2) X'zz——(i+V3)+0,05283i+fji^--0,05283l|a7— 0,052831 î>[^^
ce. II. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. 183
0,2H32<a:<0,78868, (3) X"=— ^-^a;— jx»
0,78868<:c<l, (4) X'=^-[j^-0,0S283l]a:-0,052831 cp (j^,)
=0,0305— 0,0915ar— 0,0528
Auu
()OIW
(KU3ê
Fig. 65.
c^om
Les maxima positifs de X et de X" s'observent au mitîeu de la travée |s=s'=-|, et ont pour valeurs respectives :
Xj = ^ = 0,0417, X'V = ^ = 0,0833 .
La figure 65 représente l'épure relative à la travée normale.
