A=A+BX

Kuilemburg(Leck)

Une semelle rectiltgne. Tablier

\T\îàr\MTlfia. 19ft^

Moerdyck ., «„ io«\ (Hollandsch Diep) *^- ^^' ^^>-

Bommel (Wliaal)

id.

Dusseldorf (Rhin)

id.

Wesel (Rhin)

Thorn (Vistule)

id.

Nimègue (Wbaal)

id.

Schandau (Elbe)

id. (flg. 187)

Dinan (Rance)

id. (flg. 188)

Sigmaringen (Dtnvbe)

id.

Boom (Rupel)

id.

Semelle inférieure horizontale.

n^«.in«i«— /Ai««o\ ; Tablier intermédiaIre.TreillIs Pommiers (Aisne) < , .„ .

i à mailles serrées avec mon-

l lAnts psnaci^s

Tilsitt (Memel)

Deux semelles courbes.Tablier inférieur

19*. Fermes de toit. — Bien que ce sujet sorte de notre programme, nous étudierons un genre de poutre qui se présente, au point de vue do la stabilité, dans des conditions toutes spéciales. C'est la ferme de toit (fig. i39), que nous définirons comme il suit : la semelle supérieure, en forme de chevron, se com- ^ ^^ pose de deux arbalétriers rectilignes,

* ^^"<:^>^ qui se rencontrent au milieu de la por-

*• ( •! lée. La semelle inférieure peut être

Fig. 139. tracée suivant une horizontale ou sui-

vant une ligne brisée en chevron^ mais îivec une flèche moindre que pour la semelle supérieure. La hauteur est nulle sur les appuis. Nous admettrons comme d'habilude que les réactions des appuis soient verticales et

CH. IV. — POLTKKS DE UAUTECK VAlUAbLE. 38o

égales chacune à la moitié du poids lolal - (p +/?')/; il n'y a

pas de poussée sur les appuis.

Soient H la hauteur de la ferme en son milieu et a la fièche de la semelle inférieure.

On a :

'*=— î tga = -^-y— ; lga' = -y;

dh ^ ^ , 2H dh i

- = tg (X + tg a = v ; 7T = "•

Emploi des formules usuelles. Appliquons la formule de Tarlicle H8 à la première moitié de l'ouvrage ( 0 <a: <- 1 :

(i) cos a = (i> cos a = — = - ■ (/ — a:) .

Semelle supérieure : iù=\ ^^^rp v//* + 4{H + a)« {l — x); Semelle inférieure : «' = 7 ^^^ v/i* + 4a' (/ — z).

L'aire de la section droite d\ine semelle diminue réguliëment à partir de Tappui jusqu'au milieu de Touverture : le

rapport des aires extrêmes (x=0 et x=t\ est - •

Calcul de t effort tranchant réduit :

Minimum négatif : W = T" — Xt'/ - = — î P^ î

Maximum négatif : W = T' — X^^ - = — j (P + P') ^•

L'effort tranchant réduit est donc toujours négatif, c'est-à-dire de signe contraire au plus grand effort tranchant absolu T", et il atteint sou maximum lorsque la surcharge couvre soit la totalité de l'ouverture, soit la portion comprise entre la section considéré et Tappui le plus voisin. D'autre part, \V" croît à partir de Tappui jusqu'au milieu de Touverture, depuis 0 jusqu'à -(»+;?y.

POUTRES A TRAVÉKS SOLIDAIKKS.

Nous avons déjà menlioniié celle propriété remarquable, en parlant des poutres dont la hauteur croit plus rapidement que le moment de flexion M (page 343).

Considérons une poutre droite de hauteur constante : Tépaisseur de chaque platebande va en croissant depuis Fappui jusqu'au milieu de Touverture ; les pièces de la triangulation sont calculées en vue de résister au maximum de Teffort tranchant absolu positif T", qui va en décroissant de l'appui

(1 — L-| au milieu (^ ) ; d autre part, il faut que cette triangulation puisse résister à des efforts tranchants négatifs T' qui se manifestent dans la zone centrale, et vont en croissant depuis l'extrémité antérieure de cette zone, située à une certaine distance de l'appui (T'==o) jusqu'au milieu (T'= — T''

= — ^y Dans le cas d'une triangulation à montants, on est

forcé de recourir à l'emploi de contre-tirants qui. remplissent le but voulu. Dans la figure liO, les doubles traits représentent les éléments comprimés, les traits simples les éléments tendus et les lignes pointillécs les contre-tirants.

Passons à la poutre dont le profil est représenté par la formule : /i=v^A-hBM— v^Â.

L'épaisseur do chaque semelle est sensiblement constante

d'une extrémité à Tautre, ou du moins varie très peu ; la zone centrale s'c^largît, les W" diminuent et les W croissent en valeur absolue. On a d'ailleurs toujours — W'< W", sauf au milieu de l'ouverture où Ton a — W=

W"= \ pi.

Pour la poutre à semelles paraboliques {h == KM), Tépaisseur de chaque semelle va en croissant de Tappui au milieu. La zone centrale s'étend sur toute Touverture, d'un appui à l'autre : pour une section transversale quelconque, on a W'= — W". La triangulation doit être établie de façon à travailler indifféremment dans un sens ou dans l'autre : les contrertirunts ont donc absolument la même importance que les

Flg. 140.

cil. IV. — POUTRES DE H.VLTELR VARIABLE.

tirants, et, s'il s'agit d'une construction à montants verticaux, les deux bras de chaque croix de Si-André doivent avoir la même section.

Enfin, si Ton passe à la ferme de toit, la transformation est

complète ; l'épaisseur de chaque semelle croît de Tappui jusqu'au milieu dans le rapport de 1 à 2. Les Fig. 141. efforts tranchants réduits sont

toujours négatifs, quelle que soit la disposition de la surcharge, et le sens de la triangulation est inverse de celui qui convient à la poutre de hauteur constante. Enfin W croît à partir de Tappui, et c'est au milieu de l'ouverture que les sections des pièces de la triangulation atteignent leurs plus grandes valeurs.

Si Ton voulait munir cette ferme d'une triangulation à montants verticaux, il faudrait adopter le type représenté par la figure 141 ; il n'y a pas lieu d'établir de contre-tirants, puisque l'eflbrt tranchant n'est pas susceptible de changer de signe, et l'inclinaison des tirants est nécessairement inverse de celle admise pour la poutre de la figure 140. Ce type est défectueux, parce que les montants et les tirants rencontrent rarbalétrier sous des angles très aigus et ont leurs directions situées d'un même côté de la normale à cet arbalétrier.

On peut recourir au système inverse et munir la ferme de tirants verticaux et de bras obliques ou conirefiches (fig. 142). Le tirant central ou poiriçon est soumis à un effort de traction

représenté par - (p + p')/» c'est-

à-dire égal à la moitié de la Fig- 142. charge totale : cela est évident,

puisque l'effort tranchant réduit change de signe et passe de

(p f-p')/à+ - (p-+-p')Z, quand j: passe par la valeur -.Le

type représenté par la figure 142 a encore Tinconvénient de nécessiter des assemblages obliques entre les arbalétriers et lescontrefiches, défaut grave surtout pour les fermes où les éléments comprimés sont en bois.

POUTIIES A TKAVKKS SOLIDAIRES.

Fig. 143. — Fig. 144.

Les deux types des figures 143 et 144, dont le premier comporte un poinçon ou tirant central vertical et des tirants obliques, et l'autre uniquement des tirants obliques, n'offrent pas ce défaut, puisque toutes les contrefiches rencontrent les arbalétriers sous des angles de 90"" ; ils corn portent nécessairement le remplacement de la semelle inférieure horizontale des figures 141 et 142 par une semelle en chevron formée de deux tiges inclinées se rencontrant au milieu (fig. 143) ou réunies entre les tirants obliques du faite par une pièce horizontale (fig. 144).

La ferme Polonceau simple (fig. 145) est un dérivé du type de la figure 144 : elle ne comporte plus qu'une seule contrefiche, normale au milieu de Tarbalétrier. — La ferme Polonceau composée (fig. 146) est une poutre complexe analogue à la poutre Fink :

on en calculera les montants et contrefiches secondaires d'après la méthode exposée pour ce genre de ponts, dans le tome I des Ponts métalliques (page 158). Quant aux arbalétriers et tirants principaux, ils se calculeront comme dans le cas de la ferme simple.

Remarquons que Teffort supporté parla contrefiche centrale de la ferme Polonceau est double de leffort tranchant qui

correspond à l'abscisse •2^= ;» comme dans la poutre Fink.

Il arrive parfois que la semelle inférieure d'une ferme de

toit, au lieu d'être horizontale ou en chevron, est profilée suivant une courbe parabolique tournant sa convexité vers „^ ^^^ le haut (fig. 147).

Le profil en long est alors défini par la formule :

Fig. 145. - Fig. 146.

2 (H -g) la ,

crf. IV. — l'OlTUKS Kl-: IIAL'TEL'H VAUIAHI.K. 3«!)

Les relalions à employer pour le calcul des semelles et de l'elTorl Irancliaul sont dans ce cas :

Semelle supérieure ou arbalétrier :

" i H .fll-«)/ + 2rtar '

Semcllo inférieure :

1 (P + P') (' - i)\'t' + Hi»'[l~±t)'

EfTorl tranchant réduit W = —

Nous reproduisons ici une remarque déjà faile à propos des poutres courbes ou en chevron (page 3il). Si l'on suppose II et /constants, les Termes à semelles inférieures surhaussées (fig. 143 à 146) sont théoriquement d'autant plus lourdes que la flèche a de la semelle inférieure est plus considérable. Toutefois leur emploi peut être justifié, au pointde vue de l'économie, par la nécessité de réduire le plus possible tes longueurs des contreficbes centrales, qui sont les plus chargées, lorsque la hauteur du toU H 4-a est fixée à l'avance et ne peut être diminuée. II vaut toujours mieux, lorsqu'on en est le mal< tre, diminuer la portée du toit et abaisser le faite, que de surhausser la semelle inférieure.

Emploi des formules exactes. L'axe longitudinal de la ferme de toit représentée par la figure 139 est une ligne brisée qui s'écarte notablement de l'horizontale, avec laquelle chacun de

390 POUTRKS A THAVKKS SOLIDAIRES.

D'après la remarque faite précédemment à la page 335, TappHcalion à colle ferme dos formules approximatives établies pour les poutres, qui supposent i'horicontalité presqu'absolue de la fibre moyenne^ semble devoir conduire à des résultats inexacts. Il peut donc paraître intéressant, sinon indispensable, de comparer ces résultats à ceux que fournirait la méthode exacte de Tarlicle 105, et de déterminer ainsi Terreur cornmise.

Nous étudieronSfdans ces conditions nouvelles, la ferme du type représenté par la figure 143, avec contrefiches normales à Tarbalétrier, ou semelle supérieure, et tirants obliques. Nous admettons que la charge et la surcharge {p + p' par mètre courant horizontal) sont intégralement appliquées sur la semelle supérieure.

Soit AB une conlrefiche^ dont le point tl attache sur Tari»k'trior est à la distance horizontale x de Tappoi le plus roîsin : nous do>i^norv^n>« comme dliabitude : par Ru Teff^rt de compn*<*ïon subi en A par Tarbaletrier, par R *# re&rl d'extension subi eu B r>ar la souille inférieure, enfin par W la compensante verticale de IVrT-rt transmis à la ro&tre&eiie. ef«

fort uui est r4ur cv ns-. ouent rvi rescnie mt

La raïu't -r Ar ou \ Je 'a ftr.u-e a rc -rexrresjK-rn, en foBC-

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La \ --^'-i^ur AB i

T.:r-i:::^ ^>; i.a"»-« ^oc

nî-

en. IV. — POUTHES DE HAlTErR VARUBI.K.

= 2Hx^

C03(«-i<') l co8{b-«') l' + 4{H + o)a Nous calculerons les efforts Ru, R'u' et en égalant successivement à zéro les sommes des moments par rapport à B et par rapport à A, ainsi que les sommes des projections sur la droite AB, de ces forces inconnues et des forces extérieures appliquées à la portion de ferme OAB, c'est-à-dire la réaction

- (p-\-p') l de l'appui 0, dirigée de bas en haut, et la charge (p -\- p') X uniformément répartie sur la fraction d'arbalétrier OA, et dirigée de haut en bas.

Moments des forces par rapport au point B :

R^ = ^{p+p')^^'+î(P+P')('-ar)8ina

\ , , ,. COla' ,, . \ , , ,, .

v'? + 4(ll+a)" «— i) -ip+p') -

v'l'+4(H+o)' Momonls des forces par rapport au point A ;

RVmcos(«— «')=-(p+p')b— -(p+ji')x'=j(y+p')a:(/— i);

Projections des forces sur la direction AB :

;^^+RV «m {,.■) = -(;> + p)(;-2x) COS.;

W = - {p + p') C08 'a (/ — ix) — Rv ces « sin (et — «')

= — 2 (P + P') et»' •«:

392 POUTRES A TRAVKES SOLIDAIRES.

Nous résumerons dans un tableau comparatif les expressions analytiques d'o, d w' et de W fournies par les formules usuelles et les formules exactes.

Formules usuelles

i (p + p') cos a' 2 R sin (« — «')

'^=''^R-.iinr37,('-^)'

ou J^2±£)v/r + 4(H + a)'(/-a:);

, I (p + p') cos «

2 R sin (« — «')

nC— ^),

I ^-£^VF+45î (/ - .) ;

Formules exactes

!(£+£;> coso' t(p+P') .

2 R sin (a — a') ^ ' 2 R '

ou

, 1 (p + p') cos « ,. V i R sin (« - «')^ ' '

W = —-(/? + p) cos 'aa: ,

ou

-l^P-^P'h' + im + a)*''

CK. IV, — POUTRES DE HAUTEUIl VARIABLE. 393

Dans le cas parlicuHcr où nous nous sommes placé, les deux méthodes fournissent des résultais identiques en ce qui concerne la semelle inférieure (<o'). Pour l'arbalétrier, celle concordance n*existe plus : Teffort Rc» calculé par la méthode usuelle surpasse celui fourni par la méthode exacte de la moitié de la composante, suivant la direction de Tarbalétrier, de la portion de charge et surcharge appliquée entre Tappui Oet le

point considéré A : - (/? + />') sin xx, La méthode usuelle con-

duirait donc à augmenter, dans une mesure d'ailleurs très faible, alors même que Tangle x serait grand, Taire (o de la section droite de larbalétrier. Elle pèche par excès, mais Terreur commise est peu importante.

Pour l'effort tranchant réduit, on constate un écart de même sens, mais relativement plus sérieux. La mélhode exacte fait connaître, ce qui était évident a priori, que la contrefiche supporte un effort de compression représenté par la moitié de la composante normale à l'arbalétrier de la charge appliquée entre 0 et A :

= — i(p+p) cos ax.

cos a

Avec la méthode usuelle on trouverait pour une valeur

* cos «

plus forte :

i^ '^''cosa'

Le rapport de ces deux valeurs est — --. Pour

COS* a

Teffort de compression indiqué par la méthode usuelle serait le double de Teflbrt réel, fourni par la méthode exacte.

En résumé, la mélhode usuelle donne des résultats d'une exactitude suffisante pour les semelles et Terreur commise est par excès. Pour la triangulation, Terreur par excès est relativement plus forte, et il peut être utile, au point de vue de l'économie, de recourir à la méthode exacte.

304 POUTRES A TUAVÈES SOLIDAIRES.

Les constructeurs calculent quelquefois les arbalétriers comme des poutres à travées solidaires dont les appuis seraient constitués par les points d'attache des contrefiches : Tarbalé* trier de la figure 145 serait une poutre continue à deux travées, ceux des figures 143, 144 et 146 des poutres à quatre travées» etc.

. Nous estimons que cette manière de voir est erronée. Pour qu*un arbalétrier fût assimilable à une poutre continue, il fau* drait que ses points d'assemblage avecles contrefiches fussent fixes, ou tout au moins restassent placés sur une même ligne droite, après la déformation comme avant: l'invariabilité de la ligne des appuis est, en effet, Thypothèse fondamentale de la théorie des poutres continues.

Si nous admettons que, dans la ferme représentée par la figure 148, les points 0, A et F, situés en ligne droite avant que Ton ait appliqué la surcharge sur le toit, le soient encore après, nous aurons une condition nouvelle, que nous pouvons expri-* mer analytiquemcnt par une formule basée sur la résistance des matériaux, et contenant les inconnues Ro, RV et W : avec les trois relations déjà fournies par la Mécanique générale^ et relatives aux conditions d'équilibre d'un système de forces situées dans un même plan, cela nous fera quatre équations entre trois inconnues seulement. Il y aura surabondance de conditions et on se heurtera à une impossibilité.

En somme, une ferme de toit se déforme sous l'action de la surcharge de la même façon qu'une poutre droite : les semelles primitivement rectiligncs se courbent nécessairement et il n'est pas permis de supposer que l'une d'elles, Tarbalétrier par exemple, puisse continuera avoir un certain nombre de points en ligne droite.

Pour qu'il en fût ainsi, il y aurait un moyen, d'ailleurs applicable à une poutre quelconque : ce serait d'introduire des tensions et dos compressions initiales dans les éléments de U construction, avant d'appliquer la surcharge. En serrant les tirants à l'aide de tendeurs, on pousserait les contrefiches sur l'arbalétrier et ce dernier, chassé à l'extérieur, se courberait légèrement en tournant sa concavité vers le bas ; il y au* rait production de moments de flexion négatifs entre 0 et F,

CH. IV. — POtJTRES DE HAUTEUR VARIABLE.

et ces moments, combinés avec ceux produits parla surcharge sur chaque fraction d'arbalétrier limitée à deux contreiiches successives, donneraient une épure analogue à celle d'une poutre continue.

Un pareil réglage de la ferme parait malaisé à effectuer avec quelque précision : on ne voit pas d'ailleurs en quoi il serait utile, et nous n'avons abordé cette question que pour faire ressortir l'erreur commise en assimilant un arbalétrier à une poutre continue.

SOI. dYalnation eomparatlTe des poids de dilférentes poutres. — Considérons les profils en long de la fig. 149, qui représentent entre Tappui de gauche et le milieu de Touverture les semelles supérieures d'autant de poutres à semelles inférieures horizontales.

Poutre 1. — La semelle supérieure est une droite qui va en s'abaissant de l'appui au milieu : A = HH-afl — y]-

Poutre 2. — » La semelle est horizontale : A = H.

4H Poutre 3. — La semelle est parabolique : A = -— a: (/ — x).

Poutre 4. — La semelle est rectiligne et la hauteur est nulle

2Ha?

sur l'appui (ferme de toit) \ h = — -

Supposons que chaque poutre ait une âme pleine dont l'épaisseur varie d'une section à la suivante, de façon que son aire soit rigoureusement proportionnelle à l'effort tranchant réduit produit par une charge 2 pi uniformément répartie sur toute

S96 POUTRES A TnAVKES SOLIDAIRES.

l'ouverture, et que les semelles ait été également calculées avec une exactitude parfaite en vue de résister aux moments de flexion dus à cette charge.

Le volume de métal à employer dans chaque ouvrage s*obtiendra en calculant les intégrales définies :

Semelle supérieure : I dx: