K R-R' KF

Soient a et a les inclinaisons sur la verticale des projections des montants sur les plans de symétrie longitudinal et transversal de la pile, projections que Ton vient d'établir. Le fruit i

du montant dans le plan diamétral qui le contient a pour tan génie :

Tg i= V/Tg* a + Tg' oc' = Tga' ^i + K».

D'où:

1 1 cos t = = •

vTTrgM Vi+Tgt«'(i + K»)

Connaissant Taire réduite Q de la pile, fournie par l'équation (1), et le fruit i, commun aux quatre montants en vertu de la symétrie, on déterminera Taire (o de la section droite d*un de ces éléments par la formule :

4cosf 2(R + R') V ^ a VI -r «^ ;.

L'effort normal f va en croissant depuis le sommet de la pile jusqu'à la base puisqu*il s'augmente du poids de la pile elle-même. Donc, dans une pile métallique d'égale résistance, la section d^un montant doit aller en croissant à partir du sommet. L'écart entre les aires extrêmes est d'autant plus grand que le poids de la pile est une fraction plus importante du poids total, qui comprend en outre la réaction Q exercée par le pont sur son support.

- L'accroissement de l'aire réduite de la pile û peut d'ailleurs s'obtenir soit par une variation correspondante dans les sections des montants, soit par une augmentation du nombre de ces éléments: c'est ainsi que dans la tour Eiffel chacun des quatre montants de la partie supérieure Unit par se dédoubler dans le bas en quatre montants distincts.

Apres avoir déterminé la courbe à faire décrire par chaque miontant, ainsi que les sections à lui attribuer, il reste, pour compléter l'ouvrage, à relier ces éléments par des pièces de contreventement. Ainsi que nous l'avons dit à l'article 166, il conviendra de calculer, dans chaque section horizontale de la pile, ks dimensions des pièces de conlreventement de façon qu'elles résistent aux efforts tranchants réduits (longitudinal W et transversal W) fournis par les relations :

CnAP. VI. — II. PILES MÉTALLIQUES. 583

Vdx V

Toutes les lellres qui iigurenl dans les seconds nombres de ces formules représentent des quantités connues. Ce calcul ne présente donc aucune difficulté : W et W sont toujours plus petits que V et V, et leurs valeurs seront généralement peu élevées.

Comme ces efforts tranchants réduits sont susceptibles de changer de signes, il convient d'établir deux systèmes de tirants obliques. En conséquence , deux montants voisins devront être reliés par une série d'entretoises horizontales équidis tantes, calculées pour travailler à la compression, dont les extrémités seront réunies par des tirants et contre-tirants, destinés à travailler à l'extension, qui formeront des croix de Saint-André : à un moment quelconque une seule des barres de la croix est utile, l'autre barre étant lâche et n'intervenant qu'en cas de changement de signe de Teffort tranchant.

Revenons à la question du choix à faire pour la limite R' à adopter, en ce qui concerne le travail minimum à la compression ou le travail maximum à l'extension.

Supposons qu'après avoir dressé le projet d'une pile pour laquelle R' serait nul, R étant d'ailleurs quelconque, on se propose de lui comparer une autre pile, établie exactement avec les mêmes données et les mêmes formules, avec cette

seule différence que le rapport -- , au lieu d'êlre nul, pourrait

varier entre + 1 (R' étant égal à R en grandeur et signe) et — i (le travail limite à Pextension ayant même valeur absolue que le travail limite à la compression).

En prenant pour termes de comparaison, représentés l'un et l'autre par l'unité, d'une part le poids des montants, proportionnel comme Q à , et de Tautre la surface It du rectangle d'une section horizontale de la pile, proportionnelle à

f - — ^, j , nous trouverons pour les valeurs correspondantes

(le ce poids et de celle surface, quand R' varie enlrc — R, les nombres inscrils dans le tableau suivant :

R et

Rapport —

Poids des monlants

Surface IV

La constante négative R, limite supérieure du travail à la compression, étant arrêtée a /?rton, en raison de la nature du métal à employer, on voit que la détermination de la limite opposée R', de même signe ou de signe contraire, doit se faire en tenant compte des lois suivantes, qui se dégagent du tableau précédent :

Plus l'écart R — R' est grand, plus la pile est mince et lourde.

Plus l'écart R — R' est pelit, plus la pile est large el légère. Par conséquent, si Ton se préoccupe principalement de réduire la surface de base de la pile, en vue de limiter les dimensions du massif de soubassemcnl, il faut adopter pour R' une valeur positive (Iravail à Texlension) et accepter un surcroît de poids nolable pour les montants. Si au contraire on veut économiser sur le poids du métal, il convient d'adopter pour R' une valeur négative, entraînant pour les montants un écartemcnl considérable et par suile conduisant & une pile très large à sa base.

Nous voyons ici la justificalion des dimensions exceplionnclles attribuées aux piles du pont du Forth (79"30 sur 36*60).

DiSsignons par 1 la charge maximum transmise dans les

conditions les plus défavorables à lun des piliers en maçonnerie du soubassement, tel qu'il existe ; en réduisant de moitié chacune des dimensions de la pile, on porterait à 1,73 la valeur de celte charge, et d'autre part on obligerait le pilier opposé à résister h un effort de soulèvement égal à 0,75.

FIg. 227. — Viaduc de Portage (Etats-Unis).

Les largeurs excessives attribuées par les Américains aux piles métalliques de cei'tains de leurs viaducs se justifient de la même façon ; malgré leur lourdeur apparente, ces piles sont en somme très légères, et elles n'exercent jamais d'efforts de traction sur leurs soubassements.

En général, il conviendra d'-adopter pour R' une valeur nulle. Mais si le poids du pont est très considérable comparativement à l'action totale du vent le plus violent, on peut attribuer à R' une valeur négative comprise entre zéro et - . Si l'influence du vont est prépondérante, R sera pris positif mais inférieur à — - . i4 priori, il semble que l'on ne doi.t jamais

dans la détermination de R' sortir de ces deux limites + -

et — - , sous peine d'exagérer d'une manière fâcheuse soit le

volume apparent soit le poids de la pile.

iV7. Piles sans trlaiiffulalion. — Les formules fondamentales servant au calcul des piles métalliques, que nous avons énoncées à Tarticle précédent, sont les suivantes :

R+R' ' ,gv XX' F R— R'

\,(IX i

n\ w' = V — — = V —^llif.' .

Supposons qu'au lieu de chercher à réaliser la constance des limites opposées du travail, R et R' , nous nous proposions d'annuler, pour une section horizontale quelconque de la pile, les efforts tranchants réduits W et W. Il nous suffira pour cela de faire varier les dimensions horizontales /et /' proportionnellement aux moments fléchissants X et X'.

Posons en effet :

/ = KXet/' = KX.

Nous avons :

^ = KV et f = K'V.

D'où :

W = o et W' = o.

Les efforts tranchants réduits étant nuls, il n'est plus nécessaire de relier les montants par des entretoises horizontales destinées à répartir enlfe eux les efforts horizontaux exercés par le vent sur une des faces du support. X et X' sont en général des fonctions du deuxième ou du troisième degré de la dislance verticale x d'une section horizontale au sommet. Par conséquent les courbes décrites par les montants seront des paraboles du second ou du troisième degré, tournant leur convexité vers Taxe vertical de la pile.

Il conviendra, comme dans le cas des poutres sans triangulation (art. 122, page 367), d'attribuer à chaque montant une

GHAP. VI. — II. PILES MKTALLIQCKS. 589

rigidité propre, lui permettant de résister convenablement aux moments àe ùcxion secondaires^ qui pourraient résulter d'un mode d'action du vent différent de celui qui a servi à établir les épures des X et des X'. Sous cette seule restriction, on pourra former la pile de quatre montants isolés, reliés de distance en distance par des ceintures horizontales, comme l'a proposé M. Eiffel.La tour Eiffel est en somme un exemple d'une pile sans triangulation, au moins dans la partie inférieure composée de quatre monlanls isolés reliés par deux étages horizontaux. Chaque montant est d'ailleurs constitué par une pyramide quadrangulaire qui possède une rigidité propre bien supérieure à celle que justifierait l'éventualité des moments fléchissants secondaires. Pour une pile de pont très élevée, une disposition analogue pourrait être admise.

Dès que l'on convient de faire varier /et /' proportionnellement à X et X', il n^est plus possible de maintenir simultanément constantes les limites opposées, R et R', dû travail. On pourra toutefois se donner encore une condition arbitraire, qui pourra être une des suivantes :

1** Maintenir R — R' constant, ce qui entraîne l'invariabilité de Q. L'aire réduite de la pile est la même au sommet et à la base. Cette disposition est défectueuse, en ce que la stabilité est comparativement mieux assurée au sommet qu'à la base, où le travail à l'extension peut atteindre des valeurs inacceptables.

2® Maintenir R constant, sans se préoccuper de R' : c'est alors la base de la pile qui possède la plus grande stabilité, l'écart R — R' y étant minimum, tandis qu'il est maximum au sommet.

3® Maintenir R — 0,4R' constant. Cette règle concorde avec la loi de Wœhler^ du moins avec l'interprétation algébrique que M. Séjourné en a donné. Elle est donc rationnelle, et conduit nécessairement à attribuer à R' une valeur négative à la base de la pile, dont tous les montants ne peuvent être soumis, dans les circonstances les plus défavorables, qu'à des efforts de compression. Dans ces conditions, Q croît du sommet à la base, mais moins rapidement que F.

En définitive, si Ton se proposait d'étudier les meilleures

disposilions à adopter pour une pile élevée, il conviendrait, après avoir établi les épures représentatives des F, X, X', V et V, d'étudier successivement le type d'égale résistance défini fÊt les conditions :

R=:const.,

&'=:^const.,

p = canst^

et le type sans triangulation défini par les coiMlîlions :

- == const.,

-.= const.,

R — 0, 4 R' = const.

On pourrait ensuite choisir l'un de ces deux types ou admettre une solution intermédiaire, qui ne pourrait d'ailleurs s'écarter beaucoup ni de l'un ni de Tautre. En tout cas, il est toujours rationnel, par le motif indiqué à la page 583, de modifier le profil théorique du type sans triangulation, de façon à réaliser la condition p = const., c'est-à-dire à profiler

les fibres moyennes des montants suivant des courbes planes,

dont les plans passent par l'axe vertical de la pile.

Toutes choses égales, la pile d'égale résistance est moins évasée à la base que la pile sans triangulation, et le poids par mètre de ses montants croit plus rapidement, ce qui concorde avec les règles énoncées à la fin de larticle 176, en ce qui

R touche rinlluence du rapport □> sur les conditions d'établissement d'une pile.

1*78. Plies à montants reeiiUgnen, — Il n^est guère possible de réaliser rigoureusement dans la pratique un des types de piles à montants courbes dont nous venons de parler, en raison des sujétions particulières qu'entraîne le raccordement du sommet de Touvrage avec les poutres du pont.

CHAP. Vf. — II. PILES MÉTALLIQUES. 591

Ëlant donné que l'on s'écarle de la forme théorique, on peut, dans le but de simplifier et de fàûliler le famafl à !'■sine et le montage, reooDcer poar les montants h la forme courbe et leur oUribner des directions rectilignes.

Fig. 237, — Pont de Porto, sar le Douro.

On appliquera alors des équations de la forme :

/^ îMX + n, r=m'x-hn',

dont on déterminera les coefficients m,», m' et n'en raison des dimensions à attribuer au sommet de la pile pour donner au pont une base d'appui convenable, et à la partie inférieure en vue d'oblenir pour R cl R' des valeurs satisfaisante?, fournies par l'équalion (2) do l'ailiclc précédent.

R conviendra d'ailleurs, autaut que possible, par les motifs déjà, indiqués plus haut, de diriger les quatre montants suivant les arêtes d'une pyramide quadrangulaïre ayant son sommet sur l'axe vertical de ta pile, ce qui donne la condition nouvelle :

592 POUtRES A TllAVÉES SOLIDAIRES.

Cela posé, Tapplicalion des formules (1), (2), (3) et (4) de Tarticle précédent permclira de calculer, pour une section horizontale quelconque, les inconnues Q, / et /', ainsi que les efforts tranchants réduits W et W.

Il ne parait pas rationnel d'annuler un des coefficients m et m', Tune des projections, transversale ou longitudinale de la pile, devenant rectangulaire (fig. 227). Il convient toujours, en effet, que les dimensions /et /' croissent en même temps que les moments X et X', c'est-à-dire du sommet à la base.

Toutefois, lorsque le moment X est toujours nul, ou du moins négligeable, ou qu'il ne varie pas du sommet à la base (page 538), on peut réduire notablement le fruit longitudinal du montant. Mais, autant par un motif d'esthétique qu'au point de vue de la stabilité, il semble mauvais de

l'abaisser au-dessous du j^. Nous ne croyons pas que les

grands viaducs américains, à piles rectangulaires en élévation, aient un aspect architectural satisfaisant, et à coup sûr leur section la moins stable doit être celle de la base, ce qui n'est pas de bonne construction.

Si les moments X et X' peuvent être toujours considérés comme nuls, quel que soit x, les montants peuvent théoriquement être verticaux sans qu'il puisse en résulter d'inconvénient ; mais il vaut mieux leur donner du fruit dans le sens longitudinal et le sens transversal. Dans l'hypothèse où nous nous plaçons, les efforts tranchants réduits sont identiquement nuls, V et X, V etX' l'étant simultanément. Pourtant, il n'est pas prudent de supprimer le contreventement des montants, pièces très longues, soumises à des efforts de compression et par suite susceptibles de flamber. L'emploi des entretoises horizontales et des croix de Saint-André est encore nécessaire, bien que dans le calcul ces pièces n'aient aucun rôle à jouer. Il est pourtant possible de réaliser dans ce cas la pile sans triangulation, dont les montants ne sont reliés les uns aux autres que par une série d'entretoîses formant des ceintures horizontales espacées. Maïs la suppression des tirants et des contre-tirants n'est permise que si la

conslruclion esl disposée de manière que les réactions mutuelles des moulants suffisent pour empêcher leur flambement. Celte condition sera remplie si les pièces, au lieu d'être reclilignes, sont courbes et siluées dans des plans verticaux passant par Taxe de la piie, et tournent toules leur convexité du côté de cet axe. En ce cas, en effet, les enlretoiscs suffiront pour assurer la stabilité de Touvrage, un des montants ne pouvant flamber sans exercer sur le montant opposé une poussée horizontale tendant à redresser celui-ci, qui s'opposera par conséquent à la continuation du mouvement.

En définitive, la suppression des tirants et contre-tirants d'une pile n'est jamais permise, quels que soient X et X',que si les montants sont courbes.

tV9. Dluposiiions diverse*. — Les montants, pièces comprimées, doivent avoir leur section en forme de cercle, de rectangle ou de polygone régulier évidé, ou à la rigueur en forme de croix, chaque branche de la croix étant un fer à double té. Les entretoises, pièces également comprimées, sont des rectangles évidés, ou des fers à double té. Les bras des croix de Saint-André, tirants et contre-tirants, sont des fers ronds ou des lames plates.

La fonte se prête beaucoup mieux que le fer à la fabrication des montants courbes à section circulaire ou polygonale évidée ; mais les assemblages des tronçons successifs sont moins satisfaisants qu'avec le fer, et il est bon, en raison de leur imperfection et de la nature du métal, d'éviter que, dans les circonstances les plus défavorables, certaines parties de ces pièces travaillent à l'extension.

Les piles du pont sur le golfe du Tay étaient constituées par des montants en fonte, trop rapprochés les uns des autres pour écarter l'éventualité d'efforts de traction ; la chute de cet ouvrage a été attribuée à l'insuffisance de ces supports, qui se sont brisés par arrachement sous Taction d'un vent violent. En pareil cas, lorsque la surface de base de la pile est trop faible pour que la limite R' soit négative, ou tout au moins nulle, l'emploi du fer ou de l'acier s'impose.

POUTRES A TBAVKES SOL(DAlBES.

POtiT SOR LE KBKTDCKY-RIVBB (eTATS-UKIS)

Fig. 330.— Appui sur une culée.

Fig- 831. — Elévation longiludinale de la base d'une pilé.

Flg. S32 — Elévalion transversale de la base d'une pile.

.180. liiaison avec le •onbassement. -—Les dilatations et contractions dues aux variations de température n'exercent sur les conditions de stabilité d'une pile métallique aucune influence appréciable, sauf à la jonction de cet ouvrage avec le soubassement en maçonnerie. Quand les dimensions / et /' de cette base sont considérables, on peut craindre que les maçonneries ne se prêtent pas aux mouvements de dilatation qui tendent à élargir la section inférieure du support. Le métal des entretoises inférieures serait alors soumis à .des efforts considérables, susceptibles d'amener la désorganisation et la rupture de ces pièces ; si elles résistaient, la maçonnerie serait obligée de céder, et les ancrages perdraient toute solidité.

Pour éviter la dislocation de la pile métallique ou de son soubassement, il devient en ce cas nécessaire d'interposer entre les pieds des montants et les sommiers de la maçonnerie des appareils de dilatation analogues à ceux des poutres continues. C'est ainsi que, dans les piles du pont sur le Forth, un seul des montants est invariablement encastré sur son pilier ; les autres reposent sur des appareils à rouleaux.

Dans le viaduc sur le Kentucky-River, où la base de chaque pile a pour dimensions /=8™,54 et /'=21'",81, les pieds des montants reposent tous sur des appareils à double étage de galets, mobiles par conséquent dans deux directions rectangulaires (fig. 229 à 232).

La pile n'est ancrée dans la maçonnerie qu'en un seul point, placé au centre de la base, et cet ancrage est relié par des bielles aux appareils de friction, de telle sorte que chaque montant peut se mouvoir librement sans que Taxe vertical de la pile subisse aucun déplacement.

Comme la variation de longueur de la dimension /' peut atteindre dans l'espèce 0",02, la disposition admise était nécessaire sous peine d'exposer la maçonnerie à se déchirer et à se désagréger.

181. Poids de» piles métalliques. — Considérons le cas d'une pile d'égale résistance, dont les conditions de stabilité soient définies par les limites R et R' du travail molécu-

lairc des montants (art. 17i) : R est négatif, H' peut èlrc positif ou négatif. Soit Q la charge maximum transmise à la pile par le pont qu'elle supporte, y compris la surcharge d'épreuve la plus défavorable. Le poids propre P du support métallique ^era représenté assez exactement par la formule suivante où H désigne sa hauteur, / et /' la longueur et la largeur de la pile à son sommet, L et L' ces mêmes dimensions à sa base:

R-H>.+ HA(t+''-^';."-'-^'')

Le coefficient numérique A, théoriquement supérieur au poids du mètre cube do métal, peut varier entre 8.000 çt 20.000, avec une valeur moyenne admissible de 12.000.

Cette formule serait applicable à une pile quelconque en attribuant à H et à H' les valeurs moyennes résultant des calculs effectués sur toute la hauteur du support.

Rappelons que dans cette formule R est toujours négatif, et qu'il en doit être de même de la somme R+R'^ sous peine de se heurtçr à une impossibilité. Q est supposé représenter une charge positive.