DISPOSITIONS GÉNÉRALES DES PILES
iVS. Coniie horizontale.— Admettons que Ton ait arrêté provisoirement les dimensions d'une pile, de façon à se rendre compte approximativement de son poids et de la surface pleine qu'elle oppose au vent. On peut alors dresser les épures de TefTort normal F et des moments fléchissants longitudinal X et transversal X'. Il convient ensuite de vérifier a posteriori si les dispositions primitivement admises étaient justifiées, et, dans Thypothëse contraire, de les remanier en vue d'obtenir un ouvrage satisfaisant.
La coupe horizontale d une pile possède, en ce qui touche le système des montants, deux axes rectangulaires de symétrie LOL' et TOT situés respectivement dans les plans verticaux de symétrie de la construction.
Considérons le quart de plan compris entre les axes OL cl OT. Il est désirable, si Ton veut obtenir une bonne utilisation
du métal, que la valeur ipaxiiuum du travail à la compression, dans les circonstances les plus défavorables, soit la même pour tous les montants rencontrés par la portion de plan LOT. Soit M un de ces montants^ dont la position est définie par les distances d et d du centre de gravité de sa section aux droites OT el OL. La valeur R du travail maximum à la compression subi par la matière sera fournie par la relation :
F Xd X'd'
où Ton attribuera à F, X et X' les valeurs maxima résultant de la simultanéité des circonstances les plus défavorables, comme surcharge et vent, et précédées du même signe, qui ne peut être que le signe — , Teftort normal F étant toujours négatif, puisqu'il donne lieu à une compression du montant.
Les valeurs numériques de F, X et X' sont supposées connues, comme résultats de calculs antérieui^.
Si Ton passe du montant M à un montant voisin, situé dans le même quadrant LOT, on ne modifiera la formule donnant R que par la substitution à â? et ef des coordonnées du centre de gravité du nouveau montant.
Pour que la valeur de R ne subisse pas de changement, il faut et il suffit que la relation
soil satisfaite quand on prend pour variables les coordonnées d et d\ les autres lettres représentant des constantes. Or, c'est Téquation d'une droite. Il faut par conséquent que les points de rencontre des fibres movennes de tous les montants et du quart de plan LOT soient situés sur une droite.
En vertu de la symétrie de la pile, il existe dans les trois autres quarts du plan des droites analogues qui forment avec la première un losange ayant ses quatre sommets sur les axes LL' et TT'.
D'où la règle théorique : les points de rencontre des fibres moyennes de tous les montants d'une pile avec un plan horizontal quelconque doivent être situés sur le périmètre d'un
losange ayant ses sommets dans les plans verticaux de symétrie. Si à une construction ainsi disposée on ajoute un montant passant à Textérieur du losange, ce montant travaillera plus que les autres, et sera par conséquent exposé à se rompre avant eux ; s'il passe à rintériear du losange, il travaillera moins, et le mêlai sera mal utilisé.
Fig. âlO. FIg. 817.
Cette condition est remplie par les piles à quatre montants dont la coupe horizontale est un rectangle à côtés parallèles aux axes LL' et TT', dont les sommets correspondent aux montants. Ce rectangle est en effet toujours înscriptible dans un losange à diamètres parallèles h LL' et TT'. Cette disposition est la plus usitée par les constructeurs, et nous jugeons superflu de citer les innombrables ponts auxquels elle a été appliquée.
M. de Nordling a construit, pour les viaducs du réseau central d'Orléans, un certain nombre de piles dont la base, comportant huit montants, a une section octogonale également rationnelle, les huits sommets étant placés sur les côtés d'un losange (fig. 217) : viaducs de la Cère, de la Bouble, de Rouzat, etc.
A titre de dispositions vicieuses, nous citerons :
1** Les piles du viaduc de Busseau d'Âhun, dont les montants, au nombre do huit, sont placés sur deux files parallèles à l'axe TT' et par suite ne sont pas sur le périmètre d'un losange (flg. 219).
2*^ Les piles du viaduc de Crumlin, en Angleterre (fig. 220). Ce type, qui comporte quatorze montants, est très critiquable. On peut classer les montants, d'après la fatigue que subit le
87a POUTRES A TRAVÉES SOUDAIHES.
métal dans les circonslanccs dos plus défavorables, comme il suit : montanls les plus exposés, losange extérieur : aa a'a' ; montanls moyennement chargés, losanges intermédiaires:
Fig. S18. — Viaduc de la Gère.
bbb b'b'b\ ce' ; montanls les moins chargés, losange intérieur : dd.
A= ^e-— €)rr-
'-' ly^^.y
La matière est doDC mal utilisée, vu la très inégale répartition des efforts entre les^diffé* rentes colonnes.
3"* Les piles du viaduc de Fribourg (fig. 221). Ce type soulèvç les mêmes objections que le précédent, les montants étant répartis sur trois losanges successifs :
Losange extérieur, aa a' a ' ;
— intermédiaire, bbb b'b'b' ;
— intérieur, ce'.
i>ri — ^>y
Fig. 221.
/ tt
t9â. Piles à quatre inontauts. — Après avoir arrêté la limite uniforme R du travail maximum à la compression imposée, dans les circonslances les plus défavorables, à tous les montants d'une -pile, rien n'empêche d'admettre une condition semblable en ce qui louche le travail maximum à Textension R'. Il suffira de changer les sens des moments X et X' sans toucher à leurs valeurs numériques, ce qui donnera la nouvelle équation :
„, F Xd X£
Les valeurs numériques de F, X et X' sont supposées précédées do signe — . Si R' est positif, il représente le travail maximum à l'extension subi, dans les circonstances les plus défavorables, par le montant considéré; s'il est négatif, il représente le travail minimum à la compression, le montant n'étant par conséquent exposé en aucun cas à subir un effort de traction.
Pour le pont du Forth, par exemple, on a disposé les piles de telle sorte que les piliers en maçonnerie fussent toujours comprimés, quelles que pussent être la répartition de la surcharge et la direction du vent. Les deux limites R et R' sont donc l'une et l'autre négatives.
Si on ne considère dans Téquation (2) comme variables que les coordonnées d et d du montant, elle représente encore une
5t4 POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
droite, éi on obtient, comme précédemment, un losange, sur le périmètre duquel tous les montants de la pile doivent rencontrer le plan horizontal LL' TT : dans chaque quatrant du plan, rinlersection de la droite (1) et de la droite (2) fournit la position du montant unique à Admettre.
En conséquence, si Ton veut qtie les limites extrêmes R et K\ de même signe ou de signes contraires, entre lesquelles variera le travail du métal dans les montants, soient exactement les mêmes pour tous les éléments de la construction, on ne pourra attribuer à la pile que quatre montants, situés aux sommets d*un rectangle inscrit dans les deux losanges (1) et (2).
Soient / et /' les côtés de ce rectangle, qui représentent la longueur et la largeur de la pile dans la section considérée.
On a :
I = Û7etr = Û7; rf=jet(f=5-
Les équations (1) et (2) se présentent donc sous la forme :
(3^ a + ïïi+HF-*^ '
D'où Ton tire :
Il convient de ne pas oublier que dans cette formule, F et R sont des quantités négatives ; R' peut être, suivant les cas, positif ou négatif.
L'aire réduite de la pile, c'est-à-dire la somme des projections horizontales des sections droites des montants, est indépendante des dimensions horizontales / et /', ainsi que des moments fléchissants X et X'.
On a d'autre part la relation : «
AP. VI. — 11. PILKS MÉTALLIOUES.
Le rectangle, dont les sommets sont sur les libres moyennes des quatre montants, est inscrit dans le contour formé par
\m • ^^ • «M • «■» • ^ma • « p* • »mm •
FIg. 222.
quatre branches d^hyperbole dont les asymptotes sont respectivement parallèles aux axes de symétrie LL' et TT', à des
distances représentées par ± -
et du — • •
Pour / = 00 , on a ' = y • 53^/
Pour /= 00, on a ^=Y-RTriP
On a le choix entre une infinité de rectangles remplissant la condition posée, et la décision prise n'exerce aucune influence sur les sections à attribuer aux montants, puisque û est indépendant de / et de /'.
Si Tune des dimensions lou F a été fixée a priori (largeur du pont ou du massif de fondation par exemple), Tautre se déduira soit d'une construction géométrique simple, soit de la résolution de l'équation (5).
Si on est libre de fixer arbitrairement / et f, le mieux sera
de prendre le rectangle ABCD, donl les côtés ont respectivement pour longueurs :
al ^
al'
al
Le périmètre de ce rectangle 2/+ ^^est un minimum, ce qui est avantageux au point de vue du poids des pièces de contrevenlemcnt.
Cas particulier \ soitR'=o. Le travail à la compression d'un montant quelconque varie entre la limite supérieure R, choisie arbitrairement, et zéro : le montant ne peut travailler à Textension.
Les équations (3), (4), (5), deviennent :
L'aire réduite est le double de celle que posséderait la pile si elle n'avait à résister qu'à Teffort normal F, les moments fléchissants X et X' étant toujours nuls. Elle est d'ailleurs indépendante des valeurs numériques de ces moments.
/ varie entre les limites-^ et » ,
t varie entre les limites -r et oo .
Les courbes de la figure 222 deviennent indépendantes de la valeur attribuée à R ; les dimensions l et /' de la pile ne sont donc plus influencées par la nature du métal employé. Que ce soit de la fonte, de l'acier ou du fer, la longueur et la largeur du support resteront les mêmes.
Quant au rectangle ÂBGD, qui constitue la solution la plus avantageuse, si aucune considération particulière ne conduit à fixer a priori soit une des dimensions / ou /*, soit leur rapport - , ses côlés ont pour longueur :
et
Le cas que nous venons de traiter se rencontre fréquemment dans la pratique. Si les montants sont en fonte, il est bon de ne pas les faire travailler à l'extension. Pour la section de base de la pile, qui la relie au soubassement en pierre, la condition R! ^ o doit toujours être remplie, parce qu'il est dangereux de faire travailler à la traction les boulons d'ancrage, au risque de soulever les assises de la maçonnerie ou tout au moins de relâcher l'assemblage, les boulons prenant du jeu dans leurs trous (fig. 240 et 213).
Dans certains ponts (pont du Forth , fig. 174; pontduKentucky-River, fig. 230), où Ton a jugé opportun d'interposer entre les bases des montants et les plaques d'appui du soubassement des appareils de dilatation à rouleaux, il est indispensable de réaliser la condition R' < o, si Ton veut éviter le renversement de la pile qui est simplement posée sur son soubassement, auquel elle n'est pas reliée par des ancrages.
Etant entendu que la valeur limite R' du travail ne doit pas être positive, il conviendra en général de la prendre aussi voisine que possible de zéro, les dimensions / et t croissant au fur et à mesure que Ton augmente la valeur absolue de la limite négative R'.
Nous reviendrons plus loin sur ce sujet. Nous traiterons encore le cas particulier où le moment de flexion longitudinal X serait supposé nul.
Pour que cette hypothèse soit réalisée, il faut non-seule-
Fig. 22;3. — Pont sur la Lyse (Ncrwègp). Elévation générale.
Fig. 224. — Pont sur la Lyse. Détail des piles.
ment que le pont soit simplement appuyé sur la pile, mais encore que celle-ci soil articulée à ses deux extrémilés sur les poutres et sur le soubassement (fig. 223 et 224).
On peut alors admeltre en toute certitude que X sera toujours nul.
D'où: 1 = 0 ,
Si R' est nul: /' = ^ •
Les montants de la pile ne sont plus qu'au nombre de deux et leur écartement est nécessairement égal à la valeur de /' que nous venons d'énoncer, quelle que soit la limite R admise pour le travail à la compression.
176. Plies ayant plus de quatre montants. — La méthode exposée dans l'article précédent permettra dans tous les cas imaginables de déterminer les dimensions à attribuer à la section horizontale d'une pile à quatre montants, en tenant compte des circonstances spéciales où Ton se trouve : épures des F, des X et des X' ; nature du métal (R et R'), etc.».
Supposons à présent que Ton veuille porter au-delà de quatre le nombre des montants. On ne pourra pas maintenir à la fois l'uniformité du travail maximum à la compression R, et celle du travail minimum à la compression ou maximum à l'extension R' ; nous avons vu que cette double condition entraîne forcément la réduction à quatre du nombre des montants. On n'en conservera donc qu'une seule, celle qui par exemple se rapporte à R et qui est représentée par l'équation (1) de l'article 173. Après avoir obtenu par tâtonnement une section horizontale satisfaisant à cette condition, on vérifiera, avec l'équation (2), que le travail-limite R', sans être le môme pour tous les montants^ ne présente pour aucun d'eux une valeur inacceptable.
On pourra d'ailleurs suivre une marche plus rapide et donnant toujours un résultat satisfaisant.
Supposons que Ton ait tout d'abord déterminé, par la mé-
ihodo de rarliclc 173, la seclion rcclangulaire abcdqnW conviendrait d'adopler, dans le cas considéré, pour une pile à quatre montants ; il s'agit do passer de cette section à celle qui conviendrait pour une piie à montants plus nombreux.
Fig. 235.
Les longueurs ab ou /, et ad ou t ont été calculées à Taide des formules (7) et (8), ou (7)' et (8)'.
Circonscrivons au rectangle abcd Tellipse mnpq dont les axes ont des longueurs proportionnelles aux côlés parallèles do ce rectaugle :
mn
l\j2 , pq = ï\j2.
Quel que soit le nombre des montants, supérieur à quatre, que doive comporter la pile, ces montants devront couper le plan horizontal considéré sur le périmètre de Tellipse nmpq,
Cetle règle pratique, très-simple à appliquer, donnera toujours de bons résultats.
Examinons à titre d'exemple le cas d'une pile à huit montants.
Traçons le losange mp n^, inscrit dans Tellipse et le losange m' p' n q' semblable au premier et circonscrit à celte courbe, à laquelle ses côtés sont tangents en a, b, c et d.
Tout losange intermédiaire semblable aux deux premiers,
entre lesquels il sera intercalé^ fournira, par ses intersections avec Tellipse, les points de passage des huit montants d'une pile établie rationnellement. On jouira donc à cet égard d'une certaine latitude, entre les limites fournies par le losange extérieur m /?Vy', qui correspond au rectangle abcd de la pile à quatre montants, et le losange intérieur mpnq, dont les sommets correspondent aussi à quatre montants, qui remplissent, en ce qui touche les limites de travail R et R', les conditions imposées par les équations (i) et (2). La pile mpnq , dont la base est un losange, est équivalente à cet égard, comme à celui du poids total (aire réduite û), à la pile abcd.
On peut donc aisément, comme on vient de le voir, passer de la pile à quatre montants à une pile équivalente en comportant un plus grand nombre.
Dans ce qui va suivre, nous nous bornerons à parler de la pile à quatre montants, qui constitue en somme le type le plus rationnel et le plus usité, étant bien entendu qu'on peut toujours lui faire subir la transformation indiquée, sans modifier sensiblement ses conditions de stabilité, tout en augmentant le nombre de ses montants.
tve. Piles d'égale réffistoiiee. — Quand on veut attribuer à une pile métallique la forme d'un solide d'égale résistance, qui constituera toujours, si les circonstances permettent do l'adopter, la solution la plus rationnelle, il convient d'admettre, pour toutes les sections horizontales, de la base au sommet, les mêmes valeurs pour les limites extrêmes du travail, R et R', qui se rapportent aux quatre montants. On attribuera à R, limite supérieure du travail à la compression, la valeur qui convient à la nature du métal employé, ainsi qu'à la coupe transversale de chaque montant : on sait que, les pièces comprimées étant sujettes au flambement, il faut tenir compte pour la fixation de la limite R du moment d'inertie minimum de leur section droite, comparé à la longueur de chaque tronçon limité à la rencontre de deux entretoises de contreventement consécutives.
Il reste à fixer la limite R', qui peut être soit négative, si l'on veut qu'un montant quelconque ne puisse jamais, dans
les circonstances les plus défavorables (X et X' positifs), travailler à Tcxtonsion, soit positive, si Ton admet cette éventualité.
Nous indiquerons plus loin les considérations qui doivent guider le constructeur dans la décision à prendre. Nous admettrons pour le moment que Tou ait pris à cet égard une détermination, et que la valeur de R' soit arrêtée.
Nous supposerons,bien entendu, que Ton a dressé à Tavance les épures de l'effort normal F (qui est toujours négatiO, du moment de flexion longitudinal X et du moment de ilexion transversal X' .
L'aire réduile Û sera fournie, à un niveau quelconque, par la relation :
où F et R représentent des quantités négatives ; R' peut, sui vaut les cas, èlre positif ou négalif .
Quant à la longueur / et à la largeur /', elles doivent satisfaire à l'équation :
Le problème offre une indélerminalion que nous ferons disparailre en ajoutant la condition nouvelle :
(3) - = const. K.
K est un rapport numérique constant choisi arbitrairement en tenant compte, s'il y a lieu, des circonstances spéciales qui conduisent à adopter pour / et /' une valeur déterminée, soit au sommet de l'ouvrage (/' étant égal à la largeur du tablier du pont), soit ù la base (largeur ou longueur du massif de fondation).
De cette façon, les sections horizontales successives se trouvant êlre des rectangles semblables, les courbes décrites par les montants sont planes et situées dans les plans diamétraux passant par l'axe de la pile. Il est évident a priori que, si les
montants étaient profilés suivant des lignes à double courbure^ leur fabrication et leur montage présenteraient des difficultés sérieuses ; le conlreventement serait plus compliqué à établir. L'ouvrage serait mal conçu et coûteux, et sa défectuosité serait mise en relief par un aspect architectural des moins satisfaisants. Du moment d'ailleurs que Ton veut employer des courbes planes, celles-ci ne peuvent, en vertu de la relation (2), être contenues que dans des plans passant par Taxe vertical de la pile, ce qui justifie Teimploi de la formule (3).
Au point de vue esthétique, il est d'ailleurs inadmissible, comme Ta fait remarquer M. de Nordling, auteur des viadacs métalliques du réseau central de la compagnie d'Orléans, de s'écarter de cette règle, au moins dans le voisinage du sommet, où les directions des quatre montants doivent, pour satisfaire l'œil, converger vers un même point.
Fig. 226.
Les équations (2) et (3) permettent de dresser sans peine l'élévation longitudinale (dimension horizontale /) et l'élévation transversale (dimension horizontale ï) de la pile, connaissant pour chaque section horizontale, définie par sa distance verticale x au sommet, l'effort normal F, le moment de flexion longitudinal X et le moment de flexion transversal X'.
On se servira à cet effet des formules :
j , , 2(RH-R) X + KX'
Longueur /: 1= -^^^^ p—
„ l 2(R4-R') X + KX'
Larereur / = — = —^ — - — r • — •
