DANS UNE TRAVÉE CONSIDÉRÉE ISOLÉMENT
t. £xpre0Bion0 analytiques du niomeiit fléchissant et de l'effort traneiiant, en fonction de la charge et des moments fléeliissants développés au droit des appuis dans une travée de poutre à. seetion constante Yorlalile. -^ Nous désignerons : par / Touverlure AB do
la travée (fig. 1) ; par X^ et Vi le moment fléchissant et Teffort tranchant sur l'appui de gauche A, ou premier appui de la travée ; par Xj et V, le moment fléchissant et TefiTort tranchant sur l'appui de droite B, ou second appui ; par Qi et Q, Fig, 1. les réactions verticales, dirigées
de bas en haut, qui seraient exercées sur la poutre par ses appuis A et B, si l'on supposait
Touvrage limité au droit de ces appuis, sans rien changer d'ailleurs à la répartition des moments fléchissants et des efforts tranchants.
Nous prendrons pour origine des abscisses x et des ordonnées y le point A.
Comme dans la première partie du Traité des Ponts Métalliques, nous définirons le sens des moments fléchissants en considérant comme positif le moment d'une force verticale dirigée de bas en haut, et comme négatif le moment d'une force dirigée de haut en bas, telle qu'un poids.
Avec cette convention, le travail du métal dans la moitié supérieure d'une section transversale est négatif et correspond à une compression de la matière lorsque X est positif ; il est positif et correspond à une extension de la matière, lorsque X est négatif.
Dans une poutre à une. travée simplement appuyée à ses deux extrémités, les moments fléchissants sont positifs dans toutes les sections, quelle que soit la disposition de la charge, et la semelle supérieure est par conséquent comprimée en tous ses points.
Cela posé, nous allons étudier la répartition des X et des V dans la travée AB considérée isolément.
Nous examinerons successivement différents modes de disposition de la charge.
a. — La charge se réduit à un poids unique P, qui coupe la fibre moyenne en un point R défini par son abscisse r.
Le moment fléchissant a deux expressions analytiques distinctes, qui se rapportent respectivement aux cas où la section considérée sur la poutre est placée, par rapport à l'origine A, en deçà ou au delà du point R d'application du poids P.
Désignons para: Tabscisse du centre de cette section transversale.
On a dans le premier cas pour un point tel que M, satis* faisant à la condition x <Zr:
CH. I. — THEORIE DES POUTRES A SECTION GOxNSTANTE. 7
et, dans le second cas, pour un point tel que N, satisfaisant h la condition a; > r :
Xh=X, + \,x—?{x—r).
Si Ton pose dans cette seconde relation j? = /, la valeur obtenue pour Xm convient au second appui B. Or nous avons désigné par X, le moment fléchissant développé en B ; d'où :
X, = Xi+Y,/ — P(/-r).
Tirons V, de cette relation et substituons la valeur trouvée dans les équations précédentes. Nous obtiendrons finalement pour le moment fléchissant deux expressions analytiques, où ne figureront plus que les données du problème : /, Xj, X,, Pet r.
Xi+(X2 — Xi) T-H 7(/ — r)a7, pour a? <r. Point M. ^=1 p
X,+{X2— XO r + T- (^ — ^)^ poura;> r. Point N.
Los expressions analytiques de Teflort tranchant se déduisent sans difficulté de celles de X :
•y \ \ ' * + 7 (^ — r), poura7<r. Point M.
dx 1 Xj — Xi Pr n • * tvt
/ — j , pour j: > r. Pomt N.
La courbe représentative des moments fléchissants s'obtient en portant sur les verticales des différents points de la fibre moyenne, à partir de Taxe des x, des longueurs proportionnelles aux moments et dirigées dans le sens des y positifs ou des y négatifs suivant que les moments sont eux-mêmes positifs ou négatifs.
Dans le cas présent, elle se compose de deux droites coupant les verticales des appuis A et B en des points dont les ordonnées représentent respectivement, en grandeurs et en signes, les moments Xi et Xz. Ces droites concourent en un point de la verticale passant par R : le moment Xr qui cor-
respond au point d'application de la charge est donné par la relation :
Xr = X, + (X,-X.)y-^^^
L'angle Xi Xr Xj tourne sa convexité du côté des X positifs,
puisque Ton a Xr > Xi + (Xj — X,) r •
Le minimum positif ou le maximum négatif (en valeur absolue) de X correspond toujours à Tun des points d*appui ; le maximun positif ou le minimum négatif correspond soit à l'autre point d'appui, soit plus généralement au point R d'application du poids.
Si Xi et Xr sont de signes contraires, la droite Xt Xr doit
rencontrer Taxe des x en un point tel que 0,. De même, si Xr et X, sont de signes contraires, la droite Xr X, coupera Taxe des x en un point tel que 0^.
Les abcisses des points Oi et Os (ligne brisée C de la figure 2), où le moment fléchissant s'annule , sont fournies par les relations sui-
Fig. 2.
vantes :
Entre A et R (Oj) :
entre R et B (0,) : ^i = / +
Xr — X,
Les valeurs de x^ et Xi no sont admissibles, c'est-à-dire comprises entre o et /, que si Xi et Xr d'une part, et Xr et Xi de l'autre, sont de signes opposés.
La courbe représentative des efforts tranchants se compose de deux droites horizontales, limitées respectivement par les verticales des points A, R et B, et dont la seconde a pour ordonnée celle de la première diniinuée de la longueur représentative du poids P,
Les réactions verticales des appuis, dans Thypolbëse où la poutre serait limitée en A et en B, sont fournies par les relations :
Une de ces réactions est toujours positive (dirigée de bas en haut) : Tautre peut être négative (dirigée de haut en bas). En ce cas l'appui auquel elle se rapporte retient la poutre au lieu de la soutenir.
b. — Im charge comprend un nombre quelconque de poids isolés.
Désignons par P un quelconque de ces poids, et par r l'abscisse de son point d'application.
En vertu du principe de la V. ^, superposition des effets des for-
ces, il suffira, pour obtenir l'expression analytique du moment fléchissant X, d'effectuer pour tous les poids P les sommes des termes relatifs à un poids unique , qui figuraient Fig. a dans les équations du paragra-
phe précédent, en ayant soin de distinguer les charges placées à gauche de la section transversale considérée de celles situées à sa droite. Nous ferons de même pour l'effort tranchant.
Soit a:: l'abscisse du centre de la section considérée :
(x,-x.) }+Kz: T (^-^) + ^"Zl-i {'-'•) ^ :
^dX__ X.-X. r=xPr r=lP (l-r)
La courbe représentative des moments fléchissants est un polygone tournant sa convexité du côté des y positifs, c'ost-à^ dire vers le haut de la figure, et dont les sommets correspon-
dent aux points d'application des forces : ce polygone ne peut donc couper Taxe des x qu'en deux points au plus, fournis par la condition X = o.
La courbe représentative des efforts tranchants se compose d'une série de droites horizontales limitées chacune aux verticales de deux poids consécutifs : Tordonnée d'une droite quelconque est égale à celle de la précédente diminuée de la longueur représentative du poids appliqué à leur limite séparative.
Les réactions dos appuis sont données par les formules :
On voit que Q^ + Q, = S j P.
L'une de ces réactions est toujours positive (dirigée de bas en haut) ; l'autre peut être, suivant les circonstances, positive ou négative (dirigée de haut on bas] : dans ce dernier cas, l'appui auquel elle se rapporte retient la poutre au lieu de la soutenir.
. c. — Cas (Tune charge uniformément répartie sur toute la longueur de la travée, à raison de p kilogrammes par mètre courant d'ouverture.
Nous remplacerons dans les formules du paragraphe précédent les signes il par /, les lettres P par le poids élémentaire de la charge uniforme pdr^ et nous intégrerons les différentielles placées sous les nouveaux signes / entre les limites précédemment indiquées pour les expressions qui figuraient sous les signes ^.
Nous obtiendrons de la sorte les formules suivantes :
Les réactions des appuis sont: Qi=Vi=-^-- — ^^ + -/?/,
La courbe représentative des moments fléchissants est une parabole à axe vertical, tournant sa concavité vers les y négatifs : l'équation de cette parabole, rapportée à son sommet, sans changer les directions et les sens dos y et des x, est :
La forme de cette courbe dépend donc uniquement et exclusivement de la valeur/} delà charge par mètre courant ; on peut faire varier l'ouverture / de la travée, ainsi que les grandeurs et les signes des moments sur les appuis Xj et X,, sans faire subir à la parabole d'autre modification qu'une translation de son axe, qui se déplace parallèlement à» lui-même dans une direction qui dépend des changements apportés a .A.!, A% ei i»
Fig. 4.
Los abscisses Xi et x^ des points de rencontre Oi et 0^ de cette parabole avec Taxe des x correspondent à des sections transversales où le moment fléchissant X est nul.
Elles sont fournies par les relations :
Point 0.:x. = - + -^-V(- + -^)
2Xi
Point 0,:x. = i + ^' + V/([
x.-XA' pi
2Xi P
Le sommet Ks de la parabole correspond au point S dont Fabscisse est :
POUTRES A TllAVÉES SOLIDAIRES.
Le moment Xs a pour valeur :
(X>-X,)« 2pP
Fig. 5.
D peut se présenter différents cas :
lo Supposons que les moments sur les deux appuis soient positifs ; X, > 0, Xg > 0 (fig. 5, courbe C) : On a alors
a?! < 0 et a:, > /. La parabole ne coupe pas Taxe des X entre A et B, et les moments fléchissants sont positifs dans toute l'étendue de la travée. Le moment maximum correspond à l'abscisse s du sommets, si celleci est comprise entre o et /.
Dans le cas contraire, si s <C 0, le moment maximum est Xi ; si ^ > /, le moment maximum est X,. Récipro- . quement le moment minimum correspond toujours à celui des appuis qui est le plus éloigné du sommet de la parabole.
2° Supposons que Tun des moments soit positif et l'autre négatifs Xi > 0, Xj < 0 (fig. S, courbe C'): On a alors Xi <C 0, et 0 <C ^i <C l' La parabole ne coupe Taxe des x qu'en un point O2. Le maximum en valeur absolue des moments négatifs est X29 et correspond au second appui. Le maximum des moments positifs est X^, si s est plus grand que 0, et Xi dans le cas contraire.
3° Supposons que les deux moments soient négatifs : Xi<CO et X, < 0 (fig. 5, courbe C) : en ce cas, si les valeurs de x^ et de x^ sont réelles, elles sont nécessairement comprises entre 0 et /. La courbe coupe Taxe des x en deux points. Le moment positif correspond toujours au sommet S de la parabole, situé & égale distance de Oi et de 0^. Le moment négatif maximum en valeur absolue correspond à l'un des deux appuis.
CH. I. — THÉORIi^. DES POUTRES A SECTION CONSTAXTIi:. 13
4° Lorsque l'on a Xi < 0 et X^ < 0, il peut arriver que les valeurs de x^ et de x^ soient toutes deux imaginaires, si la
(fig. 5, courbe C").
En ce cas la parabole est située tout entière au-dessous de l'axe des x : les moments fléchissants sont négatifs en tous les points de la poutre : leur maximum en valeur absolue correspond à Tun des appuis. Leur minimum, on valeur absolue, correspond à Tabscisse s du sommet S, si Ton a 0 <C 5 < /, et dans le cas contraire à celui des deux points d'appui qui est le plus voisin du sommet.
La courbe représentative des efforts tranchants est une droite inclinée, faisant avec Taxe des x Tangle dont la tangente est T^ = — p (fig. 6).
Elle coupe Taxe des x sur la verticale du sommet de la parabole : pour X = 5, on a en effet V = 0.
Lorsque le sommet de la parabole est situé en dehors de la travée {s <^o ou a* > /), tous les efforts tranchants sont de même signe. La droite représentative ne rencontre pas Taxe des X ; Tappui le plus voisin du sommet retient la poutre (Q est négatif), et Tappui le plus éloigné la soutient (Q est positif).
Lorsque le sommet de la parabole est sur la verticale d'un des points d'appui, la réaction de cet appui est nulle, et il peut être par conséquent supprimé sans que rien soit changé aux conditions d'équilibre de l'ouvrage.
Les formules énoncées dans cet article sont indépendantes : de l'intensité et du signe des moments des appuis Xi et X, ; du nombre, du mode de répartition, des grandeurs et des signes des poids P, dont on suppose simplement les directions
-:sj
Fig. 6.
i^ POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.
verticales et les points d'application situés entre A et B. Dans le cas où un certain nombre de forces P seraient dirigées de bas en baut, et non do haut en bas, comme on Ta supposé jusqu'ici, les équations resteraient encore applicables, à condition d'affecter du signe — les valeurs de ces forces.
Ces formules sont également indépendantes du coefficient d'élasticité de la matière qui constitue la poutre : cette matière peut être homogène ou varier de nature d'une extrémité à l'autre de l'ouvrage.
L'axe longitudinal, ou fibre moyenne de la poutre, peut être curviligne, à la seule condition que ses extrémités coïncident avec les points A et B situés sur une même horizontale, et que les réactions des appuis soient des forces verticales, dirigées de bas en haut ou de haut en bas. Enfin la hauteur et la section de la poutre peuvent varier suivant une loi quelconque sans qu'il en résulte aucun changement dans les expressions analytiques de X et de V.
En résumé, les formules qui précèdent sont applicables à toutes les poutres continues sans exception, formées d'une matière homogène ou hétérogène, à section variable ou constante, à axe rcctiligne ou curviligne, à condition que leurs points d'appui soient sensiblement placés dans un même plan horizontal et exercent sur elles des réactions verticales, et que leurs fibres moyennes et les forces extérieures verticales soient situées dans un même plan vertical. Les valeurs calculées pour les réactions des appuis Qi et Qj ne sont d'ailleurs exactes que si les points d'appui A et B soutiennent les extrémités de l'ouvrage.
Ce caractère de généralité n'appartiendra pas aux formules de l'article suivant, qui supposent expressément l'homogénéité de la matière et la constance de la section, ou du moins de son moment d'inertie.
9. G!iLpreB0ion0 analytiques de la déformation d'une travée de poutre continue, à «ection constante^ en fonction de la chari:e et des momentoi fléchissants développés au droit des appuis Soient E le coefficient
d^élasticilé du métal qui constitue la poutre, dans une section déterminée, et I le moment d'inertie de cette section. Nous
en. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 15
supposerons que le produit El a la même valeur pour toutes les sections de la poutre d'une extrémité à l'autre de la travée. Nous admettrons en outre que la fibre moyenne est sensiblement rectiligne, de façon que l'ouverture l, c'est-à-dire la distance horizontale de ses extrémités, ne varie pas d'une façon appréciable pendant la déformation.
Nous désignerons par y^ et y^ les déplacements verlicaux
subis, à la suite de la déformation X. • I xa due à la charge, par les extrémi-
V* tés de la fibre moyenne, qui sont ^- supposées coïncider, avant l'ap- ®* plicalîon de la charge, avec les J^ points A et B situés sur une même horizontale et séparés par la distance /. Nous représenterons ^ enfin par 61 et Os les tangentes des
Fig. 7. déplacements angulaires (qui, en
raison de leur petitesse, peuvent être confondus avec ces déplacements eux-mêmes) subis par la fibre moyenne au droit des points d'appui, par suite de la déformation due à la charge. Les y positifs sont dirigés de bas en haut (fig. 7).
Nous examinerons successivement les différents modes de répartition de la charge déjà considérés dans Tarticle précédent.
a. — Cas (Tun poids unique P, appliqué au point R de la fibre moyenne dont l'abscisse est r.
La formule générale de la déformation des pièces élastiques
fléchies: El T-^ = X, combinée avec l'expression analytique
des moments X énoncée à l'article 1, nous conduit aux deux relations suivantes :
.. (x.+(X,-X.)f + ^^,pouro<x<r;
'^'~ /x. + (X.-XOf + ^^\pourr<x</.
Le coefficient El étant constant, par hypothèse^ nous arri-
Et- ■•
<"? ' ^ 16 POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.
Kj,. ■
verons, au moyen d'intégrations successives, aux équations qui suivent :
clx j Xdx = x j Xdx — / Xxdt.
En posant dans ces deux équations x=l, nous obtiendrons
pour 7 cl 2/ les valeurs 0^ et y^ qui correspondent au second
point d'appui, et nous pourrons efTcclucr les intégrations des termes des seconds membres entre les limites qui deviennent applicables : o et /.
El (0,-60= f Xdx={X,-hxA-+- r ^^xdx-{- f ^(l-x)dx El {y,—yt—^il)=l f Xdx— f Xxdx= f X{l—x) dx
Jo Jo Jo
(|i + ^^)/' + 5Pr(/-r)(2?-r).
Ces deux équations de condition permettent de calculer deux des quantités^yi, y^^ 6i et Oj, connaissant les deux autres. Pour que le problème de la recherche de la déformation de la poutre soit déterminé, il suffît donc de connaître, outre Xi et X|, ainsi que l'intensité et le mode de répartition de la charge, deux des quatre quantités y^y y^, 6i et 0,,
b. — La charge se compose d'un ?wmbre quelconque de "poids isolés.
En partant de l'expression analytique de X, énoncée précédemment et que nous reproduisons ci-après, et procédant par intégrations successives, nous obtiendrons les équations suivantes :
CH. I. — THÉORIE DES POITHES A SECTION CONSTAxNTE. 17
(2)Ei(|-e,)=x.x+(x-x.)f;+j;'[s:î:î^^/-x)+2;îi'-^>a^^^^
(3) El {î,-y.-e.x)=x. f +{x,-xo|^,+x/'[s;ï: j (/-x)+ c;:?^^
Posons a; = / dans les équations- (2) et (3), et effectuons les intégrales entre les limites o et /:
(4) Ei(6,-e.) = (X. + x,)^ + i:;^;
(S) EI(y,-y.-e./) = (f + 1) l* + l^[ Pril-r) (2/- r).
Enfin les expressions de Tefforl tranchant et des réactions des appuis, déjà énoncées à l'article 1, sont les suivantes :
Ces huit relations permettent, connaissant El, /, Xi, X^, rintensité et le mode de répartition de la charge, ainsi que deux des quatre quantités yi, y^^ Oi et Oj, de calculer le moment fléchissant, TefTort tranchant et la déformation (déplacement vertical y et déplacement angulaire 9) d'une section transversale quelconque, ainsi que les réactions des appuis (si la poutre est limitée à ces appuis).
c. — Charge uniformément répartie complète.
Supposons que la charge uniforme p par mètre courant d'ouverture s'étende de l'extrémité A à Tcxtrémité opposée B. Nous remplacerons dans les formules du paragraphe précédent P par pdv, les signes S par les signes J et nous intégre-
rons ces nouvelles expressions entre les limites indiquées pour les signes S.
Nous obtiendrons de la sorte les relations qui suivent :
(9) Elg=X=X, + (X,-X.)-'+^pj:(/-i:);
(io) Ei(|-e.)=x,.+(x.-x)^,+ ^K(i-I)'
(H) EI(y-y,e.a;)=^V(X.-X.)^ + 4p«'' (/-f) ;
(12) El (e.-e.) = (X. +x,) ^- + f^K;
(13) EI(y,-y.-e./)=(| + |')^+^K-
On sait d'ailleurs que l'expression de l'effort tranchant est :
(14) V = ''-^ + lp{l-2x).
Connaissant E, I, /, Xi et X^, ainsi que deux des quatre quantités j/i, y^, Oi et 6j, par exemple yi et Oi, ces formules permettent de calculer pour un point quelconque de la poutre, défini par son abscisse x, le moment fléchissant X, l'effort tranchant V, le déplacement vertical y et le déplacement angulaire j- ou 8 de la fibre moyenne déformée.
Nous transcrivons à nouveau ici quelques relations intéressantes qui figurent déjà à Tarticle 1.
Equation de la parabole des moments fléchissants rapportée à son sommet :
(13) y=.~-px\
Abscisses x, et x^ des points Oi et Oj où cette parabole coupe Taxe AB des x et où par suite le moment fléchissant est nul ; dans Thypothèse où la fibre moyenne primitive de la poutre serait rectiligno, les abscisses Xi et x^ correspondraient à des points d'inflexion de la fibre déformée ;
en. i. — THEORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 19
pi
pl V \2 ' pi
Le sommet S de la parabole a pour abscisse :
Xi + Xf
Xj — X|
La valeur du moment correspondant à ce sommet est :
Y, pt' . X, + X. . (X.-X,)«
^=1 +-?—-• — ^ïji-
L' abaissement vertical /* subi par la fibre moyenne au milieu de la travée est égal à la valeur^ changée de signe, que
l'on obtient pour y en posant a? = - dans l'équation (H) :
' ^* 2 El V *8 384^ /
En général /est positif, ce qui signiBc que le centre de la travée s'affaisse sous l'action de la charge ; mais cette règle n'a rien d'absolu, et / peut être négatif et correspondre à un soulèvement du milieu de la poutre.
FORMULES RELATIVES A UNE POUTRE A UNE TRAVÉE, DE SEC- TION CONSTANTE, REPOSANT SUR DES APPUIS INVARIABLES ET SUPPORTANT UNE CHARGE UNIFORME COMPLÈTE OU IN- COMPLÈTE, POUR LAQUELLE ON SUPPOSE SUCCESSIVEMENT QUE CHACUNE DES EXTRÉMITÉS EST SIMPLEMENT APPUYÉE, PARFAITEMENT ENCASTRÉE, OU PARTIELLEMENT ENCASTRÉE.
S. Cm d'une eharg^e aniforme eomplète, les extrémités de la poatre étant Aimplement appuyée» ou parfaitement eneastrées. — Les appuis étant supposés in^*
variables^ on a y, = y^ = o.
POCTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
Il suffit alors de connaître deux des quatre quantités Xj, X,, Oi et 0, pour que les formules de l'article précédent permettent de calculer les valeurs de X, V, y et 6, relatives à une sectioa quelconque de la poutre. Le problème se trouve complètement déterminé.
Fig. 8.
Nous examinerons différents cas :
a. — Poutre simplement appuyée à ses deux extrémités. On a, par hypothèse : X, = X, = 0 (fig. 8).
D'oùX=- px{l — x) : X est toujours positif, quel que soit a?;
X\ — Of Xi — — ».
Les points Oi et 0^ coïncident avec les extrémités de la poutre ;
Xs = ^pP ;
Oi == — Oj =
— lL .
24 El '
Flèche d'abaissement au milieu de la portée : /= + ^gl ^
6. — Poutre parfaitement encastrée à ses deux extrémités (fig. 9).
Flg. 9.
L'encastrement parfait suppose que la direction de la fibre moyenne sur les appuis n'est pas modifiée par l'application de la chargée : ôj = 6, = o.
D'où: X,=X,=-g;
y=lp(i-2x);
J=Wo,2il326/; x,=^A + 4: W 0,788673/;
— 2 ' -^ "" 24 ' ' "" 384 El
c. — Poutre par faitement encastrée sur le premier appui A, et simplement appuyée sur Vautre (fig. 10).
Vt
Flg, 10.
tt
On a: D'où:
61=0 elX, = 0.
pœ-, X, = -^#; Q, = ';>Z; Q. = lpl',
0,25Z; x,=.W; « = 5/; ^s = '^^pP]
^*""/i8EI'
' 384 El *
d. — Poutre simplement appuyée sur le premier appui A et parfaitement encastrée sur le second B (fig. H).
Fig. 11.
Ce cas est inverse du précédent.
On a :
X, = 0 et Og = 0.
D'où :
X = -/î (4^^— ^7; y =^-^plx — px\ X, = — ^
Qi=5P'; Ql=g/>^, Xi=o\ j:, =3/4/= 0.75 Z; s
