EI' ^ — 384EI
4. Ca» d'une charipe aniforme complète^ les extré* mités de la poutre étant partiellement eneastrées. —
Supposons d'abord la poutre simplement appuyée à ses deux extrémités, et supportant une charge uniforme complote représentée par 77. La formule du moment fléchissant sera :
Appliquons à la même poutre une nouvelle charge uniforme complète, représentée par tu ', en maintenant invariable la direction do la fibre moyenne 3ur le premier appuis sans rien changer à la situation précédente relativement au second appui. L'ouvrage se comportera comme une poutre encastrée sur le premier appui, et simplement appuyée à l'extrémité opposée, et les moments dus & la charge t: seront représentés par la formule :
Appliquons une troisième charge tt", en laissant la fibre moyenne subir en A le déplacement nécessaire pour que le moment fléchissant déjà développé au droit de cet appui reste constant, et en maintenant iiivariable la direction de la fibre en B. La poutre se comportera, sous l'action de la charge iç'^, comme si elle était simplement appuyée en A et parfaitement encastrée en B, et les moments produits seront fournis par la relation :
Enfin appliquons une quatrième et dernière charge 7:"'^ en maintenant invariable la direction de la fibre moyenne en A et B, c'est-à-dire en encastrant la poutre sur ses deux appuis.
L'e^Lpression des moments dus à cette charge sera :
W=l^^{lx-a^-l)
En vertu du.principe de la superposition des effets des forces, l'expression analytique du moment fléchissant totale ré- .sultant de l'action simultanée des quatre charges définies plus ,haul, sera la suivante :
2i POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES,
Telle est Tespression générale des momonU fléchissants développés dans une poulre à une travée par la charge uniforme complète w + ::' +?:''+ tc'*", lorsque les extrémités sont parliellement encastrées^ c'est-à-dire se comportent pour une partie de la charge comme si elles étaient simplement appuyées.
Soient Xi et Xt les moments fléchissants sur les appuis et
p la valeur de la charge totale par mètre courant d'ouverture.
En identifiant Téquation qui précède avec la formule con-
nue : X = Xj + (Xj — X,) - + 5 /?ar(/— aî),nous obtiendrons :
Tî-T- 77 -f-î: -T-77 =P, 17-ro77= JJ~ ï 77 '3^ jî" •
Ces trois relations ne suffisent pas pour déterminer les quatre quantités tt, w', tu'', t:\ même en y joignant la condition que chacune de ces quantités soit positive. On peut donc imaginer, connaissant la charge totale p et les moments sur les appuis Xi et X^, une infinité de combinaisons de charges positives tu, w',?:", ir", réalisant, dans riiypolhèse de l'encastrement partiel des extrémités, la courbe des moments fléchissants qui résulte des données Xi, Xs et p.
Nous jugeons inutile de démontrer par le calcul la propo-* sition suivante, qui parait évidente à priori : quelles que soient les valeurs respectives des charges partielles tc, w', w'^ tT (supposées bien entendu toutes plus grandes que 0), dontlasommp est égale à p^ la courbe des moments fléchissants, qui répond à leur action simultanée, est située dans la zûne limitée par les courbes que Ion obtiendrait en supposant successivement trois de ces charges égales à 0, et la quatrième égale kp,
La courbe limite supérieure est constituée par la ligne correspondant à deux appuis simples ; la courbe inférieure comprend Tare central de la ligne correspondant aux deux encastrements parfaits (7:" = p) et les arcs latéraux des lignes relatives à Tencastremenl complet pour une extrémité et l'appui simple pour l'autre (77' = ;?, ::" = p) (fig. Va).
On voit immédiatement que dans la moitié centrale de la travée les moments fléchissants d'ijnc poutre, soumise à unç
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. i5
charge uniforme et parliellemenl encastrée sur ses appuis, ne peuvent jamais être négatifs : les points Oi et 0^ sont toujours situés respectivement dans le premier et le dernier quart de
l'ouverture : ANj = N, B= •— •
Fig. 12.
Nous énoncerions des propositions analogues pour les efforts tranchants, toujours compris entre les limites inférieure et supérieure correspondant à Tencastrement complet pour une extrémité et à Tappui simple pour l'autre (fig. 13).
Fig. 13.
De même les réactions des appuis Qi ël Q, ont des valeurs intermédiaires entre le maximum et le minirpuiTi correspon-
dant à ces deux cas extrêmes, c'esl-à*dire entre 3/8 pi et 5/8 pi, la somme Qi + Q, étant toujours égale à jd/. La flèche d'abaissement est comprise entre le minimum
— ^ (encastrement complet.aux deux extrémités) et le maximum — --: (appui simple aux deux extrémités).
5. Calcul des monients lléohls«aiits positifs et né^atifii itiaxlma dus a raetion d'une ehar§^ uniforme incomplète^ les enitrémités de la poutre étant simplement appuyées ou parfaitement encastrées. — Soit X
le moment fléchissant correspondant^ pour un point quelconque de la poutre, à la charge uniforme complète p ; nous désignerons par X' le maximum (en valeur absolue) du moment .fléchissant négatif, que Ton pourrait réaliser en ce même point en limitant la charge uniforme de la façon la plus défavorable, et par X'' le moment positif maximum, qui résulterait évidemment de l'application de la charge partielle complémentaire de la précédente : X' + X" = X.
Nous conviendrons d'ailleurs dès à présent d'admettre que, lorsque nous parlerons du maximum ou du minimum d*un moment fléchissant, cela devra s'entendre de sa valeur absolue, abstraction faite du signe, par infraction à la règle algébrique qui veut que, de deux moments négatifs, le plus petit soit celui dont la valeur absolue est la plus grande.
Nous considérerons successivement les différents cas déjà examinés à Tarticle 3, à propos de la charge uniforme complète.
Les formules (1), (4) et (5) de l'article 2 permettent d'établir, dans toutes les hypothèses possibles d'appui simple et d'encastrement parfait, l'expression analytique de X correspondant à une charge uniforme partielle quelconque.
Il suffit de remplacer P par le poids élémentaire prfr, de substituer aux signes 2 les signes f et d'effectuer celles des intégrales dont les limites sont indépendantes des abscisses extrêmes des zones chargées. Deux des quatre quantités Xi, X|, Oi et Oa sont nulles en vertu de Thypothèse faite sur la nature de chacun des appuis. On tirera les deux autres des
WF^
relations (4) et (5) et on les portera dans la formule (1), qui fournira en définitive Texpression analytique du moment fléchissant correspondant h une charge partielle quelconque.
Nous n'entrerons pas dans le détail des calculs extrême* ment simples qu*entraine cette méthode, et nous énoncerons immédiatement la formule fondamentale, représentant le moment fléchissant dû, à une charge partielle à laquelle elle conduit. Il n y aura plus qu'à attribuer aux abscisses extrêmes des zones chargées les valeurs convenables en vue d'obtenir X' et X*, et à en déduire les expressions de ces deux valeurs limites du moment fléchissant.
a. — Poutre simplement appuyée à ses deux extrémités:
L'expression générale du moment fléchissant développé par une charge uniforme partielle dans la section M de la poutre, dont l'abscisse est x, est :
La différentielle placée sous le premier signe / représente le moment produit par le poids élémentaire p^r, lorsque son point d'application a une abscisse r plus petite que Xy et la différentielle placée sur le second signe / représente le mo< ment produit par le môme poids élémentaire, lorsque Tabs^ cisse r est plus grande que x.
D'une manière générale, on doit pour obtenir X' ne tenir compte dans Tintégration de chacun des termes que des différentielles négatives, en éliminant tous les poids élémentaires pdr qui donneraient lieu à des moments positifs : les limites de la zone à supposer chargée sont ainsi fournies à gauche et à droite de M par les valeurs de r qui annulent les différentielles placées sous les signes f.
Dans le cas présent on a toujours :
^-^ — > 0 pour r <ix] et
— - — > 0 pour X > r»
â8 POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
Les deux difFéreatielles étanl toujours positives, il n'existe pas de charge partielle pouvant donner lieu à un moment fléchissant négatif, quelle que soit Tabscisse x du point considéré.
D'où:
X"=X— X' =\px{l—x).
Le maximum de X'' correspond à la charge complète, quel que soit x.
b. — Poutre par f alternent encastrée à ses deux extrémités.
L'expression générale du moment fléchissant dû à une charge uniforme partielle est :
X =yÇ[/(2/-r)-a:(3Z-2r)]rfr+ r^^{l-ry[l{x-)^)+2rx]dr.
Nous nous proposerons de déterminer la valeur de X' pour la seconde moitié de la travée, c*est-à-dire pour les points dont
Tabscisse x est plus grande que - •
Si l'on admet la condition a: > - , la différentielle du second
terme de Téquation qui précède est toujours positive: il convient donc de décharger toute la zone comprise entre les abscisses X et l.
Si nous considérons la première intégrale, nous remarquons que sa différentielle change de signe lorsque l'on attri* bue à r la valeur particulière v, fournie par la relation :
l(2l—v)—x{'il — 2v)=o.
D'où :
Comme il est entendu que Ton a ar > - , il faut^ pour que v ait une valeur admissible comprise entre o et a?, que Ton ait encore 3a? — 2/ > o, ou a? > ^ /.
CH. f. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE 29
Supposons donc remplie la condition : ~ < a? < /.
Alors V a une valeur admissible, «t comme la différentielle est négative pour r <C v, l'expression analytique du moment fléchissant maximum négatif sera, en effectuant l'intégration entre les limites o elv :
X' =— r Ç [/ (2/— r) —a? (3/- 2r)] dr
On voit que pour : x =-1^ v = o, X' = o ;
et pour : X = 1, v = l, X' = — — ;?/*.
Le moment fléchissant maximum sur l'appui B est donc précisément égal au moment X qui correspond à la charge uni* forme complète. ^
t ■•JÊt
Xj
De X = - / à a? = - /, X' = 0.
En vertu de la symétrie de la poutre, parfaitement encastrée sur ses deux appuis, on déduira les formules relatives à la première moitié de la travée de celles que nous venons d'obtenir pour la seconde en remplaçant x par / — x.
Soient Xi et X, les moments sur les appuis dus à la charge
uniforme complète, qui sont tous deux égaux à — TkV^* ^®^
maxima X' et X''' seront fournis pour les différentes zones de Touverture, divisée en trois parties égales AF, FT*", F'^B (fig. 14), parles relations qui suivent :
1 U'^ pn^3a:)> (f~3x)>
0<a:<-M 12 (/-2a;)» * ^ /i/-2jc)» '
zone AF' / X''= ipa:(/— iz?)— X'=5/;r»(/— x)— Xt ^^"^""^
Zone FT' / X" = X = - px (Z-x).
-/<X<Z 1 12 (2x-i)» * J(J-2ar)» '
Zone F"B / X''= ^ j>x{l-x)-y^= \ pœ{l-x)-X, i^] •
On a tracé dans la figure 14 les courbes des moments maxima positifs et négatifs, ainsi que la parabole des moments correspondant à la charge complète, laquelle coïncide pour le tiers moyen de l'ouverture avec la courbe des moments maxima positifs, les moments maxima négatifs étant nuls dans cet intervalle.
0. — Poutre shnplemeni appuyée à sa première extrémité et parfaitement encastrée à la seœnde.
L'expression générale du moment fléchissant dû à une charge uniforme incomplète est :
^^/"a^ (2/'-3/«j;+r'x) dr+£ g {l-r) (2/Wr -r') dr.
Nous allons chercher la valeur de X'.
La différentielle placée sous le second signe f est toujours
positive quel que soit x ; il n'y a donc à considérer que la première intégrale.
La différentielle placée sous le premier signe J ne peut
présenter de valeur négative que si Ton a : :z: > - l,
Fig. 15.
Celte condition étant remplie, la différentielle est négative pour toutes les valeurs de r comprises entre o et la limite w fournie parla relation :
W — Wx + vo^x = o.
D'où:
On a par conséquent :
Pour x^=^l^l^ w=o et X'=o ; pour x=4^ w=l et X' = — - •
Le maximum du moment fléchissant négatif sur Tappui encastré correspond à la charge uniforme complète. Désignons par Xi ce moment.
Si Ton divise l'ouverture en detix zones, Tune AF" partant
32 POUTUES A THAVÉES SOLIDAIRES.
de l'extrémilé noti encastrée cl régnanl jusqu'aux 2/3 de i'ouverlure, et l'autre F"B comprenant le dernier tiers de l'ouverture, les valeurs de X' et X" seront fournies pour les deux zones par les relations suivantes :
zone AF' j X" = X = ^ px (l—x).
! pi (ix-n)* (3jc-2f)«
^ 8 X ' Ix '
La figure 15 représente les courbes des X' et X'', aiusi que la parabole des X, relative à la charge complète, qui se confond avec la ligne des X"" dans les deux premiers tiers de la travée, puisque dans cette zone X' = o.
d. — Poutre parfaitement encastrée sur le premier appui A et simplement appuyée à Vautre extrémité.
L'expression générale du moment fléchissant dû à une charge uniforme partielle est :
X= r^,{l-a:){3lr-r')dr+f ^^{l-rW{x-r)+f^V-x)+2lrx]dr.
Nous ne la discuterons pas, le résultat que nous cherchons pouvant s'obtenir facilement et immédiatement en recourant aux formules du paragraphe précédent, où il suffit de remplacer X par / — X et X, par Xi pour avoir les équations applicables au cas présent : la poutre actuelle est en effet identique à la poutre du paragraphe c retournée bout pour bout.
Les expressions de X' et X'' sont par conséquent, la poutre étant également divisée en deux zones dont Tune, égale au tiers de l'ouverture, part de l'extrémité encastrée :
il 8 l—x ' /(i— a;)
^X''=X-X' = ipa;(/-a?)-X/|^
-l<x<l )x'' = X=^'px{l~x).
L'épure représentative des moments fléchissants s'obtiendrait en retournant bout pour bout la fig. 15.
•• Calcul de« eifortu traiichaiits positifs et né|patif « maxima das à faction d^nne ehar^e uniforme Incomplète, les eiKlréniltés de la poutre étant simplement appuyées ou parfaitement encastrées. — Soit V Teffort tranchant correspondant à la charge uniforme complète, Vi et Y, ses valeurs aii droit des deux appuis.
Nous désignerons par V et Vies efforts tranchants maxima négatifs et positifs, déterminés en un point quelconque de la poutre, défini par son abscisse x^ par la charge uniforme incomplète la plus défavorable.
On les trouvera par une méthode calquée sur celle employée pour les moments fléchissants. Nous n*insisterons donc pas sur le détail des calculs et passerons immédiatement des équations fondamentales aux formules finales.
a. — Poutre simplement appuyée à ses deux extrémités.
On a :
Pj
pJ
L'expression générale de l'effort tranchant dû à une charge uniforme incomplète est :
La première différentielle est toujours négative et la deuxième toujours positive.
L'effort tranchant positif maximum a donc pour expression :
l'effort tranchant négatif maximum est :
^, f^prdr P^'v **
rs
t»"iï.VJV'-
fc.^'-
h. — Poutre parfaUetnent encastrée à ses deux extrémités.
L'expression générale de Teffort tranchant est :
V = - jf "^ Ç (3/- 2r) dr +C |- (/- r)« (Z+ 2r) dr.
On a :
