VALEURS DE
Irac45 k la même échelle, sur la figure 16, les courbes italives des V, V, V" correspondant aux trois hypoi, h et d. Il a été jugé inutile de reproduire les courbes 9 au cas c, qui sont symétriques, par rapport au mia travée pris comme pAle, des courbes du cas d.
leul de* lUMineiilB IléelilMsants pesUif** et négaaxima, du* jk rac«i*ii d'une eharfe nnirorme tiéte, lea exlréviités de la p«u<pe étant partlelt encastrées. — En conservant les notations de l'arnous obtiendrons à l'aide des formules fondamentales s à l'article 5 (ao début des paragraphes a, b, c et rf) sion analytique suivante du moment fléchissant dû à de la charge uniforme incomplète représentée par
+ 2;rV [l{2l — r) — 0? (3/ — 2r)] dr f[^^l^^^^+'^' (2P {X — r) + r*(/ — a?) + 2/ra?) + tt" 0? {2P — Ir— r') + ::" (/— r) (/ (a; — r) + 2ra?} ] rfr.
Supposons, pour fixer les idées, que nous nous proposions
de chercher l'expression des moments négatifs X' relatifs à
la seconde moitié de la travée : a? > - •
Dans ce cas, la différentielle placée sous le second signe / est toujours positive ; il n'y a donc à se préoccuper que de la première intégrale.
Posons pour simplifier :
3/ tt' {l — x)-\- 2-^" (2P — 3te) = .8,
277/*a: + 7u"(2/'— 3to) = Y.
L'équation (1) devient, si on réduit son second membre au premier terme, et que Ton y introduise les lettres a, p, y qui représentent des fonctions de x :
X =/' g-, (ar» + pr+y) dr.
La différentielle placée sous le signe J' s'annule ol change de signe pour une valeur v àar fournie par la condition :
a»' H- pu 4- y = 0.
D'où:
Quelles que soient les valeurs, supposées positives, de TT, -ïc', Tz" et rT^ V est toujours plus petit que x et s'annule pour une valeur x" de x toujours supérieure ou au moins égale à 2/3/. Pour x < a?'', v est négatif et par suite là charge est supprimée : X' = 0,
On a en intégrant :
Connaissant 7?, t: , 77" el ?:'*', il est toujours possible de calculer, pour une abscisse x quelconque (mais supérieure'à2/3/), la valeur de v à Taide de la formule (3), puis celle de X' à laide de la formule (4).
En ce qui touche la première moitié de la travée, les mêmes formules pourront servir à condition d'y substituer : / — x à a?, / — r à r, et / — v à v, La nouvelle expression ainsi obtenue pour V s'annule lorsque Ton attribue à x une valeur limite a:\ inférieure ou au plus égale à 1/3 /.
Nous énoncerons immédiatement, sans entrer dans le détail de la discussion de ces formules, les principaux résultats auxquels elles conduisent.
Considérons, pour fixer les idées, la courbe des X' qui se rapporte à la première moitié de la travée. Soit Xi le moment fléchissant développé au droit de l'appui A par la charge uniforme complète 7: + 7; ' H- 77" + tt** : on sait que Xi est négatif.
X' Le rapport ^ est une fonction de x dont la valeur, égale
à 1 pour 0/ = 0, décroit en restant positive quand x augmente, et s'annule pour x == x .
Supposons que l'extrémité A de la poutre soit parfaitement encastrée, ce qui revient à admettre que : 7: = tt*' = 0. Alors
a:'=i/=AF(fig. 17).
Si l'extrémité opposée B est simplement appuyée, on a;
X. = - Ç , I = I^J (Courbe 1 de la figure 17). Si l'exlrémité B est parfaitement encastréc,on aTî'=o,ir"==p ;
X, =— - , - = j;p^, (Courbe 2 fie la figure 17),
Si rextrémité B est partiellement encastrée, iz et t:^ ont tous deux des valeurs supérieures à o: tt'+t:'" =p. D'où:
La courbe représentative de — est intermédiaire entre les courbes 1 et 2 de la ligure.
Supposons maintenant que Textrémité Â de la poutre soit
partiellement encastrée.
On a toujours dans ce cas : o<C ar' <C - A
Admettons que Ton ait calculé la valeur de a?', et qu'elle soit
représentée sur la fig-ure 17 par la longueur A/*< AF' == -/.
-- *est alors une fonction de od qui se prête peu au calcul
parce qu'elle contient les radicaux. Mais nous pourrons loule-
X' fois obicnir une limite supérieure de — plus on moins voisine
Al
POUTRES A TRAVÉES SOLIDAmES.
valeur réelle, et qui dans la plupart des cas donnerait isultats suffisamment exacts ; d'ailleursl'erreur commise,
toujours par excès, n'entraînera pas de mécompte dans cul du travail subi par le métal, qui ne pourra être que alué.
it d'abord ^ !> 1- Le moment fléchissant sur l'appui A a
valeur absolue plus grande que celle du moment fléchis- ;ur l'appui B.
a alors :
Lte dernière fonction s'obtient en remplaçant î par 3x' 1 expression ■
pposons au contraire
I que le moment fléchissant négatif est le plus grand.
tle fonction s'obtient également en substituant 3x'kl
1 expression ^-jj-^ ■
s mêmes propositions peuvent ôtre formulées h propos du
id appui.
1 a dans ce cas :
X' = X, pour x = l.
X' ^ 0 pour a: = a;" > - / .
convient alors de substituer dans les conclusions qui pré-
ftu rapport — le rapport — ■
à la foDCtioa
(/-3aî)J
Kl^x)
\ iUllUtiU
Ix '
(i sxy
3(j? ar*)*
(;-:r") (2l+a;~3jr") '
(a/-rr)* .
x\af 2/3a?)»
(/-iP")(i+2a?-3ar")«
En rdsumé les limites supérieures de X' se calculeront pour les trois zones AF', FT", F"B à Taide des formules suivantes, qui supposent que Ton a déterminé tout d'abord^ les valeurs numériques des moments Xi et Xj et des abscisses x' = AF'
et 0?" = AF''. Le choix à faire entre les différentes formules
est basé sur la valeur du rapport -- , supposé connu à Tavance.
Xj
Zone AF' 0<a:<a?'.
Zone F'F"
3f<X<3lf\
Zone F"B x" <^x<L
Xj
HJ)'
\ 3 /— ar-r^
Quant au moment fléchissant positif maximum, sa limite supérieure est toujours fournie par la relation suivante, où X' est tiré du tableau qui précède :
8. — Calcul des efforts tpanebaiits positifs et négmm tifs maxLliiia dûs à l'aetlon d'une eharir^ uniforme Ineomplète, les e^&trémités de la poutre étant partiellement encastrées. — On voit immédiatement que chacun de ces maxima correspond toujours à une charge s'étendani d'une extrémité de la poutre jusqu'au point considéré.
Maximum positif. — La charge s'étend de a: à /.
Maximum négatif. — La charge s'étend de o à x.
Fig. 18.
Les quatre courbes de la figure 18 représentent les valeurs du rapport — pour lous les points de la poulrc dans lesqualre
hypolhèses où Ton attribue à l'une des quantités -^r, -tt', t:*^, tz^ la valeur limite p^ les trois autres étaat nulles.
La courbe 1 correspond au cas où 7r'=/?(Art. 6, parag.rf).
— 2 — TT =;?(Art. 6, parag.âj).
— 3 — t:'"=p (Art. 6, parag.ô).
— 4 — 77''=/?(Art. 6, parag.c).
Dans le cas général où deux au moins des charges partielles TT, Tz\ îw", tt"' ne seraient pas nulles, -— serait représentée par
une courbe intermédiaire entre celles-ci, et qui, par conséquent, serait tout entière à l'intérieur du segment limité par les courbes 1 et 4.
On commettra toujours une erreur très faible en substituant à la courbe réelle la courbe 2, plus rapprochée de la courbe supérieure 1 que de la courbe inférieure 4 ; si Ton admet que celte règle approximative donne toujours des résultats suffisamment exacts, on pourra représenter les valeurs des efforts tranchants maxima par les formules simples :
— = — -T-^ (Efforts tranchants positifs),
— = - (Efforls tranchants négatifs), V5 p
qui correspondent à la courbe 2. L'erreur commise par défaut sera représentée dans le cas le plus défavorable par la distance verticale de la courbe 2 à la courbe 1 ; Terreur commise par excès aura pour limite supérieure la distance verticale de la courbe 2 a la courbe 4.
•* — Traeé des courbes enveloppes des moments fléchissants et des efforts tranchants maxima. —
Lorsqu'on se propose de déterminer simplement les courbes des maxima, en valeur absolue,des moments fléchissants d'une part et des efforts tranchants de Taulrc, sans distinction de signes, il est facile de se rendre compte des points où Ton doit passer des X' aux X" et vice ve?'sa^ et des V aux V" et vice versa.
POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES, sait que l'on a pour une seclion quelconque :
X^X'H-X" et V = V'4-V".
te le plus grand, en valeur absolue, des deux moments usants maxima X' et X" esl celui qui a le signe de X, :nt dû à la charge complète. Il en est de même pour les 1 tranchants.
courbes représentatives en question comportent donc ;8 suivants :
If les moments ilt^chissants :
e des X' de x=o h x=Xi, abscisse pour laquelle X^o, 1. X"de x^x,kx^Xi, id. X=o,
