THKOREMË DES TROIS MOMENTS
10. Belatioii entre îem moments fléehi«iants déve« loppé» «ur trois appalu eoniiéeutifs d'uue poutre con« tinue. — Revenons aux poutres continues à section constante.
Soient i, 2, 3 trois appuis consécutifs d'une poutre quelconque. Nous désignerons par l et t les ouvertures 1, 2 et 2, 3 des deux travées. Nous distinguerons par les indices 1, 2 et 3 les quantités y, 6, X, V, qui se rapportent respectivement à ces appuis (page IS).
Représentons par x eiy les coordonnées courantes de la première travée, dontrorigincestau point 1, et par a:' et y' les coordonnées de la seconde travée dont l'origine est au point 2.
Al..
XÀ
' xA
yi
Flg. 19.
L'équation (o) de l'article 2, appliquée à la travée 1, 2 nous donne :
(y,-yi-e,/) = (|-Hf)/'+5S^'Pr(/-r)(2/^r).
Nous pourrons obtemi une autre relation symétrique de celle-ci en permutant les incKces^ 2 et 1 et remplaçant r par l — r. En effet rien ne nous empêeke de transporter l'origine des coordonnées au point 2, en renversa»l le signe des x positifs, et d*appliquer dans ces nouvelles con(Ktions l'équation (5) de l'article 2.
Le sens des x positifs, qui était de 1 vers 2, est mafatenant de 2 vers 1, tandis que celui des y n'a pas varié. Donc Ws
valeurs de — =6 changent toutes de signes, ce qui fait que
Ton doit substituer — 8^ à + Ôi. De même sj Pr(/— r)(2/— r) doit être remplacé par — 2^ P {l — ^) (^) [l+r) = + vj Pr \l — r) (/ + r). Nous arriverons ainsi à l'équalion suivante :
(i) El (y.-y,-H.O =(r+î) ^' +g ^i ^^ ('-^) ('+'•)•
Appliquons à la seconde travée 2, 3 la même équation (5) de l'article 2, en conservant ici l'origine des coordonnées au premier appui 2 :
(2) EI(y.-y.-Ô/)= (| + 1) T + \ sj' PV {ï-r') (2/'-r').
Eliminant 8a entre les équations (1) et (2), nous obtiendrons la relation suivante, dite formule des trois moments :
(3) 6EI [?f-y, (j + p) + f] = X./+2X,(/-f-/')+X,f
+ 2iPj (i^-0 + v:i'F;-;(r-r')(2/'-r').
Cette formule fondamentale, base de la théorie des poutres continues, permet de calculer le moment fléchissant X, développé sur l'appui 3, connaissant les déplacements verticaux yiî Vu î/z des appuis, la disposition des charges qui sollicitent les deux travées précédant lappui 3, et les moments fléchissants Xi et Xj relatifs aux deux appuis 1 et 2.
Il convient de remarquer que celte relation est la conséquence immédiate de Thypothèsc faite sur la continuité de la poutre. Nous nous sonunes borné en effet à appliquer l'équa-
lion (8) de Tarticle 2 aux deux travées 1,2 et 2, 3, et à exprimer que les moments fléchissants X^ et X', sur l'appui commun 2 sont égaux, ainsi que les déplacements 6i etO',, ce qui est nécessaire et suffisant pour assurer la continuité de Touvrage. Dans le cas particulier où les travées consécutives supportent des charges uniformes complètes, représentées respectivement par/?/ eip'l' , la formule des trois moments se simplifie par la suppression des signes S et devient :
(4)6El[?f-y.(i + J)+|-']=X,H-2X,(/+r>-hX/+ipr-+-^;)7
fi. Séparatioa den effets dus à la eharn^e et des effets dus à la déolvellatien des appuis. — Considérons les deux relations :
6El[?^-y,(jH-J,)4-Ç] = M,/+2M,(/+/') + M3r;
0=N,/+2N,(/+r)+N3r+li P J^(/'-r^)+Si' P'^^V-r^a/'-^')-
En effectuant la somme membre à membre de ces deux équations, nous retomberons identiquement sur la formule (3) des trois moments, à la condition de poser:
X, = M, + xN, ,
Xa = Ms + Na .
On peut ainsi scinder en deux opérations le problème de la recherche des moments fléchissants développés sur les appuis d'une poutre continue à section constante, en calculant séparément : 1"* les moments dus à la charge seule dans Thypothëse de la fixité des appuis ; 2® les moments dus aux déplacements effectifs des appuis, en faisant abstraction de la charge. On n'a plus ensuite qu'à faire la somme des moments partiels ainsi déterminés pour obtenir le moment total dû à cette double cause. Cette règle suppose bien entendu que Ton est toujours en mesure de connaître avec une approximation suffisante les déplacements verticaux yi, y^ et yg des appuis.
Nous admettrons donc dès à présent que Ton peut, dans le
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POUTKES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
calcul des moments fléchissants dus à la charge, faire abs* traction des déplacements des appuis et supposer ceux-ci invariables, sauf à rechercher ultérieurement les effets dus à cette cause et à en tenir compte dans Tépure de stabilité définitive de l'ouvrage.
En conséquence, nous supposerons toujours, dans les recherches relatives aux effets des charges, qui vont suivre, que les appuis sont fixes, c'est-à-dire que Ton a :
yi=y, = y8 = o.
Dans ces conditions la formule des trois moments se simplifie et devient :
Dans le cas général où les deux travées sont soumises à des charges quelconques :
(5) X./+2X,(/+r)+X,r=-ïi P[(P-H)-srP'p (i'-^)(2/'-r'); dans le cas de charges uniformes complètes pi et pT :
Cette dernière relation, due à BeiHot, a été donnée ensuite par Clapeyron^ sous le nom duquel on la désigne souvent ; elle forme un cas particulier de l'équation générale (3), due à Bresse^ qui est indépendante du mode de distribution des charges et lient compte de la variabilité des appuis.
Il peut arriver que la section i corresponde à Tune des extrémités de la poutre supposée simplement appuyée. Le moment au droit de cet appui est alors nécessairement nul; les formules (3), (4), (5) et (6) restent applicables à condition d'y faire Xi = 0. De même, si la section 3 était une extrémité de la poutre simplement appuyée, il faudrait supprimer dans ces mêmes équations les termes où X3 est facteur.
