Calcul de* réactions Ver(leale« den appàin
Proposons-nous de déterminer la réaction verticale exercée par Tappui 2 commun aux deux travées considérées. L'équation (6) de l'article 2, appliquée aux deux travées
nous donnera pour expression générale des efforts tranchants V et V relatifs à l'une et Taulre travée :
!*• travée : V = ' ^ -
2* travée : V = ^^ — 2"'=*' —
r«Pr
r'=of l'
FIg. 20.
La réactio verticale Q, de l'appui 2 est égale à la somme des réactions partielles relatives à la première travée ( — Vj) et à la seconde (V,), et par conséquent à la différence des efforts tranchants \\ et Y, :
Dans le cas particulier des charges uniformes complètes, on a :
Qi est représentée en valeur absolue par la dislance verti^ cale qui existe au droit de Tappui 2 entre les deux lignes représentatives des efforts tranchants dans les travées 1, 2 et 2,3.
En général V's est positif et V^ négatif (fig. 20);
Q, diffère peu de vj -/ + v«' LlLlil^ ou de ^ /?/+ ^ pU\ les
termes fonctions de Xi, X, et X, se faisant à peu près compensation.
Il peut arriver toutefois que Vj étant positif, ou V'j négatif, on obtienne pour Q, une valeur négative : cela signifie que la poutre tend à se soulever au droit de Tappui 2, dont le rôle
doit être alors de la retenir et non de la soutenir.
Ce cas théorique se réaliserait par exemple dans l'hypothèse où les travées 1, 2 et 2, 3 auraient de faibles ouvertures, et seraient immédiatement suivies ou précédées d'une travée très grande et lourdement chargée.
En réalité cette circonstance ne se présente guère, dans les poutres symétriques en usage, que pour les appuis extrêmes, lorsque les travées de rive sont très courtes et ne supportent que leur poids propre, les travées qui les suivent ayant toute leur surcharge.
18. Relations entre le» déplacements angulaires de la libre moyenne sur trois appuis consécutifs. —
Nous admettrons toujours que Ton fasse abstraction des déplacements verticaux des appuis, en posant : y, =y^ = y^=o.
Appliquons les deux relations (4) et (5) de Tarticle 2 aux deux travées 1,2 et 2,3, en remarquant qu'en verlu de la continuité de la poutre le moment fléchissant et l'inclinaison de la fibre moyenne au droit de l'appui commun 2 ont respectivement la même valeur Xj et fta pour Tune et l'autre travée.
Entre les quatre équations ainsi obtenues, nous pourrons éliminer Xi, Xj et X,, et obtenir une relation entre les quantités ei, Oi et % :
Cette équation, analogue à la formule des trois moments, permet de calculer l'inclinaison O3 de la fibre moyenne déformée au droit de l'appui 3, connaissant la disposition de la charge et les déplacements angulaires Oi et 6^ relatifs aux deux appuis précédents, sans qu'il soit nécessaire de déterminer au préalable les moments fléchissants Xj, Xf et X3.
Elle n'est pas utilisée dans la pratique, el c'est pourquoi nous avons jugé superflu d'entrer dans le détail des calculs, d'ailleurs fort simples, qui permettent de l'obtenir. Lorsque les deux travées 1,2 et 2,3 ont même ouverture (/=/'), et que les charges supportées par elles sont disposées symétriquement par rapport à la verticale du point 2^ le second membre de l'équation s'annule et la relation entre Oi, 0, et % devient :
ôi +40^ + 63=0.
Dans le cas des charges uniformes complètes pi et p'l\ la relation générale prend la forme :
Ei[l' + 2e.(i + t)H-'^]..-i,/.+i,r..
Pour une travée de rive, simplement appuyée à son extrémité antérieure 1, on peut obtenir une relation de même forme entre les inclinaisons de la fibre moyenne sur les deux appuis.
Ei(2e.+e,)=-^sj-4— ;
et dans Thypothëse de la charge unifomie complète :
- CALCUL DES MOMENTS FLÉCHISSANTS ET DES SPORTS TRANCHANTS PRODUITS DANS UNE POUTRE >NTINUE PAR Ui. CHARGE PERMANENTE ET LA rRCHAROE UNIFORME A RÉPARTITION VARIABLE. DÉFORMATION DES POUTRES. — POUTRE A DEUX lAVÉES SOLIDAIRES.
PERCHE DES MOMENTS KLECIIISSANTS DANS L'HYPOTHESE DINE SEULE TRAVÉE GHAUGÉE
>Dsi<lérons une poutre de n travées, reposant sur n -|- i lis que nous numérotons k partir de la gauche, le pre- ' (3lant désigné par o et le dernier par 't. Chaque travée
dislinguéc par le numéro de son appui de droite ou nd appui ; la travée m sera comprise entre les appuis ■ 1 et m, et son ouverture m — i . m sera représentée dans srmulespar /„,.
après la convention juslifide précédemment, nous suppons l'invariabilité des appuis, et ne ferons par conséquent
figurer dans les formules les déplacements verticaux ',,... y% subis par ces appuis.
. Formation de quelque* aérie* unmérlqaeB. — Gonons deux séries, chacune de n nombres,
t'i . », . Mj »«, . M»;
i>i . Cj . t'j )•,, . (!, ;
CH. l. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 35
déterminées par les systèmes suivants d'équations du premier degré :
2wt (/i + /,) + w, /, = 0, w, /, + 2w, (/, + /s) + «3 Z. = 0,
U^i /„i i + 3w«-.i(/m-i + /«.) + Wm 4 = 0,
W,^, Z|^, + 2Wn-i (ii-i + /») + Un /n = 0 ;
ri= 1,
2l', (/n + /n-i) + Ui /n-i = 0, Vi /«, + 2^3 (/„-, + /n-s) + Va ii-a = 0,
V^^J, +2y«, (/, + /,) +Vn/i=0
Il est aisé de calculer successivement chacun des termes de Tune et l'autre série par la résolution d'une équation du premier degré à une inconnue : Ui étant connu,1a première équation du système 1 fournit immédiatement Ut ; la seconde équation fournit u^^ après substitution à u^ et t/, de leurs va^ leurs connues, etc., etc.
Considérons deux nouvelles séries de nombres :
Po • Pi • Pf P»»— 1 P«— 1 5
Yo • Y* ' Y* Y*-* Y^*»
fournies par les relations :
a no "^"i a ^^^-i ^ — Wn-i
po — ^f pi — ••• pm— i — ••• pn— t
«2 * Um ' ' Un ^
Yo = 0, Yi = — - ymr-i = -^ ... Yn-i
— Vj — Vm— i — Vu— 1
Ces nombres pourraient d'ailleurs être calculés directement par les deux systèmes suivants d'équations :
Po = 0,
pi
Pm— 1 =
P«-i= — r— fil — 1
2+ —{i-pn-i)
Les deux séries u et t;, qui ont chacune pour premier terme Tunité (Wi = Vj = 1), se composent de termes alternativement positifs et négatifs, le signe + appartenant aux indices impairs ; dans chaque série, les valeurs absolues des termes successifs croissent plus rapidement que la progression géométrique :
Les deux séries ^ et y, qui ont chacune pour premier terme 0 (^o =^^9=^ 0), se composent de termes tous positifs
el compris entre les valeurs limites 0 et - -
Nous conviendrons d'admettre que les termes i/«i et t;».^ correspondenl à l'appui m : ce sont Vu et le v relatifs à cet appui.
Nous admettrons également que les termes Pm-i=
et Yii— m = correspondont à la travée m, comprise
entre les appuis m — 1 et m : ce sont le p et y relatifs à celte travée.
Pour un appui quelconque m, la quantité Um est fonction des longueurs de toutes les travées qui le précédent (1 à m — 1) et de la travée m qui le suit, et est indépendante des autres ; la quantité «»-« est fonction de l'ouverture de la travée m — 1 qui le précède et de toutes les travées qui le suivent {m à w).
De même, pour la travée m, la quantité Pm— i est fonction des longueurs des travées qui la précèdent (de 1 à m — 1) et de sa propre longueur Im ; la quantité yn—m est fonction des longueurs des travées qui la suivent (de m + 1 à n) et de sa propre longueur 1^-
Supposons que, sans rien changer d'ailleurs aux longueurs
des autres travées de la poulre, on fasse varier l'ouverture
/m— 1 de la travée qui précède la travée considérée m : pour
/^j =E 0, on aura Pm^-i = 5 » ^t? ^^ fur et à mesure que
/m— 1 croîtra , pi»i diminuera progressivement jusqu'à la limite 0 pour /^-i = 00 . On obtiendrait une variation correspondante de y»-m en faisant croître la longueur l^+i de la
travée suivante depuis 0 (y,^^4= -j jusqu'à l'infini (yl^-m=0).
Nous en conclurons aisément que le nombre p,w— 1 est égal
à zéro, lorsque la travée m se comporte comme si elle était
simplement appuyée en m — 1, et qu'il est égal à ■ lorsque la
travée m est parfaitement encastrée en m — 1. Dans le cas de travées toutes égales, 1=1^ = 1^^= /„,
la valeur de ^ est égale à 0.25 pour la première travée et croit progressivement jusqu'à la limite 0,26795 pour m = oo ; elle varie donc très peu, et Ton peut dire que les extrémités d'une travée quelconque fonctionnent en ce cas comme des demiencastrements, ^ étant à peu près à égale distance des limites 0 et 1/2.
f 6. Calenl 4e« moments fléeliissantii développés dau« les seetions d'appui d'une poutre eontinue supportant une eliar§:e eoneentrée unique. — Considérons
la poutre continue de n travées dont il a été question dans Tarticle précédent, et supposons que Ton fasse agir une charge concentrée P en un point de la m* travée définie par son abscisse r, c^est-à-dire par sa distance à Tappui de gauche m — l de cette travée.
Appliquons la formule des trois moments (équation (5) de Tarticle 10) à tous les groupes formés de deux travées successives^ à partir du premier point d'appui de gauche qui porte le n* o.
Le second membre de chaque équation, qui comprend uniquement des termes dépendant des charges supportées par les deux travées considérées, sera nul pour tous les groupes ne comprenant pas la travée m qui est seule chargée.
En outre, les extrémités o et n de la poutre continue étant par hypothèse simplement appuyées, on aura :
Xo = 0 et Xn = 0. '
En procédant ainsi, nous obtiendrons une série de n — 1 relations entre n — i inconnues, qui sont les moments fléchissants développés dans les sections d'appui Xi, X^, Xg, . . • , X»— 1.
Cette série est la suivante ;
dM équtUoM
