DÉFORMATION DES POUTRES CONTINUES
»•. GénéraliféA. — Dans l'hypothèse y, = y^ = 0 où nous nous sommes placé au début de cette étude, les formules 12 et 13 de l'article 2 (page 18) permettent de calculer les déplacements angulaires 6i et Oj de la libre moyenne de la poutre sur les deux points d*appui d'une travée, connaissant la charge pi et les moments sur les appuis Xj et X,. Les formules 10 et 1 1 servent ensuite à déterminer le déplacement vertical y
dy
et le déplacement angulaire j- = 6 d'un point quelconque défini par son abscisse x.
Le problème de la recherche de la courbe décrite par la fibre déformée est donc complètement résolu, puisqu'on sait calculer, pour une valeur quelconque de ar, l'ordonnée y et l'inclinaison de la tangente 6.
Nous n'insisterons que sur deux points, qui peuvent, à l'occasion, présenter de l'intérêt, savoir : le calcul des déplacements angulaires sur les appuis, et le calcul de la flèche d'abaissement maximum au milieu de la travée.
124 POUTRES A TRAVÈKS SOLIDAIRES.
80. Déplaoenientfl au^rnialr^fl» de la fibre moyenue «ur les appuis d'une travée. — Soit m le numéro d'ordre
d'une travée quelconque ; on a les formules générales :
K = ^j {plm^ + 4Xm-i + 8Xm).
11 suffira de substituer à /), Xm— i et Xm les nombres convenables pour obtenir les valeurs correspondants de 6^ et 6^ pour une charge quelconque.
Pour la charge permancnlc, il faudra poser X»»— i = Am—i et Am = Awt.
S'il s'agit de la surcharge à répartition variable, les valeurs extrêmes de Om— i et 6m seront données par les relations suivantes :
Formules
de Part. »
page 103
Maximum positif 0'^., = ^ (8Em-i + 4Dm) (2)
Maximum négatif Ô"tn-i =— ^^ (/?/«.' + 8Dw-i+4En») (5) Maximum négatif 6'^^ = + iJ^ (4Em-i + 8Dm) (2)
Maximum positif ^m = + ^i (/>/m'+ 4Dm-i + 8Em) (5)
Le maximum positif de ^m—t et le maximum négatif de 6m correspondent à un relèvement de la travée, supposée non surchargée, tandis que les deux travées voisines m — 1 et m+1 le sont. Le maximum négatif de 6m— i et le maximum positif de 6m correspondent à un abaissement de la travée, supposée surchargée, tandis que les deux autres travées voisines m — 1 et m+1 ne le sont pas.
Ces formules peuvent dans certains cas présenter de l'intérêt.
On fait généralement reposer les poutres continues sur les piles de ponts par Tinlermédiaire de chariots de dilatation, formés d'une série de rouleaux de friction, qui permettent à l'ouvrage de se dilater et de se contracter librement sous Tin-
fluence des changements de température (fig. 55). Or Tangle formé par les positions extrêmes de là fibre moyenne, dans
Fig. 55.
les deux cas de surcharge les plus défavorables en sens inverses, est représenté, en valeur absolue, parles expressions suivantes :
Appui m—l 0m-i=;7^,(/?/*m+8Dm-i— 8Em-i+4Em— 4Dm).
Appui m
^j (;>/^^+4I)m-i-4E,„-,+8Em-8Dm)-
Si Tamplitude de cet angle n'est pas insignifiante, il peut arriver que le poids total transmis à la pile soit alternativement reporté sur chacun des rouleaux extrêmes du chariot, ce qui entraînerait la détérioration des galets ou de leurs plaques de roulement par suite du poids excessif que chacun serait appelé accidentellement à supporler.On est alors conduit, pour se mettre à Tabri d'une éventualité fâcheuse, à interposer entre le chariot et la poutre un balancier reportant, par
rintermédiaire d'un axe de rotation unique, la charge totale sur le centre du chariot, quelle que soit l'inclinaison de la poutre sur l'horizontale d'appui. Cette mesure de précaution est en général considérée aujourd'hui comme indispensable pour les ponts il travées solidaires. Elle a d'aulre part l'avantage de supprimer dans la construction la question, toujours délicate, du réglage ou du
Fig. 56.
CAL t. — THÉORIE DES POIJTUES A SECTION CONSTANTE, lîï
Cet abaissemeDt s'obtient avec la disposition de surcharge correspondant à la formule (5) de Part. 25.
L'amplitude de l'oscillation verticale subie par lé milieu de la travée, lorsque la surcharge passe de Tune des dispositions à Tautre, est par conséquent représentée par :
F =~=^j (5/>7«m+24(D«-,-Dm + Em-Em-i)).
Ces formules présentent dans la pratique une utilité très grande : lorsque Ton fait subir aux ponts les épreuves réglementaires, il importe de vérifier si le déplacement du milieu de chaque travée concorde avec la flèche théorique calculée à l'avance. La valeur du coefficient d'élasticité £ étant fournie avec une exactitude suffisante par les essais auxquels on soumet les fers avant leur mise en œuvre, ou par les prescriptions du cahier des charges de l'entreprise, un écart notable entre les flèches mesurées et les flèches calculées ne pourrait s'expliquer que par des erreurs commises dans les calculs de stabilité, qui ont servi à déterminer les dimensions des divers éléments de la poutre, ou par des malfaçons imputables au constructeur. Dans les deux hypothèses, la solidité du pont serait problématique, et Ton devrait se demander s'il ne conviendrait pas soit de reconstruire l'ouvrage, soit tout au moins de le renforcer par des travaux de consolidation. Si la flèche mesurée restait au dessous de la flèche calculée, cela signifierait : ou que l'élasticité du métal est moindre que celle prévue, circonstance fâcheuse, ou que Ton a dépassé dans l'exécution, au préjudice de l'économie, -les indications du calcul, en forçant les dimensions des pièces.
Les formules que nous venons d'énoncer ne sont rigoureusement exactes que pour les poutres à âme pleine.
Pour une poutre américaine, formée d'éléments articulés, la flèche serait notablement plus grande que pour une poutre à âme pleine. Nous ne reviendrons pas ici sur l'étude faite à ce sujet dans le premier volume des Ponts métalliques (page 169). Nous nous bornerons à rappeler que, dans le cas habituel où le rapport de la hauteur de la poutre à l'ouverture de
la travée ne s'écarte pas sensiblement de la valeur --, la flè»
128 POUTBES A TRAVÉE
che subie par la poutre américaiu de celle calculée pour la poutre à&i à treillis rigide, dont oo fait usag être regardées comme constituant la poQlrc à àme pleine et la poul s'attendre à observer lors des épre de 15 O/o aux (lèches théorique:
du présent article.
On tiendra compte pratiquemeni duisant dans les formules le cocfli du tiers de sa valeur, s'il s'agit i du sixième, s'il s'agit d'uDO poutre rique suivant indique les nombre Ë, suivant les circonstances, dans d'un métal ayant pour coefficient <
Poutres  âme pleine. Poutres à Irel E= 1,90X10'" 1,60X
Cette règle approximative conc les résultats de l'expérience.
CALCUI, D'L'Nli KItJTRt;
La théorie générale que nous i cable k toutes les poutres continue lorsqu'il s'agit d'uue poutre à deux se simplifie considérablement, etl de stabilité en se servant de form thiiorfeme des trois moments, que avoir besoin de calculer au préala pet Y-
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTAiNTE. i29
SI. KpuFO des moiiient* fléchissaufii. — Pour plus de généralité, nous admettrons que la charge et la surcharge par mèlre courant aient des valeurs différentes pour les deux travées 0,1 et 2,3. Nous les distinguerons par la lettre pi pour la ^^ travée, et/?, pour la seconde.
Les moments H et J relatifs à Tappui central seront donnés par les formules :
i Pflf'
La parabole correspondant à la charge complète a pour équation :
1" travée : X = — r
- PiX (ii—x) ;
.•.ravéc.X=-l'-^if±f(,-i)+!p^ (/.-.,.
Les courbes enveloppes des moments dus à la surcharge sont fournies par les relations suivantes :
Limites des z6nes d'application
r* travée :
OF/. 0<^<a:/'.X''=— :
8/i-f/j 11 8li+/, 1/,— jc
2* travée :
lF,.0<a?<
*' ' 8^ + /A h) ih + u , i ^ '
F.2..'.<x</., X--lg^^(^-i)+î;,... (A-x).
Les abscisses .t'', du second foyer F'"! de la première travée,
-.fV?
ier foyer F édialement
^us -^
Cfl. L — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. i3i 4" Surcharge complète ou charge permanente,
2* Surcharge variable.
Relèvement maximum.
i- travée: /-.^-^-J^^x;., i^^ ;
