LJ
-■«fl.
0 etx' (de m — 1 au premier foyer F) pour Téquation (2) ;
x' et x" (du foyer F' au foyer F"), pour Téquation (3) ;
x" et l (du foyer F" à m), pour l'équation (4).
Il n'y aura plus ici à considérer que les valeurs absolues des moments calculés, sans se préoccuper de leurs signes, puisqu'il est convenu que les X doivent tous être portés verticalement au-dessous de Taxe des x^ tandis que les X' et les X'' sont portés au-dessus.
Si l'on a préparé à l'avance un patron de la parabole dont
l'équation rapportée à son sommet est: y =^ ou y = ^
(en désignant par M réchelie adoptée pour la représentation des moments), on pourra décrire immédiatement les paraboles représentées par les formules (1) et (3) en plaçant le patron de façon que l'axe de chaque parabole soit vertical, et qu'elle coupe les verticales des appuis respectivement aux points définis par les ordonnées Am— i et \m pour la première courbe, et Dm-i et Em pour la seconde.
Quant aux courbes représentées par les formules (2) et (4), il faudra les tracer point par point. La courbe (2) coupe la verticale de l'appui m— 1 à la hauteur représentative de Bm— i, et la courbe (4) coupe la verticale de Tappui m a la hauteur représentative de Bm.
Le calcul ne sera pas bien pénible si l'on a soin de choisir
pour X des valeurs telles que le rapport — , ou le rapport - — ;i
ait une des valeurs portées dans la colonne i de la table numérique I placée à la fin de ce volume. Cela revient à diviser l'espace m — 1 F' et l'espace F'm chacun en 2, 4, 5, 10 ou 20 parties égales et à calculer le moment relatif à chaque point de division. Les fonctions seront choisies en suivant la règle indiquée à l'article 25 page 102, suivant que la valeur du rapport -^^ sera plus petite ou plus grande que Funité, et la
colonne (2) ou la colonne (3) de la table fournira la valeur numérique de la fonction admise, correspondant h Tabscisse x
définie par le rapport - s'il s'agit de la courbe (2), et le rapport ' — ; s*il s'agit de la courbe (4).
CH. I. — THEORIE DES POUTRES A SECTIOxN CONSTANTE. W
Les abscissesxt ol x^ des poinls de rencontre Oi et Oa de la parabole (1) avec Taxe des x étant fournies soit par le tracé graphique de cette parabole, soit par la résolution de Téqua*
1 — î) + -^"^ 7 + 2 (^■~^)» ^^ élèvera en
ces points Oi et 0, des verticales qui viendront couper chacune Pune des courbes (2), (3) ou (4) en un point où cette courbe devra être arrêtée : on raccordera chacun de ces points avec l'extrémité la plus voisine de la courbe précédente ou suivante par une droite ou par un arc de courbe, tracé d'après la règle indiquée à l'article 25, page 105.
Dans le cas exceptionnel ou Xi et x^ seraient imaginaires, ou bien où x^ serait négatif et x^ plus grand que /, on modifierait la marche suivie à parlir du paragraphe e d'après les indications fournies à l'article 25, page 107, indications que nous jugeons superflu de reproduire, parce que l'on n'a presque jamais occasion dans la pratique de les appliquer.
La suite des opérations que nous venons d'exposer ne présente aucune difficulté théorique ni pratique, mais elle exige des calculs longs et fatigants pour arriver au but.
On peut d'ailleurs abréger le travail en substituant des constructions graphiques aux opérations numériques indi-< quées aux paragraphes b et e/, ainsi qu'il suit.
6'. — Soit m — 1 m l'ouverture de la travée m ; portons sur
la verticale qui passe en m — 1 et au-dessus de l'axe des x^ une longueur égale à l'unité, et au-dessous la longueur représentative de p,n i; portons sur la verticale qui passe en m au-dessus de l'axe des x une longueur égale à l'unité, et au-dessous la longueur représentative de y— nw. Joignons en croix les points a dei b c, et nous obtiendrons immédiatement les deux foyers F' et F", dont les abscisses x = m — 1 F et x'' = m — 1 F" pourront être fournies si on désire les connaître par un simple mcsurage effectué sur l'épure.
Fig. 51.
;es A
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prod .pifete nt 3, éessi ir les
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ntosi Jer i ]ui n urs i ère l et H i prei «(2), 0 de ^roup
CH. ï. — THÉORIE DES POUTRES A SECTIOiN CONSTANTE. H9
Travée n
okl (1) Xn = An-t (l - f ) + I {i-^l
Okx'' (2) X'n= (Bn-i- Jn-,)(l " f ) + ^n-i <p (j)
x^'kl (3) X% = Dn-, (l-p)+|f/-a?).
La méthode que nous venons d'exposer est applicable à toutes les poutres continues de section constante, quelle que soit la loi de succession des ouvertures des travées successives. Nous verrons plus tard qu'elle est susceptible d'être très simplifiée lorsque Ton a à considérer une poutre dite symétrique, définie par la condition que les deux travées de rive 1 et n aient même portée /, les travées intermédiaires ayant toutes également une ouverture commune L, différente d'ailleurs de l.
CALCUL DES EFFORTS TRANCHANTS DUS A LA CHARGE FERMA- NENTE. — COURBES ENVELOPPES DES EFFORTS TRANCHANTS MAXIMA PRODUITS PAR LA SURCHARGE A RÉPARTITION VARIABLE
Z7. Ettort» traneliants produits par la eharfre aanente* — La parabole des moments dus à la charge permanente, pour la travée m, a pour équation, en posant pz= l :
X = Aw-t (l — ~) + Am ^ + 1 (/m— a:).
La droite représentative des efforts tranchants aura par conséquent pour équation :
- dX Am — Al»— I , Im
POUTllES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
ion verticale exercée sur la pouiro par l'appui m e parla formule :
DloppcM de« elTttFd (FanehaotB atAxIniA pro- ' la ■oreharge nnlfarme A répaptltlon va*
H est facile de reconnaître a priori que, si l'on îtioo de la charge propre de la travée considérée, maxîma des efforts tranchants poslllFs V et néabliendront en différenciant par rapport à a; la 1' > six formules éoonct^es h l'arUcle 23 page 91.
,„+ J„, -Bm-,), V = ^ (B™ - ll«-C«,).
ï équations représentent chacune une droite hori-
-Is tranchants produits sur les appuis m — { et m Tgo uniforme complète de la travée m — I m sont : les relations suivantes obtenues en différenciant de l'article 2i, page 92, et faisant successivement
\ppm m—i : v «,-, = — ■' + - /
Appui m : v„ = "~ *" — 5 U-
Télude faite à l'article 8 page 43, on pourra touisenlcr, avec une exactitude suffisante, les efforts )silifs et négatifs, dus à la charge uniforme à répariWe appliquée sur la travée considérée, par les re-
• rt - " {U-xY /H«— J„, 1 , \ (ii-^t)' ,-t . . X* /H«— J», I , \ a:'
Ajoutons ces deux expressions à celles relatives à la charge complète des autres travées et nous obtiendrons finalement les équations des courbes enveloppes des V et V.
Maxima positifs (2) V^ =r(Cm+Jm-i-B,n-.0+f ^^^^-^/mV
Maxima négatifs (3) V =r(Bm— H«— C«,)+ (
Hm— J»» — 1
Ces formules représentent deux paraboles à axe vertical ayant respectivement leurs sommets sur les verticales des appuis m (2) et m — 1 (3). Il est absolument nécessaire de tenir compte, dans ces équations, des signes des moments fléchis* sants sur les appuis qui y figurent : Bm» Bm— i, Jm— i et Hm sont toujours négatifs ; Cm-i et Cm sont positifs.
Nous appliquerons au tracé de Tépure des efforts tranchants la mesure déjà admise pour Tépure des moments fléchissants, en convenant de placer au-dessous de Taxe des x la droite représentative des V, sans se préoccuper des signes des efforts.
Vai.l
Fig. 53.
A la droite (Vm— i) OVm, que représente en réalité Téqua* tion (1), nous substituerons donc la ligne brisée Vm—i OVm, définie par la condition Vw-i m — 1 = (Vm-i) m — 1 (fig. 33).
De même nous placerons les deux paraboles (2) et (3) audessus de Taxe m — 1 m en attribuant h la courbe des V la position symétrique de celle qu'elle occuperait, si Ton tenait
Dans le cas exceptionnel où les deux racines seraient inadmissibles,l'on devrait ne conserver que Tune des deux courbes, Vautre étant située tout entière au-dessous de la première entre les limites o et L
La réaction verlicale maximum exercée par Tappui m sur la poutre, sous l'influence de la'surcharge, s'obtient en faisant la somme des valeurs absolues de l'ordonnée V m relative à la travée précédente m et de l'ordonnée V"i» relative à la travée suivante tn + 1 .
