LANCEMENT DES POUTRES
CALCUL DES MOMENTS FLÉCHISSANTS ET DES EFFORTS TRANCHANTS PRODUITS PAR LA DÉNIVELLATION DES APPUIS.
SU. Crénéralités. — Nous avons remarqué à Tarlicle dl (page 47} que les eiïels dus à la dénivellation des appuis d'une poutre continue peuvent être étudiés et calculés en faisant abstraction de la charge. Nous admettrons donc que Ton a tout d'abord déterminé les courbes des moments relatifs à la dénivellation des appuis, sans se préoccuper de la charge ni de la surcharge. Cela fait, il sera toujours facile de calculer, pour une section quelconque, le moment fléchissant total dû à cette triple cause (charge, surcharge, dénivellation des appuis) en combinant les trois courbes, c'est-à-dire en faisant la somme algébrique des trois moments partiels déterminés séparément pour cette section.
Le théorème des trois moments nous fournit une relation fondamentale entre les moments Mi, M, et M3 développés sur trois appuis I, 2 et 3 et les déplacements verticaux yi, y, et yj, subis par ces trois appuis, / et /' désignant respectivement les ouvertures des travées 1, 2 et 2, 3:
M./+2M.(/+/') + M,r = 6EI (îti y, ^i + J,)+^j.
1. Dans toutes les formules relatives à la recherche des eHets produits par la dénivellation des appuis elle lancement des poutres^ la valeur du coeHlcient E devra être arrêtée en tenant compte des observations déjà présentées à l'art. 31. Pour les ponts à treillis rigide en fer, il faut en général admettre :
E = 1.60 X lO'o.
Nous supposerons d's poutre a subi un déplac haut), les autres appuis (
SV. HamenU Béohl cément verileal d'un estplun g^rand que I «
rons le cas général où l'ap à aucune travée de rive ment y, connu en grande
Appliquons le lhéorêm< formés de deux travées i tr^mité n de la poutre. N tuellcs, en ce qui conceri travées, ainsi que les non
Nous obtieodroQs une membre sera nul toutes considérées ne portera li par suite ne sera adjacei
ÉÇOATIONS
d'ordn da
irH-l m-f-2
M.„ (,+, + 2M„, [1^ + 1^,) + JW. /^r- 0.
m-2.ni-l m-i .m
Nous avons n — 1 relations entre n — 1 inconnues : le problème est donc déterminé. Nous le résoudrons absolument de la même manière que celui de l'article 15, en remarquant que Ton a :
V en vertu des équations 1.2.3 m — 3.
D'où:
Um— 1
2« en vertu des équations m +2, m + 3 n — 2 et n — 1.
D'où:
Mm+ï — """"^^ Mm-H — — Yn— m— 1 Mm-H-
Remplaçons Mm-s ^t Mm+t p&r leurs valeurs en fonction de Mm^ et Mm-fi dans les relations m — 1, m et m + 1 ; nous obtiendrons trois équations du premier degré à trois inconnues M>nr-t, Mm et Mm il, dout la résolution fournira les valeurs de ces trois moments.
En remarquant que l'on a :
Hw— t ♦m— 1 + « (►m— 1 H" *m) = "g 9
et
^ V^+î "J" ^w-rt) — yn—m-^t •m-4-i = »
yn— w— 1
ces trois équations prennent la forme :
îîpi:?-HM«/^ = 6Elf ,
pm— 1 *m
4n+2Mm(/m^-WlH-Mm^^Wi=— 6EIy(-j^+^) ;
M, Mm-f 1 /m-ht ^Bïy wi «m— 1 H == ; — ~ •
7n— m— 1 wt-ft
im POUTRES A THAVÉES SO
D'oti nous lirons :
f (1+|9^-,) + Im (2 — Pm— i) H-
M,„, = p„., U El -^
L'on voit immédialemeal : 1° que l esl toujours négalif lorsque le déplace lif {soulcvement de l'appui); 2" que les précédeals et suivants sont nécessaire à Mm et en général plus petits en vate les longueurs /m et/m^, ne soient trè droite représentative des moments, po droite du premier foyer de cette trav^ a la travée m+1 passe à gauche du s
Fig. 57.
Les lignes représentatives des me travées s'obtiendraient, comme dans 1 sant sur une seule travée, en construi Mm-, et Mm-}-, des lignes brisées pass les premiers foyers des travées situées {m — 1 à 0) et par les seconds foyers de du point 7n-\-l (m-\-2 à n), aboutissan et ayant leurs sommets sur les verticali
On pourrait d'ailleurs calculer les les appuis, en se servant des relations
Mm-, = — pn-,Mm-, Mm-|-, =
Mm-a = — Pm-i ^U-t Mm-h -
Mnt t=^ — Pm-*Mm t-|^i Mm+*= M, = — p, 51, M„-, =
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SEGTIOxN CONSTAiNTE. 137
9H. Moments fléchissanlfl produite par le déplaeement de l'appui t oa de Fappal n — i • — Dans le cas où
le déplacement y est subi par le deuxième appui de la première travée, c'est-à-dire Pappui 1, les formules précédentes deviennent^ ^m—i étant nul :
"•=»■ ". = - »Eiy '^, ;,, ., ^, ■
Ma = — Yn-s Ms, M4 = — Y»-t Ma, .... etc.
Dans le cas où Tappui déplacé est le premier appui de la dernière travée {m= n — 1) on a de même, yn— m— 1 étant nul :
.— (1 + Pn--,) + f
Mn = 0, M„. = - 6EIy p., . ,. ,, >
Mfi — ^3 = — Pn— 3 Mn — 2,
Mn— 4 = — Pn-4 Mn-3, , etc.
89. Moments fléchlssauts produits par le déplaeemenf vertleal de l'une des eiKtréniltés de la poutre.
— Lorsque le déplacement y est subi par le premier appui de la poutre {m=o)^ les formules deviennent inapplicables, parce que leur recherche a été basée sur Thypothèse préalable que Tappui déplacé était compris entre deux travées successives. Si Ton applique à ce cas particulier le théorème des trois moments, les seconds membres de toutes les équations sont mils, sauf celui de la relation (1), qui devient :
Remarquons que
M, = — Ml yn-j,
Î8 POUTBl
t que
La ligne brisée repn conds foyers de toutei
De même s'il s'agis (m=n), on trouverait
La ligne brisée n les premiers foyers di
A*. H*tnenU flë
ocinenla «Imaltané
que tous les appuis s ments différents en g Il conviendra de cale sur tous les appuis pai considéré à part : on o les et des construction précédents, une série au déplacement de i'i pour chaque appui la fournis par chacune di totiil produit par les piles du pont.
Il est évident que ai de fai^^on à ne pas n moyenne de la pouln les moments partiels i telle sorte que leur n'ayant subi aucune
dans le métal des efforts supplémentaires. On peut donc toujours, sans rien changer au résultat du calcul, admettre que la poutre a subi un mouvement vertical de translation et un mouvement de rotation autour de l'une des extrémités de la fibre moyenne, en même temps que cette fibre se déformait. En conséquence, au lieu de mesurer les déplacements y à partir de la position initiale réelle de la fibre moyenne sup* posée rectiligne, on les mesurera à partir d'une droite quelconque choisie arbitrairement. On déterminera cette droite par la condition de passer, après la déformation, par le plus grand nombre possible de points d'appui, de façon à réduire
"^^^^•^fc-
Fig. 58.
au minimum le nombre des opérations à faire. Dans le cas de la figure S8, la position initiale de la fibre étant par hypothèse la droite i. 2. 3. 4. 4. 6. 7. 8. 9, et sa position finale la ligne 0'1'2'3'4'5'6T8'9', dont tous les sommets, sauf un seul (4), s'écartent de la direction primitive, il faudra mesurer les déplacements, non pas à partir de cette direction, mais à partir de la droite auxiliaire m l'2'5'7'8' n qui passe par 5 sommets de la fibre déformée, ce qui réduit à 5 (0',3',4',6',9') le nombre des points d'appui dont les déplacements verticaux, mesurés par rapport à la droite m n, devront être soumis au calcul. 11 résulte de cette convention que l'appui (4), qui est en réalité le seul à n'avoir pas bougé, sera supposé cependant s'èlre déplacé de sa position initiale, que la fiction admise conduit à considérer sur la droite mn.
Cette remarque subsisterait dans le cas où la fibre moyenne initiale serait brisée ou curviligne. On peut toujours en effet la supposer rectiligne sur l'épure, à la condition d'y porter les longueurs exactes, en grandeurs et signes, des déplacements
POUTRES A TRAVKES SOLIDAIIIES.
parles appuis (00', 11' 99'). Les valeurs des mo-
â dépendent non de la forme réoUe de la fibre, mais des cemenis verticaux subis par ses différents points.
Travail maximam à la flexion dikh ladémivella> de» appuii. — Connaissant le moment fléchissant Mm oppé en un point quelconque de la poutre (qui peut I pas un appui) le travail masimum du métal T,„ sera, pposanl, suivant le cas général de la pratique, la section poutre symétrique par rapport à son centre de gravité, lignant sa hauteur par k :
Mmh
iir avoir immédiatement T„„ il suffira donc de remplacer,
la formule qui donnerait M,„, le facteur 6 El par le fac-
