PRINCIPES DE LA MÉTHODE. ^ FORMULES FONDAMENTALES

■^t. GénérallféM. — Dans les chapitres qui précèdent, nous avons exposé une roéthodo pour calculer une poutre continue à section constante^ et nous avons énoncé des formules rigoureusement exactes, si Ton admet comme tels les principes fondamentaux de la résistance des matériaux.

Nous avons d'autre part, h la fin du chapitre II, fait voir comment, les calculs une fois terminés, on se base sur leurs indications pour établir une poutre de hauteur constante dont les sections transversales (platebandes et Ame) varient en raison des grandeurs des moments de flexion et des efforts tranchants auxquels elles auront à résister.

Cette pratique^ universellement admise par les constructeurs, et justifiée par un très légitime motif d'économie, sur lequel il nous parait inutile d'insister, conduirait à admettre qu'il est permis d'arrêter les dimensions d^une poutre à section variable, en s^appuyant sur les résultats obtenus dans Thypothëse de la section constante.

Nous verrons plus loin que cette conclusion, à peu près acceptable dans le cas des poutres de hauteur constante, ne l'est pas toujours pour les poutres de hauteur variable. Il peut donc paraître utile et même nécessaire^ aU moins pour les ou«

îi5G

POLTHKS A THAVÈKS SOLIDAIKKS.

vrages iniporlanls, de déterminer après coup Terreur commise, et de corriger les excès ou les défauts de résistance constatés dans les différentes parties de la poutre, lorsque Ton tient compte de l'influence qu'exerce la variabilité de la section sur les courbes des moments fléchissants et des efforts tranchants.

Supposons que Ton ait à calculer les dimensions d*unc poutre continue, dont le nombre et les ouvertures des travées soient arrêtés en principe.

On évaluera la valeur de la charge permanente d'après les exemples fournis par les ouvrages existants dans des conditions analogues, ou par la formule de la page 215, etl'on dressera dans rhypothèse de la section constante les épures des moments fléchissants et des efforts tranchants : la hauteur et le moment d'inertie de la poutre ne figurent pas, ainsi qu'on Ta vu, dans les formules à employer et peuvent donc être laissés dans Tindétermination.

Cela fait, si Ton se propose d'établir une poutre de hauteur constante, on calculera, cette hauteur étant arrêtée, les épaisseurs à attribuer aux platebandes, et on déterminera, pour un certain nombre de sections, les valeurs du moment d'inertie I : ces calculs s'effectueront sans difficulté à l'aide des formules énoncées dans l'article 66 du chapitre II. Il sera d'ailleurs inutile à ce moment d'établir les dimensions des éléments de la triangulation, puisqu'elles nMnfluent pas sur la valeur de I, seul renseignement dont on ait besoin pour Tinstant.

Si Touvrage à exécuter est une poutre de hauteur variable, dont on arrêtera le profil en long d'après les indications de Tépure relative k la section constante, on devra recourir, pour le calcul des épaisseurs des platebandes et du moment d'inertie I, à des formules nouvelles que nous donnerons au chapitre IV. Pour ne pas compliquer et allonger inutilement notre étude, nous n'énoncerons pas ici ces formules. Nous nous bornerons à dire que, Tépure relative à la section constante étant dressée, et le profil en long de la poutre arrêté, il est facile de calculer I pour une série de sections verticales de Touvrage, à l'aide des relations qui figurent au chapitre lY. Il n'y a plus dès lors à se préoccuper de la variation de hauteur de la poutre, le tracé de

CH. III. — POLTHKS CONTIMÎKS A SKCTÏON VAKLVIJLE. ^57

l'épure relative à la section nouvelle s'effecluant suivant les mêmes principes et àTaide des mêmes équations, que h soit constant ou variable.

Cette méthode suppose expressément et uniquement que Ton connaît approximativement, en un point quelconque de la poutre, la valeur de I : h n'entre pas dans les formules à appliquer.

Il s agit maintenant de vérifier a posteriori qu'une poutre, dont les dimensions sont arrêtées provisoirement, et dont on connaît exactement la charge et la surcharge, satisfait bien à la condition essentielle que le travail maximum du métal, tant à la compression qu'à Texlension, atteigne en tous les points, sans les dépasser, les limites pratiques de travail admises. Si cette condition est remplie, il n'y a rien à changer aux dispositions adoptées; si le métal est trop fatigué en certains points, et pas asseï dans d'autres, il conviendra de renforcer les parties faibles, et de réduire les parties trop fortes de manière à assurer de la façon la plus économique la stabilité du pont, par une meilleure répartition de la matière.

On pourrait se demander si ce remaniement de la poutre ne rendra pas encore inexacts les résultais des calculs relatifs à la section variable, qui ne s'appliquent réellement qu'à la poutre provisoire et non à la poutre définitive. A la rigueur il serait possible de recommencer encore une troisième fois les calculs, en considérant la poutre retouchée, mais ce travail serait toujours inutile : la seconde poutre, si l'on a opéré judicieusement (art. 87 et 97), ne différera jamais, en effet, de la première que dans une mesure trop faible pour qu'il en résulte des changements appréciables dans les courbes des moments fléchissants et des efforts tranchants. Si l'on se place au point de vue pratique, d'après lequel une erreur de quelques centièmes de kilogramme dans le travail par millimètre carré d'une tôle ou d'une barre ne saurait valoir la peine d'être reconnue et corrigée, ime nouvelle étude de la poutre semblera inutile, et nous admettons qu'on pourra s'en dispenser.

Soit donc une poutre à section variable, dont on connaît le

nombre et les ouvertures des travées successives, ainsi que le

moment d'inertie I en un point quelconque (ce renseignement

l'UUTHKS A TKAV

ourni par une épure ou ui d'aprôs les résultats des (lu chapilro I, ou de celle e symétrique), la charge fournie également par le i îléments de la poulre prov mèlre courant, la allons chercher les c< ssants et des elTorts trui )ililé de la section, sans a< it laquelle peut varier la h

Formulea généraleM i •ée isolément. — Soit e fonlinue à section vari ;rture par /. Nous ne form

de variabilité de laseclio partition de la chiarge : no it des données du problèn ont X, et X, les moments 11 lits sur les appuis de cette as avons vu à l'art. 1 du c mt X, correspondant à u est X, a pour expression a

it une fonction qui ne dé| la cha

; j connu

'"""lu ii nées (

huera Fig. %■ compi

jours I de f(x) (voir article i , paj ) représente le moment 11 une poutre à une travée, si , ayant même ouverture l

portant identiqueaient la même charge. Si la travée 1,2 ne supporte aucune charge, f{m) se réduit à o. Si la charge est uniformément répartie sur toute la portée, on a :

Ne voulant rien spécifier sur le mode de répartition de la charge, nous laisserons ce terme sous sa forme générale f{x). Nous remarquerons seulement que cette fonction s'annule aux extrémités 1 et 2 de la travée :

/(o) = oet/l[/) = o.

Choisissons arbitrairement un point N de la travée, dont nous désignerons Tabscisse par u. L'équation (1), appliquée à ce point, nous donnera :

Nous pourrons éliminer soit X^, soit Xi, entre les relations (i) et (2), ce qui nous donnera deux expressions différentes du moment fléchissant X :

(3) X=/(a;) + X. (îi=î) +(X» -/(tO)^,

Considérons maintenant Téqualion fondamentale de la résis*tance des matériaux :

qui peut se mettre sous la forme :

dr« El*

El est le produit du moment d'inertie de la poutre par le coefficient d*élaslicité du métal : c'est une fonction de a;, dont la valeur est supposée connue pour chaque point de la travée.

l'ULïniiS A IIIAVKKS SOLIDAlCtKS.

légrons deux foiscelle équalioii, comme nous l'avons fait rlicle 2 du chapitre I, lorsqu'il s'agissait des poutres à on constante. Dans le cas présent nous devrons laisser le signe f la variable El, maïs i cela près nous ne channs absolument rien au calcul cl nous conserverons les les nolaiions :

rfr /j l'.l

ppllquons cette (iemière iclalion à l'eslrémité 2 de la Irapour laquelle on a i' = î :

3U3 pourrons encore établir une formule symétrique de i-ci, en permutant les indices 1 cl 2, remplaçant — 0,/ par ,/, et snbsliluaiit xiil — f (voir page i-6) :

dj:.

emptaçons X tiaiis l'équation (S) pat' son expression anaue fournie par la relation (3), et dansrilquation(6)par.soii cssion analytique fournie par la relation (i) :

CH. m. — roLTJnvs contincks a skction vaikahle. ici

Nous nous servirons de ces dernières formules dans Télude dos poutres à section variable.

VS. Théerème dei trois momeiito. — Considérons deux travées consécutives 1,2 et 2,3 d'une poutre à section variable. Nous distinguerons les abscisses et les moments relatifs à la seconde en accentuant les lettres qui les représentent.

vis- i<5.

Appliquons Téquation (8) de Tarlicle précédent à la première travée, et Téquation (7j à la seconde, en remarquant qu'en vertu de la continuité de la poutre les moments lléchissanls Xj et X'j, les déplacements angulaires 8* et H\ et les déplacements verticaux ys et y s, relatifs h Tappui commun 2, sont respectivement les mêmes pour Tune et Taulre travée. Les abscisses u et m' se rapportent aux points N et N' choisis arbitrairement sur chacune dos deux travées.

( ., „-,. . V = [^']/ ifcf2..ijr v-\('^' -•

Kliminons Oj entre ces doux relations :

t'i, »' /•.l\j!'ï rX»-/(tt)1 r'x{l-.r) ,

A V r l r'(î-«)£ , , ' /'''(«WM£-J') , ,1

l eu' ]J, El nX VA ^Vj„ Kl '• '

Otte éqnation fondanîenlale constiloe, dans sa forme la

20a POUTRES A TRAVÉES

plus gen<5rale, la formule des trois n travées consécutives d'une poutre &

En effet, toutes les intégrales dé aoitdirectement si leur dérivée est ur soil par quadrature, puisque les lotir gnes f ne représentent que des co dépendantes de x, toutes connues : li étd choisies arbitrairement, les ouv le produit El qui résulte pour chaqt métal à employer et des dimensio fonctions f(x} et fix') qui dépend supportée par la Iravi'e à laquelle el

Connaissant les déplacements vi droit des appuis par la libre moycnn des moments Xu, X, el XV, on pc cette formule, calculer le troisième.

Les abscisses u et »' peuvent étr ne nous empêche donc de poser» = à transporter le point N sur l'appui 3. Dans ces conditions, comme f{o) ■ obtiendrons une équation correspo section variable, h la formule des Iro 10 (page 46) pourles poutres à secli(

Pour retrouver l'équation (3) de poutre à section constante, il suffirai tant El des dénominateurs ofi il fig grations.

Dans le cas présent, El étant une lement pas représentée par une fonc

■■iPW^-ÎT-»=T

CH. m. — POUTRES CONTINUES A SECTION VARIABLE. 263

pourra ôlre question de calculer les intégrales sous une forme générale, et il faudra en évaluer approximativement les valeurs numériques par une méthode de quadrature, dont nous parle* rons plus loin.

Nous pouvons encore ici, comme nous Tavons fait à Tarlicle H pour les poulres à section constante, séparer les effets dus à la charge des effets dus h la dénivellation des appuis, en scindant la formule (4) en deux équations distinctes dont Tune comprendra les termes en y,, y*, y^ et l'autre les termes enf{x)

Moments dus à la dénivellation des appuis :

^ ' l* X K' U'Jo Kl ^ V* J, El J

Moments dus à la charge :

N, P'xV-x-) i r*xt (X) . 1 /"'(r-£) , , ,

Les moments totaux dus à cette double cause seront fournis par les relations :

X, = M,+N,, X, = M. + N,, Xs = M84-N,.

D'aprÎ38 la règle posée à Tart. H, nous conviendrons d'étudier séparément les effets dus à la charge, au moyen de la formule (6), et les effets dus à la dénivellation des appuis, à Taide de la formule (5).

Dans la pratique, on suppose toujours, dans la recherche des moments et des efforts tranchants développés sur les appuis d'une poutre continue, que les travées ou sont complètement déchargées, ou supportent une charge uniforme répartie sur toute leur longueur. La fonction f {x) se réduirait à 0 dans le

rOt'TRES A TRAVI-ES SOLIDArilKS.

liiorcas, et sérail -/)i:(/ — i)dans lo secoud. Dcmême/'(jr'J itou 0, ou~p'x'{r — x').

otis verrons plus loin (arU 88) que le calcul de l'ouvrage .encore s'cfrec(U6r,niais avec un peuplusdecomptîcalion, ]ue la charge n'est passupposc'e uniforme.

i. Théorème des deux ni»niciitM. — NoU9 jugeons ! de démontrer ici, bien que nous ne devions pas nous en ir dans noire étude des poutres continues par la méthode brique, un théorème des plus importants, tant parl'intéju'il offre au point do vue purement théorique, que par lilé qu'il présente dans l'étude des poutres continues par la que graphique. Nous voulons parler du théorème iesdeux lents Ail à M. Maurice Lévy.

éprenons la formule générale (3) de l'arlicle précédent ;

C9 points N et N' de la figure peuvent être choisis arbitraient : au lieu de les prendre au hasard, donnons-nous seu* eut «, et déterminons »' par ta condition d'annuler le cocfnl de X, dans l'équation qui précède, abscisse du pointN', co)7'es;Do;u/an; au point N pris arbitraient sur la première travée, sera fournie par la condition :

peut s'écrire

cil. m. - POUTRES CONTL\Ui:S A SKCTION VARIABLE. 263

Les intégrales (léfinies peuvent toutes se calculer soit par intégration directe, soit par quadrature : rien ne s'oppose par conséquent à ce que l'on calcule ^/', connaissant ti.

L'équation (3), dont le ternie en X, disparait, devient :

Cette formule permet, connaissant les déplacements verticaux y,, y, et ya, ainsi que Tun des deux moments X» et XV, de calculer l'autre.

C'est l'équation des deux moments.

95. DéflnlCion et proprlétéM den points eorreApondantii. — Les points N etN', situés sur deux travées consécutives dont les abscisses ti et ti' satisfont à l'équation (4), sont dits points correspondants. On voit qu'à un point quelconque d'une travée correspond toujours un point et un seul (l'équation (4) étant dufpremier degré en n et en u') de la travée suivante : il est indépendant de la charge de la poutre. Connaissant le moment relatif à lun d'eux, on pourra, à l'aide des équations 4 et 5 de l'article précédent, calculer l'abscisse w' de son correspondant N', et le moment XV relatif à ce point. On déterminera de même le correspondant de N' dans la travée qui suit Tappui 3, et le moment fléchissant en ce point, et ainsi de suite.

Un point quelconque d'une travée a donc un correspondant et un seul dans chacune des autres, et en procédant de proche en proche, d'une travée à la suivante, si Ton connaît la valeur du moment relatif à l'un des points de la série, on pourra calculer les moments relatifs à tous les autres.

Remarquons que certains de ces points peuvent (>tre virtuels^ si la valeur de leur abscisse^ calculée avec l'équation (4), est négative ou supérieure à l'ouverture : algébriquement, cela ne change rien à la marche des calculs, et géométriquement le ré-

sultat doit être interprété en ce sens que la valeur de X'"' obtenue correspond à un point de la courbe des moments situé en dehors des limites de la travée, constituées par les verticales de ses points d'appui.

Remarquons encore que, si les deux travées considérées 1, 2 et 2, 3 ne supportent aucune charge (/[x) = 0 elf{x') = 0), si les appuis sonl fixes (y, = y^ = y^ = 0), et si le moment fléchissant Xu est nul en N, il en sera de même du moment XV relatif à son correspondant N'.

VG. DéOnition et propriétés des foyers. — Considérons la série des points correspondants qui comprend l'exlrémité antérieure de la première travée de rive : on déterminera successivement leurs abscisses, en posant w = 0 pour la première travée, calculant Tabscisse du point correspondant de la seconde, puis celle du point de la troisième, etc., jusqu'à la dernière travée.

L'extrémité antérieure de la première travée de rive étant simplement appuyée, le moment fléchissant qui lui correspond est toujours nul, quelles que soient les dimensions et la charge de la poutre continue ; il est donc connu, ce qui permet de calculer les moments relatifs à tous les autres points.

La série des points correspondants, qui comprend Textrémilé antérieure de la poutre, est dite série des premiers foyers ou des foyers de gauche de Touvrage : ces points jouissent en eff'et, pour la poutre à section variable, des propriétés déjà signalées au chapitre I pour les poutres à section constante.

On voit immédiatement que, si les m premières travées de la poutre ne supportent aucune charge, le moment sur le premier appui étant nul, les moments sur les points correspondants des m — 1 travées suivantes non chargées seront également nuls, en vertu d'une remarque faite à Tarticle précédent. La ligne brisée représentative des moments passera donc par tous ces points, et aura ses sommets sur les verticales des appuis. C'est, on le sait, la propriété caractéristique des premiers foyers (page 61).

Considérons maintenant la série des points correspondants qui comprend Textrémité opposée do la poutre. Pour en cal-

TW^

culer les abscisses, il suffira de faire u = ï dans la dernière travée, et Téqualion (4) permettra de calculer l'abscisse u du point correspondant dans Tavant-dernière travée ; on continuera en passant de chaque travée à la précédente, jusqu'à la première. Cette série de points est dile la série des seconds foyers ou des foyers de droite de la poutre. Elle jouit des propriétés signalées au chapitre I pour les seconds foyers des poutres à section constante : si les m dernières travées de la poutre ne supportent aucune charge, la ligne brisée des moments passe par les seconds foyers de ces m travées.

Il résulte des considérations qui précèdent :

1® Que, parla résolution de n — 1 équations du premier degré successives, ou à une seule inconnue chacune, on peut trouver le système des premiers foyers de la poutre, qui comprend son extrémité de gauche; que, par la résolution de n — 1 autres équations du premier degré successives, on peut également trouver le système des seconds foyers, qui comprend Textrémité de droite.

La position d'un foyer quelconque ne dépend que des dimensions de la poutre et des ouvertures des travées.

Elle est indépendante de la dénivellation des appuis et do la charge.

2* Pour une charge donnée quelconque, on peut, par la résolution de n — 1 équations du 1" degré successives, ou à une inconnue chacune, trouver les moments développés dans les sections transversales qui correspondent aux premiers foyers ; en résolvant dans les mêmes condilions w — 1 autres équations du 1*' degré à une inconnue, on obtiendra les moments relatifs aux seconds foyers.

3"* Connaissant, pour une travée quelconque, les moments relatifs à ses deux foyers, on peut toujours tracer la courbe des moments fléchissants de cette travée : c'est le polygone funiculaire, relatif à la charge supportée par celte travée, qui passe par les deux points connus.

4* Lorsque la charge considérée est appliquée sur une seule travée de la poutre, les autres étant déchargées, on peut, à Faide de deux équations du 1*' degré à une inconnue chacune, trouver les valeurs des moments relatifs aux foyers de la Ira-

PCKTRES A TRAVÉES SOLfDAIRES.

vée chargée, et tracer la courbe des moments pour cette travée : on la prolongera sans difficulté sur les travées situées à gauche en traçant une ligne brisée passant par les premiers foyers et ayant ses sommets sur les verticales des appuis ; pour les travées situées à droite, on aura une ligne brisée passant par les seconds foyers.

99. Prineipe de la métbode irrapliiqae pour rétade den poatres à scetion ¥arlable. — - Lorsqu'on se base sur le théorème des deux moments pour faire Tétude d'une poutre à section variable, on n'a jamais à considérer, qu*îl s'agisse de calculer Tabscisse ou le moment relatif à Tun des systèmes de foyers, que des équations à une seule inconnue^ susceptibles d'une interprétation géométrique simple, et qui peuvent par conséquent êlre résolues par des constructions graphiques.

On suivra donc la marche suivante : l® on tracera le polygone funiculaire (dont nous avons représenté Téquation par y =f{x) ) des moments dus à la charge propre de chaque travée, considérée isolément et simplement appuyée à ses deux extrémités : ce polygone devient une courbe funiculaire (fig. 97) si la charge est continue, et une parabole à axe vertical si la charge est uniforme ; 2** on déterminera gi'aphique-

ment les positions des deux foyers sur chaque travée ; 3** on obtiendra de même la longueur représentative, en grandeur et signe, du moment développé en chacun des foyers de la travée par la charge permanente ou par la surcharge complète d'une seule travée, et l'on déterminera, par la simple addition de ces longueurs choisies convenablement, le moment total produit par une des dispositions de surcharge qu'il y a lieu de considérer (page 85) ; 4^ on tracera la courbe des moments relative à chaque disposition de surcharge étudiée, comme il suit : si la travée est supposée déchargée, la courbe en question se réduit à une droite passant par les extrémités des ordonnées menées par les foyers

CH. m. - rOLTKKS CONTiNUKS A SECTION VAUIAULK. 209

cl représentant, en grandeurs et signes, les moracnls calculés pour ces foyers. Si la travée est supposée chargée (fig. 97), la ligne m — 1 S/w étant la courbe funiculaire y=f[x) précédemment tracée, on portera à partir des points « et c de rencontre de cette courbe et des verticales des foyers, et au-dessous àe la courbe, les ordonnées représentatives, en grandeurs et signes, des moments relatifs à chaque foyer. Dans la figure 97, nous avons admis que le moment en F' était représenté par -+-ab, et le moment en F" par — crf. Menons la droite bd. Le moment développé en un point quelconque N sera représenté en grandeur et signe par la portion de verticale ;i n' comprise entre la courbe m — 1 Sm et la droite bd : on voit, par exemple, que le moment est positif en N (+ nn') et négatif en R

(-'•'•')• Nous nous bornerons à celle indication du principe tle la

méthode géométrique, et nous renverrons au traité de Statique graphique de M. Maurice Lévy (!['' partie), où la question est développée dans tous ses détails et dans toutes ses applications, le lecteur désireux de recourir, pour Tétude des ponts, aux procédés graphiques.

C'est d'ailleurs à cet ouvrage que nous avons emprunté textuellement, à part quelques changements de notation, les articles 72, 73, 74, 75, 76 et 77 qui précèdent.

98. Héthede algébrique pour l'étude des poutres à seetlon variable. — Si Ton veut recourir au calcul pour Fétude d'une poutre à section variable, on peut s'appuyer soit sur le théorème des deux moments, soit sur celui des trois moments. La première méthode, qui comporte la résolution d*équations du 1" degré à une seule inconnue, a été exposée plus haut. Elle est développée dans le traité de statique graphique de M. Maurice Lévy et nous nous dispenserons de la reproduire en détail.

Nous nous bornerons à indiquer les formes simples que prennent les deux équations fondamentales (4) et (3) de l'article 74, lorsqu'on suppose constante la section de la poutre.

) POUTRES \ TRAVKES SOLIDAIRES.

La première, qui sert à détermiuer les positions des foyers, vient :

La secon<1e, qui permet de calculer les moments relatifs & aque série de foyers, devient :

[X. - /Ml £; + IX'.' - A"'il S' = - ï /^' "f^^'' •''' -p/'(''-^)/'M''^' + Ei[7-y.(,'+f)+f]-

La seconde méthode de calcul, basée sur le théorème des )i3 moments, est moins élégante que la première, en ce 'elle exige pour le calcul des moments sur les appuis de la ulrc la résolution de n — 1 équations simultanées (et non lis successives) k n — 1 inconnues. Dans ces conditions, l'emli des procédés graphiques n'est guère pratique, ou du 3ins comporterait une complication et une obscurité que ne ésente pas la première méthode, infiniment préférable à lis égards. Mais à l'aide d'un artifice des plus simples, dt^jà Jiqué pour les poutres à section constante (art. 14 el suints), on peut rendre l'emploi de cette méthode, au point de 0 alg<5brique, aussi facile que celui de la précédente. Elle ésente d'auti-e part certains avantages. Le nombre dos moints 8 calculer est moindre de moitié (n — 1 appuis au lieu 2 n — 2 foyers). Pour établir les équations des moments et a eQorts tranchants, il est plus commode de faire usage des Dments sur les appuis que des moments sur les foyers. En- 1, même avec la méthode basée sur le théorème des deux Dmenls,il parait nécessaire de déterminer après coup,comme sullats intéressants du calcul, les moments sur les appuis, iirnis immédiatement par notre méthode.

Nous allons exposer avec quelque détail la marche à suivre ur l'étude d'une poutre à section variable ou parlant du éorème des trois moments.

Considérons l'équation (4) de l'article 73. Supposons que

CALCUL DES MOMENTS FLÉCHISSANTS ET DES EFFORTS TRAN- CHANTS PRODUITS PAR LA CHARGE ET LA SURCHARGE VA- RIABLE

Ton ait déterminé les valeurs numériques de toutes les intégrales définies, ce qui est possible puisqu'elles dépendent uniquement des dimensions de la poutre et de la répartition de la charge, supposées connues à Tavance. En remplaçant ces }^

intégrales par leur valeur, on obtiendra une équation des trois moments absolument semblable à la formule (3) de Tarlicle 10, qui se rapporte aux poutres à section constante : on ne cons* tatera qu^une seule différence, consistant en ce que les coefficients numériques de Xi, X, et Xg et le terme tout connu ne seront plus les mêmes. A cela près, Tidentité sera absolue.

Nous pourrons donc faire exactement le même usage de l'équation relative aux poutres à section variable que de celle qui correspondait à la section constante. Nous jugeons superflu de reprendre la série des démonstrations et des raisonnements qui ont permis d'établir la méthode relative aux poutres à section constante. Nous n'avons à cet égard aucun changement, aucune addition, aucun retranchement à faire au § 3 du chapitre I.

Nous nous bornerons donc a indiquer les procédés pratiques qui permettent d'appliquer à une poutre à section variable la méthode du chapitre I, sans tomber dans une répétition qui serait sans intérêt ni utilité.

Nous admettrons tout d'abord, comme nous l'avons déjà fait, que la charge supportée par la poutre est toujours assimilable à une charge uniformément répartie couvrant toutes les travées dans le cas de la charge permanente, et limitée dans le cas de la surcharge variable aux zones les plus défavorables pour la section de la poutre que l'on considère.