Calcul de quelques iiHéurf al^» déflnles. — Il cou
ir« poutuks a thavicks suliuairks.
'icnt d'abord de clicrclior pour chai^ue travéu de la poQlreles alcurs numériques des intégrales définies qui figurenl dans 'équation des trois moments (c'qualion i de l'art. 73).
Les dimensions de la poutre étant supposées connues à 'avance, il scia toujours possible de relever, soit sur un taileau numérique dressé ad hoc, soit sur une épure, la valeur lu produit El du coefficient d'élasticité E du mêlai par le mouent d'inei'lie 1, relatif a. une section transversale choisie arlitrairement dans une Iravéc quelconque de la poutre. Ainsi [ue nous l'avons déjà fuit à l'article 71, nous renverrons, eu c qui touche les poutres de hauteur variable, au chapitre V, oQ sont énoncées les formules qui servent au calcul de I.
En général, on doit admettre riiomogén<^ité de la matière |ui constitue la poutre, et le facteur E étant alors une cousante, on peut se dispenser d'en tenir compte, le remplacer ar l'unité dans le produit El, et se borner à relever, pour la eclion considérée, la valeur de 1. C'est ainsi que nous procécrons et nous ferons disparaître la lettre E de nos formules vec cette réserve que, dans le cas hypothétique où la matière erait hétérogène, on devrait substituer dans les calculs le roiluit El au facteur I.
Les intégrales définies àcalculcr, que nous désignerons par es lettres, îioiil les suivantes :
[ n'est pas eu général représcnlé par une fonction algébri-
CH. ni. — POniŒS CONTINUES A SKCTIOX VAKIABLK. 27»
que de x ; on ne pourra donc pas intégrer directement ces expressions, et il faudra procéder par quadrature.
On marquera sur la fibre moyenne de chaque travée
-— points cquidiçjanls (le nombre — étant d*autant plus grand z z
que Ton désirera plus d'exactitude dans les résultats *), dont Fécartement commun sera égal à — , et Ton attribuera à ces points, en parlant de la gairche, les numéros impairs 1, 3, 5... i — 1 , le point 1 étant à la distance -r de Tappui de gauche.
Cela fait, on calculera pour un quelconque de ces points, dont nous désignerons lé numéro d'ordre par ^ f on a w= y )» les cinq expressions suivantes :
z {i-z) -J {i-^zy- 'A^-z) zjt'-zY
Après avoir effectué cette opération pour tous les points, on fera la somme des résultats de même espèce, et l'on obtiendra de la sorte les valeurs approximatives des intégrales définies :
vj-
Lorsqu'il s'agit d'une poutre symétrique, d'après la définition que nous en avons donnée à la page 157, on peut simpli-
i. Il conviendra que le nombre — soit pair, en vue de faciliter plus tard
l'étude de la déformation de Touvrage.
i74 PUU'I'RKS A Tl
fier les calculs en prenant p L d'nne travée intermédia:
mules/ par- pour les travé*
intermédiaires. D'autre pai
moitié le nombre des intégr milieu de la poutre on ret( tenus.
M9. Calenl de» «érlcii n
deux groupes d'équations si présentent pour chaque tre d'ordre, les valeursdes intéf ment, et i( et v les termes d( se propose de calculer ;
!.,(T, + U,)- «,S, + u,(T, + U.)- !i,S. + ii,(T,+ UJ-
OM.S.+ t),„, (U.
Ces nombres h cl v jouen section variable que les non Ires, dont il a été quostiun seolion constante (art. lj>, i
Ils serviront à calculer les pour la recherche des momc des formules connues:
Cil. m. — POUTRES CONTINUES A SECTION VARIABLE. 275
Pm-i = —
Ut»— 1 Um
Us peuvent, d'ailleurs, être calculés direclcment^ si Ton veut se dispenser d'élablir les séries u et v, qui, en définitive, ne sont pas employées dans la recherche des moments. On se servira, en ce cas, des groupes d'équations suivants :
Ut
Ti+U, '
Pm-l = —
«m— 1 Um
Tinr— 1 + Ui» — Sm-1 jSfli— 8
Sn
r»l + Un— Sii i Pu— 3 '
Yo
Ts — ""^ « —
Pi
Tn-1 + Uh '
Sw~8 T*~S + Un-l '
Sn— wi-fl
T»— »j-t-i + Un— m — Sn^m ym—S
Si
rn ~^ Ti + Ui — S, 7n-8
Dans le cas d'une poutre symétrique, les deux séries ^ et v sont identiques : p^ = y^^ , Il suffit d'en calculer une.
91. Détermination des foyers. — ^ Les abscisses, par rapport à Tappui de gauche m — 1 , des foyers F et F" de la travée m se détermineront, connaissant la série des nombres p ety, à Taide des formules déjà énoncées pour les poutres à section constante.
POlTRKS A THA\ Élis SOlJDAIRKS.
Premier fover
Sn-i
