MÉTHODE DE M. DES ORGERIES POUR LES POUTRES DE HAUTEUR CONSTANTE
•8. Formules ffénérale». — D'après l'étude précédente, lorsqu'on veut effectuer avec exactitude les calculs de stabilité relatifs k une poutre à section variable, il faut auparavant avoir déterminé à titre provisoire les dimensions de cet ouvrage, en se basant sur les résultats des calculs effectués dans riiypothèse de la section constante.
Il existe un cas particulier où cette recherche préalable n'est pas nécessaire, et où il est possible d'établir immédiatement et directement les épures des moments fléchissants et des efforts tranchants d'une poutre à travées solidaires, sans autres données que celles qu'exige l'étude des poutres à section constante. Ce genre de poutres, dont M. Retioiist Des Orgeries a donné la théorie dans les Annales des ponts et chaussées de 1871 (tome II, page 170), est caractérisé par les conditions suivantes : 1^ la hauteur est constante d'un bout à l'autre de l'ouvrage ; 2" la charge et la surcharge sont uniformément réparties sur la longueur de chaque travée, sans d'ailleurs conserver nécessairement la même valeur d'une travée à la suivante ; 3*^ on ne considère qu'une disposition déterminée de charge et de surcharge^ pour laquelle la poutre doit se comporter comme un solide d'égale résistance. Les courbes, qui figurent sur les épures des moments fléchissants et des efforts tranchants, ne sont plus ici des enveloppes donnant les valeurs maxima relatives à la charge et h la surcharge variable. Ce sont, pour les moments fléchissants, des paraboles qui se rapportent à la charge et k la surcharge complète considérées simultanément, et, pour les efforts tranchants, les droites correspondant à ces paraboles.
Nous allons exposer sommairement cette méthode, en ren-
î POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.
yaiit pour plus amples détails à l'article précité des Atmales s ponts H chaussées.
Soil 1, 2 uno travée de poutre continue remplissant les nditions énoncées plus haut. Soit/) la valeur par mètre count de la charge el de la surcharge cumult^cs, La parabole
s moments fléchissants coupera la fibre moyenne ea deux ints A et B, dont nous désignerons par a et A les abcisses Bsurées à partir de l'extrémité de gauche i de la travée, La .uteur de la poutre h étant constante, ainsi que le travail iximum R à la flexion développé dans l'une quelconque s semelles, on a la relation ;
El EA p '
ïst une constante, rayoa de courbure invariable de la fibre oyenne déformée, qui se compose de 3 arcs de cercle, assiilables sans erreur appréciable à des arcs de parabole, se ccordant sur les verticales des points A el B. L'arc central AB (X positifs) tourne sa concavité vers les y sitifs, el les arcs latéraux (X négatifs) vers les y négatifs.
itiendrons les équations de ces trois arcs. Désignons par 6i et 0, les déplacements angulaires de la ire déformée (priraitivenient recliligne) sur les appuis I el que nous supposerons invariables. Nous obtiendrons, en tégrant la formule générale, les relations suivantes ;
Premier arc
dy
Second arc
Troisième arc
Les constantes d'intégration du 1" et du 3* arc ont été déterminées en exprimant que les courbes passent respectivement par les points 1 et 2, pour lesquels y=o et — =) *•
Les constantes C et C relatives au 2° arc se calculeront en exprimant que les trois courbes se raccordent au droit des
dy
points A et B ; on égalera les valeurs données pour î^ et ^
par les deux premiers systèmes d'équations pour x=a, et par les deux derniers pour x = b.
On déterminera ainsi les constantes C et C et Ton obtiendra de plus deux équations de condition :
2{l — ay — 2{l — by = l{l — 2p60 , 2 (i* — a») = / (/ H- 2pe,) .
Les moments sur les appuis Xj et X^ peuvent être évalués en fonction des abscisses a ei b des points de rencontre de la parabole et de la fibre moyenne I.
On a :
X, = — - pab , X,=-lp{l-a)(l-b).
Considérons maintenant doux travées consécutives de la
3I1S par dos accents les let- : p', r, a, b'.
'rage, le moment Xj et l'inr l'appui commun sodI les
qui précèdent :
)'=/'(/'-2pO.) , a' h'.
Ire équations ; nous aurons tant plus que les inconnues ndition de conlinuité de la
=-pab.
deux équations semblables appui de la poutre compris (à l'exclusion des appuis roupes (I) et (II) chacun de mues, savoir les a et 6 des le la première Iravée, el l'a pour la première travée el
, et l'ou peut calculer pour les points A et B : cela fail, «(ue Iravée, soit immédin- ; valeurs des moments sur
st des plus élégantes : elle ;s trois moments ou à celle ion est difficile et compli-
CH. 111. — POLTHKS CONTIM'KS A SKCTION VAlilABLK. 301
quéc pour les poutres à section variable, les relations (I) et (II) qui, dans le cas présent, expriment d'une façon simple la continuité do la poutre.
Pratiquement, la méthode de M. Des Orgeries n'est pas irréprochable. Il s'agit de résoudre 2« — 2 équations simultanées du second degi'é à 2n — 2 inconnues. Pour y arriver, on se donnera arbitrairement la valeur d'une inconnue, par exemple le b de la l*" travée : A,. Les équations I et II relatives au second appui 1 permettront alors de calculer, par la résolution d'une équation du 4" degré et d'une équation du !•' degré, les quantités a^ et b^ relatives à la 2" travée. On opérera de même pour les abscisses a^ et 63 relatives à la 3* travée, et en procédant ainsi pour les travées successives, on arrivera à la dernière pour laquelle on calculera an et bn : cette dernière abscisse doit être égale à Z», si Thypothèsc faite sur la valeur de bi était justifiée.
Si, ce qui arrivera en général, on s'est trompé, l'opération aura été infructueuse, et il faudra la recommencer, en parlant d'une valeur de bi rectifiée d'après les indications du premier calcul. On sera ainsi amené à résoudre un certain nombre ^e fois un système de n — 1 équations du 4' degré et de w — 1 équations du 1" degré, avant d'arriver à un résultat suffisamment exact.
Une telle perspective est peu attrayante et l'on conçoit que les constructeurs soient peu disposés à adopter la méthode de M. Des Orgeries, lorsqu'ils ne peuvent faire usage des tables numériques dressées par cet auteur pour les poutres symétriques de deux, trois, quatre et cinq travées, et publiées dans les Annales à la suite de son mémoire.
•4. Méthode simplifiée. —- U est heureusement facile, en modifiant légèrement la méthode dont il s'agit, de la rendre absolument pratique, en ce qu'il suffira de résoudre une seule fois un système de w — 1 équations du 1" degré pour obtenir les valeurs des moments sur les appuis de la poutre.
Il convient d'abord de calculer les moments sur les appuis et les abscisses a et 6 (désignées aux chapitres I et II par les lettres Xx et Xs) dans l'hypothèse de la section constante. Si la
30i POCTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
poutre étudiée est symétrique, et que Ton admette Tuniformité de la charge par unité de longueur p pour toutes les travées, les valeurs des moments sur les appuis et les abscisses 'a et b seront fournies immédiatement par la table numérique II insérée à la fin de ce volume, toutes les fois que S sera compris entre 0,7 et 1 ,30. Les moments et les abscisses en question figurent en effet dans les colonnes de cette table intitulées a^ Xi ei «&{•
Les valeurs obtenues s'écartent toujours très peu de celles qui se rapportent à la même poutre considérée oomme un solide d'égale résistance et de hauteur constante : la différence entre deux nombres correspondants est assez petite pour qu'on puisse considérer comme négligeable toute erreur de même ordre que le carré de cette différence.
Soient Xm le moment sur Tappui m fourni par la table II et Xm +SXm le moment relatif au solide d'égale résistance. Le
rapport -- — ne dépasse guère la fraction 0,13 ; on peut donc
considérer comme négligeable au point de vue pratique une erreur (SXm)', qui ne représenterait au plus que 0,02 de la valeur du moment lui-même.
Cela revient à admettre que les différences SX, ia et S&, à déterminer pour passer des valeurs relatives à la section constante & celles qui se rapportent au solide d'égale résistance, peuvent être assimilées à des différentielles et calculées en conséquence.
Soient donc : Xm~i, Xm, a et 6 les moments et les abscisses relatifs à une travée quelconque m dans l'hypothèse de la section constante; Xm—i H-SXm— it Xm-l-XXm, <i + Stf et ô + ^ô les valeurs relatives au solide d'égale résistance. Il 8 agit d'évaluer SXm-i, ^Xw, S« et SA, connaissant Xw-i, X«, a et b.
Les équations relatives à la travée m
Xm-i== — ^/>«6 et Xm =— ^(^ — <2) (/— -A) ,
donnent, en les différenciant :
(1) ^Xn^i = -'lp(aU + bU),
(2) ^X^=-^ip[{b—a)U-{-il — f>)M\ On aurait de même pour la travée suivante m + 1 :
(3) n.m = — \p ia'lb' + b'W) ,
(4) SXm+, = zPV.r — a') W + (/' — b') Sa']
('onsidérons Téquation (I) de la page 300. Cette équation doit se vérifier lorsque Ton remplace les lettres a, &, a' et b' par les valeurs numériques a+ S6, a'+ W, & + S6, b' -{-W qui correspondent au solide d'égale résistance.
D'où :
(,t — a* 26(î& — iaia (/' — a')* - {V — 6')'
Nous pouvons éliminer les inconnues Sa, Sd, Sa' et SA' entre les cinq équations qui précèdent, et obtenir ainsi une relation entre SXn^i, SX^, et SX^+i.
Pour simplifier les formules, représentons par des lettres un certain nombre de coefficients numériques dépendant uniquement des quantités connues U a et b^ qu'il sera nécessaire de calculer pour chaque travée :
pi* 6 — a
La relation existant entre les accroissements SX^— 1, SXm et SXm^i des moments relatifs à trois appuis consécutifs sera, en
POLTHES A T
tioii des coeflîcîenls nui -médiaires m et »i + 1
X„,+(N„+P„+,)SJ
1 pourra établir une fo Is d'appuis intermédia!
1 équations simultani
mes (SX, , SX,
îi, + P,)8X, + M,SX,=
f,8X, + (i\,+ PJ8X,-
t,„SX„+(N„+P^
r.-,sx,„.+(N,,+p„
t.,SX,, + (N.^, + 1
lur résoudre ce systèoii lier une série de nom] ions suivantes, qui se la suppression du seco u, et ta substitution il SX,, et c. il SX, (d idérer le premier terr lo , oii SXo est nul) ; n
nnaissant v, , la scconil
puis la troisième donne v.^^ et ainsi de suite jusquà la dcr* niëre, d'où Ton tirera v».
Multiplions les deux membres de la première équation du groupe 1 par t;„i , les deux membres de la deuxième par
Vnr^t , etc., et enfin les deux membres de la dernière
par Vi •
Faisons la somme de toutes ces équations modifiées : les coefficients de tous les moments s'annuleront, à part celui de Xi , qui sera égal à (Nj + P,) ««-.i + Mj^»-, ou, ce qui revient au même, à — Mi Va .
Nous obtiendrons en définitive Téqualion à une seule inconnue : — Ml t?n SXi = (Qi + Ri) Urt i + (Oa -f R3) t;»j+.. +(Q«-i + R.i)Vi ;
dou : dX, = — —
Ml Vn
Le second membre de cette relation se calculera sans difficulté^ puisque toutes les lettres qui y figurent représentent des termes de séries numériques calculés à Tavancc : M, Q, R, r. Connaissant SXi, la première équation du groupe 1 fournira SX,, la seconde, après substitution des valeurs trouvées pour SX| et SXj, fournira SX3, et ainsi de suite jusqu'à la dernière, d'où l'on tirera : 8Xn-i.
En définitive la recherche des moments supplémeni aires SX» n'exigera que la résolution de 2/e — 2, équations successives du 1" degré, savoir les n — 1 dernières du groupe 2 et lesw — 1 du groupe 1.
Si l'ouvrage étudié est une poutre symétrique, il faudra s'arrêter, dans le second calcul, au moment relatif à l'appui qui précède immédiatement le milieu de l'ouvrage ou coïncide avec lui, puisqu'à partir de cet appui les moments déjà calculés se reproduisent dans l'ordre inverse, en vertu de la symélrie. Par conséquent le nombre des équations du 1" degré à résoudre se
réduira dans ce cas a -— - ou -^— , suivant que 71 serapairou
impair.
Pour un appui de la
A litre d'exemple de 60DS de suivre, nous qu'elle donne pour ui S =: 1) avec le» résulta De8 Orgeries et em[ Annales.
comspoBd
MCtiOB
Premier appui
Second appui
L'erreur commise n existant entre le cas df tion variable, et ne s'< absolue du moment :
et, au point de vue de la méthode exacte.
•B. rièebe d'abali
au milieu de la travée et b (mesurées mr Fépî ble) par la relation :
mtéreBsanl de comparer les résultats foiirnis avec les flëclies^i calculées dans l'hypothèse Jtanle, en allribuant dans ce dernier cas à R apporte à la section de la travée la plus fatià la section où le moment Ûéchissant atteint est en général un appui). Nous examinerons
Travée normale.
-5fl ■
