LANCEMENT
AU. Déplaeemeats au|g^alaires de la fibre uuv les appals. — Soient Om— i le déplacement angulaire sur le premier appui d'une travée quelconque, et 0/n le déplacement sur le second appui.
Nous avons les formules générales :
/ ^0 El
^-=f XêÏ^-
£n représentant les intégrales définies calculées pour la recherche des moments par les lettres qui leur correspondent
292 POl'TRKS A TllAVKKS SOLIDAIRES.
(page 85), et conservant les notations de l'article 30 (page 42i) relatif à la déformation des poutres à section constante, nous obtiendrons les relations suivantes, qui donnent les différentes valeurs de 0„i-i et de ^^ correspondant aux cas de charge et de surcharge définis à l'article 21.
Charge permanente :
e„, = + 1 (S . A m~i + T . Am + W). Surcharge variable :
Maximum positif, 6'm-i = — - (UEm— i + SDm) ;
Maximum négatif, 6' w— i = — - (UDm— i + SEm + Z) ;
Maximum négatif, 6' w = ^r (SEm— i + TDm) ;
ri
Maximum positif, ô",„ = J (SD,», + TE« + W).
Dans ces formules, E représente le coeflicient d'élasticité du métal supposé homogène : dans le cas hypothétique d'une poutre hélérogèno, la valeur variable de E figurerait implicitement dans les intégrales S, T, U, W et Z. Il y aurait donc lieu de faire disparaître cette lettre des équations.
U convient de remarquer que, dans toutes ces relations, la lettre E représente le coefficient d'élasticité du métal, tandis que les lettres E„i i et E>« sont les moments développés sur les appuis m — 1 et m par une disposition particulière de la surcharge : c'est un vice de notation qui pourrait, le cas échéant, donner lieu à des erreurs. Nous aurions déjà dû le relever^ à propos des poutres à section constante (art. 31 et art. 58).
IM. Flèche d^abaisseiiicnt au milien d'aao travée.
— Nous conserverons, en ce qui concerne la désignation des flèches et des moments, les notations de l'article 31.
L*ordonnée y de la fibre déformée, pour un point de la travée m défini par son abcisse u, est donnée par les relations suivantes, déjà énoncées à la page 16 :
\xdx El
6,„— 1 s'obtiendra, quelle que soit l'hypothèse faite sur la répartition de la surcharge, à Taide d'une des formules de l'article 89. En remplaçant X par sa valeur connue X,4-
(Xi — Xi)j'\-f(x)^ nous transformerons la relation précédente de façon que les intégrales définies puissent toutes êlre établies en s'aidant des calculs déjà faits (page 273) pour la recherche des moments. 11 n'y aura, en efTet, qu'à limiter, au
point de division portant le numéro (i — i)jM sommation
des nombres partiels qui donnent S, ï, U, W et Z pour obtenir les valeurs des intégrales entre les limites o et ti :
Considérons le point pour lequel u = ^, et cherchons, dans
les divers cas indiqués à l'article 31, la valeur de la flèche d'abaissement au milieu de la travée, qui est égale à l'ordonnée y changée de signe.
L'expression générale de la flèche est :
Désignons par S', U', W et Z' les valeurs obtenues en limitant les intégrales définies de l'article 79 au milieu de la travée :
O - ^^ ■ • • . . 6 IrC.
894 POUTRKS A TRAVÉES SOLIDAIRES.
Nous obtiendrons les expressions suivantes pour la flèche d'abaissement, dans les difTérenls cas de surcharge variable de l'article 31. Les déplacements angulaires ô,,,ft',., cl 6"p, doivent être calculés à l'aide des formules de l'arlicle précédent.
Charrie permanente :
Surcharge variable : Relèvement maximum négatif,
Abaissement maximum,
r= - [ «•„,+ ^ [(S-L-) D„, +(r -S') E„ + W - Z'j ; Amplitude totale de l'oscillation,
F = i(9"„-.-9'«,)+J'^US'-U')(D„,E„,) -HT— S') (Em — Dm) + W — Z'].
•1. Elleti produits par la dénlvellati*» des Kp-
pais. — Reportons-nous à l'article 37 du chapitre 1, dont nous conserverons les notations. L'équation (5) de la page 263 nous fournira le moyen de calculer les moments sur les appuis, produits par le déplacement vertical y d'un appui déterminé. Nous croyons inutile d'entrer dans te détail des recherches, qui devraient être conduites absolument comme pour les poutres à section conslanle, et nous on énoncerons immédiatement les résultats.
Déplacement y de Fe.rlrèmité gauche de la poutre, c'est-àdire de l'appui 0.
M,=: — Y«.M, etc
Déplacement y du second appui.
Ti + U3— S, 711—2
Ma = — Yn-3 M-, , 31 ; = — Yîj; M 3
Déplacement d'un appui intermédiaire m.
Mm = — Ey ^^^ ^ îîîî±î
Mm~s = — Pw— 8 Mm— j
Mm-ff = ^ Y*— m— I "Wm-l-i Mm+s = — Ya— m— s Mm-fi
elc etc.
Toutes les lettres qui figurent dans ces relations, h Texceplion des moments M, représentent des quantités connues. Le calcul des moments sur les appuis ne présente donc aucune difficulté, et le tracé de Tépure relative à la dénivellation des appuis s'effectuera comme pour les poutres à section constante (page 138).
••• KITeto du laaeemeiit. — Le tracé de Tépure des moments fléchissants et des efforts tranchants s'effectuera exactement d'après les mêmes principes et avec les mêmes formules que dans le cas de la section constante (article 43, page 143). Nous n'avons rien à ajouter à ce qui a été dit sur ce sujet.
En ce qui concerne le calcul de la flèche d'abaissement subie par l'extrémité antérieure de la travée en porte-à-faux, la formule subit une légère modification, qu'il est bon d'indiquer.
m rrn'TiiES a travkrs souDAinEs.
Désignons par m le numéro de ta travée qui préci^dc celle en ^oio de lancement et par y. la longueur de la partie en porte-à- Faux, Soit i{' {x) le moment fléchissant négatif développé, dans la partie en porte-Ji-faux, à la distance x de l'appui, L épure [les moments fléchissants fournit ce renseignement pour ua point quelconque de la travée.
Nous désignerons toujours par Xn-i et X. les moments sur es appuis m-, et m, et par ï,, S« et W« les intégrales définies relatives à la travée m.
La formule donnant la flèche d'abaissement à l'extrémité du fiorlc-à-faux est :
/= |(-X„T„,-X,„, S,„-?W.,) -£'-'-=f^i(x-)dx.
L'intégrale déKnie pourra toujours Otrc calculée par qua- [Irature pour une valeur quelconque de y..
Si l'on admet que le poids de la partie en portc-à-faux soit ïssimilable aune charge uniformément répartie p'% ^(x) de-
vta ^Ire remplacé par 5 — .
D'où:/=j(-X,„T„.-X„,S„-;.W„,)+j»-(*!i;|ïrfl
Dans le cas hypothétique 0(1 la fibre moyenne demeurerait horizontale au droit de l'appui m, considéré comme une sec- Lion d'encastrement, le premier terme de l'équation disparaîtrait :
f=p" f '—-7T^ rfa: (montage des poutres en encorbctlement.
Dans le cas de la section constante, on aurait la formule connue :
/='— , ' ai.'T '
CIÏ. III. — POITRKS CONTIMES A SECTION VARIABLE. 297
