EH

Dans le cas de la poutre à semelles paraboliques, on a les relations suivantes :

h=jx{l—x) et ^ = ^ î

d'où :

I h 2\lx(l^x)

La formule générale de la déformation des poutres devient alors :

îf!?^^ 1

(U* El 2EH X (l^x) '

légl

itan

CAL ÏV. — POIJTHKS I)K HAITECH VAIUAHLE. 401

En définitive, la flèche au milieu de la portée s'obtient pour une poutre d'égale résistance en multipliant le nombre

;— par un coefficient numérique variable, égal à 1 si la hauteur est constante, à 1,386 pour la poutre à semelles paraboliques (A = KM), et à 1,142 pour le profil intermédiaire

h=K>jM, Ces renseignements seront toujours suffisants dans la pratique pour évaluer la flèche d'abaissement d'une travée indépendante avec une exactitude satisfaisante.

it9. Tracé du proOl en loiiy. — Reportons-nous au chapitre III, pages 256 et 310. Supposons que, connaissant le nombre et les ouvertures des travées d'une poutre à calculer, on ait dressé Tépure des moments limites M, égaux suivant les cas à — (X + X') ou + X + X" (page 280), dans l'hypothèse de la section constante, en appliquant les règles indiquées au chapitre I ou au chapitre III, si l'ouvrage est symétrique. Cette épure permettra d'établir le profil en long de la poutre de hauteur variable.

L'emploi de la formule A = KM ne semble pas ici à recommander, à moins que la surcharge variable ne représente qu'une fraction très faible, presque négligeable, de la charge permanente.

Tout d'abord, Tindépendance des semelles ne serait pas réalisable : les moments de flexion secondaires, dont le calcul serait des plus difficiles et des plus pénibles, auraient une importance relative bien plus grande que pour les travées indépendantes (fig. 101 et 102, page 309), et la poutre raidissante serait lourde. D'autre part, il faudrait de toute nécessité relier les platebandes dans toute la zone où le moment fléchis-^

i'i)i;rni:s a tiiavi;i:.s sulidaihijs.

susceptible (le cliangcr de signe, zûne assez élondiiu voisinage de cliatiiie foyer quand le rapport -' u"cst i petil.

n se décidait à établir une triangulation continue, un me poutre dont le profil tourmenté compliquerait le du constructeur, sans que cet inconvénient fût raclielé ! économie dans ie poids du métal; l'emploi de la for- := KM, qui conduit à faire croilre l'épaisseur des plais au fur et à nicsure que le moment llécliissant dimi- }st justiliable que s'il permet de supprimer la trian^u-

Pont de HassCUrlh sur le Mein.

Iravées extrêmes du pont de llassfurth sur le Mein îent un exemple de l'application de ce type. Mais la :cn[rale, dont le prolil correspond à la courbe des moprodiiits par la charge permanente, abstraction faite : dus à la surcharge variable, rentre dans la calégorîc Us-ffrues, dont il sera parlé au chapitre V. C'est en une construction hybride, sur laquelle on fera bien de prendre exemple, evra par conséquent recourir à la formule générale :

h = ^\ + BM — v^A ,

iprend, ù titre de cas particulier, la relation : /i=KVM. popriété caractéristique de ce profil consiste en ce que 9 par mètre courant horizontal des platebandes varie ES limites pou écartées, tout on croissant en général moment de llexion M, mais moins rapidement que sa :nri'ée. D'autre part, l'elTort tranchant réduit W ne déïuère la moitié de l'effort tranchant absolu V. A ce

C». IV. — POLTHES DE HALTELK VARIABLE.

double point de vue, un ouvrage ainsi conçu permet de réaliser la plus grande économie de métal.

Les figures 151 et 132 représentent des profils en long dressés, dans riiypollièse d'une semelle inférieure liorizonlale, à Taide des formules :

et

dont nous avons fait antérieurement l'application aux travées indépendantes (fig. 121, page 363). Nous avons successivement admis que p était négligeable devant/?' (fig. 151), et />' négligeable devant/? (fig. 132). On obtiendrait dans la prali-

FJg. 151.

Fig. 159.

que, pour une valeur donnée de -, un profil intermédiaire,

qui, on peut le remarquer, serait très voisin d'une ligue droite dans la zùiie de roaverture qui correspond aux moments de flexion négatifs [M = — (X + X')], c'est-à-dire dans le voisinage de chaque appui.

En réalité, la ligne correspondant à la formule A = Kv'M n'est rigoureusement rectiligne que si M a pour expression

^ p {a — xf^ ce qui esl le cas pour une poutre encastrée à une

■^Si^

POUTUlvS A TllAVÉES SOLIDAllŒS.

extrémité et libre à l'autre, la parabole des moments étant tangente en son sommet à Taxe longitudinal. L'exemple en serait fourni par une volée de pont tournant, ou par un pontgnœ à jonction centrale (voir chap. V).

Mais, pratiquement, la ligne en question se rapproche toujours suffisamment d'une droite entre chaque appui et le premier foyer de la travée pour qu'on puisse se dispenser sans inconvénient de suivre la courbe exacte. Cette propriété est indépendante des valeurs numériques attribuées aux coefficients A et B. On devra donc substituer à la courbe théorique de chaque semelle, entre les foyers de deux travées conse'cutives qui encadrent l'appui commun, une ligne brisée en chevron ayant son sommet sur l'appui. Cela facilitera à la fois les calculs de résistance et le travail d'exécution de l'ouvrage.

Fig. 15;^

La fig. d53 représente le profit en long d'une étude faîte pour l'établissement d'un pont sur l'East-River à New- York {Comolliy Ponts en iimérique), qui se rapproche sensiblement du type que nous venons de définir. Ce projet se rapporte d ailleurs à un ouvrage de la catégorie des ponts-grues (chapitre V), qui diffère notablement d'une poutre continue ; nous ne le mentionnons ici que comme exemple de l'application du profil le plus économique des poutres continues de hauteur variable.

Si la charge de chaque travée, au lieu d'être transmise à la pile par des tirants obliques reliés à la semelle inférieure, comme dans le cas de la figure 153, était transmise par deux bras obliques, divergents à partir d'un sommet commun situé

jk ,%

sur la semelle inférieure, il conviendrait de supprimer, entre les points d attache de ces bras sur la semelle supérieure, la ligne brisée du chevron, dont le sommet angulaire disparaîtrait, et de relier les extrémités des deux bras ou contrefiches par une portion de semelle supérieure horizontale (voir, à titre d'exemple, le profil du pont du Forth, au chapitre V).

Pour la partie centrale de la travée, limitée à ses deux foyers, la formule théorique indique un profil analogue à celui des poutres à travées indépendantes ; dans le cas d'un pont-grue, l'identité serait absolue. On peut substituer, pour plus de simplicité, à ce profil une droite horizontale, ce qui d'ailleurs modifiera dans une certaine mesure la courbe des M.

Nous admettrons donc que Ton ait recours à une relation de la forme 7i = v''A + BM — y/A. Les coefficients numériques A et B se détermineront soit en fixant la hauteur de la poutre pour deux valeurs choisies de M, soit en se donnant la hauteur en un point et les inclinaisons a et oc' des semelles sur l'horizontale en un autre point, par exemple sur un appui. Dans la

Ah

formule -r- = tg a + tg a , on prendra a et oc' égaux à 45*

(semelle courbe), ou à 0 (semelle horizontale).

Comme nous ne connaissons pas d'exemple de ce genre de construction parmi les ponts existants, et qu'on n'en n'exécutera peut-être jamais, il nous semble inutile d'insister sur les considérations à invoquer pour la fixation des coefficients A et B ; nous renverrons à ce qui a été dit à l'article 120 pour le cas des travées indépendantes.

If •• Calcul des luontents d'Inertie et traeé de»épu« res de stabilité déflnitives. — Si l'on a adopté un profil en long très voisin du profil théorique représenté par une rela-

- V^A, on pourra appliquer im-

tion de la forme A = y/A + BM médiatement la méthode simplifiée de l'art. 98 pour le tracé des épures définitives des moments et des efforts tranchants relatives à la charge permanente. En ce qui touche Teffet de la surcharge variable, on conservera sans modification les épures établies dans l'hypothèse delà section constante (page 312).

40C l'ill TIIKS A TllAVliKs Sdl.lKAlHKS'.

Si l'on vcul arriver a un résultat d'une précision absolue, ou si l'on s'esl écarté du profil théorique, en remplaçant par exemple la courbe limitée aux deux foyers <le chaque travée par une droite horizontale, il faudra appliquer la méthode do calcul des poutres de hauteur variable résumée a l'art. 97.

On calculera tout d'ahoi'd les moments d'inertie I à attribuer à un certain nombre de sections transversales de l'ouvrage par la formule :

où h sera relevé sur le prolil en long de la poutre et M sur IVpure do slabililé relative à la section constante. R est, dans l'iiypotlièse de la section transversale symétrique, la limite prullquu du travail à lu (lésion admise pour une quelconque lies platebandes.

Connaissant I, un établira les épures définitives des moments fléchissants et tics efforts tranchants, en suivant la marche indiquée pour une poutre de hauteur variable dont les dimensions sont arrêtées (chapitre III).

IS«. L'alvul des platebandcit et de la trlaufulalloa.

Les épures déKnitivesdes moments de flexion maximaM et des efforts tranchants absolus T étant dressées, il ne restera plus qu'à calculer les épaisseurs des platebandes et les sections des pièces de triangulaliuii.

Poiiries platebandes, on se servira des formules connues, où (ù et w' représentent les aires des sections droites et % et a les inclinaisons sur l'horizontale :

Semelle suiu-rieure, u = rr — - ;

' ItAcosci'

Semelle inférieure, w' = — — ,■

Uft cos K

On arrêtera les dimensions transversales des pièces de triangulation de façon que chacune d'elles puisse résister à l'effort

représenté par ; jj est le nombre d'éléments parallèles

Cil. IV. -- POITKKS 1)K H.\i:Tia:H VAIUAIILH.

rencontrés parla section verticale considérée, 0 leur angle commun d'inclinaison sur la verticale qui passe par leur extrémité antérieure (page 223), et \V l'effort tranchant réduit, dont la valeur exacte est fournie par la relation :

W = T-^(Tga + Tg«').

Les valeurs de hy Tgx et Tgod seront relevées sur le profil en long de la poutre.

Les maxima positifs T" et négatifs T' de TcfTort tranchant absolu étant fournis par Tépure préalablement dressée (pages 122 et 220), on calculera les moments Xt' et Xj// correspondants en ajoutant au moment X dû à la charge permanente les moments, relatifs à la surcharge variable, donnés par les relations (1) et (5) de la page 93 :

x/ = b(i -fj-^{c + W)j+lp'x{i-xy,