EXPOSÉ DE LA MÉTHODE

ISft. GénéraliléM. — Nous avons parlé, à l'arlicIclOl, d'un mode do calcul spécial des construclions métalliques assimilables à Ae% systèmes articulés, c'est-à-dire décomposables en éléments rcclilignes travaillant soit fi la compression, soit à l'extension simple, el reliés les uns aux autres, à leurs ertrémités respectives, par des articulations. Il nous paraît utile d'indiquer les principes de celte méthode, dont nous n'avons pas fait usage jusqu'ici dans le prtîscnt ouvrage, et d'en exposer quelques applications intéressantes.

Considérons une construction métallique sollicitée par un certain nombre de forces ext<!rieures que, pour plus de généralité, DOua ne supposerons pas contenues dans un môme plan. Pour que l'ouvrage soit en équilibre, il faut que ces forces satisfassent aux équations universelles de f équilibre des systèmes matériels (Flamant, Mécanique générale, page 414).

Désignons par oa;,oy et o3, trois axes de coordonnées rectangulaires choisis arbitrai rcmeni, par Fj, F^ cl Fj les projections

sur CCS trois dircclioas d'une force extérieure F, et par M«F, Mj,F et MzF les moments de cette même force par rapport aux axes. Les équations universelles de Téquilibre, appliquées à l'ensemble des forces extérieures qui sollicitent l'ouvrage, seront les suivantes :

(1) 2F« = o , (2) SFy=o, (3) 2F, = o ;

(4) 2;M«F = o, (5) SMyF = o , (6) 2M,F=o.

Ces forces sont en général toutes connues, sauf les réactions des appuis. Il peut se présenter deux cas :

lo Les équations universelles de l'équilibre permettent, connaissant toutes les forces extérieures, sauf les réactions des appuis^ de déterminer celles-ci en grandeurs et directions. L'ouvrage appartient alors à la première classe des constructions métalliques, telle que nous l'avons définie à l'art. 103, page 320. Ce sont les arcs à triple articulation, les travées indépendantes, les fermes de toit et les ponts-grues ordinaires, considérés comme divisés en un certain nombre de tronçons distincts, dont les réactions mutuelles, inconnues a priorij peuvent être calculées en appliquant à chacun d'eux, considéré isolément, les équations d'équilibre précitées ;

2^ Les équations universelles d'équilibre ne suffisent pas pour déterminer en grandeurs seulement, ou en grandeurs et directions les réactions des appuis (poutres continues, pontsgrues mixtes, arcs non articulés à la clef, etc.). Il faut recourir à des équations nouvelles, basées sur la théorie de la résistance des matériaux, qui permettent de compléter à ce point de vue les indications fournies par les formules de mécanique générale. On a alors un ouvrage de la deuxième classe (page 321).

Lorsque les forces extérieures sont toutes situées dans un même plan, les équations universelles d'équilibre se réduisent à trois ; en désignant par ox et oy deux axes rectangulaires situés dans le plan des forces, et paroz un axe perpendiculaire & ce plan, on a les conditions :

(I) 2F, =0 , (II) vF^ = o , (lU) 2M.F=o.

mu. fi^ystèiiic» articulée do la premièpc classe sans barres surabondantes. — Supposons qu'il s'agisse d'étudier un système articulé de la première classe, pour lequel on ail calculé à l'avance les réactions des appuis, à l'aide des équations universelles d'équilibre. On connaît, en grandeurs et directions, toutes les forces extérieures appliquées à Touvrage. Nous nous proposerons de déterminer les eiïorls positifs (à l'extension) ou négatifs (à la compression) développés dans les divers éléments du système.

Considérons un point où viennent s'articuler plusieurs bar^ res, que nous appellerons un nœud de la construction.

Soit (0 Taire de la section droite d'une barre^ R la valeur du travail par unité de surface subi par elle, que nous affecterons du signe + s'il s'agit d'une extension, et du signe — s'il s'agit d'une compression. L'effort total supporté par la pièce est représenté en grandeur et signe par R(o^ et dirigé suivant son axe longitudinal. Soient enfin a, p, y les angles, compris en- Ire 0 et TT, que forme la barre avec les axes de coordonnées oxj oy et oz, choisis arbitrairement. Les composantes suivant ces axes de l'effort exercé par la barre sur le nœud seront figurées par Rw cos a, Ro) cosxP et R o) cos y.

Le nœud étant en équilibre, sous l'action des forces extérieures qui lui sont directement appliquées et des forces intérieures qui correspondent aux tensions ou aux compressions des barres y aboutissant, la somme des composantes de toutes ces forces suivant la direction de chacun des axes sera nulle. Désignons par X, Y, Z les composantes des forces extérieures. Celles des forces intérieures seront représentées par SRw cos a, 2Ro> cos p et SRw cos y, le signe S indiquant que l'on a fait le total, en tenant compte des signes des cosinus, des composantes relatives à toutes les barres articulées sur le

nœud.

On aura donc :

(7) X + 2 R o> cos a = 0 ,

(8) Y + S R o> cos p = 0 ,

(9) Z -f- 2 R (0 cos y = 0.

Soit n le nombre des nœuds de la construction. En écrivant

POUTHES A TRAVÉES SOLIDAIUES,

pour chacun les trors relations qui précèdent, on obliendra 3« équalions, nécessaires et suffisantes pour assurer Téquilibrc du système.

Dans Tune quelconque de ces équations, on connaît par hypothèse le premier terme X, Y ou Z. On connaît également l'angle a, p ou y relatif à chaque barre de la construction. Les inconnues sont les efforls intérieurs Ro).

Remarquons que les 3« équalions précitées suffisent pour assurer l'équilibre du système, sans qu'il y ait besoin de recourir aux six équations générales (1), (2), (3), (4), (5) et (6). En vertu d'un principe de mécanique, ces dernières doivent nécessairement se déduire des 3n autres, dont le système pourra être remplacé par un nouveau, composé des six équations [{\ (2), (3), (4), (5) et (6), et de 3;i— 6 relations où figureront, outre les forces extérieures F, les forces intérieures R(i). Pour que ces relations permettent de calculer, en grandeurs et signes, les forces intérieures en queslion, dont les directions seules sont connues, il faut que le nombre de ces forces inconnues soit égal à 3w — 6. En d'autres termes, la construction devra se composer de 3w — 6 barres seulement, et elle constituera alors ce que nous appellerons un système sans barres ou sa*}S liaisons surabondantes^ dans lequel on pourra évaluer toutes les forces intérieures R(o sans faire intervenir l'élasticité de la matière, et comme s'il s'agissait d'un solide invariable.

Fig. 201.

Si Ton part d'une cxlrémité de la pc s'exerce la réaction d'un appui (ou, dans grue, la réaclion d'une autre poulre), on n que le nombre de barres aboutissant à chai le suivant :

Nœud exlrême

Numéros d'ordre

Nombr

Nœud extrême

Tolaux :

n nœuds

Le total des articulations est de G?2 — 12, c deux articulations par barre, donne bien 3n-

Les trois équations (7), (8) et (9), relalivei mettent de calculer les efforts subis par le s'y assemblent. Pour le nœud 2, comme il y (1, 2) dont l'effort a été calculé, on n'a que calculer avec trois équations simultanées. 1 sur les cinq barres, il y en a deux (1,3 et 2, sont déjà connus. Pour les nœuds suivants, même trois barres à calculer : comme les trois i à des nœuds précédents, les efforts correspon calculés. Enfin, quand on arrive aux derni< n — 1 et n, on aurait surabondance d'équ constatait pas que les termes Rco s'éliminent tombe sur les six équations universelles d'éq

identiquement, puisqu'elles ont déjà servi à calculer les réactions des appuis.

Pour plus de généralité, nous n'avons pas voulu supposer dans notre élude que les forces intérieures étaient toutes situées dans un même plan, contenant aussi les axes de tous les éléments de Touvrago. Or, dans la pratique, celle double condition est presque toujours réalisée. Les calculs se simplifient alors notablement. Les équations relatives à chaque nœui ne sont plus qu'au nombre de deux, (7) et (8) ; il n'y a plus en tout que 2yi relations d'équilibre, et, le nombre des équations

universelles étant ramené à trois (I,II, III), on a en définitive 2n — 3 équations permettant de calculer les forces intérieures inconnues Ro. Le nombre des éléments d'un système plan sans barres surabondantes doit ainsi être limité à 2)1 — 3, et les nœuds sont constitués comme il suit :

Fig. 202.

Nœud extrême

Numéros d'ordre

Norobro do barres articulions sur chaque nœud

Nœud extrême

Tolaux :

n articulations

4 » — 6 arliculalions 0

Le lotal des arliculalions est de itii — 6, ce qui, à raison de deux arliculalions par barre, donne bien 2n — 3 bancs.

en. VI. — I. SYSTÈMIÎS ARTICULÉS.

tioQ, landis que les barres qui doivent constituer les semelles sont soudées ensemble.

La marche suivie consiste en définitive à formuler une hv-

potbèse plausible sur les valeurs des efforts développés dans les barres qui aboutissent aux nœuds extrêmes, 1 et 2, n — 1 et n. On fait disparaître ainsi Tindélerminalion qui résulterait de la multiplicité des barres, le nombre des inconnues étant pour chacun de ces nœuds supérieur à celui des équations dont on dispose. Cette convention admise, les calculs s'efToc* tuent sans peine en suivant la méthode habiUielle, applicable ans: nœuds intermédiaires où n'aboutissent que 4 barres, pour deux desquelles seulement on ignore encore les efforts correspondants. Les recherches sont d'ailleurs facilitées par Thabitude prise de diviser toutes les barres en deux systèmes composés chacun d*une série d'éléments parallèles à une même direction ; on obtient des formules simples, qui se rapportent à toutes les pièces de même orientation (Tome I, chap. IH). Ce modo de calcul n'est pas rigoureux, car il repose sur une hypothèse qui n'est justifiée ni parla Mécmiique géfiérale^ ni par la Résistance des matériaux. Mais, en fait, il est toujours pratiquement d'une exactitude suffisante, ainsi qu'on pourrait s'en assurer en appliquant la méthode théoriquement exacte de l'article suivant.

Nous concluons donc que les constructions à triangulations multiples, où le nombre des barres aboutissant à un nœud intermédiaire est seulement de quatre, peuvent être calculées par la même méthode que les ouvrages sans barres surabondantes, l'erreur résultant de l'infraction théorique commise étant toujours négligeable dans les applications. Le nombre des nœuds multiples ne dépasse pas en pratique deux à chaque extrémité de l'ouvrage ; il pourrait être plus élevé, mais, au fur et à mesure qu'il croîtrait, les résultats donnés par la méthode s'éloigneraient davantage de la vérité.

157. Sjstèmefl articulés de la première elasse avec barres suralioudaules. — Revenons au cas général étudié au début du chapitre et supposons que le nombre des barres qui constituent l'ouvrage considéré soit supérieur à

et

/ = \l[x-xj -H {y-yy + {z-zf ,

l+Z/=\/(x+u~x'~u';*-i-{y+v~y--vy-i-{z+w— $•—»}')*.

D'oCi. en élevant ces deux équalions au carré, négligeant les lermen où entrent en fadeurs du 2° degré les longueurs très petites Jyl, u, v, w, u', v', w\ el retranchanl la premièro de la seconde :

'(/+i/)'~i'=2/S/=2(a:-z'}(»-M')+2(y—y')(i.-!;')+2(s— s') (!«-«.') et

3/1-^6, celui des nœuds étant toujours représenté par». Les

inconnues Ru sont plus nombreuses que les 3n — 6 relations ,;

dont on dispose pour leur calcul ; par conséquent, le problème

ne peut plus être résolu de la même manière, et il faut, pour

faire disparaître l'indétermination, recourir aux formules de •

l'élasticité, de façon ': ramener à 3n — G le nombre des incon- .'-k

nues k calculer. '^

Soit AA' une barre : désignons par x, y et z, x, y" et z' les coordonnées initiales des points A et A', avant que les forces ex- ■■

téricuresaientétûappliquées&rou- * \i'y'M'\ vrnge. Après l'application de ces (m 'r'w') forces, ces coordonnées auront subi, par suite de la déformation élastique de la poutre, des accroissements très petits que nous désignerons en grandeurs et signes par II, V et w, «', v et w'.

^'^' ''^' Soient l la longueur initiale de

la barre, l-\-ll sa longueur linale, alors qu'elle est soumise & l'effort intérieur Ru. On a, en vertu d'une loi connue, en dé-

R il signant par E le coefficient d'élasticité du métal : ^ = 7-

Si R est positif (travail à l'extension) Il l'est également. Si R est précédé du signe — , il en est de même de tt. On a d'autre part :

330 POUTHIÎS A THAÏ

La formule r: = 7 donne :

D'où:

Ro> = l

On a d'autre pari, en désigni la droilc AB avec Ic9 axas de c

CO8 « = — ■ , ces p =

Sulsliluons a Ru cos a. Ru cos fonction do u, /, ^l et Ë dans k f&SQ MB. Elles deviennent:

Rîon ne nous empêche d'éla pour chacun des nœuds de l'ou nues toutes les forces cxléricut les sections u de toutes les burr do tous les nœuds (fournies pai rons en définitive 3n relations, contenant que Zn inconnues, si composantes u, V ol ic, suivant déplacement très petit subi par de l'ouvrage.

Les 3» relations précitées se si l'on tient compte des équatio y sont implicitement contenues à déterminer que 3)1 — 6 inco blême n'en compte pas plus ; il nir par rapport à la poutre I et os.

Nous placerons par exemple Torigine o au premier nœud 1 de l'ouvrage (wi=o, Vi=OyWi=o). Nous prendrons pour axe des a: la droite qui joint les nœuds extrêmes 1 et n{Vi^ = Oj Wn=^o), et nous ferons passer le plan desa;y par le nœud 2

î^i, ^ij ^ii ^^«1 Vn et Wn étant nuls, en vertu de la convention posée, il ne reste plus que 3n — 6 inconnues à calculer à Taide de Zn équations du premier degré, contenant implicitement les six équations universelles d'équilibre entre les forces extérieures.

Le problème est déterminé et sa résolution ne soulève aucune difficulté analytique.

Si Ton suppose la ferme située dans un plan, qui contienne également toutes les forces extérieures, on peut supprimer Taxe oz ; on placera Torigine o au nœud 1 (mi = o, t;i = o), et Ton prendra pour axe des x la droite qui joint les nœuds extrêmes 1 etn(t?n=o). L'axe des y sera naturellement placé dans le plan de la ferme.

On disposera, pour chaque nœud, de deux équations de la forme :

où toutes les lettres représentent des quantités connues, sauf S/ qui est une fonction du V' degré des inconnues u Qiv relatives aux extrémités de chaque barre :

On a 2/t — 3 inconnues à tirer de 2n équations simultanées du 1®' degré, contenant implicitement les trois relations uni-

i. Remarquons que, dans ces conditions, les axes des coordonnées ne sont pas invariables, mais participent au déplacement des nœuds 1, 2 et n. On n'obtient donc pas les déplacements absolus subis par les nœuds de Touvrage, mais bien les déplacements relatifs. Cela suffit d'ailleurs, puisqu'on n*a besoin de connaître que les distances respectives des nœuds, qui sont indépendantes des directions attribuées aux axes.

verselles d'équilibre I, II et III. Théoriquement, c'est une opération élémentaire et facile ; pratiquement, elle n'est pas toujours agréable à tenter. Une équation relative à un nœud, où aboutissent cinq barres, ne contient pas moins de douze inconnues. Pour peu que le nombre des relations à résoudre simultanément dépasse vingt, ce qui doit être regardé comme un minimum, la recherche des déplacements u ei v constitue une entreprise pénible et rebutante, malgré le caractère de simplicité et de généralité qui rend a priori cette méthode séduisante.

Cet inconvénient serait encore plus marqué s'il s'agissait d'une ferme non située dans un plan, le nombre des inconnues s'élevant alors à 3n — 6 et celui des équations à 3n.

Considérons par exemple un ouvrage composé de deux poutres verticales de même hauteur, à montants et croix de Saint-André, reliées entre elles par des entretoises horizontales et verticales. La figure 204 représente un panneau de la construction, qui affecte la forme d'un parallélipipède rectan-

Flg. 204.

gle dont toutes les faces sont occupées par des croix de St-André. Un ouvrage de ce genre constitue, sous sa forme la plus simple, un pont à tablier supérieur. Admettons que l'élévation comporte dix panneaux, ce qui est un chiffre très faible, même pour une travée indépendante.

Si, au lieu d'étudier séparément les poutres verticales, qui doivent porter la charge, et les poutres horizontales ou de contrevcntement qui ont pour rôle de résister au veni, on voulait calculer l'ouvrage entier considéré comme une ferme unique, on aurait affaire à un système à liaisons surabondantes comportant 4i nœuds et :

chaque élément, modifier sa seclion do façon qu'elle corresponde à une ulilisalion convenable de la maliëre. Ce travail de révision ayant élé effectué pour les 186 barres, les bases des premiers calculs se trouveront modifiées, et il faudra les reprendre d'un bout à TautrcOn aura de grandes chances encore pour que les nouvelles valeurs trouvées pour R diffèrent sensiblement de celles que Ton eût désiré obtenir. Pourtant il faudra s'arrêter dans celte voie et se contenter d'une demisatisfaction : à supposer même qu'on refit indéfiniment les calculs sur de nouvelles données, on ne pourrait théoriquement réaliser l'uniformité du travail, atteignant partout une limite fixée a priori^ que pour 272 — 3 (ou 3n — 6) barres, c'està-dire pour le nombre des éléments que comporterait un système sans barres surabondantes ayant même nombre de nœuds que la construction étudiée ; ces barres seraient en oulre réparties entre les nœuds successifs suivant les règles énoncées dans les tableaux des pages 515 et 516.

Supposons, en effet, qu'on suive, dans l'étude de la poutre, une marche différente de celle que nous venons d'exposer, et qu'au lieu de se donner tout d'abord les sections o) de toutes les barres, on fixe a priori : 1° les valeurs R du travail moléculaire pour 2n — 3 (ou 3n — 6) éléments, constituant un système sans barres surabondantes ; 2^ les sections o des autres pièces, dites surabondantes^ dont nous désignerons le nombre par m.

On disposera premièrement de 2;i — 3 (ou 3n— 6) équations, relatives aux barres essentielles, de la forme :

ou

m (x-sf){ik^u') + (y-y-)(p-p-)-K^;&0(tC-tgO

Ces relalions permettent, R élanl une donnée, de calculer les déplacements u et v (ou t/, v et w) de tous les nœuds.

Cela fail, on tirera la valeur de R, pour chaque barre surabondante, de l'une des équations précédentes, où u, v et w représentent les déplacements, connus actuellement, de l'un des nœuds de la construction.

cil. VI. - I. SYSTÈMES AaiICULÉS. 3i3

Nous coonni-ssons âpiûsciit ;

les R de 2)1 — 3 oh (3)I — 0) barres ) données de la

les w des m barres surabondantes ) queslion ;

les R des ni baiTOSsnrabondaDlcs, par le calcul précédant.

5îfi POUTHES A TRAVKKS SOLIDAIKES.

de façon que pour un nœud quelconque le nombre des barres inconnues, c'est-à-dire n'aboutissant pas à des nœuds précédemment considérés, soit égal au nombre des équations d'équilibre dont on dispose, c'est-à-dire 3 dans le cas général, pu 2 pour une ferme plane.

Nous exclurons de cette critique 1o cas des fermes composées à triangulations multiples, dont les nœuds multiples sont concentrés aux extrémités, et qui par suite sont décomposables avec une exactitude suffisante en deux ou plusieurs systèmes sans liaisons surabondantes (page 517).

Pour calculer un système de la seconde classe, comportant ou non des barres surabondantes, on commencera par écrire les 3)i équations d'équilibre relatives aux nœuds :

^EyJ^^

et les 3« — 6 + m équations do déformation relatives aux barres :

R( [x-af){u~iA') + (y-j^)(c-v')+(z-:^){w~w-)

Les données du problème peuvent consister, comme dans le casdes ouvrages de 1" catégorie, dans les valeurs des sections w de toutes les barres.

On peut toutefois, si on le veut, remplacer la donnée u par la donnée R :

pour 1,2 ou 3 des barres aboutissante, un nœud extrême I oure

1,2, Sou 4 — 2ouH — 1

l,2,3,4ouS — 3oun — 2

1,2, 3, 4, 5 ou 6 — nœudinterméd.4àn— 3.

A la limite, on peut choisir arbitrairement les R pour3n — 6

éléments constituant un système sans liaisons surabondantes,

et les (i) pour les m autres.

En principe, il faut éviter de se donner pour une même pièce il la foisR et u : on pourrait se bcurtcr dans la suite des cal-

en. VI. — i. SYSTIÏMKS AKTICULÈS. S27

culs à imc impossibilité soit Ihéoriqnc, si les équations d'équilibro no pouvaicnl plus être aalisfaites,soit pratique,s'il en résultait des valeurs inadmissibles pour les R ou les u dos autres barres.

Les bases du problème étant ainsi posées, on n'a plus qu'à résoudre les &n — 6 -f- ^ équations du 1" degré dont on dispose, pour en tirer les inconnues. Mais il faut remarquer qu'ici X, Y et Z ne représentent plus toujours, comme dans le cas de l'article pi-écédent, d 'a forces connues. Nous avons admis en efFeL que les équations universelles d'équilibre ne pouvaicnl à elles seules fournir les réactions des appuis.

Nous désignerons par i le nombre de ces composantes X, Y ou Z des forées extérieures, qui font partie des inconnues de la question.

Supposons que l'on se soit donné les R de ; barres : J ^ 3h — 6, et les u des Zn — 6 -4- m — j autres éléments.

Nous avons h calculer 3» — 6 -H "i -^- 1 inconnues, savoir :

i composantes X, Y ou Z,

3n — 6 +m — j valeurs de travail R,

J aires u.

Nous disposons à cet effet des 6n — 6 -H m équations précédcmmcul écrites, qui contiennent en outre, à titre d'inconnues auxiliaires, les déplacements u, « et m des n nœuds, au nombre de 3».

Pour que le problème soit déterminé, il est absolument nécessaire que l'on puisse joindre i équations nouvelles aus 6ji — 6 + m précitées. Ce seront en général des relations entre les », v eiw des nœuds correspondant aux appuis, et les composantes connues ou inconnues des réactions de ces appuis. On les écrira en se basant sur les conditions spéciales d'établissement de l'ouvrage étudié.

Si le nombre de ces relations supplémentaires était supérieur à i, il y aurait incomptabililé entre elles. Le problème proposé serait insoluble, parce que l'ouvrage à ponstruire ne pourrait remplir simultanément toutes les conditions posées ; il faudrait nécessairement renoncer à quelques-unes d'entre elles.

SJ3 POUTHES A TRAVi

Si ce nombre était infétiourà aurait omis de tenir compte de 1 qucs de la ferme, ou que l'on a blo ; tel serait par exemple le i triple arliculatioD, ou de deu?

articulation simplement appuy<

Dans l'élude des ouvrages de utile en général d'établir les six i libre, qui ne suffisent pas pour pt des appuis. Elles sont contenue lalions d'équilibre relatives ans

Si nous passons du casgénér.

ferme plane, qui se rapproche ] que, le problème se simplifie { tion sur trois. Nous aurons 2n aux nœuds et 2» — 3 + m équai tant aux barres ; à cette seule opérations ne sera pas changée,

ISO. Éuaiiiéralioa des « elnsHc. — Arcs articulés au où la ferme n'est pas plane : ell l'intermédiaire de deux noeud!

Les réactions inconnues exercéi nœuds d'appuis sont au nom!

composantes inconnues X, ¥ et de ces nœuds d'appui étant douze déplacements », v et w ce qui rétablit l'équilibre entre on dispose et celui des inconnu problème ne soulève aucune di vue analytique ; pratiquement, ( rieux et compliqués.

Remarquons que si la culée l'élasticité de la matière qui la c les H, tî et tf d'un nœud d'app ment nuls. Mais on pourrait to analytique en fonction des com

la réaclioQ qui produil, en ce poinl, ta déformalioD do la culée : « = *X, V = k'Y, w = k"Z. k, k' et h" seraient des coefficients numériques calculables h. l'avance, connaissant toutes les dimensions de la culéc. Les IcLlrcs ït,v etwdisparai- '

Iraient ainsi des équalîons,e( c'est tout ce qu'il faut pourquela .~;

résolution du problème soit possible. Dans ce qui va suivre, ^

toutes les fois que nous dirons que lacomposaule du déplace- f;

ment d'un nœud d'appui est nulle, nous entendrons implicite* i

ment : ou calculable en fonction de la réaction connue ou inconnue de l'appui.

Ferme plane. Les quatre composantes X et Y des réactions des culées sur les nœuds d'appui sont inconnues; les quatre composantes u el v des déplacements de ces nœuds sont nulles.

Arcs encastrés aux naissances. — Cas général. L'arc repose sur chaque culée par l'ioternuSdiairc de N nœuds, N élanl au moins égal t 3. Pour chaque nœud d'appui, u, u et w sont nuls elles composaoles X, Y et Z de la réaction sont inconnues; il y a donc compensation, et le nombre des équations demeure égal àcclui des inconnues.

Ferme plane. L'arc repose sur chaque culéc par l'inlermédiaire de N nœuds, N élanl égal ou supérieur à deux. Pour chaque nœud, « et w sont nuls et X et Y inconnus.

Poutres c«n(lnnc« c( poii(«>gmes mixtes- — Action de la charge et de la surcharge. — Toutes les forces qui sollicitent l'ouvrage étant verticales, les X et les Z sont nuls. Pour un nœud d'appui quelconque, v est nul et Y inconnu.

Résistance au vent. — Si le vent agit horizontalement dans la direction de l'axe oz, on a pour un nœud d'appui quelconque la condition w^o, cl l'inconnue Z n'est plus nulle.

Si l'on veut éviter que les nœuds d'appui exercent sur les supports des actions horizontales dirigées dans le sens de l'a.ve longitudinal ox du pont, il faut pouvoir poser pour un nœud d'appui quelconque : X = 0. On ne peut donc plus admettre qu'u soit nul, sous peine d'une surabondance do conditions, rendant le problème impossible. D'où la nécessité absolue de faire reposer les pouircs continues sur les piles par

S30 POUÏKKS A THAVÉES

rinlormédiàire dapparcils lie dîla vemcnls longitudinaux ; pour les leurs piIes,on a vu précédemment qi successifs, consoles cl poulresconl de façon à se prêter aux variai vragc.

Dans ces conditions, les changer aucune inllucnce sur la stabilité du

Dénivellation des appuis. — Po lieu de poser D :=o pour un nœu déplacement vertical la valeur corrt de la pile. Rien n'est d'ailleurs cl culs.

L'étude, faite suivant cette mélh ou d'un pont-grue mixte serait i interminable. Si l'on voulaild'ailleu luer les ell'cls maxima produits pa serait conduit à refaire tous les cal positions spéciales k considérer. On

IVO. Calcul d'aiie eonstruel

avons admis jusqu'à présent que le formés d'une manière homogtne el cité E avait une valeur déterminée l'élément considéré.

On pourrait toutefois, sans comp] sans modifier la marche et le nomb que le coefficient E présentât um chaque pièce, la construction étant gènes, assemblés les uns avec les arbitrairement.

il suffirait de prendre pour doni inconnues de la question en ce qui li

de u cl R, les expressions Eu et ^ . rique relative à cette barre. De c paraissant de toutes les équations, t cuper de la varialiou de l'élasticité d

ou. VI. - L sysTÈMUS AKTIOULES.

vrage ; après l'a-lièvcmcnl diis calculs, il n'y aurait qu'à tirer uelRdes résultats Ei^ et- trouvés pour chaque élément.

On pourrait encore procéder autrement en remplaçant une barre quelconque par une barre équivalente formée d'un métal pris pourtype, dont nous désignerons le coefficient d'élasticité par C. On subslilucrail k l'aire effective u l'aire conventionnelle u' fournie par la relation : Co)' = Eu, et au travail effectif R le travail conventionnel R' donné par la formule ;

On calculerait ensuite la consiruclion comme si elle était homogène ot entièrement constituée avec le métal pris pour type ; on obtiendrait pour chaque barre les valeurs des quantités u'et R', d'où l'on tirerait immédiatement tes inconnues cherchées u et R.

Considérons à tilrc d'exemple une poutre comportant à la fois :

Des éléments en fer, métal pour lequel on aurait : E = 180X10'.

Des éléments en fonte, métal pour lequel on aurait : E = 90X10».

Des éléments en chêne, bois pour lequel on aurait : E = 11X10».

Nous prendrons le fer pour métal type : C=i80XlO*, et nous commencerons par remanier les données du problème, en multipliant les R et les u supposés connus a priori par les coeflïcienls suivants :

Fer (métal type)

Fonlc

Chêne

Fadeur de H

Facteur de u E

Nous calculerons ensuite la poutre comme si elle était en-

53Î POUTIlbS A TRAVÉES SOU

lièrement en fer, pais nous muUJplicr tù' par les coefficieiiLs numériques inver;

Fer

Fonlc

Chêne

Facteur de R'

A litre d'exemple du calcul d'une coc nous traiterons à l'article suivant le ca à montants et croix de Si-André, dont supposé formé d'un métal particulier.

APPLICATIONS DE LA MliT

toi. Etudo de la poutre à moiili André- — Soil ABCD un panneau di laiils etcroix de St-André, qui se conif de semelles AD et BC, de deux, monte DC, et de la croix intermédiaire AC, BI et a la longueur du panneau. Pour plu: supposerons que chaque barre est con spécial, ayant un cocfiicienl d'élasticité < £( ou E^.

Prenons pour axe des x la ligne AU et pour axo des i/ la posilion inilialc de la ligne AB, avant la dérormalion de l'onvragc. Après l'application des forces extérieures, la forme de la poulre sera altérée, et, si l'on prend pour axe des x la position nouvelle do la Hgno AD et pour origine lo point A, les coordonnéca des trois soinmels B, C et 0 auront subi des cliangcments que nous désignerons par des lettres, le signercorrespondant à un déplacement dans le sens des x ou des y positifs. Le point D siluû sur l'axe des x s'est déplacé horizontalement de If*. Les déplacements parallèles à Az et A^ seront représentés par les lettres »' et v' pour le nœud C, et par les lettres u et v pour le nœud B.

Appliquons à chacune des ais barres du panneau la relation :

Nous obtiendrons les sis équations suivantes ;

Barre

Bc,=:=^;

Eliminons », v, u', v' et u entre ces six équations. Il vient ;

Celle relation est indépendante des sections attribuées aux barres, ainsi que de la réparlilion des forces extérieures appliquées h la poutre, «l résulte uniquement de la disposition

!f34 POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.

géométrique de l'ouvrage. Elle montre que l'on ne peut ilscr arbitrairement le» valeurs de R pour toutes les barres sans se heurtci' à une impossibilité, la relation précitée devant être nécessairement satisfaite. Noua avons déjà fait cette mniaïque i litre général, en étudiant les propriétés des systèmes à liaisons surabondantes.

Nous avons supposé ici, pour plus de simplicité, que la poutre était à semelles parallèles : dans le cas d'une ferme de hauteur variable, on arriverait de la même façon à une équa* tion analogue, un peu plus compliquée par suite de l'introduction des angles des semelles avec l'horizontale. Nous jugeons superflu de donner ce calcul, qui est dos plus simples.

Considérons maintenant une poutre do hauteur constante, à montants et croix de St-André, comportant N panneaux consécutifs semblables à celui de ta figure 205. Pour la calculer, on commencera par écrire les N relations qui se rapportent aux panneaux considérés chacun à part :

En général, l'ouvrage sera homogène, ce qui permettra de supprimer la lettre E, devenue facteur commun de tous les termes.

Fig. 2oa.

On posera ensuite les deux équations d'équilibre relatives à chaque nœud. Désignons toujours par X et Y les composantes verticale et horizontale de la force extérieure appliquée au nœud S. On a (fig. 206] :

CH. VI. - I. SYSTÈMES AHTICULftS.

R, w, — R', w', + (Rauo — R'i u'O sin 6 + X = 0.

■ R, 0)4 + (R's w', + Ro %) cos 0 + Y = 0.

- Le nombre des nœuds étant égal & 2N-t-2, on obtiendra 4N + 4 relations, qui, avec les N précédentes, donneront en tout 5N H- 4 équations, comprenant implicitement les 3 équations univci-selies d'équilibre entre les forces extérieures.

On pourra alors résoudre le problème de deux façons différentes, suivant le point de départ admis :

1* On se donnera les sections w de toutes les barres, qui sont au nombre de 5N + 1 , et on calculera les R par la résolution d'équations simultanées du 1" degré ;

2" On distinguera dans la construction 4N + 1 barres formant un système sans liaisons surabondantes (poutre Howe, Pralt ou Warren double, voir tome 1), et on se donnera arbitrairement pour chacune soil R, soit w. Pour les N autres pièces, considérées comme surabondantes, on ne pourra -tixer a priori que les sections w. Cela fait, il n'y aura plus qu'à résoudre les 5N-f-4 relations, qui sont toutes du t" degré, pour obtenir les R ou les tù des 4N+1 pièces osscDtioUcs, ainsi que les R dos N barres surabondantes.

Cette opération, très simple au point de vue théorique, est encore assez admissible au point de vue pratique. Nous nouS' étions proposé tout d'abord d'eu donner la solution algébrique, mais nous arrivions à des formules tellement compliquées, môme pour une poutre très courte, que nous y avons renoncé. Nous avons préféré traiter un exemple numérique simple, qui permettra de se rendre suffisamment compte des conditions de stabilité dans lesquelles se trouvent les poutres de cette espèce.

l«t. EKt-mpIe numérique. — Considérons la poutre de

hauteur conslanlc A=r, '. comportaTil dix panneaux carrés,

dont la figure 307 représente la première moitié. Chaque panneau de triangulation se compose d'une croix de St-André occupant le carré compris entre les semelles et deux montants consécutifs.

POUTRES A THA

Nous avons commencé par surabondantes obtenue par la tanls verticaux inlermédiaires ^ti ^Ji '■f L'ouvrage ainsi mod ble, dont les semelles sont i

triangulations simples 0, 1, I

3, 4, 5, 6 9, 10, qui n'ont

eut des seclions à attribuer a conséquence s'efTecluer à l'a la mécanique générale, sans la déformation. Nous avons cbarge divisée en dix-huit fore par le nombre 40, et appliqué) nœuds intermédiaires de lape scmoUe supérieure, et 1, II, 3 inférieure. Après avoir évalua pièce, nous avons attribué à c nnllo à l'olTort correspondant, truclioQ l'uniformité du travf les points h la constante R.

Nous avons ensuite complet montants supplémentaires e,, dâ, en vertu de la règle absoli bilrairemcnt les seclions. Noi tant l'airo correspondant h un séo par v2. Par exception, l( section que le précédent «,.

Connaissaat ainsi toutes les aires <ù des éléments de la poutre à liaisons surabondantes, on peut lui appliquer la mélliodo de calcul de l'article 157, pour évaluer l'effort subi par une barre quelconque avec une disposition de charge choisie arbitrairement.

Nous avons étudié successivement trois cas :

i» La charge, représentée par le nombre 180, est également répartie entre les dis-huit nœuds intermédiaires,à raison d'un poids 10 par nœud. C'est la charge A qui nous avait déjà servi de base pour l'étude de la poutre Warren sans montants ;

2" Charge B, toujours égale en totalité à 180, mais concentrée aux nœuds i, 2, 3, 4, 5, 8, 9 d'une triangulation simple do la poutre Warren, à raison d'un poids 20 par nœud ; les

autres nœuds I, II, III IX ne sont sollicités par aucune

force extérieure ;

3* Charge C disposée inversement de la précédente, c'est-àdire concentrée aux nœuds I, II, III IX de la seconde

triangulation simple, à l'exclusion des nœuds 1, 2, 3, 4, 5

Les résultats numériques du calcul ont été inscrits dans le tableau ci-joint.

On reconnaît immédiatement :

1* Qu'en ce qui concerne la charge A, les montants, pièces surabondantes, jouent dans la poutre un rôle presqu'insignifiant, l'efTort supporté par chacun d'eux étant très inférieur à celui qui correspondrait à une utilisation convenable du métal ; que, loin de consolider l'ouvrage, ces montants ne font qu'en diminuer la stabilité, en augmentant les elîorts subis par certaines diagonales, pour lesquels le travail du métal dépasse la limite pratique R. On n'a, d'ailleurs, retiré aucun bénéfice de l'addition de ces montants, car la somme des valeurs numériques dos efforts subis par les deux bras d'une même croix est restée la même que dans la poutre Warren. Il en est de même pour les semelles. En conséqueuce, la modi* flcalion apportée à la poutro a eu pour résultat do troubler d'une maniëro fâcheuse ses conditions do stabilité, tout on l'alourdissant et augmentant la dépense.

2* Dons le cas de la charg des montants est indispens n'étant appliqués qu'aux nœ pics, l'autre triang^ulalion n viendrait aloi's de supprime M'arren, devenues inutiles, constituant une triangulali simple.

Si l'on veut conserver la mont nécessaire de prévoir nœuds chargés aux nœuds triangulations, de façon à i t-ruclion la série des barres d'application des forces os pareil cas il convient de n'i section proportionnée au rû pas k proprement parler un plo support ou une lige de un nœud une partie do la c dant. Dans le cas présent, 20, le montant, destiné à d'appui, doit simplementa:

position.

Nous ajouterons que,daii ble,munie d'une série de m opposés, et soumise à une C, la répartition des efforts gulations s'elTecluerait d'ui tation passant parles nœud fatiguée. La méthode de c dération des efforts tranch donnerait donc ici des rési huer <i certaines pièces des d'autres des dimensions ur

En effet la poutre Warre 1er un système sans liaison; plit pas cxacteinent les c

TABLEAU dCB flfforti subis dot les divers éléments d« la vautra

54Q POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.

Nous avons dit qu'en général on peut appliquer sans erreur grave aux poulrcs composées la méthode des systèmes arliculés simples, en partant d'une hypothèse plausible, c'est-à-dire en admettant l'égale répartition des efforts entre les triangulations distinctes. Mais il faut que celte hypothèse soii plausible^ et elle ne Test jamais quand on est obligé de recourir pour la transmission des charges à des pièces additionnelles qui créent des liaisons surabondantes.

Pour que la méthode de l'article 1S7 donnât dans le cas présent un résultat très exact, il faudrait d'abord que les poids fussent appliqués également soit sur tous les nœuds de la se^ melle inférieure sans exception, soit sur tous ceux de la semelle supérieure, de façon à permettre la suppression des montants ; il conviendrait en outre défaire disparaître le nœud a, en supprimant les éléments ol de la semelle supérieure ainsi que le montant Oo et la diagonale oL Les efforts réels ne différeraient plus alors d'une façon appréciable de ceux calculés pour le cas de la charge A.

tes. Défauts des systèmes à liaisons surabondantes.

— En généralisant les résultats fournis par l'étude précédente, nous arrivons aux conclusions suivantes :

V Etant donné un ouvrage sans liaisons surabondantes, à triangulations multiples, et calculé par la méthode de l'article 156, il y a toujours inconvénient sérieux à y introduire des éléments supplémentaires, montants verticaux ou diagonales obliques. Ceux-ci ont pour effet de produire une perturbation plus ou moins grave, et ne soulagent certaines barres que pour augmenter, au-delà de la limite pratique, le travail supporté par d'autres, qui par suite sont plus exposées à se rompre qu'avant la modification apportée à la ferme. C'est donc une erreur de croire qu'en ajoutant des montants à une poutre à treillis double ou triple, de façon à séparer par une pièce verticale deux croix consécutives, cette opération, si elle no fait aucun bien, ne fera du moins pas de mal : on alourdit la construction, on la rend plus chère, et en même temps on diminue sa solidité.

2° On peut toutefois pallier les inconvénients signalés plus

CH. VI. — I. SYSTÈMES ARTICULÉS. 5il

haut, en refaisanl les calculs de Touvrage modifié cl tenant compte, dans la fixation définitive des sections des barres, de la présence des pièces surabondantes. Mais on ne peut éviter, même en ce cas, que le travail subi par les éléments en excès ne soit bien inférieur à la limite pratique admissible pour le métal. Il en résulte une mauvaise utilisation de la matière, et, à solidité égale, la poulre est plus lourde que celle, sans liaisons surabondantes, à laquelle on pourrait la ramener par la suppression d'un certain nombre de barres.

3° Considérons une poutre à triangulation simple ou multiple, constituée par deux séries de barres inclinées en sens contraires : dans la zone centrale (page 220), où l'effort tranchant est susceptible de changer de signe, chacune des séries de barres travaillera tantôt à Textcnsion tantôt à la compression, suivant le signe de Teffort tranchant. On ne modifierait que d^une façon insignifiante leurs conditions de stabilité en ajoutant des éléments verticaux, pièces surabondantes qui n'auraient à supporter que des efforts très peu importants, alternativement négatifs et positifs, sans soulager d'une façon appréciable les barres de treillis. Donc, dans une poutre à treillis, judicieusement établie, c'csl-à-dire dont les éléments tendus et comprimés ont les sections voulues pour résister aux efforts maxima de sens contraire auxquelles elles peuvent être soumises, il n'y a jamais lieu d'ajouter des pièces verticales.

4® Dans une poutre composée, on est parfois obligé d'ajouter des barres additionnelles en vue de répartir l'action des forces extérieures entre les diverses triangulations simples. En effet le calcul de l'ouvrage est basé sur une hypothèse plausible en vertu de laquelle chaque triangulation se rapporte aune ferme partielle portant une fraction déterminée du poids total. Pour que cette hypothèse soit acceptable, il faut bien dans le cas d'un treillis à mailles serrées, par exemple, qu'à chaque pièce de pont corresponde un montant vertical partageant la charge entre toutes les barres parallèles, sans quoi le poids tout entier serait appliqué à une seule triangulation et celle-ci serait soumise à des efforts excessifs. En pareille circonstance, l'adoption des montants s'impose ; mais on

542 POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.

doit, dans le calcul de leur section, les considérer comme des pièces accessoires, n'ayant pour fonction que de répartir entre les barres parallèles les charges appliquées à Textrémiléde Tune d'elles. On commetlrail une faute en leur attribuer un rôle plus important.

Dans une construction ainsi disposée, il est impossible, quoiqu'on fasse, d'obtenir une bonne utilisation du métal, et de partager également la charge entre les différeni es triangulations. Il peut être utile en certains cas de vérifier, par remploi de la méthode de calcul des systèmes à liaisons surabondantes, que Terreur commise de ce chef ne peut avoir d'inconvénients graves.

5^ Considérons une poutre Warreîi mal conçue, dont certains éléments soient exposés à supporter des efforts supérieurs à leur force de résistance. Ce cas ne se présente guère que pour des bras comprimés dont le moment d'inertie est insuffisant et qui ont une tendance au flambement lorsqu'ils sont soumis à un travail de compression notable. En pareil cas, l'adjonction de montants verticaux susceptibles de travailler à la compression est justifiée, puisque les barres de treillis, qui devaient résister à ce genre d'effort, ne remplissent pas convenablement leur rôle.

La modification apportée à la poutre a pour effet de substituer au treillis insuffisant une triangulation à montants et écharpes, en transformant la poutre Warren en poutre Pratt. Quant aux barres inclinées, qui étaient censées d'abord résister à la compression, il n'en faut plus tenir compte : comme elles se courbent sous un léger effort de compression, la diminution de distance de leurs extrémités est bien supérieure à

celle que donnerait la formule -^* = -. Elles vibrent sous le

passage des charges roulantes, avec un bruit de ferraillement^ et ne servent plus à grand chose.

La vogue dont a pu jouir le système des poutres à montants et croix de St- André tient précisément aux nombreuses consolidations, faites avec le plus grand succès, de poutres à treillis dont les bras flambaient, et qu'on a renforcées par des montants verticaux. On en a conclu à tort qu'une opération sem-

CH. VI. — I. SYSTiiMES ARTICL'I.fCS. 543

blable aiigmcnlerail la stabilîlé d'une poutre h IrcUlis bien conçue, c'esl-à-dire pourvue de bras inclinés suffisammont solides. Il n'en est rien. C'est en somme un remède efficace à apporter aux ponts qui menacent ruine, et non une solution acceptable pour des ouvrages neufs.

iOé le ;

Xeon-

moltrc en eut a consisté k su treuso qui, dans l'esprit de soa mcnlerla stabllilé.

Dans les pouEres h trianguh l'habiliidc de relier par des a treillis à leurs points de rcncc nouvelles dont l'utilité ne no moins chaque bras a été calcul longueur à l'efforl de comprcs qui dispense de le soiilenircni f; américains ne recourent jamaï

^ nicurs hollandais y ont rcnonc

vécs indépendanles, dont les n tirants en leurs différonls poi que semblejustifiéc par la (hé< de ne pas s'en écarter.

Les assemblages articulés < relient les barres de triangul par la même raison une supéri de vue ihéoriquo, sur les asscn péens. Mais cet avantage est ci pratiques, de telle sorte qu'il e la valeur comparative des de Nous ne reviendrons pas sur li gagée à ce sujet dans le (orne

Celte question a d'ailleurs complète par M. Maurice Koei Applications de la statique g 8 et 9).

A titre d'exemple simple du ner une liaison surabondante, liques flexibles situés dans u turc, mais de (lèches notablei blés sont utilisés concurrcmmc roulante P, dont le poids est Ir galets (le roulement, surchaqi

été calculé de façon à suppor

appliqué en son milieu.

CH. VI. — I. SYSTÈMES AUTIGULÉS. Si5

Supposons qu'on ait jugé bon do relier les deux cftbics par une tige ab malnleiunt leur distance constante, el proposonsnous de chcrclicr le résultat obtenu. On voit immédiatement que celle disposition aura pour effet de faire porter, quand le poids passera en B, toute la charge par "" Fiit 208 '" càbic ie plus tendu MaN,

qui cassera. Après quoi ce sera lo tour do l'autre, resté soûl pour soutenir P. L'adjonction do la tige ab aura donc été une idée désastreuse. 11 en serait de même pour un pont en arc, étudié dans l'Iiy-

A l'anlretoise AA' corres En ce qui concerne l'cnl ]« travail moléculaire subi se rapporte h l'enlriiloise h sa section ui', cllo ne conditions, être égale à aen occuper.

Prenons pour axe des x 1 droite ON. En raison de la AA' cl BB' seront encore h la droite ON verticale.

Désignons par h, le di6ph B, par « et v les déplacemc A, par suite de la déformai

B' el A' ont subi des dép B el de A, par rapport à l'a

Ecrivons les équations d' est sollicité par la force exi Roi.RV, RV:

(1) R'u' + R" u" sin a. (2} R" w"cosa

Ecrivons les formules de AA', AB', ABet BB', en i

AA' = 2fl, AB = ~., AB' = — ,

COSI COSa

BB' = 2(a+i Ig i) = 2(b Ig a —a).

. Ënti'ctoïse AA' :

Substituons enfin ces valeurs de u ctdet? dans les équations (3), (4) et (5). Nous obtiendrons les formules définitives :

,n\ n p w'" sin (Q -[- «) sin (g + i) sîn (« — i) + «^ cos 0 cos* i

^ ' ww" cos' a 4- w«' cos* i -4- ww" sio* (« + t) sin (a — t)

-j- ww' cos* i -|- »ûi" sin* (« + 1) sin (a — i) oà" cos\cc sin (Q+ «) -j- <ij cos* i sin (Q — t) û>w"cos'a -f- ww'cos* t + ww"sin* (a + 0 sin(« -|-i) (u sin (0 — f ) sin (a + 0 sin (a — t) — «' cos 0 cos* a

(8) ti" = P

^ ' ww". cos' a -f- ww' cos' i + W6>" sin (« + 1) sin (« — i)

Le problème est résolu : connaissant les sections oj, w' et <o" des trois éléments qui aboutissent au nœud A, les équations (6), (7) et (8) permettront de calculer les valeurs du travail moléculaire R^ R' et R", et par conséquent les efforts Ro>, RV et R"o>" supportés par ces barres.

' On peut d'ailleurs, si on le préfère, se donner TR d'une des barres et les o des deux autres, ou bien encore lesR pour deux d'entre elles, et Ï(ù de la troisième. Mais il est interdit d'arrôter a priori et simultanément les valeurs de R, de R', de R", ainsi que nous en avons déjà fait la remarque en traitant le cas général dos fermes à barres surabondantes.

On peut aisément vérifier, par la combinaison des formules (6), (7) et (8), que, si Ton a arrêté des valeurs de deux de ces quantités, celle de la troisième s'en déduit nécessairement. On a en effet, en éliminant (ù, <ù' et cd" :

(9) R cos* a +• R' sin (a — î) sin (a + t) — R" cos* i = o.

Les relations obtenues sont absolument générales, et s'appliquent à tous les cas imaginables.

On peut par exemple s'en servir pour étudier la slatilité d'un système sans liaisons surabondantes, obtenu par la suppression d'une des barres aboutissant en Â.

Suppression des montants AB et A'B' : <i) = o. Od a un support en X.

cos a cos a

Suppression des entretoiscs AA' et BB' : (o' = o.

^ s\n(Q + cf.) , „ sin(0 — i)

sin (« -j- 0 sin(ec-f-i)

Suppression des écbarpes AB' et A'B : <o"= o. Support recr tangulaire non contrevenlé.

K cû = — r . . , K û> = r . ' r^- .

COS t COS l ,

Si le montant est vertical, il faudra poser i= o.

Si Ton cherchait à déterminer la solution la plus économique, au point de vue de la dépense de métal, à adopter pour le panneau, on trouverait immédiatement :

et Ro) = — P.

Le support se réduirait aux deux montants AB et A'B'^ placés dans les directions des forces P et P'.

Dans Tétude que nous venons do faire, par la méthode des systèmes articulés, des conditions de stabilité d'un panneau do pile, nous nous sommes placé dans Thypothëse la plus élémentaire et la plus simple, ce qui ne nous a pas empêché d'arriver à des formules passablement compliquées.

Pour faire une étude réellement utile au point de vue des applications, il eût fallu examiner un cas se rapprochant des conditions réelles de la pratique, et étudier par exemple une tranche horizontale de pile, formant un tronc de pyramide quadrangulairo, dont les huit sommets seraient reliés par des montants obliques, des ontrctoises horizontales formant les cdtés des deux bases rectangulaires, et des écbarpes dirigées suivant les diagonales des faces et suivant les diagonales intérieures du solide lui-même. D'autre part, il conviendrait de se placer dans le cas d*une charge dissymétrique affectant différemment les quatre nœuds qui occupent les sommets supérieurs du tronc de pyramide, et de ne pas exclure Thypothëse d'efforts horizontaux dus à l'action du vent. On peut juger combien une telle recherche serait ardue et pénible, et de plus stérile, vu la complication des formules définitives, qui en rendrait l'emploi ou tout au moins la discussion impossible. Même en substituant aux lettres des valeurs numériques,comme nous l'avons fait pour les pou 1res à croix de St- André, on ne parvien-

tm

POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.

drail pas &rondre pratique remploi de celte méthode pour Tétude des piles.

C'est pourquoi nous en reviendrons, dans la seconde partie du présient chapitre, à la méthode usuelle des syslbmes rigides, seule susceptible de fournir une solution pratique et commode pour Tétude des piles métalliques,

^ 2* De pièces de contreventemeal, entreloises ou écharpcs

obliques, reliant les montants entre eux, et répartis en un ^ certain nombre de triangulations simples, dont il conviendrait

'fy" le cas échéant de faire disparaître les barres surabondantes,

% la présence de ces pièces ne pouvant qu'entacher d'erreur les

U:> résultats du calcul. Au lieu d'être toujours contenues dans

"^ les plans verticaux^ comme pour les poutres, ces triangula-

Ç^^ lions peuvent être situées dans des plans obliques, ou dans

des surfaces cylindriques ou gauches, ayant chacune pour di* rectrices les axes longitudinaux de deux montants.

Nous admettrons en principe que la pile possède deux plans verticaux de symétrie (au moins en ce qui concerne le système des montants, abstraction faite des pièces de triangulation), savoir (fig. 211) :

Un plan de symétrie longitudinal LL', contenant Taxe longitudinal du pont, et coupant la pile dans sa longueur.

Un plan de symétrie transversal TT' perpendiculaire à Taxe longiludinal du pont et coupant la pile suivant sa largeur, normalement à l'élévation du pont.

Pour éviter toute confusion, nous convenons ainsi de mesurer la longueur / de la pile sur Télévation, c'est-à-dire dans la même direction que l'ouverture d'une travée adjacente ; et la largeur /' normalement à l'élévation, c'est-à-dire dans la même direction que la largeur du pont. Bien que contraire aux usages reçus, colto convention nous parait indispensable pour éviter des malentendus.

La verticale d'intersection des deux plans de symélrio est la jfibre moyenne ou axe longitudinal de la pîle, dont elle est un axe de symétrie.

La stabilité d'un pareil ouvrage doit être envisagée à deux points de vue distincts :

1* La résistance longitudinale ^ la pile étant soumise à Taction d'une force et d'un couple situés dans le plan longitudinal de symétrie ;

2* La résistance transversale ^ la pile étant soumise à Taclion d'une force et d'un couple situés dans le plan transversal de symélrio.