DÉFORMATION

190. Formules générales. — Nous admetlrons que la section de base BAB' de la pile, située à la distance verticale H au-dessous de l'origine 0, que nous plaçons toujours au

centre de la section horizoQtaie supérieure, soit fixe, la pile étant encastrée sur un soubassement indéformable.

Conservons les notations de Tarlicle précédent, et désignons par Oy et Oy' deux axes rectangulaires horizontaux placés respectivement dans les plans de symétrie longitudinal et transversal (fig. 214).

Nous connaissons, bien entendu, pour une section horizontale quelconque, définie par sa distance x à Torigine, les quantités û, I, F, F, X etX'.

Il s^agit d'établir les équations de la courbe décrite par la fibre moyenne déformée, dirigée primitivement suivant la verticale OA.

Soit M un point de cette fibre, défini avant la déformation par son abscisse x.

Nous désignerons par Sx le tassement vertical subi par le point M, c'est-à-dire la diminution de sa distance H — x au point fixe A,

Fig. 214.

CHAP. VI. — II. PILES MÉTALLIQUES. SôS

Nous appellerons y et y' les coordonnées do ce point, par rapport aux axes Oj: el Oy', après la déformation. Les composantes dans les plans x^y et xOy du déplacement angulaire subi en

M parla fibre moyenne seront représentées par p et j^ •

Appelons ii, /et/', 8 el 6' les valeurs particulières que prennent les variables Sx, y, y', t et j^ quand on considère Tori-

ÛX AX

gine 0.

En appliquant Téquation de la résistance des matériaux

El— =X, et suivant la marche habituelle, que nous avons

déjà eu l'occasion d'exposer plusieurs fois, on arrivera aux formules suivantes :

Equations de la fibre moyenne déformée : S;r = — / =- rfx ;

^Xdx El

^ xXdx

£1 dx

xdx

d^~l El'

Déformation au sommet 0 :

xin — xjdx

El '

n x'dx

^ rx'(n-x

-— ar) da?

■*fc •

Le calcul par quadrature des iatégrales défiaies contenues dans ces équations ne présentera aucune difficulté. On pourra donc toujours tracer les projections sur les plans xOy et xOy' de la courbe décrite par la fibre déformée.

Les sections horizontales de la pile restant normales à la

fibre moyenne, les expressions r et — représentent les corn*

Cm/ eue

posantes dans les plans xOy et xOy' de leurs déplacements angulaires.

Rien n'empêcherait d'étudier la déformation de la pile pour différents cas de surcharge et de direction du vent. Mais il suffira en général de calculer les déplacements «, / et /* du sonimet qui sont les seuls renseignements offrant de l'intérêt.

Nous n'avons pas cru nécessaire d'insister sur les signes à attribuer aux inconnues ii, 6,/, O'et f. On se rendra toujours aisément compte de la direction dans laquelle la fibre se déplace, sans qu'il soit utile de recourir à des règles théoriques qui ne feraient qu'obscurcir la question.

191. Méthode abrégée. — Supposons que l'on connaisse les valeurs successives du travail H développé à différentes hauteurs dans chacun des montants de la pile, sous l'action du vent, et dans des conditions de surcharge déterminée. On pourra évaluer assez exactement le tassement vertical u subi par le sommet de ce montant à l'aide de la formule :

-rfx.

it\ tassement du montant, est positif si, cette pièce étant comprimée^ le travail R est négatif.

Cette relation n'est rigoureuse que si le montant est vertical, mais, appliquée à un montant oblique ou courbe, elle donne un résultat assez approché de la vérité.

Il sera très facile de calculer u' pour chaque montant. Après avoir ainsi déterminé les positions occupées par les sommets de tous les montants après la déformation, on en conclura sans difficulté lo tassement u et les déplacements angulaires 0 et 0' de la section horizontale du sommet en me-

CDAP. VI. - n. l>imS METALLIQUES, S6S

nànt le pian moyen le plus rapproché desexLrémilés des montants, c'esl-à-dire le plan défini par la condition que la somme de ses distances aux extrémités en question soit un minimum. Celle méthode abrégée peut fournir des indications utiles sur la déformation do la pile, dont la recherche, faite suivant la marche exacte indiquée à l'article précédent, exigerait des calculs assez comnliaués et laborieux. Elle ne donne d'ailleurs

ms vu I d'un )le dé tassconnc; anguïnver-

ni de ■cndro nte In

1, les lar les

56fî POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES,

On pourra en général, pour abréger le calcul, se servir de ces relations, en altribuant à û et I les valeurs moyennes qui se rapportent à la section horizontale prise au milieu de la hauteur du support.

Nous ferons ici une remarque qui peut avoir une certaine importance :

' Dans Tétude faite des ponts -grues encastrés sur leurs supports, il a été admis que la déformation de la fibre moyenne, au droit deTencastrement, concordait exactement avec le déplacement de la section horizontale du sommet de la pile : cela revient à supposer que Tencastrement est réalisé au mi* lieu de la hauteur de la poutre, tandis qu'en réalité c'est toujours la semelle inférieure que Ton relie au support.

Il en résulte que Vu et le Ô du sommet de la pile, fournis par les formules précédentes, peuvent différer de Vu et du Q de la fibre moyenne, dont on a besoin pour le calcul du pont, de l'écart qui existe entre la déformation de celte fibre moyenne et celle de la semelle inférieure encastrée sur la pile. Cet écart peut n'être pas négligeable si la hauteur de la poutre n'est pas très petite comparativement à celle de la pile.

Dans ce cas, pour obtenir des résultats suffisamment exacts, il est indispensable de considérer le panneau de pile de la poutre comme formant le prolongement de la pile jusqu'à la fibre moyenne, c'est-à-dire jusqu'au milieu de la hauteur de la poutre.

En d'autres termes, l'origine 0 des hauteurs, qui figurent dans les intégrales définies donnant y et F, devra être placée non pas au sommet de la pile, mais au milieu de la hauteur de la console.

Soit h cette hauteur ; les formules à employer seront :

El

CKAP. VI. - II. Pir.ES MÉTALLIQUES. 567

Considérons à litre d'exemple le support ceniral du pont du Forlb ; la pile proprement dite est constituée par deux massifs en maçonnerie, de faible hauteur, que I'oq peut considérer sans erreur appréciable comme indéformables. Les coefRcienls ■j- et r seraient donc nuls si l'on ne devait pas, en raison de la remarque précédente, considérer comme formant le prolongemont de la pile )e panucau ceniral dont la hauteur h atteint 100 mètres.

La pile métallique ainsi définie a pour hauteur !iO mfctrea ; elle se compose de quatre colonnes verticales ayant chacune 0*^,53600 pour aire de section transversale cl écartées d'axe en ase, sur l'élévation du pont, de 79",30.

D'où I = 4 X 0,53600 X \ (79,30)".

Posons E =1,60X10"'.

On a : \ = m.

J^ El 10

Lorsqu'une des grandes travées supporte sa surcharge d'épreuve complète, à raison de 6.700 kil. par mètre courant, l'aulre travée étant réduite à son propre poids, le moment [i de renversement est égal à 160.000 tonnes -mètres.

D'où; Q=r|i= 0,00016.

La flèche d'abaissement de l'extrémité de la console appartenant à la travée chargée, qui cori'espond au déplacement angulaire 9 de la libre moyenne au droit de la pile, est égal à d X 207, soit O^.OSâ. Si l'on y ajoute la flèche d'abaissement 0"i6, due à la déformation propre de la console assimilée à une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre, on trouve en déhnilive pour le déplacement vertical de l'articulation, sous l'influence de la surcharge d'épreuve complète couvrant une seule des grandes travées : O'ildS.

Supposons qu'au Heu de former la pile de deux massifs iso-

seul pilier, en plaçant à 10 m. de distance seulement les colonnes extrêmes du panneau central de la poutre. L'angle 0 aurait été dans ces conditions multiplié par 6i, et la flèche correspondante serait passée de 0 m. 032 à 2 m. 05. L*abaissèment total de l'articulation eût été de 2 m. 20, Tinclinaison correspondante des voies ferrées sur riiorizontale excédant un centimètre par mètre. La grande longueur de base attribuée à l'encastrement de la console était ainsi commandée non-seulement par l'opportunité de ne jamais faire travailler à la traction les boulons d'ancrage de la forme dans les maçonne* ries de la pile, mais encore par la nécessité de limiter d'une manière convenable la déformation de la grande travée sous le passage des charges i^oulantes.

Nous nous sommes basé, dans le calcul qui précède, sur des renseignements fournis par la. Revue générale des chemins de fer (février 4889). A défaut d'indications précises, nous avons cru pouvoir attribuer aux colonnes verticales du panneau de pile les mêmes dimensions qu'aux membrures inférieures à seclion circulaire évidée des fermes. D'autre part, il nous a semblé résulter du texte de l'article que l'aire de la section transversale de ces njembrures, indiquée comme étant de 53,600 millimètres carrés, devait être en réalité dix fois plus grande, et atteindre un demi-mètre carré. A supposer que nous ne nous soyons pas trompé dans nos conjecture$,les renseignements dont nous nous sommes servi étaient trop incomplets pour que l'étude qui précède puisse être regardée comme méritant quelque confiance. Nous ne la présentons ici que comme un exercice de calcul, utile adonner & titre d'exemple, sans prétendre formuler des indications exactes en ce qui touche les déformations réelles que l'ouvrage en question pourra subir sous sa surcharge d'épreuve.

Dans les applications que l'on pourra faire des formules générales de l'article 170, il conviendra, toutes les fois qu'on se proposera d'étudier non pas la déformation de la pile proprement dite, mais celle du pont qu'elle supporte, de considérer comme dans le cas précédent le panneau de pile comme prolongeant le support jusqu'à la moitié de la hauteur de la poutre. On obtiendra ainsi les valeurs u, 6, /*, 6' et/* des déplace-